凌杰 明敏 馮朝 肖曉暉

多軸運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)非線性輪廓重復(fù)跟蹤的主從交叉耦合迭代學(xué)習(xí)控制

凌杰1明敏1馮朝1肖曉暉1

針對多軸運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)非線性輪廓的重復(fù)跟蹤,傳統(tǒng)時(shí)域交叉耦合迭代學(xué)習(xí)控制器(Cross-coupled iterative learning control,CCILC)的設(shè)計(jì),各軸間的耦合算子計(jì)算精度要求高,計(jì)算效率低.本文提出一種主從交叉耦合迭代學(xué)習(xí)控制方法.基于主從控制設(shè)計(jì)方法,主動(dòng)軸采用時(shí)域CCILC,從動(dòng)軸采用位置域交叉耦合迭代學(xué)習(xí)控制(Position domain CCILC,PDCCILC).保證各軸間運(yùn)動(dòng)同步性,同時(shí)減輕對耦合算子精確性的依賴.因而可以引入輪廓誤差矢量法估算耦合算子提高計(jì)算效率.采用Lifting的系統(tǒng)時(shí)域矩陣展開方法對所提出的算法進(jìn)行了穩(wěn)定性分析和性能分析.基于一個(gè)兩軸毫米級(jí)運(yùn)動(dòng)平臺(tái),三種典型非線性輪廓跟蹤(即半圓、拋物線和螺旋線)的數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)分析驗(yàn)證了所提出算法的有效性.

主從控制,位置域,迭代學(xué)習(xí)控制,非線性輪廓跟蹤,多軸運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)

隨著現(xiàn)代工業(yè)的快速發(fā)展,針對高精度制造系統(tǒng)的研究越來越多.多軸系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)精度取決于單軸和輪廓誤差.輪廓誤差定義為實(shí)際位置和參考軌跡最近點(diǎn)之間的距離[1].

對于多軸運(yùn)動(dòng)系統(tǒng),傳統(tǒng)的控制策略是獨(dú)立的單軸控制,例如PID控制[2]、回路成形控制器[3]、滑模控制[4]、迭代學(xué)習(xí)控制[5?6]和重復(fù)控制[7]等.但是,單軸的跟蹤性能并不能保證多軸系統(tǒng)中輪廓誤差的控制性能,因?yàn)橄嚓P(guān)運(yùn)動(dòng)軸之間的運(yùn)動(dòng)同步性較差時(shí),輪廓跟蹤精度會(huì)降低[8].為了實(shí)現(xiàn)多軸系統(tǒng)高精度的輪廓跟蹤性能,輪廓誤差指標(biāo)比單軸誤差指標(biāo)更為重要.文獻(xiàn)[9]提出的交叉耦合控制(Cross coupled control,CCC),利用耦合增益算子計(jì)算得到輪廓誤差,作為PID控制的輸入,而輸出的控制信號(hào)再通過耦合算子分配到各軸,通過交叉耦合保證各軸同步性,減小輪廓誤差.文獻(xiàn)[10?12]結(jié)合CCC和ILC(Iterative learning control),設(shè)計(jì)了一種交叉耦合迭代學(xué)習(xí)控制(Cross-coupled iterative learning control,CCILC),以提高重復(fù)過程中單軸和輪廓跟蹤的性能.但是,在CCILC的設(shè)計(jì)中,相關(guān)運(yùn)動(dòng)軸之間的同步和整體輪廓跟蹤性能嚴(yán)重依賴于所計(jì)算的耦合算子.

非線性輪廓（例如圓、拋物線和螺旋線等）在3D打印機(jī)[13]、納米光刻[14]、納米精度的掃描儀[15]和微操作[16]等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛,其耦合算子具有時(shí)變性.在針對此類輪廓設(shè)計(jì)交叉耦合控制器時(shí),難以快速精確地計(jì)算出耦合算子,從而限制了CCC和CCILC等控制算法的應(yīng)用.文獻(xiàn)[17?18]針對非線性輪廓跟蹤,提出了可變增益的CCC,用圓形輪廓來逼近任意輪廓,但此方法計(jì)算量仍比較大.為了提高對任意輪廓耦合算子的計(jì)算效率,文獻(xiàn)[19]開發(fā)了一種基于輪廓誤差向量修正的可變增益CCC.此方法計(jì)算高效,且可直接推廣到多軸運(yùn)動(dòng)系統(tǒng).但是,這種方法是對耦合算子的估計(jì),而非準(zhǔn)確計(jì)算,降低了CCC和CCILC等耦合控制器的跟蹤性能.

