朱書軍 劉偉峰,2 崔海龍

基于廣義標(biāo)簽多伯努利濾波的可分辨群目標(biāo)跟蹤算法

朱書軍1劉偉峰1,2崔海龍1

針對(duì)雜波條件下可分辨群目標(biāo)的狀態(tài)估計(jì)、目標(biāo)個(gè)數(shù)與子群個(gè)數(shù)估計(jì)問(wèn)題,提出了一種基于標(biāo)簽隨機(jī)有限集(Label random fi nite set,L-RFS)框架下的可分辨群目標(biāo)跟蹤算法,該算法主要包括兩個(gè)方面:可分辨多群目標(biāo)動(dòng)態(tài)建模和多群目標(biāo)的跟蹤估計(jì).本文工作主要包括:1)結(jié)合圖論中的鄰接矩陣對(duì)可分辨群目標(biāo)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)建模.2)利用基于L-RFS的廣義標(biāo)簽多伯努利濾波(Generalizes label multi-Bernoulli,GLMB)算法對(duì)目標(biāo)的狀態(tài)和個(gè)數(shù)進(jìn)行估計(jì),并且通過(guò)估計(jì)鄰接矩陣得到群的結(jié)構(gòu)和個(gè)數(shù)估計(jì).3)通過(guò)個(gè)數(shù)不同、結(jié)構(gòu)不同的三個(gè)子群目標(biāo)在二維平面分別做線性和非線性運(yùn)動(dòng)進(jìn)行算法驗(yàn)證.仿真分析表明本文算法能夠準(zhǔn)確估計(jì)出群目標(biāo)中各目標(biāo)的狀態(tài)、個(gè)數(shù)以及子群的個(gè)數(shù),并且能獲得目標(biāo)的航跡估計(jì).

可分辨群目標(biāo)跟蹤,廣義標(biāo)簽多伯努利濾波,鄰接矩陣,隨機(jī)有限集,圖論

在傳統(tǒng)的跟蹤系統(tǒng)中,由于被跟蹤目標(biāo)距離雷達(dá)較遠(yuǎn)并且雷達(dá)的分辨率不足,在雷達(dá)屏幕上被跟蹤目標(biāo)顯示為一個(gè)點(diǎn)源信號(hào),通常假設(shè)被跟蹤目標(biāo)為一個(gè)點(diǎn)目標(biāo).所以,在傳統(tǒng)的多目標(biāo)跟蹤算法中,假設(shè)被跟蹤目標(biāo)最多產(chǎn)生一個(gè)量測(cè),例如概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)(Probabilistic data association,PDA)算法[1]、聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)(Joint probabilistic data association,JPDA)算法[2?3]、多假設(shè)跟蹤(Multiple hypothesis tracking,MHT)算法[4?5].群目標(biāo)由多個(gè)相互協(xié)作的目標(biāo)構(gòu)成,并保持著一定的結(jié)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)[6?7],如圖1所示.該群目標(biāo)由三個(gè)子目標(biāo)組成,當(dāng)雷達(dá)距離該群目標(biāo)較遠(yuǎn)時(shí),即使各子目標(biāo)產(chǎn)生一個(gè)量測(cè),該群目標(biāo)也將產(chǎn)生多個(gè)量測(cè),即能夠在一個(gè)整體的群目標(biāo)中獲得多個(gè)量測(cè).從單群目標(biāo)角度來(lái)看,這使得基于一個(gè)目標(biāo)至多產(chǎn)生一個(gè)量測(cè)假設(shè)的傳統(tǒng)跟蹤算法不再適用.另一方面,隨著現(xiàn)代傳感器技術(shù)的不斷發(fā)展,雷達(dá)的分辨率日益提升使得傳感器足以獲得實(shí)際目標(biāo)大致輪廓.例如高分辨率雷達(dá)能夠從單個(gè)目標(biāo)中獲得多個(gè)量測(cè),通常稱這種目標(biāo)為擴(kuò)展目標(biāo),如圖2所示,通常從目標(biāo)機(jī)翼、機(jī)首和機(jī)尾等容易反射雷達(dá)波的位置獲得多個(gè)量測(cè).在動(dòng)態(tài)建模、狀態(tài)估計(jì)和個(gè)數(shù)估計(jì)問(wèn)題上,群目標(biāo)和擴(kuò)展目標(biāo)都面臨著許多相似的科學(xué)問(wèn)題:1)它們都具有一定的形狀,且都產(chǎn)生多個(gè)量測(cè).2)量測(cè)之間的距離都小于跟蹤門的門限,使得傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法面臨挑戰(zhàn).為了便于描述,本文將群目標(biāo)和擴(kuò)展目標(biāo)統(tǒng)稱為群目標(biāo).

圖1 群目標(biāo)(“+”表示量測(cè))Fig.1 The group target(“+” denotes measurement)

圖2 擴(kuò)展目標(biāo)(“+”表示量測(cè))Fig.2 The extended target(“+” denotes measurement)

當(dāng)群目標(biāo)產(chǎn)生的量測(cè)位于傳感器同一個(gè)分辨單元內(nèi)時(shí),我們認(rèn)為該群目標(biāo)不可分辨,稱為不可分辨群目標(biāo).在文獻(xiàn)[8]中,Koch引進(jìn)了不可分辨擴(kuò)展目標(biāo)的概念并且結(jié)合隨機(jī)矩陣?yán)碚揫9?10]提出了基于經(jīng)典貝葉斯框架下的擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤算法,該算法將基于傳統(tǒng)的卡爾曼濾波單點(diǎn)源目標(biāo)跟蹤算法擴(kuò)展到單個(gè)擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤.使用該算法可以得到擴(kuò)展目標(biāo)的形心點(diǎn),同時(shí)通過(guò)估計(jì)二階矩獲得擴(kuò)展目標(biāo)的近似橢圓形狀.該方法在無(wú)雜波環(huán)境下跟蹤單個(gè)擴(kuò)展目標(biāo).

