張光華 韓崇昭 連峰 曾令豪

Pairwise 馬爾科夫模型下的勢(shì)均衡多目標(biāo)多伯努利濾波器

張光華1韓崇昭1連峰1曾令豪1

由于在實(shí)際應(yīng)用中目標(biāo)模型不一定滿足隱馬爾科夫模型(Hidden Markov model,HMM)隱含的馬爾科夫假設(shè)和獨(dú)立性假設(shè)條件,一種更為一般化的Pairwise馬爾科夫模型(Pairwise Markov model,PMM)被提出.它放寬了HMM的結(jié)構(gòu)性限制,可以有效地處理更為復(fù)雜的目標(biāo)跟蹤場(chǎng)景.本文針對(duì)雜波環(huán)境下的多目標(biāo)跟蹤問題,提出一種在PMM 框架下的勢(shì)均衡多目標(biāo)多伯努利(Cardinality balanced multi-target multi-Bernoulli,CBMeMBer)濾波器,并給出它在線性高斯PMM條件下的高斯混合(Gaussian mixture,GM)實(shí)現(xiàn).最后,采用一種滿足HMM局部物理特性的線性高斯PMM,將本文所提算法與概率假設(shè)密度(Probability hypothesis density,PHD)濾波器進(jìn)行比較.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文所提算法的跟蹤性能優(yōu)于PHD濾波器.

隱馬爾科夫模型,Pairwise馬爾科夫模型,多目標(biāo)跟蹤,隨機(jī)有限集,多伯努利密度,高斯混合

近年來,基于隨機(jī)有限集的多目標(biāo)跟蹤算法[1?2]引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注.它從集值估計(jì)的角度來解決多目標(biāo)跟蹤問題,避免了傳統(tǒng)多目標(biāo)跟蹤算法中復(fù)雜的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)過程.眾所周知,數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)一直是多目標(biāo)跟蹤問題的一個(gè)難點(diǎn),尤其是在目標(biāo)個(gè)數(shù)較多且存在雜波的情況下,關(guān)聯(lián)過程將變得非常復(fù)雜.基于隨機(jī)有限集的多目標(biāo)跟蹤算法利用隨機(jī)有限集對(duì)多目標(biāo)的狀態(tài)和觀測(cè)建模,在貝葉斯濾波框架下通過遞推后驗(yàn)多目標(biāo)密度來解決多目標(biāo)跟蹤問題.該類算法主要包括概率假設(shè)密度(Probability hypothesis density,PHD)濾波器[3?5]、勢(shì)概率假設(shè)密度(Cardinality PHD,CPHD)濾波器[6?7]和勢(shì)均衡多目標(biāo)多伯努利(Cardinality balanced multi-target multi-Bernoulli,CBMeMBer)濾波器[8].不同于PHD和CPHD濾波器遞推多目標(biāo)密度的強(qiáng)度和勢(shì)分布估計(jì),CBMeMBer濾波器直接近似遞推后驗(yàn)多目標(biāo)密度,使得多目標(biāo)跟蹤問題的求解顯得更為直觀.隨后,學(xué)者們對(duì)CBMeMBer濾波器進(jìn)行了深入地研究,并取得了一些研究成果[9?13].