不同于上述的時(shí)域(Time domain,TD)控制器,文獻(xiàn)[8,20?21]針對多自由度機(jī)器人系統(tǒng)的輪廓跟蹤,提出了一種位置域控制(Position domain control,PDC)方法.位置域輪廓控制將多軸運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)視為一個(gè)主從協(xié)同運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)來保證同步和提高輪廓跟蹤性能.PDC避免了CCC中計(jì)算耦合增益的問題,且能夠有效地進(jìn)行輪廓跟蹤,但是PDC是一種反饋控制,對于重復(fù)性任務(wù),位置域反饋PID無法達(dá)到理想性能.

為提高多軸運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)對非線性輪廓的重復(fù)跟蹤精度,本文將文獻(xiàn)[19]提出的輪廓誤差向量估計(jì)法融入到CCILC設(shè)計(jì)中,同時(shí),為了保證在耦合算子計(jì)算不精確情況下的跟蹤性能,本文基于主從思想,主動(dòng)軸采用時(shí)域交叉耦合迭代學(xué)習(xí)控制,從動(dòng)軸采用位置域交叉耦合迭代學(xué)習(xí)控制.本文提出的主從交叉耦合迭代學(xué)習(xí)控制器結(jié)合了CCILC和位置域設(shè)計(jì)方法的優(yōu)點(diǎn),既保證了各運(yùn)動(dòng)軸之間的同步性,減小了輪廓跟蹤誤差,又引入了輪廓誤差向量估計(jì)法,減少了計(jì)算量,適用于非線性輪廓的跟蹤.

1 主從交叉耦合迭代學(xué)習(xí)控制

1.1 輪廓誤差

交叉耦合控制(CCC)是通過選擇合適的耦合算子,協(xié)調(diào)各軸間的運(yùn)動(dòng),以減少輪廓誤差.CCC的耦合增益用來計(jì)算輪廓誤差,并決定分配到各個(gè)軸的控制信號(hào),因此確定其數(shù)值十分關(guān)鍵.在二維平面的輪廓跟蹤,輪廓誤差ε可由式(1)計(jì)算.

式中,Cx和Cy為耦合算子,ex和ey分別為x軸和y軸的跟蹤誤差.

文獻(xiàn)[19]針對非圓輪廓,提出一種基于輪廓誤差向量估算法的CCC.在一個(gè)二維運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中,實(shí)際位置P和參考位置R的幾何關(guān)系如圖1所示.估計(jì)的輪廓誤差矢量定義為從實(shí)際位置到參考位置處切線上最近點(diǎn)的向量,推導(dǎo)過程如下:

式中,〈·,·〉表示內(nèi)積.此方法對非線性輪廓的耦合算子計(jì)算效率高,本文采用這種方法估算主從交叉耦合迭代學(xué)習(xí)控制器中的輪廓誤差耦合算子.

圖1 雙軸運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的幾何關(guān)系[19]Fig.1 Geometrical relations of biaxial motion systems[19]

1.2 交叉耦合迭代學(xué)習(xí)控制(CCILC)

結(jié)合交叉耦合和迭代學(xué)習(xí)控制的CCILC的算法框架如圖2.文獻(xiàn)[12]結(jié)合xy軸的ILC和CCILC的控制律為

式中,u,Q,L,e,C分別為控制輸入、濾波器、學(xué)習(xí)函數(shù)、單軸跟蹤誤差和耦合算子,j為迭代序數(shù).而下標(biāo)x和y分別代表x軸和y軸.

1.3 反饋位置域PID控制

位置域控制的目的是改善多軸運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中相關(guān)軸之間的運(yùn)動(dòng)同步性.在一個(gè)二維平面進(jìn)行輪廓跟蹤時(shí),主運(yùn)動(dòng)軸作為基軸,只有從動(dòng)軸引起的跟蹤誤差將影響輪廓最終的輪廓跟蹤誤差[20].