在文獻(xiàn)[11]中,提出了基于貝葉斯框架的多群目標(biāo)跟蹤算法,該算法以群目標(biāo)的整體運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)為跟蹤對(duì)象,通過(guò)建立群目標(biāo)的中心和觀測(cè)量之間的相互作用約束模型來(lái)估計(jì)目標(biāo)數(shù)目和目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài),該方法不能形成目標(biāo)航跡并且無(wú)結(jié)構(gòu)估計(jì)問(wèn)題.在文獻(xiàn)[12]中,提出了基于箱式粒子濾波的群目標(biāo)跟蹤算法,該算法基于廣義似然函數(shù)加權(quán)的粒子濾波算法,即在原有的粒子濾波算法的基礎(chǔ)上,利用廣義似然函數(shù)的積分解來(lái)計(jì)算區(qū)間量測(cè)下的粒子權(quán)重,從而獲得群目標(biāo)的狀態(tài)估計(jì),該算法屬于點(diǎn)集估計(jì),不能獲得群目標(biāo)中各目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡.在文獻(xiàn)[13]中,Baum等引進(jìn)了隨機(jī)超面模型,通過(guò)假設(shè)每個(gè)量測(cè)源是隨機(jī)生成的超曲面中的一個(gè)元素,從而對(duì)擴(kuò)展目標(biāo)進(jìn)行跟蹤估計(jì).在文獻(xiàn)[7]中,針對(duì)多個(gè)固定個(gè)數(shù)的擴(kuò)展目標(biāo)問(wèn)題,提出了采用隨機(jī)采樣的方法進(jìn)行擴(kuò)展目標(biāo)的狀態(tài)估計(jì).

隨機(jī)有限集理論為解決群目標(biāo)跟蹤問(wèn)題提供了另一種解決思路.在文獻(xiàn)[14?15]中,Gilholm和Salmond首次提出了基于泊松分布的擴(kuò)展目標(biāo)模型.Mahler提出了擴(kuò)展目標(biāo)概率假設(shè)密度(Extended target probability density,ET-PHD)[16],該方法可以同時(shí)獲得目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)和個(gè)數(shù)估計(jì),并且該方法不需要考慮數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián).在文獻(xiàn)[17?18]中,Granstr¨om 等提出了高斯混合擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤(Gaussian mixture extended target PHD,GMET-PHD)算法.在文獻(xiàn)[19]中,Orguner等提出了針對(duì)擴(kuò)展目標(biāo)的勢(shì)概率假設(shè)密度(Extended target cardinality PHD,ET-CPHD).在文獻(xiàn)[20]中,提出了一種針對(duì)群目標(biāo)的跟蹤算法,該算法基于序列蒙特卡洛概率假設(shè)密度濾波器(Sequential Monte Carlo probability hypothesis density fi lter,SMC-PHDF),并用高斯混合模型(Gaussian mixture models,GMM)擬合SMC-PHDF中經(jīng)重采樣后的粒子分布,通過(guò)估計(jì)混合模型的參數(shù)獲得質(zhì)心狀態(tài)、形狀和群個(gè)數(shù)估計(jì).在文獻(xiàn)[21]中,將基于勢(shì)平衡多伯努利濾波(Cardinality balanced multitarget multi-Bernoulli,CBMeMBer)算法推廣到擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤算法,并且給出了高斯混合條件下的算法.文獻(xiàn)[22]使用圖論結(jié)合蒙特卡洛方法估計(jì)出群目標(biāo)的狀態(tài),但是該方法局限于目標(biāo)個(gè)數(shù)是固定的情況.在文獻(xiàn)[23]中,Ristic等提出了針對(duì)擴(kuò)展目標(biāo)的伯努利濾波算法(Extended target Bernoulli fi lter,ET-BF),用于跟蹤單個(gè)擴(kuò)展目標(biāo).在文獻(xiàn)[24?25]中提出了廣義標(biāo)簽多伯努利濾波(GLMB)多目標(biāo)跟蹤算法,GLMB濾波器不僅擁有CPHD和PHD濾波器的優(yōu)點(diǎn),并且GLMB濾波算法能夠通過(guò)給各目標(biāo)添加一個(gè)獨(dú)有的標(biāo)簽來(lái)獲得各目標(biāo)的軌跡估計(jì).文獻(xiàn)[26]將GLMB多目標(biāo)濾波算法擴(kuò)展到多擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤算法,但該算法只針對(duì)擴(kuò)展目標(biāo),不涉及群結(jié)構(gòu)估計(jì)問(wèn)題.

傳統(tǒng)群目標(biāo)估計(jì)算法一般假設(shè)目標(biāo)個(gè)數(shù)固定且不受雜波干擾.基于隨機(jī)有限集(Random fi nite set,RFS)的估計(jì)算法可以有效解決上述問(wèn)題,并且能夠有效避免數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)分配過(guò)程.從這個(gè)角度來(lái)講,RFS更適合于解決群目標(biāo)的跟蹤問(wèn)題.為了得到各目標(biāo)的軌跡估計(jì),本文在標(biāo)簽RFS(Label RFS,L-RFS)框架下,采用GLMB濾波算法.由于現(xiàn)有的群目標(biāo)跟蹤算法中,都不涉及可分辨群目標(biāo)的結(jié)構(gòu)估計(jì)問(wèn)題.因此,本文擬通過(guò)引進(jìn)圖理論來(lái)描述該群目標(biāo)的結(jié)構(gòu).