基于隨機(jī)有限集的多目標(biāo)跟蹤算法主要包括高斯混合(Gaussian mixture,GM)和序貫蒙特卡洛(Sequential Monte Carlo,SMC)兩種實(shí)現(xiàn)方法.這兩種實(shí)現(xiàn)方法的前提條件是目標(biāo)的狀態(tài)和觀測(cè)模型為隱馬爾科夫模型(Hidden Markov model,HMM),即目標(biāo)的狀態(tài)演化過程是一個(gè)馬爾科夫過程,而k時(shí)刻目標(biāo)的量測(cè)只與當(dāng)前時(shí)刻目標(biāo)的狀態(tài)有關(guān).但在實(shí)際應(yīng)用中,目標(biāo)模型不一定滿足HMM隱含的馬爾科夫假設(shè)和獨(dú)立性假設(shè)條件.例如過程噪聲與量測(cè)噪聲相關(guān)或量測(cè)噪聲為有色噪聲的情況[14].文獻(xiàn)[15?18]等提出一種比HMM 更為一般化的Pairwise馬爾科夫模型(Pairwise Markov model,PMM),它將目標(biāo)的狀態(tài)和量測(cè)整體看作一個(gè)馬爾科夫過程.與HMM 的區(qū)別在于:1)目標(biāo)的狀態(tài)不一定為馬爾科夫過程;2)目標(biāo)的量測(cè)不僅與當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)有關(guān),而且與該目標(biāo)上一時(shí)刻的量測(cè)也有關(guān)系[15].因此,在解決一些實(shí)際問題時(shí)采用PMM比采用HMM的效果更好.例如在分割問題中,采用PMM代替HMM可以有效地降低誤差

率[19].

本文的研究目的是在PMM 框架下利用隨機(jī)有限集解決雜波環(huán)境下的多目標(biāo)跟蹤問題.文獻(xiàn)[20?21]已經(jīng)給出了在PMM 框架下的PHD濾波器及其GM實(shí)現(xiàn).但是當(dāng)目標(biāo)數(shù)較多時(shí),該濾波器對(duì)目標(biāo)個(gè)數(shù)的估計(jì)會(huì)出現(xiàn)欠估計(jì)的情況,且估計(jì)精度和效率較差.本文給出了PMM框架下CBMeMBer濾波器的遞推過程,并給出它在線性高斯PMM條件下的GM 實(shí)現(xiàn).最后,采用文獻(xiàn)[21]提出的一種滿足HMM 局部物理特性的線性高斯PMM,將本文所提算法與GM-PMM-PHD濾波器進(jìn)行比較.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,本文所提算法對(duì)目標(biāo)數(shù)的估計(jì)是無偏的,不存在GM-PMM-PHD濾波器在目標(biāo)數(shù)較多時(shí)出現(xiàn)欠估計(jì)的情況,并且本文所提算法的估計(jì)精度和效率也優(yōu)于GM-PMM-PHD濾波器.

1 HMM和PMM

1.1 HMM

在信號(hào)處理過程中,一個(gè)重要問題是根據(jù)可觀測(cè)的量測(cè)y={yk}k∈IN估計(jì)不可觀測(cè)的狀態(tài)x={xk}k∈IN,IN 表示整數(shù).在HMM 中,假設(shè)x為馬爾科夫過程,且k時(shí)刻的量測(cè)yk只與當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)xk有關(guān),即[15]

p(·)表示概率密度函數(shù).狀態(tài)xk的后驗(yàn)概率密度p(xk|y0:k)可由Bayes遞推算法得到[22]:

在實(shí)際應(yīng)用中,由于Bayes公式中存在積分運(yùn)算,通常不能得到它的解析解.為了使Bayes公式能夠遞推運(yùn)算,考慮如下線性HMM

Fk和Hk分別表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和觀測(cè)矩陣.uk和vk分別表示零均值的過程噪聲和量測(cè)噪聲,與初始狀態(tài)x0相互獨(dú)立.若vk、uk和x0均為高斯變量,則狀態(tài)xk的后驗(yàn)概率密度p(xk|y0:k)為高斯分布,可以用它的均值和協(xié)方差描述.此時(shí),p(xk|y0:k)的Bayes遞推過程退化為經(jīng)典的卡爾曼濾波器[23].

1.2 PMM

在過程噪聲與量測(cè)噪聲相關(guān)或量測(cè)噪聲為有色噪聲的情況下,目標(biāo)模型不滿足HMM隱含的馬爾科夫假設(shè)和獨(dú)立性假設(shè)條件.此時(shí),再利用HMM建模是不合適的.文獻(xiàn)[15]提出一種比HMM更為一般化的PMM,它將狀態(tài)和量測(cè)整體ε=(x,y)看作馬爾科夫過程,即

可以有效地處理上述復(fù)雜的目標(biāo)跟蹤場(chǎng)景.