圖2 CCILC控制框架[11]Fig.2 A general CCILC control structure[11]

對于一個(gè)位置域兩自由度解耦運(yùn)動(dòng)系統(tǒng),從動(dòng)軸y的PD型反饋控制信號(hào)與主動(dòng)軸的位置相關(guān),可表示為

式中,Kpy,Kdy分別為比例和微分增益,ey為y軸的跟蹤誤差.可以看出,從動(dòng)軸的位置域控制律以主動(dòng)軸位置而不是時(shí)間作為自變量.聯(lián)立式(6)和(7)可得從動(dòng)軸控制律的時(shí)域表達(dá)式(8).

1.4 主從交叉耦合迭代學(xué)習(xí)的控制律

對于一個(gè)兩輸入兩輸出線性時(shí)不變(Linear time invariant,LTI)系統(tǒng),x軸和y軸的主從交叉耦合迭代學(xué)習(xí)控制律為

式中,x軸采用時(shí)域交叉耦合迭代控制(CCILC),y軸采用位置域交叉耦合迭代控制(PDCCILC),j為迭代序數(shù),updc為控制輸入,Q是低通濾波器,用來改善控制系統(tǒng)的魯棒性,L是學(xué)習(xí)函數(shù),ex(t)為時(shí)間域的跟蹤誤差,ey(x)和ε(x)分別為y軸和輪廓位置域的跟蹤誤差.

式(9)表明,此處提出的主從交叉耦合迭代控制器與傳統(tǒng)CCILC的區(qū)別是采用位置域設(shè)計(jì)從動(dòng)軸的控制輸入.在后面的仿真和實(shí)驗(yàn)分析部分,本文用上標(biāo)pdc表示這種位置域的設(shè)計(jì)方法,用PDCCILC表示主從交叉耦合迭代控制器.

學(xué)習(xí)函數(shù)通常有三種類型,即PID型、魯棒型和系統(tǒng)模型求逆型[22].PID型學(xué)習(xí)函數(shù)不需要系統(tǒng)大量的建模.系統(tǒng)模型的逆學(xué)習(xí)函數(shù)能迅速收斂,但在很大程度上依賴于模型且對模型不確定性敏感.H∞的設(shè)計(jì)方法可用于設(shè)計(jì)魯棒單調(diào)收斂的ILC,但魯棒性和控制精度是一對矛盾.在PDCCILC的設(shè)計(jì)中,本文采用PID型學(xué)習(xí)函數(shù).這種方法盡管不如系統(tǒng)的逆學(xué)習(xí)函數(shù)收斂迅速,但是不依賴于模型且參數(shù)調(diào)整方便.采用PID型ILC和PD型CCC,式(9)可替換為

采用式(11)～(15)將式(10)中的積分和微分項(xiàng)離散化.

式(11)～(15)中,?e(t)=e(t?Δt),此處上標(biāo)表示具有時(shí)間延遲的變量.

將式(10)～(15)代入式(9),分別得到x軸控制律和y軸控制律.

式中,

式中,

由式(17)和式(19)可知,主動(dòng)軸的位置信息被融合到從動(dòng)軸控制律中,從而保證兩軸運(yùn)動(dòng)的同步性.此即本文提出PDCCILC與傳統(tǒng)的時(shí)域CCILC的不同之處.

2 前饋PDCCILC和反饋PID融合設(shè)計(jì)

2.1 Lifting方法

Lifting方法使用矩陣在時(shí)域內(nèi)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和收斂性[12].考慮一個(gè)離散的線性時(shí)不變單輸入單輸出系統(tǒng)

式中,k和j分別為時(shí)間序數(shù)和迭代序數(shù),yj,uj,d分別為輸出、控制信號(hào)和隨機(jī)干擾,P(q)是系統(tǒng)的傳遞函數(shù),q是前向時(shí)移算子,滿足qx(k)≡x(k+1).計(jì)算系統(tǒng)(20)的有限沖擊響應(yīng)[23],得如下展開矩陣

相比于頻域系統(tǒng)分析的一般方法,Lifting方法在分析時(shí)變動(dòng)力學(xué)有優(yōu)勢[11].本文提出的PDCCILC,控制律(16)和控制律(18)中包含時(shí)變參數(shù)Δt和Δx(t),采用Lifting方法可以通過時(shí)域內(nèi)矩陣方便計(jì)算和分析.