可分辨群目標(biāo)產(chǎn)生的多個(gè)量測(cè)位于傳感器不同的分辨單元中.相對(duì)于不可分辨群目標(biāo)(或部分可分辨群目標(biāo)),可分辨群目標(biāo)運(yùn)動(dòng)不僅存在協(xié)作關(guān)系,并且目標(biāo)之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系需要估計(jì).隨著高分辨率雷達(dá)的廣泛使用,針對(duì)可分辨群目標(biāo)的跟蹤估計(jì)也越來(lái)越重要.在此,本文采用了圖理論結(jié)合GLMB濾波算法對(duì)可分辨群目標(biāo)進(jìn)行跟蹤.首先,借助圖理論對(duì)可分辨群目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)建模.在此基礎(chǔ)上,再對(duì)可分辨群目標(biāo)跟蹤估計(jì).具體而言:1)由于起始階段群目標(biāo)之間的協(xié)作關(guān)系未知,因此假設(shè)群目標(biāo)之間是獨(dú)立的并采用GLMB濾波算法獲得各目標(biāo)的狀態(tài)估計(jì)和軌跡估計(jì)以及目標(biāo)的個(gè)數(shù)估計(jì).2)在獲得群目標(biāo)中各成員的狀態(tài)估計(jì)基礎(chǔ)上,通過(guò)計(jì)算每時(shí)刻的偏差矩陣估計(jì)獲得鄰接矩陣估計(jì),并通過(guò)鄰接矩陣得到群的結(jié)構(gòu)關(guān)系.再利用圖理論中連通圖的概念估計(jì)子群個(gè)數(shù).

本文是文獻(xiàn)[27]的后續(xù)研究工作.文獻(xiàn)[27]只給出了群目標(biāo)的動(dòng)態(tài)建模方法以及獲得群目標(biāo)中各成員的狀態(tài)估計(jì)方法.本文在文獻(xiàn)[27]的基礎(chǔ)上,對(duì)群目標(biāo)鄰接矩陣估計(jì)方法進(jìn)行了分析說(shuō)明,從而能夠獲得群目標(biāo)的結(jié)構(gòu)信息,并且本文給出了非線性可分辨群目標(biāo)估計(jì)的方法.實(shí)驗(yàn)結(jié)果較文獻(xiàn)[27]更為全面.

本文使用的定義和一些數(shù)學(xué)符號(hào)約定如下:〈f,g〉=?f(x)g(x)dx表示f和g的內(nèi)積.[h(·)]X=∏x∈Xh(x)為多目標(biāo)的冪形式,按照約定,當(dāng)X=?時(shí),該式等于1,并且X 可以為向量或集合.多目標(biāo)環(huán)境下的Kronecker delta函數(shù)和指示函數(shù)如下所示

其中,X和Y表示集合.為了便于區(qū)分,XXX和X分別表示帶標(biāo)簽集合和不帶標(biāo)簽集合,xxx和x分別表示帶標(biāo)簽向量和不帶標(biāo)簽向量,X和L分別表示狀態(tài)空間和離散標(biāo)簽空間.{(x1,l1),···,(xn,ln)}∈X×L表示標(biāo)簽隨機(jī)有限集XXX.GLMB濾波算法要求不同目標(biāo)的標(biāo)簽是不同的,因此,用下述表達(dá)式作為約束

其中,L(X)={L( x): x ∈X},L(x)=L((x,?))=?.

1 背景

1.1 隨機(jī)有限集(RFS)

多目標(biāo)環(huán)境下,在k時(shí)刻,目標(biāo)的個(gè)數(shù)和狀態(tài)可以用以下RFS表示[28]:

Xk不僅描述了目標(biāo)的狀態(tài)改變信息,還包括目標(biāo)消失、新目標(biāo)出生等目標(biāo)個(gè)數(shù)變化情況.因此,有限隨機(jī)變量Xk包含了多目標(biāo)的所有動(dòng)態(tài)信息.同理,可以建立如下觀測(cè)RFS[25]:

RFS Zk包含了雜波、目標(biāo)觀測(cè)以及漏檢信息.在式(1)和式(2)中,N(k)和M(k)分別表示k時(shí)刻目標(biāo)和量測(cè)個(gè)數(shù),X?Rnx和Z?Rnz為目標(biāo)狀態(tài)空間和觀測(cè)空間,F(X)和F(Z)分別為X和Z的所有有限子集構(gòu)成的集合.在k時(shí)刻,一些目標(biāo)會(huì)繼續(xù)存活并且狀態(tài)改變,一些目標(biāo)可能會(huì)再生出(Spawned)新目標(biāo),新目標(biāo)出生,一些目標(biāo)可能消亡,因此,可建立如下RFS狀態(tài)模型:

其中,Sk|k?1(x),Bk|k?1(x)和Γk分別表示目標(biāo)的存活、再生和新生RFS.

多目標(biāo)狀態(tài)RFS從k?1時(shí)刻到k時(shí)刻的變化可通過(guò)RFS轉(zhuǎn)移概率密度函數(shù)描述[29]

其中,πT,k|k?1(·|·)表示存活 RFS Tk|k?1的置信概率密度,πΓ,k(·)表示新生目標(biāo)的置信概率密度.

1.2 伯努利分布

單伯努利RFSX描述單個(gè)目標(biāo)狀態(tài)集,其概率密度如下

其中,r表示單個(gè)目標(biāo)x的存在的概率,p(x)為目標(biāo)x概率密度.

多伯努利RFSX可看作為固定個(gè)數(shù)且相互獨(dú)立的單伯努利RFSX(i)的聯(lián)合即各單伯努利存在概率為r(i),概率密度為p(i),對(duì)于有n個(gè)成員的隨機(jī)有限集{x1,···,xn},其多伯努利概率密度函數(shù)表示如下[26]

1.3 標(biāo)簽RFS

與傳統(tǒng)的RFS不同,標(biāo)簽RFS在目標(biāo)狀態(tài)x∈X添加了標(biāo)簽?∈L={αi:i∈N}變量,其中N表示目標(biāo)的個(gè)數(shù).標(biāo)簽多伯努利密度函數(shù)如下[22]

其標(biāo)簽多伯努利密度的簡(jiǎn)化描述形式為

2 問(wèn)題描述

與一般的多目標(biāo)問(wèn)題不同,可分辨群目標(biāo)中多個(gè)目標(biāo)以一定的協(xié)作模式運(yùn)動(dòng),各目標(biāo)按照一定的圖結(jié)構(gòu)模式協(xié)作運(yùn)動(dòng).為描述可分辨群目標(biāo)的結(jié)構(gòu),本文引進(jìn)圖理論描述群目標(biāo)中各節(jié)點(diǎn)(目標(biāo))間相互關(guān)系.該方法已經(jīng)在飛行器編隊(duì)控制和多代理控制方面得到了成功的應(yīng)用[30?31].