在PMM 中,x不一定為馬爾科夫過程,且yk不僅與當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)xk有關(guān),同時(shí)與xk?1和yk?1也有關(guān)系.當(dāng)p(xk,yk|xk?1,yk?1) 滿足

時(shí),PMM就退化為HMM,即HMM是PMM的一種特殊情況.在PMM框架下,狀態(tài)xk的后驗(yàn)概率密度p(xk|y0:k)的Bayes公式為[15]

與HMM 框架下的Bayes遞推算法的不同之處在于它采用p(xk|xk?1,yk?1)和p(yk|xk,xk?1,yk?1)分別代替p(xk|xk?1)和p(yk|xk).同樣,上式?jīng)]有解析解.

在線性高斯條件下,PMM模型可以描述為

其中,{wk}k∈IN表示零均值的高斯白噪聲,它的協(xié)方差為

{wk}k∈IN與初始狀態(tài)ε0相互獨(dú)立.ε0服從正態(tài)分布N(·;m0,P0),m0和P0分別表示它的均值和協(xié)方差.文獻(xiàn)[15]給出了在PMM框架下的卡爾曼濾波器.

2 PMM-CBMeMBer濾波器及其GM實(shí)現(xiàn)

文獻(xiàn)[8]已經(jīng)給出在HMM框架下CBMeMBer濾波器的遞推過程,這里不再贅述.下面將直接給出在PMM框架下CBMeMBer濾波器的遞推過程,以及它在線性高斯PMM條件下的GM實(shí)現(xiàn).

2.1 PMM-CBMeMBer濾波器

k時(shí)刻監(jiān)控區(qū)域內(nèi)Mk個(gè)目標(biāo)的狀態(tài)集合記為其中和yk分別表示目標(biāo)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)和量測(cè). 在PMM 框架下,ε是一個(gè)馬爾科夫過程,它的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率密度p(εk|εk?1)包含目標(biāo)的動(dòng)力學(xué)演化模型p(xk|xk?1,yk?1)和傳感器的量測(cè)模型p(yk|xk,xk?1,yk?1).根據(jù)目標(biāo)的物理特性,假設(shè)目標(biāo)的存活概率僅與目標(biāo)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)有關(guān),記為ps,k(xk).

k時(shí)刻傳感器的量測(cè)集合記為Nk表示量測(cè)的個(gè)數(shù).Zk由源于目標(biāo)的量測(cè)和雜波量測(cè)構(gòu)成,兩者不可區(qū)分.根據(jù)傳感器的物理特性,假設(shè)傳感器的檢測(cè)概率僅與目標(biāo)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)有關(guān),記為pd,k(xk).

在滿足如下假設(shè)條件下:

1)ε為馬爾科夫過程,目標(biāo)之間相互獨(dú)立;

2)新生目標(biāo)為多伯努利隨機(jī)有限集,與存活目標(biāo)相互獨(dú)立;

3)雜波量測(cè)與目標(biāo)產(chǎn)生的量測(cè)相互獨(dú)立,雜波數(shù)服從泊松分布.

PMM-CBMeMBer濾波器的遞推過程如下:

步驟1.預(yù)測(cè)步

假設(shè)k?1時(shí)刻后驗(yàn)多目標(biāo)密度為多伯努利形式:表示k?1時(shí)刻第i個(gè)目標(biāo)的存在概率,表示 εi的概率密度,Mk?1表示k?1時(shí)刻可能出現(xiàn)的最大目標(biāo)數(shù).則預(yù)測(cè)多目標(biāo)密度也為多伯努利形式:

前一項(xiàng)表示存活目標(biāo)的密度,后一項(xiàng)表示k時(shí)刻新生目標(biāo)的密度.〈·,·〉表示內(nèi)積運(yùn)算,如〈α,β〉=Rα(x)β(x)dx.

步驟2.更新步

假設(shè)k時(shí)刻預(yù)測(cè)多目標(biāo)密度為多伯努利形式

則后驗(yàn)多目標(biāo)密度可由如下多伯努利形式近似

前一項(xiàng)表示漏檢部分的多目標(biāo)密度,后一項(xiàng)表示量測(cè)更新部分的多目標(biāo)密度.