2.2 融合設(shè)計(jì)的控制律

融合前饋和反饋的控制結(jié)構(gòu)在精密運(yùn)動(dòng)控制領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[2?4,24?25].在反饋控制算法中,PID 由于簡單且易實(shí)現(xiàn)而大量應(yīng)用在工業(yè)領(lǐng)域[26?28].采用PID作為反饋控制器和PDCCILC作為前饋控制器,可以有效地實(shí)現(xiàn)控制信號(hào)收斂,消除輪廓誤差.對一個(gè)兩自由度系統(tǒng),融合反饋PID和前饋PDCCILC的設(shè)計(jì)如圖3所示.圖3中,x軸為主動(dòng)軸,y軸為從動(dòng)軸.主動(dòng)軸的位置信息被融合到交叉耦合控制器的設(shè)計(jì)中,從動(dòng)軸的控制量與主動(dòng)軸的位置變化相關(guān),保證同步性,減小輪廓誤差.

分析式(16)和式(18)的收斂性以及誤差大小,需推導(dǎo)控制信號(hào)的遞歸公式,誤差ex(t)和ey(t)可替換為

為方便書寫且在不引起混淆時(shí),將時(shí)間變量t省略.式中,·Kr為PID控制器的控制信號(hào),Pr為被控軸的傳遞函數(shù).

誤差延遲?e(t)可替換為

圖3 融合反饋PID和前饋PDCCILC的控制結(jié)構(gòu)Fig.3 Combined feedback PID and feedforward PDCCILC control structure

求解式(22)和式(23)可得

式中,Sr=(1+KrPr)?1為閉環(huán)系統(tǒng)靈敏度函數(shù).

將式(24)和式(25)分別代入式(16)消去ex和代入式(18)消去ey和并整理可得x軸和y軸控制量的遞歸公式.

式中,

注1.Nr是與updcr無關(guān)的項(xiàng),其中1)Qr,Sr,Kr和分別是濾波器、閉環(huán)靈敏度函數(shù)、反饋PID及帶延遲的被控軸傳遞函數(shù),均確定;2)rd是選定的有界參考輸入,dr是有界隨機(jī)干擾;3)αr,βr,γr和ηr由耦合算子Cr、反饋控制器和耦合控制器參數(shù)、被控軸位移增量Δr(t)計(jì)算得到.因此,在不考慮隨機(jī)干擾dr情況下,Nr是N維常數(shù)列向量,在后續(xù)的仿真和實(shí)驗(yàn)部分中,本文不考慮隨機(jī)干擾,即dr=0.

2.3 穩(wěn)定性和性能分析

在MATLAB軟件環(huán)境下使用impulse命令算得系統(tǒng)傳遞函數(shù)的沖擊響應(yīng),再用toeplitz命令算得系統(tǒng)的下三角方陣,則式(27)可以轉(zhuǎn)化為Lifting矩陣

ρ(A)=max|λi(A)|為矩陣A的譜半徑,λi(A)為矩陣A的第i個(gè)特征值.若反饋PID和前饋PDCCILC控制器存在合適的參數(shù),滿足式(29),則閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定[27,29].

式(29)雖然滿足穩(wěn)定性判據(jù),但不能保證收斂的單調(diào)性.該閉環(huán)系統(tǒng)單調(diào)收斂的充分條件則由復(fù)合矩陣?M的誘導(dǎo)范數(shù)的上確界給出[11,29],

控制系統(tǒng)的性能通常是由初始誤差到收斂誤差的減少量和收斂速度來判斷.當(dāng)滿足單調(diào)收斂條件時(shí),系統(tǒng)的漸近控制輸入和穩(wěn)態(tài)誤差可由式(31)和式(32)計(jì)算.本文中的仿真和實(shí)驗(yàn)部分?jǐn)?shù)據(jù)分析選擇均方根(Root mean square,RMS)誤差為該算法的評(píng)價(jià)指標(biāo).

3 數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)備

本文的實(shí)驗(yàn)設(shè)備包括如圖4所示的三部分:上位機(jī)、下位機(jī)和被控對象.