2.1 鄰接矩陣

定義1.圖是由兩個(gè)集合Ve和Ed組成,記為G=(Ve,Ed),其中Ve表示節(jié)點(diǎn)的非空有限集合,Ed表示邊的有限集合,當(dāng)這些邊有方向時(shí)則稱為有向圖,無(wú)方向時(shí)稱為無(wú)向圖.

借助圖結(jié)構(gòu)和群結(jié)構(gòu)的相似性,本文引進(jìn)了鄰接矩陣來(lái)描述可分辨群目標(biāo)結(jié)構(gòu).鄰接矩陣能夠描述群中目標(biāo)之間的協(xié)作關(guān)系,本文使用非對(duì)稱的鄰接矩陣,即鄰接矩陣描述相互聯(lián)系目標(biāo)的父子關(guān)系.目標(biāo)鄰接矩陣其中,當(dāng)?shù)趇個(gè)目標(biāo)是第j個(gè)目標(biāo)父節(jié)點(diǎn)時(shí),a(i,j)=1.其他情況,a(i,j)=0.例如,3個(gè)目標(biāo)構(gòu)成的群關(guān)系如圖3所示.則該群的鄰接矩陣如下

圖3 群目標(biāo)結(jié)構(gòu)模型Fig.3 The structure model of group target

2.2 系統(tǒng)模型

若每目標(biāo)存在單個(gè)父節(jié)點(diǎn)時(shí),可分辨群目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型如下

根據(jù)鄰接矩陣可以判斷出群中各目標(biāo)之間的連接及父子關(guān)系,如果某個(gè)目標(biāo)沒(méi)有父親節(jié)點(diǎn),則該目標(biāo)被稱作頭節(jié)點(diǎn),頭節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)會(huì)影響到其子目標(biāo),而頭節(jié)點(diǎn)自身運(yùn)動(dòng)不受其他目標(biāo)影響.因此,頭節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)模型中補(bǔ)償向量bk(l,i)=0,并且xk,l為它自身在k時(shí)刻的狀態(tài).否則,該目標(biāo)存在著父節(jié)點(diǎn)并且該目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)受其父節(jié)點(diǎn)影響,因此該目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型中補(bǔ)償向量bk(l,i)包含該節(jié)點(diǎn)與其父節(jié)點(diǎn)之間的方向和距離信息,當(dāng)目標(biāo)存在多個(gè)父節(jié)點(diǎn)時(shí),線性條件下xk+1,i表示如下其中,P(i)表示目標(biāo)i的所有父節(jié)點(diǎn).

例如,群目標(biāo)結(jié)構(gòu)模型如圖3所示,目標(biāo)1是頭節(jié)點(diǎn),目標(biāo)2和目標(biāo)3是目標(biāo)1的子節(jié)點(diǎn),那么群目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)模型如下假設(shè)權(quán)重ωk?1(l,i)為等權(quán)重,建立群目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型的主要步驟如下:

步驟1.遍歷群中所有1～n個(gè)節(jié)點(diǎn).

步驟2.通過(guò)鄰接矩陣找到該節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn).

步驟3.如果該節(jié)點(diǎn)存在父節(jié)點(diǎn)

步驟4.如果該節(jié)點(diǎn)不存在父節(jié)點(diǎn)

3 可分辨群目標(biāo)估計(jì)

δ-GLMB[24]濾波可以同時(shí)獲得群中各成員的狀態(tài)估計(jì).在獲得各成員的狀態(tài)估計(jì)的基礎(chǔ)上,再估計(jì)每時(shí)刻鄰接矩陣獲得可分辨群目標(biāo)的結(jié)構(gòu)關(guān)系,并通過(guò)鄰接矩陣得到子群個(gè)數(shù)估計(jì)和群狀態(tài)估計(jì).

3.1 群成員估計(jì)

由于群內(nèi)各成員之間的距離相對(duì)一般的多目標(biāo)比較接近,采用的基于RFS的濾波算法更適合群目標(biāo)跟蹤.為了獲得各目標(biāo)的軌跡估計(jì),選擇GLMB濾波算法對(duì)群目標(biāo)進(jìn)行跟蹤估計(jì).群目標(biāo)之間協(xié)作運(yùn)動(dòng),目標(biāo)之間的狀態(tài)并不獨(dú)立,由于起始階段的群目標(biāo)之間的協(xié)作關(guān)系未知,群結(jié)構(gòu)和狀態(tài)相互耦合.因此,我們采用一種兩階段的算法,在第一階段,把群目標(biāo)看作為獨(dú)立運(yùn)動(dòng).使用GLMB濾波算法估計(jì)目標(biāo)的狀態(tài)和個(gè)數(shù).標(biāo)準(zhǔn)GLMB的算法定義如下[24?25]:

其中,C表示離散變量,p(c)(·,?)表示目標(biāo)?的概率密度,設(shè)ω(c)(I)為權(quán)重并且滿足=1,F(L)為L(zhǎng)上所有有限子集的集合.該標(biāo)準(zhǔn)GLMB濾波算法在貝葉斯遞推下封閉[19].

為了便于計(jì)算,將式(13)變形為

式(14)稱為δ-GLMB.

例如,在k時(shí)刻,其中Ξ為空集,假設(shè)有以下兩種可能

1)有0.2的概率存在1個(gè)目標(biāo),標(biāo)簽為(0,2),即在k時(shí)刻存在目標(biāo)(0,2)(即0時(shí)刻產(chǎn)生的目標(biāo)2),并且該目標(biāo)的概率密度為p(·,(0,2))=N(·;m,P2).

2)有0.8的概率存在2個(gè)目標(biāo),標(biāo)簽分別為(1,1)和(0,2)(即1時(shí)刻產(chǎn)生的目標(biāo)1,0時(shí)刻產(chǎn)生的目標(biāo)2),概率密度分別為p(·,(1,1))=N(·;0,P1)和p(·,(0,2))=N(·;m,P2).