κk(·)表示k時(shí)刻雜波的強(qiáng)度,gk(z|x)表示目標(biāo)x的似然函數(shù).

在上述遞推過程中,若狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)pk|k?1滿足式(9),并且新生目標(biāo)模型滿足:

2.2 PMM-CBMeMBer濾波器的GM實(shí)現(xiàn)

下面給出PMM-CBMeMBer濾波器在線性高斯條件下的GM實(shí)現(xiàn).

在新生目標(biāo)模型中,若p(i)Γ,k為GM 形式:

步驟1.預(yù)測(cè)步

假設(shè)k?1時(shí)刻后驗(yàn)多目標(biāo)密度

δz(i)(y)為 Dirac delta 函數(shù)[2],z(i)∈Zk?1,y 表示狀態(tài)為x對(duì)應(yīng)的量測(cè).若z(i)=y,說明z(i)是由x產(chǎn)生的量測(cè);否則,z(i)不是由x產(chǎn)生的量測(cè).則預(yù)測(cè)多目標(biāo)密度

可由如下公式得到:

其中

新生目標(biāo)模型已知,p(i)Γ,k見式(24).

步驟2.更新步

在式(28)中,由于組成預(yù)測(cè)多目標(biāo)密度的三個(gè)部分形式相同,令它們可以重寫為

則更新多目標(biāo)密度

可由如下公式得到:

其中

在更新步中,漏檢部分的狀態(tài)包括動(dòng)力學(xué)狀態(tài)和相應(yīng)的量測(cè),協(xié)方差也是動(dòng)力學(xué)狀態(tài)和量測(cè)整體的協(xié)方差;量測(cè)更新部分給出了動(dòng)力學(xué)狀態(tài)的求解,式(46)中的z表示該動(dòng)力學(xué)狀態(tài)對(duì)應(yīng)的量測(cè),式(47)為目標(biāo)動(dòng)力學(xué)狀態(tài)的協(xié)方差,不包括量測(cè)以及量測(cè)與動(dòng)力學(xué)狀態(tài)的協(xié)方差.即算法中漏檢部分和量測(cè)更新部分對(duì)應(yīng)的多目標(biāo)密度的表示形式不同,故在k?1時(shí)刻將多目標(biāo)密度假設(shè)為相應(yīng)的兩部分.

根據(jù)GM-HMM-PHD濾波器得到的后驗(yàn)多目標(biāo)強(qiáng)度的高斯項(xiàng)個(gè)數(shù)[5],不難得到在不考慮衍生目標(biāo)的情況下GM-HMM-CBMeMBer濾波器的后驗(yàn)多目標(biāo)密度的高斯項(xiàng)個(gè)數(shù)為GM-PMMCBMeMBer濾波器的后驗(yàn)多目標(biāo)密度的高斯項(xiàng)個(gè)數(shù)為(1+|Zk|).在相同場(chǎng)景下,GM-PMM-CBMeMBer濾波器和GM-HMM-CBMeMBer濾波器的計(jì)算復(fù)雜度為同一數(shù)量級(jí).但由于GM-PMM-CBMeMBer濾波器狀態(tài)維數(shù)的增加,計(jì)算量會(huì)相應(yīng)增大.