上位機(jī)由PC和LabVIEW組成軟硬件系統(tǒng),與下位機(jī)之間建立局域網(wǎng),并基于TCP/IP協(xié)議實(shí)現(xiàn)通訊.

圖4 三自由度精密定位平臺(tái)Fig.4 The three DOF precise positioning stage used as the testbed

下位機(jī)以美國國家儀器公司的Compact RIO 9081作為快速原型控制硬件,配合數(shù)據(jù)采集模塊NI 9401和模擬輸出模塊NI 9853,主要用于1)采集傳感器信號(hào);2)輸出控制信號(hào),與被控三維精密運(yùn)動(dòng)臺(tái)形成控制閉環(huán).

被控對象是一個(gè)三自由度精密定位平臺(tái)(X/Y/Z軸行程分別為50mm×50mm×20mm),各個(gè)軸由直流伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng),其位置信息由分辨率為0.5μm的光柵尺檢測.本文僅選用x軸和y軸組成一個(gè)二自由度系統(tǒng)構(gòu)成一個(gè)主從運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行仿真和實(shí)驗(yàn)分析.采用階躍響應(yīng)法辨識(shí)系統(tǒng)從電機(jī)驅(qū)動(dòng)器輸入端到光柵尺輸出端的傳遞函數(shù)模型,采樣率為1kHz.

式(33)為兩個(gè)軸的連續(xù)傳遞函數(shù),圖5所示為系統(tǒng)伯德圖.可以看出,x軸和y軸的帶寬分別為0.164Hz和0.162Hz.

圖5 x軸和y軸的伯德圖Fig.5 Bode plot of x and y axis

商用控制器通常是針對各軸單獨(dú)設(shè)計(jì).由于各軸之間的運(yùn)動(dòng)不同步,產(chǎn)生輪廓誤差.本文提出的融合反饋PID和前饋PDCCILC的主從交叉耦合迭代學(xué)習(xí)控制器通過該實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的非線性輪廓跟蹤中驗(yàn)證控制性能.

3.2 收斂條件矩陣的計(jì)算驗(yàn)證

本文的仿真和實(shí)驗(yàn)部分將采用圖6所示的三組典型非線性參考輪廓.

圖6(a)～6(c)為輪廓從原點(diǎn)開始沿箭頭方向移動(dòng),圖6(d)～6(f)分別為三組輪廓對應(yīng)的時(shí)間軸上x軸和y軸的位置.

三組參考輪廓時(shí)長均設(shè)置為12s,將仿真和實(shí)驗(yàn)步長設(shè)置為0.005s,則單調(diào)收斂性公式(30)所述的單調(diào)收斂條件矩陣的維度是4800×2400.這在普通計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)和計(jì)算能力范圍之內(nèi).如果矩陣維度太大,可以參考文獻(xiàn)[12]中的分解矩陣方法分部計(jì)算.

接著是PID和PDCCILC的參數(shù)選擇.反饋PID設(shè)計(jì)中,采用Ziegler-Nichols來整定PID參數(shù).前饋PDCCILC設(shè)計(jì)中,如文獻(xiàn)[22]所述,PID型學(xué)習(xí)函數(shù)的參數(shù)最常用的確定方法是試湊法,確定幾組不同PID增益,代入式(30),確定滿足條件后通過仿真結(jié)果確定實(shí)驗(yàn)參數(shù).

從收斂條件計(jì)算、仿真和實(shí)驗(yàn)三個(gè)方面,分別對本文提出的PDCCILC和PID,與TDCCILC和PID、TDILC和PID、PDILC和PID三種控制策略進(jìn)行對比.這四組的所有參數(shù)設(shè)置一樣,由表1列出.在TDCCILC和PDCCILC的設(shè)計(jì)中,需要計(jì)算輪廓的耦合算子,針對本文中的三種典型非線性輪廓,仿真和實(shí)驗(yàn)部分均采用文獻(xiàn)[19]的向量估算法計(jì)算耦合算子,并比較在存在估算誤差情況下的這兩種控制器的效果.