0時(shí)刻的δ-GLMB表達(dá)式為

預(yù)測(cè)步.當(dāng)多目標(biāo)的先驗(yàn)概率密度形式如式(14)所示時(shí),δ-GLMB的預(yù)測(cè)步為

其中其中,ωB(I+∩B)是新生標(biāo)簽I+∩B的權(quán)重,是存活標(biāo)簽(I+∩L)的權(quán)重.pB(·,?)是新生目標(biāo)的概率密度,p(Sξ)(x,?)是由先驗(yàn)密度p(ξ)(·,?) 得到的存活目標(biāo)的密度.f(·|·,?) 表示存活目標(biāo)的概率密度.

更新步.如果多目標(biāo)的預(yù)測(cè)密度如式(14)所示時(shí),則更新步為

其中,在一個(gè)固定的 (I,ξ) 中,Θ(M)={ξ(1),···,ξ(M)}集合表示在最大權(quán)重ω(I,ξ,θ(i))時(shí)的 Θ 的M個(gè)元素.為截?cái)嗪蟮臍w一化權(quán)重.

3.2 鄰接矩陣和群個(gè)數(shù)估計(jì)

在獲得可分辨群目標(biāo)中各成員狀態(tài)估計(jì)的基礎(chǔ)上,通過(guò)各時(shí)刻鄰接矩陣估計(jì)來(lái)得到各群目標(biāo)的結(jié)構(gòu)信息.

1)偏差矩陣估計(jì):通過(guò)GLMB濾波算法獲得各個(gè)目標(biāo)的狀態(tài)估計(jì),表示在k時(shí)刻的群目標(biāo)的狀態(tài)估計(jì)集.為了得到k時(shí)刻群的結(jié)構(gòu),首先估計(jì)k時(shí)刻的鄰接矩陣,由于鄰接矩陣不能直接得到,引入了偏差矩陣表示各目標(biāo)之間狀態(tài)的差值.使用目標(biāo)的狀態(tài)估計(jì)獲得偏差矩陣估計(jì)

其中,dk(i,j)定義如下向量2范數(shù)

通過(guò)式(11)中的偏差向量bk(l,i)和偏差矩陣以估計(jì)鄰接矩陣.本文通過(guò)以下方法得到每時(shí)刻的鄰接矩陣估計(jì).

其中,ηλ表示ηk(i,j)的閾值,當(dāng)ηk(i,j)小于該閾值時(shí),?Adk(i,j)等于1,反之為0.Qk,n為過(guò)程噪聲的協(xié)方差陣.

這樣可以得到每時(shí)刻可分辨群目標(biāo)的鄰接矩陣估計(jì).由dk(i,j)定義可知dk(i,j)=dk(j,i),因此偏差矩陣估計(jì)是一個(gè)對(duì)稱矩陣.而鄰接矩陣估計(jì)由偏差矩陣估計(jì)得到,因此鄰接矩陣估計(jì)也是對(duì)稱的.由對(duì)稱的鄰接矩陣得到的是無(wú)向圖,無(wú)向圖可以獲得圖中各節(jié)點(diǎn)的相互聯(lián)系信息卻不能獲得節(jié)點(diǎn)之間的父子關(guān)系.為了得到相互聯(lián)系目標(biāo)之間的身份,我們做出以下假定:兩個(gè)協(xié)作運(yùn)動(dòng)的目標(biāo),在前方的目標(biāo)為父節(jié)點(diǎn).這種規(guī)定是符合現(xiàn)實(shí)中的真實(shí)情況的(父節(jié)點(diǎn)往往運(yùn)動(dòng)在子節(jié)點(diǎn)的前面).例如,假設(shè)兩個(gè)運(yùn)動(dòng)中的群如圖4所示.

在圖4的兩組群目標(biāo)中,群1向上運(yùn)動(dòng),目標(biāo)A在目標(biāo)B的前方,因此,目標(biāo)A是目標(biāo)B的父節(jié)點(diǎn).群2向下運(yùn)動(dòng),且目標(biāo)C在目標(biāo)D的前方,因此,目標(biāo)C是目標(biāo)D的父節(jié)點(diǎn).

由集合的性質(zhì)可知集合中的元素沒(méi)有順序之分.因此,在同一時(shí)刻針對(duì)同一個(gè)群,通過(guò)群的的狀態(tài)估計(jì)集合得到的鄰接矩陣估計(jì)并不是固定的.為了判斷兩個(gè)不同的鄰接矩陣是否描述同一個(gè)群,本文引入了同構(gòu)的概念[32].

圖4 目標(biāo)之間依賴關(guān)系Fig.4 The dependencies of targets

定義2.G1=(Ve1,Ed1)和G2=(Ve2,Ed2)分別表示兩個(gè)圖.如果存在一個(gè)雙射函數(shù)?:Ve1→Ve2,并且針對(duì)所有的節(jié)點(diǎn)vei,vej∈Ve1有veivej∈Ed1??(vei)?(vej)∈Ed2,那么,稱G1和G2同構(gòu),并記G1?G2,因此,如果兩個(gè)鄰接矩陣是同構(gòu)的,則它們是相互等價(jià)的.

2)子群個(gè)數(shù)估計(jì):實(shí)際上,子群的個(gè)數(shù)估計(jì)等價(jià)于對(duì)群進(jìn)行劃分.圖5給出了群目標(biāo)示例,圖中總共11個(gè)目標(biāo)構(gòu)成了三個(gè)子群目標(biāo).目標(biāo)狀態(tài)集合的元素次序是不相關(guān)的,因此相應(yīng)的鄰接矩陣也會(huì)隨著時(shí)間變化.從圖5可知,每個(gè)子群被視作一個(gè)連通圖,即群中任意兩點(diǎn)是連通的,但整個(gè)群并不是一個(gè)連通圖,因?yàn)樽尤?、子群2和子群3之間沒(méi)有相互聯(lián)系,稱這些多個(gè)連通圖組成的非連通圖為森林.受此啟發(fā),采用連通圖的概念去估計(jì)子群的個(gè)數(shù).因此,首先定義了如下的Laplacian矩陣

其中,Ek是對(duì)稱矩陣并且等于diag{ek,1,···,ek,nk},其中ek,i表示圖中頂點(diǎn)vk,i的自由度即連接到該頂點(diǎn)的邊數(shù).?Adk是鄰接矩陣估計(jì).子群的個(gè)數(shù)等價(jià)于森林中連通圖的個(gè)數(shù),即可用下述引理表示[33].