由于新生目標(biāo)的出現(xiàn)和更新步中假設(shè)軌跡的平均化,航跡個(gè)數(shù)和每條航跡對(duì)應(yīng)的高斯項(xiàng)會(huì)逐漸增加,需要采用剪切和合并技術(shù)[5]進(jìn)行處理:1)剪切.一是航跡的剪切,去掉存在概率小于閾值為Tr的航跡;二是航跡對(duì)應(yīng)的高斯項(xiàng)的剪切,去掉權(quán)值小于閾值為Tω的高斯項(xiàng).2)合并.在每條航跡中,將距離小于閾值為U的高斯項(xiàng)進(jìn)行合并.由于在后驗(yàn)多目標(biāo)密度中漏檢部分和量測(cè)更新部分對(duì)應(yīng)的高斯項(xiàng)的形式不同,在合并過程中需要加以區(qū)分.同時(shí),設(shè)定航跡數(shù)的最大值為Mmax,每條航跡對(duì)應(yīng)的高斯項(xiàng)個(gè)數(shù)的最大值為Jmax.最后,對(duì)目標(biāo)的狀態(tài)進(jìn)行提取.若航跡的存在概率大于給定閾值(如0.5),則認(rèn)為它是一個(gè)目標(biāo),選擇它對(duì)應(yīng)的權(quán)值最大的高斯項(xiàng)作為目標(biāo)的狀態(tài).

3 仿真

3.1 一種滿足HMM局部物理特性的PMM

文獻(xiàn)[21]總結(jié)了過程噪聲與量測(cè)噪聲相關(guān)和量測(cè)噪聲為有色噪聲對(duì)應(yīng)的PMM,并提出一種滿足HMM局部物理特性的PMM.為了與HMM框架下的CBMeMBer濾波器的性能進(jìn)行比較,本文采用上述滿足HMM局部物理特性的PMM進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn).并將本文所提算法的跟蹤性能與PHD濾波器[21]進(jìn)行比較.下面首先給出該P(yáng)MM的描述.

假設(shè)線性高斯HMM為

則滿足 p(xk|xk?1)=fk|k?1(xk|xk?1),p(yk|xk)=gk(yk|xk),且 pk|k?1=(xk,yk|xk?1,yk?1) 不依賴于參數(shù)(m0,P0)的線性高斯PMM為

其中

在滿足Σk為正定矩陣的情況下,F2k和H2k可以任意選取.

3.2 仿真分析

為了與PHD濾波器的跟蹤性能進(jìn)行比較,依據(jù)文獻(xiàn)[21]對(duì)上述PMM的參數(shù)進(jìn)行設(shè)置.

令t=1,a=b=0.7,c=d=0.1.仿真硬件環(huán)境為Matlab R2013b,Windows 10 64bit,Intel Core i5-4570 CPU 3.20GHz,RAM 4.00GB.

監(jiān)控區(qū)域內(nèi)有12個(gè)目標(biāo):目標(biāo)1、2和3在k=1時(shí)出現(xiàn),4、5和6在k=20時(shí)出現(xiàn),7和8在k=40時(shí)出現(xiàn),9和10在k=60時(shí)出現(xiàn),11和12在k=80時(shí)出現(xiàn),而目標(biāo)1和2在k=70時(shí)消失,其他目標(biāo)不消失.目標(biāo)的狀態(tài)為xk=[xk,˙xk,yk,˙yk]T,xk和yk表示二維笛卡爾坐標(biāo)系下目標(biāo)的位置,˙xk和˙yk分別表示對(duì)應(yīng)方向的速度.在監(jiān)控區(qū)域V=[?2000,2000]m×[?2000,2000]m 中,各采樣時(shí)刻的雜波個(gè)數(shù)服從均值為20的泊松分布,雜波量測(cè)在監(jiān)控區(qū)域內(nèi)均勻分布.圖1是基于上述線性高斯PMM的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡,紅色三角形表示目標(biāo)的初始位置.

圖1 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的真實(shí)軌跡Fig.1 Actual target trajectories

圖2給出了GM-PMM-CBMeMBer濾波器單次仿真的結(jié)果,兩個(gè)子圖分別對(duì)應(yīng)不同時(shí)刻X 軸和Y軸的狀態(tài)估計(jì).整體來看,所提算法可以比較準(zhǔn)確地估計(jì)目標(biāo)的狀態(tài).在某些時(shí)刻會(huì)出現(xiàn)虛假目標(biāo)或目標(biāo)跟蹤丟失的情況,但隨著時(shí)間推移,算法自身可以很快地進(jìn)行修正.