表1 控制器參數(shù)Table 1 Controller parameters

圖6 參考輪廓Fig.6 Reference contours

文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[15]對PDC和CCC進(jìn)行了充分對比,且文獻(xiàn)[10?12]驗(yàn)證了CCILC相比其他控制策略的優(yōu)越性.因此本文將主要關(guān)注PDCCILC和TDCCILC在非線性輪廓跟蹤情況下的優(yōu)勢對比.而PDILC和PID與TDILC和PID這兩組用來驗(yàn)證CCC引入PDCCILC控制器后的有效性.

這四種控制器的收斂性公式計(jì)算結(jié)果由表2列出,結(jié)果表明式(30)的上確界條件均滿足＜1.因此,所選參數(shù)可以滿足單調(diào)收斂性條件.

表2 單調(diào)收斂的計(jì)算結(jié)果Table 2 Computational results of monotonic convergence

3.3 仿真分析

采用表1的PID增益和學(xué)習(xí)函數(shù),對三種典型的非線性輪廓的跟蹤在MATLAB軟件環(huán)境中進(jìn)行數(shù)值仿真.

1)半圓輪廓

圖7為上述四種控制器下的均方根誤差迭代歷程.結(jié)果表明,PDCCILC和PID控制器效果最優(yōu),從初始到穩(wěn)態(tài)的迭代過程減少了93%的輪廓誤差均方根值.另外,TDCCILC和PID在迭代過程中的控制效果其次.

圖7 半圓輪廓跟蹤均方根輪廓誤差的仿真結(jié)果(RMS)Fig.7 RMS contour error versus iteration for the semi-circle contour in the simulations

圖8 半圓輪廓跟蹤的穩(wěn)態(tài)仿真結(jié)果Fig.8 Steady tracking results of the semi-circle contour in the simulations

圖8為半圓輪廓跟蹤的穩(wěn)態(tài)結(jié)果.其中,圖8(a)為xy平面的整體跟蹤結(jié)果,圖8(b)為相對x軸位置的輪廓誤差,圖8(c)和圖8(d)分別為圖8(a)中A和B部分的局部放大圖.由圖8(b)～8(d)可知,在PDCCILC和PID控制下,輪廓誤差最平穩(wěn),且兩個(gè)局部放大部分的軌跡最接近參考軌跡.

2)拋物線輪廓

圖9和圖10為拋物線輪廓跟蹤的仿真結(jié)果.

圖9 拋物線輪廓跟蹤的仿真均方根輪廓誤差(RMS)Fig.9 RMS contour error versus iteration for the semi-circle contour in the simulations

由圖9可知,PDCCILC和PID控制下效果最優(yōu),從初始到最終迭代減少了93%的均方根輪廓誤差.與半圓輪廓跟蹤不同的是,PDILC和PID的效果優(yōu)于其他兩種控制器.

圖10為最后一次迭代的跟蹤效果.其中,圖10(a)為xy平面的整體跟蹤位置,圖10(b)為相對x軸位置的輪廓誤差,圖10(c)和圖10(d)分別為圖10(a)中A和B部分的局部放大圖.由圖10(b)可知,拋物線輪廓位置域控制的輪廓誤差比時(shí)域控制更平穩(wěn).圖10(c)和圖10(d)則表明PDCCILC和PID控制在輪廓過渡處仍能達(dá)到最佳性能.

3)螺旋線輪廓

圖11和圖12為螺旋線輪廓跟蹤的仿真結(jié)果.

由圖11可知,PDCCILC和PID控制器跟蹤效果最優(yōu),從初始到最終迭代減少了98%的均方根輪廓誤差.而TDCCILC和PID與PDILC和PID則達(dá)到相近的效果.

圖12(a)為xy平面的整體跟蹤結(jié)果,圖12(b)為相對x軸位置的輪廓誤差,圖12(c)和圖12(d)分別為圖12(a)中A和B部分的局部放大圖.對比以上四種控制器下的三種非線性輪廓跟蹤仿真結(jié)果可知,PDCCILC和PID對這三種典型輪廓均達(dá)到最優(yōu)的控制效果,從初始狀態(tài)到穩(wěn)態(tài)狀態(tài)的誤差減小量均達(dá)到初始量的90%以上.而單獨(dú)的PDC或者CCC不能保證一致的跟蹤優(yōu)勢.

