陳小艷 周思波

【摘 要】 ?教材難度是衡量是否造成學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)過重的重要指標(biāo)，對教材質(zhì)量的評價起著至關(guān)重要的作用，在數(shù)學(xué)中更為明顯.將目前已有的刻畫數(shù)學(xué)教材難度的模型直接用于高中數(shù)學(xué)教材立體幾何部分難度的比較略顯粗糙，缺乏針對性，因此需要對現(xiàn)有模型進(jìn)行改進(jìn).首先分析已有的課程難度模型，然后進(jìn)行優(yōu)化和調(diào)整，建立一套刻畫高中教材難度的量化模型，并將其應(yīng)用于人教A版和北師大版立體幾何部分的比較，驗(yàn)證了這一模型的可行性.

【關(guān)鍵詞】 ?綜合難度;廣度;深度;教材

1? 前言

數(shù)學(xué)教材作為重要的數(shù)學(xué)課程資源，是輔助教師教學(xué)的最好依據(jù)，也是幫助學(xué)生學(xué)習(xí)的最經(jīng)濟(jì)實(shí)效的材料，因此一本好的數(shù)學(xué)教材對教師和學(xué)生必不可少.教材難度是衡量教材質(zhì)量的至關(guān)重要的因素，鮑建生教授構(gòu)建了一個比較數(shù)學(xué)題難度的綜合難度模型 [1]，但影響數(shù)學(xué)教材難度的因素還有課程內(nèi)容的廣度、深度以及內(nèi)容的組織呈現(xiàn)方式等.因此本研究基于這一模型，再在宋乃慶 [2]、史寧中 [3]、鄒宏運(yùn) [4]等人建立的難度模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化與調(diào)整，建立起一套適用于刻畫高中數(shù)學(xué)教材難度的量化模型，希望能為教師選擇教材提供依據(jù)，同時為教材編寫人員提供實(shí)質(zhì)性的建議.

2?? 綜合難度模型的建構(gòu)

2.1 教材難度測量維度

教材難度主要指教材呈現(xiàn)內(nèi)容的難度，包括知識點(diǎn)、例題、習(xí)題以及探究思考題.通過對已有的課程難度模型的分析，發(fā)現(xiàn)影響教材難度的因素主要有：內(nèi)容廣度、內(nèi)容深度、內(nèi)容的呈現(xiàn)方式、課程時間、例題難度、習(xí)題難度等.

由于本研究只考慮教材本身的絕對難度，不關(guān)注教材與學(xué)生學(xué)習(xí)之間的相互影響，因此對課程時間這一難度因素暫不做考慮.此外，與小學(xué)教材相比，高中教材呈現(xiàn)方式更為單一，因此內(nèi)容的呈現(xiàn)方式對教材難度的影響較小，也暫略去.筆者將從剩下的四個難度影響因素著手，并將其分為兩個維度：內(nèi)容難度和數(shù)學(xué)題難度.內(nèi)容難度包括內(nèi)容的廣度和內(nèi)容的深度;數(shù)學(xué)題則包含例題和習(xí)題.

2.1.1 內(nèi)容的廣度

內(nèi)容的廣度指的是課程內(nèi)容所涉及到的領(lǐng)域和范圍的廣泛度，可以直接統(tǒng)計(jì)知識點(diǎn)的個數(shù).需要指出的是，為了減少誤差，這里只計(jì)算教材用特殊標(biāo)記標(biāo)明的知識點(diǎn)個數(shù).

2.1.2 內(nèi)容的深度

內(nèi)容的深度是指對教材呈現(xiàn)的知識的要求水平，其抽象性決定了這一維度極難量化，這里我們根據(jù)范希爾的幾何思維水平來對內(nèi)容的深度進(jìn)行刻畫，具體如下 [5]：

水平0：直觀感受.對幾何圖形的整體感知，不要求認(rèn)識到其中的組成部分，即只停留在表面、直觀.對處于這一水平的內(nèi)容賦值為1;

水平1：分析水平.教材要求能夠辨認(rèn)或者通過構(gòu)成要素之間的關(guān)系來識別圖形，能利用這些特性解決幾何問題，但不要求解釋性質(zhì)間的關(guān)系，對圖形的定義也不做要求.對這一水平的內(nèi)容賦值為2;

水平2：非形式演繹.教材要求能邏輯地組織概念和圖形所具有的性質(zhì)，并能進(jìn)行一步的演繹推理，但不要求能由不熟悉的前提去證明結(jié)果的成立，也不要求建立定理網(wǎng)絡(luò)之間的內(nèi)在關(guān)系.處于這一水平的內(nèi)容賦值為3;

水平3：形式演繹.對公理化系統(tǒng)中的未定義項(xiàng)、定義、公理、定理作出明確區(qū)分，并能作出一系列命題以對作為“已知條件”的邏輯結(jié)論的某個命題進(jìn)行證明;但這時推理的對象還只是圖形性質(zhì)之間的關(guān)系，而并非不同演繹系統(tǒng)之間的關(guān)系.這一水平的內(nèi)容賦值為4;

水平4：嚴(yán)密性.要求在不同的公理系統(tǒng)下嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟⒐恚苑治霰容^不同的幾何系統(tǒng)，如歐式幾何與非歐幾何的比較.將這一水平的內(nèi)容賦值為5.