圖2 本文所提算法的估計(jì)結(jié)果Fig.2 Estimation results of the proposed algorithm

本文采用OSPA(Optimal subpattern assignment)距離[24]評(píng)估算法的跟蹤性能.設(shè)多目標(biāo)真實(shí)狀態(tài)的集合為X={x1,···,xm},估計(jì)狀態(tài)的集合為若m≤n,則OSPA距離為

本例做了500次蒙特卡洛(Monte carlo,MC)仿真實(shí)驗(yàn),分析結(jié)果如下:

1)圖3為不同算法對(duì)目標(biāo)數(shù)估計(jì)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差.可以看出,在PMM或HMM框架下,CBMeMBer濾波器對(duì)目標(biāo)數(shù)的估計(jì)是無偏的,PHD濾波器隨著目標(biāo)數(shù)的增加,會(huì)出現(xiàn)欠估計(jì)的情況.說明本文所提算法對(duì)目標(biāo)數(shù)的估計(jì)優(yōu)于PHD濾波器[21].相比不同框架下的CBMeMBer濾波器和PHD濾波器,它們對(duì)目標(biāo)數(shù)估計(jì)的統(tǒng)計(jì)特性非常接近.

2)圖4為不同算法對(duì)應(yīng)的OSPA距離.可以看出,CBMeMBer濾波器在PMM和HMM框架下的OSPA距離評(píng)價(jià)指標(biāo)均優(yōu)于PHD濾波器.CBMeMBer濾波器和PHD濾波器在PMM框架下的OSPA距離評(píng)價(jià)指標(biāo)優(yōu)于HMM框架下相應(yīng)的OSPA距離評(píng)價(jià)指標(biāo).

3)表1為不同雜波環(huán)境下4種算法的性能比較.不同雜波環(huán)境下,CBMeMBer濾波器和PHD濾波器在PMM框架下的OSPA距離評(píng)價(jià)指標(biāo)優(yōu)于HMM框架下的OSPA距離評(píng)價(jià)指標(biāo),但單步運(yùn)行時(shí)間的均值會(huì)變大.由于GM-CBMeMBer濾波器是將每個(gè)目標(biāo)的密度分別用GM表示,而GM-PHD濾波器是將多目標(biāo)密度的強(qiáng)度整體用GM表示.因此,它們的高斯項(xiàng)個(gè)數(shù)不同,比較運(yùn)行時(shí)間也就沒有意義.但從表1可以看出,相比GM-PMM-PHD濾波器,GM-PMM-CBMeMBer濾波器以更小的時(shí)間代價(jià)可以得到更優(yōu)的OSPA距離評(píng)價(jià)指標(biāo).

表1 不同雜波環(huán)境下的性能比較Table 1 Tracking performance verses clutter′s number

圖3 勢(shì)估計(jì)Fig.3 Cardinality estimation

圖4OSPA距離Fig.4 OSPA distances

4 結(jié)論

本文提出一種在PMM框架下的CBMeMBer濾波器,并給出了它在線性高斯PMM 條件下的GM 實(shí)現(xiàn).該算法放寬了HMM 隱含的馬爾科夫假設(shè)和獨(dú)立性假設(shè)限制.在仿真實(shí)驗(yàn)中,采用一種滿足HMM 局部物理特性的PMM,將本文所提算法與文獻(xiàn)[21]所提的GM-PMM-PHD濾波器進(jìn)行比較,仿真結(jié)果表明本文所提算法的跟蹤性能優(yōu)于GM-PMM-PHD濾波器.本文考慮的是PMM在線性高斯條件下的多目標(biāo)跟蹤問題,而非線性條件下的多目標(biāo)跟蹤問題有待進(jìn)一步研究.