圖10 拋物線輪廓跟蹤的穩(wěn)態(tài)仿真結(jié)果Fig.10 Steady tracking results of the parabolic contour in the simulations

圖11 螺旋線輪廓跟蹤的仿真均方根輪廓誤差(RMS)Fig.11 RMS contour error versus iteration for the spiral contour in the simulations

圖12 螺旋線輪廓跟蹤的穩(wěn)態(tài)仿真結(jié)果Fig.12 Steady tracking results of the spiral contour in the simulations

圖13 半圓輪廓跟蹤的實(shí)驗(yàn)均方根輪廓誤差(RMS)Fig.13 RMS contour error versus iteration for the semi-circle contour in the experiments

圖14 半圓輪廓跟蹤的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.14 Tracking results of the semi-circle contour in the experiments

圖15 拋物線輪廓跟蹤的實(shí)驗(yàn)均方根輪廓誤差(RMS)Fig.15 RMS contour error versus iteration for the parabolic contour in the experiments

3.4 實(shí)驗(yàn)分析

以上所有的仿真案例都在圖4所示的物理平臺(tái)上進(jìn)行了實(shí)驗(yàn),以驗(yàn)證上述結(jié)果.

1)半圓輪廓

圖13和圖14為半圓輪廓跟蹤的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.由圖13可知,在PDCCILC和PID控制下達(dá)到了最小的穩(wěn)態(tài)誤差和最快的收斂速度,迭代過程中減少了97%的均方根輪廓誤差值,且其收斂到穩(wěn)態(tài)值約為25次迭代.由于實(shí)際系統(tǒng)模型辨識(shí)的不確定性,實(shí)驗(yàn)結(jié)果中,均方根誤差的數(shù)值相比仿真結(jié)果有所增大.減少了98%的均方根輪廓誤差;且具有最快的收斂速度,少于20次迭代.

圖16 拋物線輪廓跟蹤的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.16 Tracking results of the parabolic contour in the experiments

結(jié)合仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知,PDCCILC和PID控制器在采用輪廓誤差向量估算法計(jì)算耦合算子(即耦合算子計(jì)算不精確)的情況下,能對三種非線性輪廓的跟蹤誤差最小,且收斂速度較快.這四種控制器下的三種非線性輪廓跟蹤的具體統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)(均方根值和最大值)詳見表3.

圖17 螺旋線輪廓跟蹤的實(shí)驗(yàn)均方根輪廓誤差(RMS)Fig.17 RMS contour error versus iteration for the spiral contour in the experiments

2)拋物線輪廓

圖15和圖16為拋物線輪廓跟蹤的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.由圖15可知,PDCCILC和PID在迭代過程中減少了93%的均方根輪廓誤差,比TDCCILC和PID控制下多16%.圖16的結(jié)果也與圖10的仿真結(jié)果一致.

3)螺旋線輪廓

圖17和圖18為螺旋線輪廓跟蹤的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

由圖17可知,PDCCILC和PID達(dá)到最小的穩(wěn)態(tài)輪廓誤差,約為1.552μm,在整個(gè)迭代過程中

4 結(jié)論

本文提出了融合反饋PID和前饋PDCCILC的主從交叉耦合迭代學(xué)習(xí)控制的基本框架,并驗(yàn)證了該控制器下對三種典型非線性輪廓的跟蹤性能.基于Lifting系統(tǒng)矩陣時(shí)域展開方法討論了控制閉環(huán)的收斂性.對半圓、拋物線和螺旋線輪廓跟蹤的仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,PDCCILC和PID控制系統(tǒng)從最初迭代到最終迭代減少了90%以上的均方根誤差.通過對比PDCCILC和PID,TDCCILC和PID,PDILC和PID以及TDILC和PID這四種控制器下的仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果,在耦合增益計(jì)算不精確的情況下,本文提出的PDCCILC和PID達(dá)到了最小的穩(wěn)態(tài)誤差和最快的收斂速度.