最后再采用所有知識點(diǎn)的深度取值加權(quán)平均來刻畫內(nèi)容的深度，也即“平均內(nèi)容深度”.

2.1.3 例題和習(xí)題難度

研究數(shù)學(xué)題難度的量化模型多是在鮑建生的數(shù)學(xué)課程綜合難度模型上進(jìn)行改進(jìn)的，因此本研究直接采用鮑建生的數(shù)學(xué)課程綜合難度模型來刻畫例題和習(xí)題的難度.鮑建生將影響數(shù)學(xué)題的難度因素分為五個，分別是：探究、背景、運(yùn)算、推理以及知識含量.然后將這些因素分為不同的水平，相應(yīng)的水平賦于相應(yīng)的權(quán)值，再用加權(quán)平均的方法對每個影響數(shù)學(xué)題難度的因素進(jìn)行量化，具體難度因素的水平及賦值如下表：

2.2 教材難度計(jì)算方法

基于以上對影響教材難度的各個維度的分析，建立如下量化模型來刻畫教材難度.首先，使用加權(quán)平均計(jì)算教材難度：N=αC+（1-α）Q.

其中，α表示教材內(nèi)容對教材難度的影響程度，滿足0<α<1.N指高中數(shù)學(xué)教材的難度，C指教材內(nèi)容難度，Q則是數(shù)學(xué)題目（包括例題和習(xí)題）的難度.

由于數(shù)學(xué)課程的難度水平在很大程度上是由其包含的數(shù)學(xué)題所確定的 [1]，再根據(jù)宋乃慶等人給出的數(shù)學(xué)教材難度模型，教材難度分為內(nèi)容難度、例題難度和習(xí)題難度，這三個維度的權(quán)值分別為0.3、 0.36、0.34，所以可以得到內(nèi)容難度所占的權(quán)值應(yīng)為0.3，即α的取值為 0.3.

其次，內(nèi)容難度也可采用加權(quán)平均來進(jìn)行量化，即：

C=βG+（1-β）S.

其中，β表示內(nèi)容廣度對整個內(nèi)容難度的影響程度，范圍是0<β<1.G表示內(nèi)容的廣度，S表示內(nèi)容的深度.對于β的具體取值，專門有文獻(xiàn)對其分析，許多一線教師和專家也有過探討.本研究參照的是宋乃慶等人給出的模型，由于其將內(nèi)容難度分為了內(nèi)容多少、內(nèi)容的要求和內(nèi)容呈現(xiàn)方式，分別取的權(quán)值是0.45、0.32、0.23.因?yàn)楸狙芯繘]有考慮內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，所以將內(nèi)容的呈現(xiàn)方式所占的權(quán)值均分到內(nèi)容多少以及內(nèi)容的要求，分別對應(yīng)本研究中的內(nèi)容的廣度和內(nèi)容的深度這兩個維度中，所以最終內(nèi)容的廣度所占的比值是0.565，也即β=0.565.

最后是數(shù)學(xué)題難度的計(jì)算方法，量化公式為：

Q=γW+（1-γ）E.

其中，γ表示例題難度對數(shù)學(xué)題難度的影響程度，取值范圍是（0，1）.由于例題與習(xí)題難度的計(jì)算方法一致，都是采用鮑建生所建立的綜合難度模型中采用的方法，且兩者對數(shù)學(xué)題難度的影響程度接近，所以取γ=0.5.

由于例題與習(xí)題難度的計(jì)算方法一致，所以接下來只需考慮例題的計(jì)算方法即可.具體如下：

W=∑ 5 ?i=1 λ iw i.

其中λ i（i=1，2，3，4，5）分別表示為探究、背景、運(yùn)算、推理、知識含量這5個難度因素對例題難度的影響系數(shù)，滿足∑ 5 ?i=1 λ i=1.考慮到5個難度因素對例題難度的影響相當(dāng)，所以取λ i=0.2（i=1，2，3，4，5）.w i（i=1，2，3，4，5）依次表示探究、背景、運(yùn)算、推理和知識含量五個難度因素上的取值，具體計(jì)算方法為：

w i= ∑ j nijwij n （∑ j nij=n;i=1，2，3，4，5;j=1，2，…）.

wij表示第i個難度因素的第j個水平的權(quán)重（依水平分別取1，2，3，…），nij則是一組題目中屬于第i個難度因素的第j個水平的題目的個數(shù)，和為該組題目的總數(shù)n.習(xí)題難度的計(jì)算方法類似，只需將w替換為e即可.