圖5 三個(gè)群目標(biāo)結(jié)構(gòu)Fig.5 Three group targets structure

引理1.在Laplacian矩陣的特征值中,0出現(xiàn)的次數(shù)即為連通圖的個(gè)數(shù),即群目標(biāo)中子群個(gè)數(shù).

3.3 非線性可分辨群目標(biāo)估計(jì)

針對(duì)非線性目標(biāo)系統(tǒng),給出如下群目標(biāo)的動(dòng)態(tài)模型

其中,假設(shè)補(bǔ)償向量是加性的.對(duì)比式(11)和式(28)可以發(fā)現(xiàn)非線性系統(tǒng)和線性系統(tǒng)是類似的,其中補(bǔ)償向量bk(l,i)也包含子目標(biāo)與父目標(biāo)之間的偏差.與線性系統(tǒng)不同的是目標(biāo)的狀態(tài)方程屬于非線性函數(shù).同樣,假設(shè)各目標(biāo)之間是相互獨(dú)立的,采用UKF-GLMB濾波器來(lái)估計(jì)出各目標(biāo)的狀態(tài).最后使用與線性系統(tǒng)下相同的方法估計(jì)出群的結(jié)構(gòu)與子群個(gè)數(shù).其中,UKF-GLMB算法如下:

算法1.UKF算法

步驟1.構(gòu)造目標(biāo)n初始sigma點(diǎn)

1)噪聲擴(kuò)維初始狀態(tài)點(diǎn)

2)構(gòu)造2ns+1個(gè)擴(kuò)維Sigma狀態(tài)點(diǎn)

3)Sigma狀態(tài)點(diǎn)權(quán)重

步驟2.預(yù)測(cè)步

1)預(yù)測(cè)一階矩:Sigma點(diǎn)狀態(tài)預(yù)測(cè)及目標(biāo)狀態(tài)預(yù)測(cè)點(diǎn)

2)預(yù)測(cè)二階矩:目標(biāo)狀態(tài)協(xié)方差陣

步驟 3.狀態(tài)–量測(cè)互協(xié)方差陣Sk,n及增益Kk,n計(jì)算

步驟4.更新步

算法 2.UKF- δ-GLMB 算法

步驟1.給定初始Sigma點(diǎn):

步驟2.Sigma 點(diǎn)參數(shù)預(yù)測(cè):

步驟 3.Sigma點(diǎn)參數(shù)更新:獲取目標(biāo)狀態(tài)協(xié)方差矩陣目標(biāo)存在概率rk.n,見算法1.

步驟4.獲得群結(jié)構(gòu)與狀態(tài)估計(jì):

1)獲得偏差估計(jì)矩陣,式(24);

2)估計(jì)鄰接矩陣,式(25).

4 仿真實(shí)現(xiàn)

本節(jié)分別考慮線性和非線性系統(tǒng)兩個(gè)實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證本文所給算法.在實(shí)驗(yàn)1中使用GLMB和CBMeMBer[34]進(jìn)行比較,在實(shí)驗(yàn)2中使用UKFGLMB和UKF-CBMeMBer算法進(jìn)行比較.

4.1 實(shí)驗(yàn)1:線性系統(tǒng)

本仿真實(shí)驗(yàn)的群目標(biāo)如圖5所示,包含3個(gè)子群目標(biāo),子群在2維平面中做勻速直線運(yùn)動(dòng).運(yùn)動(dòng)場(chǎng)景大小為 [?2000,2000]×[?2000,2000]m2,仿真時(shí)間為100s.3個(gè)子群分別在不同的時(shí)間和地點(diǎn)出生和消失.子群1的頭節(jié)點(diǎn)在時(shí)刻k=20s時(shí)出生在 [?1800m,20m/s,?1900m,20m/s],方便起見,假設(shè)群1中的各目標(biāo)同時(shí)在k=80s時(shí)消失.子群2的頭節(jié)點(diǎn)在時(shí)刻k=30s時(shí)出生在[1800m,?20m/s,?1800m,30m/s], 假設(shè)子群 2中的各目標(biāo)同時(shí)在k=95s時(shí)消失.子群3的頭節(jié)點(diǎn)在時(shí)刻k=0s時(shí)出生在[1800m,?10m/s,1800m,?10m/s],假設(shè)子群3中的各目標(biāo)同時(shí)在k=100s時(shí)消失.觀測(cè)噪聲和過(guò)程噪聲的協(xié)方差陣分別為Rk,i=diag{100,100}m2,Qk,i=diag{4,4}m2,i=1,2,···,11. 為集中考慮群結(jié)構(gòu)估計(jì)問(wèn)題,假設(shè)檢測(cè)概率Pd=1,目標(biāo)的存活概率為Ps=1.分別采用GLMB濾波和CBMeMBer濾波器對(duì)該多群目標(biāo)進(jìn)行跟蹤估計(jì).

在整個(gè)跟蹤過(guò)程中,假設(shè)這三個(gè)子群目標(biāo)是相互獨(dú)立的,并且總目標(biāo)的個(gè)數(shù)和子群的個(gè)數(shù)是未知的.多群目標(biāo)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡如圖6所示,其中不同的曲線代表不同目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡,三角形表示目標(biāo)終點(diǎn),圓形表示起點(diǎn).

圖6 多群目標(biāo)真實(shí)軌跡Fig.6 The true tracks of groups

由CBMeMBer濾波算法和GLMB濾波算法得到的軌跡估計(jì)分別如圖7和圖8所示.由GLMB濾波算法得到的狀態(tài)估計(jì)如圖9所示.為評(píng)估本文所給算法的性能,采用最優(yōu)子模式分配距離(Optimal sub pattern assignment,OSPA)[35]

其中,X和分別為目標(biāo)真實(shí)狀態(tài)集和估計(jì)狀態(tài)集,個(gè)數(shù)分別為m和n,且m≤n,1＜p＜∞,c＞0,Πk表示1,2,···,k所有各種排列組成的集合.圖10給出了經(jīng)50次蒙特卡洛(Monte Carlo,MC)仿真后得到的OSPA結(jié)果.