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Cardinality Balanced Multi-target Multi-Bernoulli Filter for Pairwise Markov Model

ZHANG Guang-Hua1HAN Chong-Zhao1LIAN Feng1ZENG Ling-Hao1

Because the Markovian and independence assumptions,which are implicitly implied in hidden Markov model(HMM),may not be satis fi ed by the target model in some practical applications,a more general pairwise Markov model(PMM)has been proposed.PMM relaxes the structural limitations of HMM and can eあectively deal with more complex target tracking scenarios.In this paper,a cardinality balanced multi-target multi-Bernoulli(CBMeMBer) fi lter in the framework of PMM is proposed for multi-target tracking in clutter environment,and a closed-form solution to the CBMeMBer fi lter under linear Gaussian PMM is presented.Finally,the proposed algorithm is compared with the probability hypothesis density(PHD) fi lter via simulations using a particular linear Gaussian PMM,which keeps the local physical properties of HMM.Simulation results show that the tracking performance of the proposed algorithm is better than that of the PHD fi lter.

Hidden Markov model(HMM),pairwise Markov model(PMM),multi-target tracking,random fi nite set,multi-Bernoulli density,Gaussian mixture(GM)

Zhang Guang-Hua,Han Chong-Zhao,Lian Feng,Zeng Ling-Hao.Cardinality balanced multi-target multi-Bernoulli fi lter for pairwise Markov model.Acta Automatica Sinica,2017,43(12):2100?2108

2016-05-26 錄用日期2016-10-09

May 26,2016;accepted October 9,2016國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(973計(jì)劃)(2013CB329405),國家自然科學(xué)基金創(chuàng)新研究群體(61221063),國家自然科學(xué)基金(61573271,61473217,61370037)資助

Supported by National Basic Research Program of China(973 Program)(2013CB329405),Foundation for Innovative Research Groups of the National Natural Science Foundation of China(61221063),and National Natural Science Foundation of China(61573271,61473217,61370037)

本文責(zé)任編委高會(huì)軍

Recommended by Associate Editor GAO Hui-Jun

1.西安交通大學(xué)智能網(wǎng)絡(luò)與網(wǎng)絡(luò)安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室西安710049 1.Ministry of Education Key Laboratory for Intelligent Networks and Network Security,Xi′an Jiaotong University,Xi′an 710049

張光華,韓崇昭,連峰,曾令豪.Pairwise馬爾科夫模型下的勢(shì)均衡多目標(biāo)多伯努利濾波器.自動(dòng)化學(xué)報(bào),2017,43(12):2100?2108

DOI10.16383/j.aas.2017.c160430

張光華 西安交通大學(xué)電子與信息工程學(xué)院綜合自動(dòng)化研究所博士研究生.主要研究方向?yàn)槟繕?biāo)跟蹤.

E-mail:MichaelZgh@stu.xjtu.edu.cn

(ZHANG Guang-Hua Ph.D.candidate at the Institute of Integrated Automation,School of Electronic and Information Engineering,Xi′an Jiaotong University.His main research interest is target tracking.)

韓崇昭 西安交通大學(xué)電子與信息工程學(xué)院教授.主要研究方向?yàn)槎嘣葱畔⑷诤?隨機(jī)控制與自適應(yīng)控制,非線性頻譜分析.E-mail:czhan@xjtu.edu.cn

(HAN Chong-Zhao Professor at the School of Electronic and Information Engineering,Xi′an Jiaotong University. His research interest covers multi-source information fusion,stochastic control and adaptive control,and nonlinear spectral analysis.)

連 峰 西安交通大學(xué)電子與信息工程學(xué)院綜合自動(dòng)化研究所副教授.主要研究方向?yàn)槟繕?biāo)跟蹤.本文通信作者.

E-mail:lianfeng1981@xjtu.edu.cn

(LIAN Feng Associate professor at the Institute of Integrated Automation,School of Electronics and Information Engineering,Xi′an Jiaotong University.His main research interest is target tracking.Corresponding author of this paper.)

曾令豪 西安交通大學(xué)電子與信息工程學(xué)院綜合自動(dòng)化研究所博士研究生.主要研究方向?yàn)槟繕?biāo)跟蹤.

E-mail:zenglh@stu.xjtu.edu.cn

(ZENG Ling-Hao Ph.D.candidate at the Institute of Integrated Automation,School of Electronic and Information Engineering,Xi′an Jiaotong University.His main research interest is target tracking.)