圖18 螺旋線輪廓跟蹤的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.18 Tracking results of the spiral contour in the experiments

表3 四種控制器下的三種非線性輪廓跟蹤結(jié)果實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)(μm)Table 3 Experimental statistics of tracking performance(μm)

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A Master-slave Cross-coupled Iterative Learning Control for Repetitive Tracking of Nonlinear Contours in Multi-axis Precision Motion Systems

LING Jie1MING Min1FENG Zhao1XIAO Xiao-Hui1

In traditional time domain cross-coupled iterative learning control(CCILC)design,the requirements of high calculation accuracy of coupling gains between axes and low computational eきciency restrict its application to nonlinear contour tracking in repetitive tasks.This paper presents a master-slave cross-coupled iterative learning control.Based on the master-slave control design concept,the master motion axis applies time domain CCILC,while the slave motion axis adopts position domain CCILC(PDCCILC).The proposed PDCCILC control can improve synchronization between axes as well as relieve the dependence on accuracy of coupling gains,therefore,the eきcient contour error vector method can be adopted to estimate the coupling gains.both stability and performance analyses are conducted using the lifted system representation method.Simulation and experimental results of the three typical nonlinear contour tracking cases(i.e.,semi-circle,parabola and spiral)with a two-axis micro-motion stage have demonstrated superiority and eきcacy of the proposed controller.

Mater-slave control,position domain,iterative learning control,nonlinear contour tracking,multi-axis motion systems

Ling Jie,Ming Min,Feng Zhao,Xiao Xiao-Hui.A master-slave cross-coupled iterative learning control for repetitive tracking of nonlinear contours in multi-axis precision motion systems.Acta Automatica Sinica,2017,43(12):2127?2140

2016-10-18 錄用日期2016-12-27

October 18,2016;accepted December 27,2016

國家自然科學(xué)基金(51375349)資助

Supported by National Natural Science Foundation of China(51375349)

本文責(zé)任編委侯忠生

Recommended by Associate Editor HOU Zhong-Sheng

1.武漢大學(xué)動(dòng)力與機(jī)械學(xué)院武漢430000

1.School of Power and Mechanical Engineering,Wuhan University,Wuhan 430000

凌杰,明敏,馮朝,肖曉暉.多軸運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)非線性輪廓重復(fù)跟蹤的主從交叉耦合迭代學(xué)習(xí)控制.自動(dòng)化學(xué)報(bào),2017,43(12):2127?2140

DOI10.16383/j.aas.2017.c160725

凌 杰 武漢大學(xué)動(dòng)力與機(jī)械學(xué)院博士研究生.主要研究方向?yàn)榫苓\(yùn)動(dòng)控制,迭代學(xué)習(xí)控制,微納定位臺(tái)設(shè)計(jì)與控制.

E-mail:jamesling@whu.edu.cn

(LING Jie Ph.D.candidate at the School of Power and Mechanical Engineering,Wuhan University.His research interest covers precise motion control,iterative learning control applications as well as design and control of nano-positioning systems.)

明 敏 武漢大學(xué)動(dòng)力與機(jī)械學(xué)院博士研究生.主要研究方向?yàn)閴弘娞沾蛇t滯控制,迭代學(xué)習(xí)控制,微納操作機(jī)器人.

E-mail:mingmin-whu@whu.edu.cn

(MING Min Ph.D.candidate at the School of Power and Mechanical Engineering,Wuhan University.Her research interest covers hysteresis control,iterative learning control,and nano-positioner.)

馮 朝 武漢大學(xué)動(dòng)力與機(jī)械學(xué)院博士研究生.主要研究方向?yàn)閯?dòng)控制,迭代學(xué)習(xí)控制,微納操作機(jī)器人.

E-mail:fengzhaozhao7@whu.edu.cn

(FENG Zhao Ph.D.candidate at the School of Power and Mechanical Engineering,Wuhan University.His research interest covers vibration damping control,iterative learning control,nano-positioning and robotics.)

肖曉暉 武漢大學(xué)動(dòng)力與機(jī)械學(xué)院教授.2005年獲得華中科技大學(xué)機(jī)械工程博士學(xué)位.主要研究方向?yàn)闄C(jī)器人學(xué),高精定位控制.本文通信作者.

E-mail:xhxiao@whu.edu.cn

(XIAO Xiao-HuiProfessor at the School of Power and Mechanical Engineering,Wuhan University.She received her Ph.D.degree in mechanical engineering from Huazhong University of Science and Technology in 2005.Her current research interest covers mobile robotics and high-precision positioning control.Corresponding author of this paper.)