各時(shí)刻目標(biāo)真實(shí)個(gè)數(shù)和估計(jì)個(gè)數(shù)如圖11所示.每時(shí)刻的子群真實(shí)個(gè)數(shù)和子群個(gè)數(shù)估計(jì)如圖12所示.

圖7 由CBMeMBer濾波器得到的軌跡估計(jì)Fig.7 Track estimation by CBMeMBer fi lter

圖8 由GLMB濾波器得到的軌跡估計(jì)Fig.8 Track estimation by GLMB fi lter

由于GLMB濾波算法為每個(gè)目標(biāo)添加了不同的標(biāo)簽,因此在算法的實(shí)現(xiàn)中能夠辨別每個(gè)目標(biāo)的身份標(biāo)簽.可以得到如圖8所示的各個(gè)目標(biāo)的軌跡估計(jì),而CBMeMBer濾波算法獲得點(diǎn)集航跡,如圖7所示,目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡由獨(dú)立的圓圈組成,因此不能獲得目標(biāo)航跡.

在圖9中,估計(jì)點(diǎn)和真實(shí)軌跡基本吻合,GLMB濾波算法能夠準(zhǔn)確估計(jì)出各目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),從圖10的OSPA Loc圖中可以知道CBMeMBer濾波算法也能很好地估計(jì)出各目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

從圖10和圖11中的OSPA Card可知,當(dāng)真實(shí)目標(biāo)個(gè)數(shù)發(fā)生變化時(shí),GLMB濾波算法對(duì)目標(biāo)的個(gè)數(shù)估計(jì)出現(xiàn)了一個(gè)延遲過(guò)程.例如,在第15s,目標(biāo)個(gè)數(shù)發(fā)生變化,GLMB濾波算法經(jīng)歷6s后跟上目標(biāo)個(gè)數(shù)變化,而CBMeMBer濾波算法只需經(jīng)歷1s后并能跟上目標(biāo)個(gè)數(shù)變化,然而在這過(guò)程后,GLMB濾波算法能夠較穩(wěn)定地估計(jì)出目標(biāo)個(gè)數(shù),而CBMeMBer濾波算法在目標(biāo)個(gè)數(shù)的估計(jì)過(guò)程中出現(xiàn)較多的波動(dòng).

圖9 由GLMB濾波算法得到狀態(tài)估計(jì)Fig.9 The state estimation by GLMB fi lter

圖10 OSPA距離對(duì)比圖（經(jīng)50次MC平均）Fig.10 50 MC run average of the compare of OSPA

圖11 目標(biāo)個(gè)數(shù)估計(jì)Fig.11 The estimated number of targets

圖12 子群個(gè)數(shù)估計(jì)Fig.12 The estimated number of groups

由圖12可以知道,GLMB濾波算法和CBMeMBer濾波算法都能夠很好地估計(jì)出每時(shí)刻群的個(gè)數(shù).

4.2 實(shí)驗(yàn)2:非線性系統(tǒng)

在本仿真實(shí)驗(yàn)中,子群的個(gè)數(shù)以及各子群的結(jié)構(gòu)和出生時(shí)間、地點(diǎn)以及消失時(shí)間和實(shí)驗(yàn)1一致.各群的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖13所示,保持轉(zhuǎn)速未知的勻轉(zhuǎn)彎(CT)運(yùn)動(dòng).各子群目標(biāo)的父節(jié)點(diǎn)的動(dòng)態(tài)模型如下

其中,F(ω)和Gk的定義如下

圖13 多群目標(biāo)真實(shí)軌跡Fig.13 The true tracks of groups

由UKF-GLMB濾波算法得到的狀態(tài)估計(jì)如圖14所示,目標(biāo)個(gè)數(shù)估計(jì)如圖15所示,OSPA距離如圖16所示,子群個(gè)數(shù)估計(jì)如圖17所示.

由圖14可知,UKF-GLMB濾波算法在非線性系統(tǒng)下也能夠準(zhǔn)確估計(jì)出各時(shí)刻各目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),由圖16中的OSPA Loc可知UKF-CBMeMBer濾波算法對(duì)目標(biāo)的狀態(tài)估計(jì)效果較差.由圖15可知,在非線性系統(tǒng)下,UKF-GLMB濾波算法和UKFCBMeMBer濾波算法的目標(biāo)個(gè)數(shù)估計(jì)效果和在線性系統(tǒng)下的估計(jì)效果差不多:UKF-GLMB濾波算法在估計(jì)過(guò)程中有延遲時(shí)間,UKF-CBMeMBer濾波算法在估計(jì)的過(guò)程中出現(xiàn)較大的波動(dòng).

圖14 由GLMB濾波算法得到的狀態(tài)估計(jì)Fig.14 The state estimation by GLMB fi lter

圖15 目標(biāo)個(gè)數(shù)估計(jì)Fig.15 The estimated number of targets

圖16OSPA距離對(duì)比（經(jīng)50次MC平均）Fig.16 The OSPA distance(50 MCs)

圖17 群的個(gè)數(shù)估計(jì)Fig.17 The estimated number of groups

由圖17可知,在非線性系統(tǒng)下,UKF-GLMB濾波算法和UKF-CBMeMBer濾波算法都能夠很好地估計(jì)出子群的個(gè)數(shù).

4.3 算法性能分析

本文采用平均每步所消耗的CPU時(shí)間對(duì)GLMB濾波算法和CBMeMBer濾波算法進(jìn)行性能分析.針對(duì)上述仿真,平均每步實(shí)驗(yàn)所消耗的CPU時(shí)間如表1所示,用于測(cè)試算法的PC機(jī)的CPU為Intel(R)Core(TM)i5-4460M 3.20GHz,RAM為4GB,32位Win7系統(tǒng).