綜上，本研究建立的刻畫高中數(shù)學(xué)教材難度的模型為：

N=αC+（1-α）Q;C=βG+（1-β）S，Q=γW+（1-γ）E;

W=∑ 5 ?i=1 λ iw i，E=∑ 5 ?i=1 λ ie i;

w i= ∑ j nijwij n （∑ j nij=n;i=1，2，3，4，5;j=1，2，…），

e i= ∑ j nijeij n （∑ j nij=n;i=1，2，3，4，5;j=1，2，…）.

其中影響系數(shù)α，β，γ以及λ i（i=1，2，3，4，5）的取值分別為0.3，0.565，0.5，0.2.

3 ?人教A版與北師大版立體幾何的綜合難度比較

人教A版的立體幾何包括必修2中第一章的空間幾何體和第二章的點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系，北師大版立體幾何部分則指必修2中第一章的立體幾何初步，本研究基于以上刻畫高中數(shù)學(xué)教材難度的模型，對人教A版與北師大這兩個教材版本中的立體幾何部分作一個對比分析.

3.1 內(nèi)容難度的比較3.1.1 內(nèi)容廣度的比較

人教A版的立體幾何部分包含的知識點(diǎn)個數(shù)是49個，北師大版包含47個，因此人教A版和北師大版的內(nèi)容廣度取值分別為49和47，人教A版在立體幾何這一部分的內(nèi)容廣度要稍高于北師大版.

3.1.2 內(nèi)容深度的比較

人教A版和北師大版教材中立體幾何部分的知識點(diǎn)所要求的幾何思維水平具體分布如下表：

經(jīng)過計(jì)算，人教A版和北師大版的平均內(nèi)容深度取值分別為102和100，因此這兩個教材版本立體幾何部分的內(nèi)容難度如下表：

3.2 數(shù)學(xué)題難度的比較

人教A版教材的立體幾何部分的數(shù)學(xué)題包含例題20個，課后練習(xí)題39個，A組習(xí)題61個，B組習(xí)題25個;而北師大版則有27個例題，46個課后練習(xí)題，57個A組習(xí)題和22個B組習(xí)題，還包括2個C組的習(xí)題.將這些題目分為例題和習(xí)題（包括練習(xí)題和習(xí)題）分別進(jìn)行比較.

3.2.1 例題難度的比較

通過以上表格的分析，最終使用加權(quán)平均得到人教A版和北師大版兩版教材的習(xí)題難度分別為 1.630和1.542.

3.2.2 習(xí)題難度的比較

采用與例題難度比較類似的方法比較兩個教材版本習(xí)題難度，具體分析如下表：

最終得到人教A版和北師大版教材的習(xí)題難度分別為1.768和1.7904.

最后，對內(nèi)容難度和數(shù)學(xué)題難度分別賦權(quán)值0.3和0.7，得到人教A版立體幾何部分整體的教材難度為22.8541，而北師大版則為22.2698.

4 ?討論

基于以上的研究分析，人教A版與北師大版教材在立體幾何這一部分的整體難度相當(dāng)，雖然人教A版的難度高于北師大版，但差異值僅為0.6，這符合我國教育所提倡的“一標(biāo)多本”的實(shí)際，也說明本文所建立的量化模型用于刻畫高中數(shù)學(xué)教材中立體幾何部分的難度是可行的.

但由于范希爾的幾何思維水平層次還未推廣到代數(shù)部分，所以文中所建立的教材難度的量化模型僅僅適用于幾何部分的比較.同時影響教材難度的因素也不僅僅局限于以上幾種，因此對于教材難度的刻畫還有待于進(jìn)一步深入研究.

參考文獻(xiàn)

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[3] 郭民，史寧中.中英兩國高中數(shù)學(xué)教材函數(shù)部分課程難度的比較研究[J].外國中小學(xué)教育，2013（07）：55-59.

[4] 鄒宏運(yùn).國內(nèi)高中數(shù)學(xué)教材圓錐曲線部分難度比較研究——以“人教版”和“北師大版”為例[A].全國數(shù)學(xué)教育研究會.全國數(shù)學(xué)教育研究會2012年國際學(xué)術(shù)年會論文集[C].全國數(shù)學(xué)教育研究會：2012：20.

[5] 鮑建生，周超主編.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.10.