表1 算法性能分析Table 1 Performance analysis of algorithms

從表1可以發(fā)現(xiàn),GLMB算法和CBMeM-Ber算法在非線性系統(tǒng)下所消耗的時(shí)間都要大于線性系統(tǒng)下消耗的時(shí)間.并且由于標(biāo)簽變量需要預(yù)測(cè)和更新,目標(biāo)狀態(tài)分布項(xiàng)數(shù)增加,使得計(jì)算量增加,導(dǎo)致GLMB算法消耗的時(shí)間大于CBMeMBer算法消耗的時(shí)間.但是使用GLMB濾波算法,在跟蹤的過(guò)程中可以獲得群中各目標(biāo)的身份.

5 結(jié)論

本文針對(duì)在雜波環(huán)境下子群個(gè)數(shù)和目標(biāo)個(gè)數(shù)位未知的可分辨群目標(biāo)跟蹤問(wèn)題,提出了一種基于GLMB濾波算法的可分辨群目標(biāo)跟蹤算法.1)根據(jù)群結(jié)構(gòu)的先驗(yàn)信息獲得各子群的鄰接關(guān)系矩陣信息;2)借助鄰接矩陣建立各目標(biāo)動(dòng)態(tài)模型,使用GLMB濾波算法獲得各目標(biāo)的狀態(tài)估計(jì)和航跡估計(jì);3)利用每時(shí)刻各目標(biāo)的估計(jì)狀態(tài)獲得群的鄰接矩陣估計(jì);4)通過(guò)連通圖估計(jì)獲得每時(shí)刻的子群個(gè)數(shù)估計(jì).仿真實(shí)驗(yàn)表明,上述方法能夠有效跟蹤可分辨群目標(biāo),但是由于目標(biāo)剛出生的權(quán)重比較小,因此需要量測(cè)信息進(jìn)行不斷更新,即信息累積的過(guò)程,并且量測(cè)具有延遲性,從而導(dǎo)致當(dāng)目標(biāo)個(gè)數(shù)發(fā)生改變時(shí),算法對(duì)目標(biāo)的個(gè)數(shù)估計(jì)會(huì)出現(xiàn)延遲現(xiàn)象.

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Multiple Resolvable Groups Tracking Using the GLMB Filter

ZHU Shu-Jun1LIU Wei-Feng1,2CUI Hai-Long1

Aiming at the estimation of states,the number of targets and subgroups,a resolvable group target tracking algorithm is proposed based on the framework of label random fi nite set(L-RFS).The proposed algorithm focus on two aspects:dynamic modeling and tracking estimation for multiple resolvable group targets.Speci fi cally,in the fi rst step,the adjacent matrix is fused in the dynamic models.In the second step,the estimated state sets of the targets and the number of targets are estimated by using the generalized labeled multi-Bernoulli(GLMB) fi lter in the L-RFS framework.Finally,from the estimated adjacent matrix,the structures and number of subgroups are shown.Two experiments of a linear system and a nonlinear system,which involve three groups of targets with diあerent shapes and structure,are given to show that the given algorithm is eあective in estimating the resolvable group targets.

Resolvable group target tracking,generalized label multi-Bernoulli(GLMB),adjacent matrix,random fi nite set(RFS),graph theory

Zhu Shu-Jun,Liu Wei-Feng,Cui Hai-Long.Multiple resolvable groups tracking using the GLMB fi lter.Acta Automatica Sinica,2017,43(12):2178?2189

2016-04-15 錄用日期2016-12-27

April 15,2016;accepted December 27,2016

國(guó)家自然科學(xué)基金(61333011,61271144,61273170,61402140),浙江省自然科學(xué)基金(LY15F030020),杭州電子科技大學(xué)控制科學(xué)與工程重點(diǎn)學(xué)科資助

Supported by National Natural Science Foundation of China(61333011,61271144,61273170,61402140),Natural Science Foundation of Zhejiang Province(LY15F030020),and Most Important Subjects of Control Science and Engineering of Hangzhou Dianzi University

本文責(zé)任編委郭戈

Recommended by Associate Editor GUO Ge

1.杭州電子科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院系統(tǒng)科學(xué)與控制工程研究所 杭州310018 2.信息系統(tǒng)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 南京210007

1.Institute of Systems Science and Control Engineering,School of Automation,Hangzhou Dianzi University,Hangzhou 310018 2.Science and Technology on Information System Engineering Laboratory,Nanjing 210007

朱書軍,劉偉峰,崔海龍.基于廣義標(biāo)簽多伯努利濾波的可分辨群目標(biāo)跟蹤算法.自動(dòng)化學(xué)報(bào),2017,43(12):2178?2189

DOI10.16383/j.aas.2017.c160334

朱書軍 杭州電子科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院系統(tǒng)科學(xué)與控制工程研究所碩士研究生.2014年獲得麗水學(xué)院學(xué)士學(xué)位.主要研究方向?yàn)槟繕?biāo)跟蹤與信息融合.

E-mail:zsjun92@163.com

(ZHU Shu-Jun Master student at the Institute of Systems Science and Control Engineering,School of Automation,Hangzhou Dianzi University.He received his bachelor degree from Lishui University in 2014.His research interest covers target tracking and information fusion.)

劉偉峰 杭州電子科技大學(xué)副教授.主要研究方向?yàn)槟繕?biāo)跟蹤,不確定信息處理與模式識(shí)別.本文通信作者.

E-mail:liuwf@hdu.edu.cn

(LIU Wei-Feng Associate professor at Hangzhou Dianzi University.His research interest covers target tracking,uncertain information processing,and pattern recognition.Corresponding author of this paper.)

崔海龍 杭州電子科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院系統(tǒng)科學(xué)與控制工程研究所碩士研究生.2014年獲得安徽工程大學(xué)學(xué)士學(xué)位.主要研究方向?yàn)槟繕?biāo)跟蹤與信息融合.

E-mail:cuihailong86@163.com

(CUI Hai-Long Master student at the Institute of Systems Science and Control Engineering,School of Automation,Hangzhou Dianzi University.He received his bachelor degree from Anhui Polytechnic University in 2014.His research interest covers target tracking and information fusion.)