朱芳來(lái) 蔡明 郭勝輝,2

離散切換系統(tǒng)觀測(cè)器存在性討論及降維觀測(cè)器設(shè)計(jì)

朱芳來(lái)1蔡明1郭勝輝1,2

對(duì)具有未知輸入的離散切換系統(tǒng)討論了未知輸入觀測(cè)器(Unknown input observer,UIO)設(shè)計(jì)方法.首先,對(duì)一般離散系統(tǒng)的未知輸入觀測(cè)器匹配條件的Lyapunov-type表示,進(jìn)行了等價(jià)性論證;然后,基于不具有未知輸入的離散切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論,對(duì)具有未知輸入的離散切換系統(tǒng)提出了一種切換降維觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法.通過(guò)矩陣分塊確定出的觀測(cè)器增益矩陣,使得降維觀測(cè)器能直接消去未知輸入的影響;然后,在此基礎(chǔ)上提出了一種未知輸入代數(shù)重構(gòu)方法;最后,通過(guò)仿真驗(yàn)證了方法的有效性和正確性.

離散系統(tǒng),未知輸入估計(jì),觀測(cè)器匹配條件,切換系統(tǒng)

現(xiàn)代控制理論中,未知輸入觀測(cè)器(Unknown input observer,UIO)設(shè)計(jì)具有重要意義,自上世紀(jì)60年代提出以來(lái),一直受到學(xué)者們的廣泛的關(guān)注和深入研究[1?2].對(duì)于連續(xù)受控系統(tǒng),文獻(xiàn)[3]研究了未知輸入觀測(cè)器匹配條件,并將該條件等價(jià)于一個(gè)Lyapunov-type矩陣代數(shù)方程.之后,在這一框架下,未知輸入觀測(cè)器設(shè)計(jì)得到了廣泛的研究[4?10].如文獻(xiàn)[7]在匹配條件滿足的前提下,通過(guò)系統(tǒng)擴(kuò)展并結(jié)合奇異系統(tǒng)設(shè)計(jì)手段,提出了一種滑模觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法,以此實(shí)現(xiàn)了故障和輸出噪聲的估計(jì).由于未知輸入觀測(cè)器匹配條件較為苛刻,很多實(shí)際的控制系統(tǒng)并不滿足,因而如何突破該匹配條件的限制,成為近期UIO設(shè)計(jì)研究熱點(diǎn)之一[11?14],如文獻(xiàn)[12]基于構(gòu)造輔助輸出的方式,提出了一種解決方案.文獻(xiàn)[13]同樣通過(guò)構(gòu)造輔助輸出,提出了降維觀測(cè)器結(jié)合高階滑模觀測(cè)器的觀測(cè)器匹配條件突破方法,并考慮了未知輸入重構(gòu)問(wèn)題.文獻(xiàn)[14]將未知輸入分解為代數(shù)抑制未知輸入和模型未知輸入,以此來(lái)達(dá)到滿足觀測(cè)器匹配條件的目的.然而,值得強(qiáng)調(diào)的是,以上這些成果都是基于連續(xù)系統(tǒng)討論的.隨著數(shù)字系統(tǒng)廣泛的應(yīng)用,離散系統(tǒng)下的相關(guān)研究受到了關(guān)注[15?16].基于這樣的關(guān)注,本文首先對(duì)離散系統(tǒng)未知輸入觀測(cè)器匹配條件進(jìn)行了討論,并將其轉(zhuǎn)換為一個(gè)Lyapunov-type代數(shù)方程組的等價(jià)形式.

切換系統(tǒng)通常含有若干個(gè)子系統(tǒng),同時(shí)具有一個(gè)規(guī)定子系統(tǒng)之間切換方式的切換律.切換系統(tǒng)可以描述一大類實(shí)際的系統(tǒng),如脈沖寬度調(diào)制(Pulse width modulation,PWM)電路、直流斬波電路、網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)和飛行器姿態(tài)等[17?25].早期針對(duì)切換系統(tǒng)的研究主要是考慮其穩(wěn)定性,如文獻(xiàn)[17?18]針對(duì)離散切換系統(tǒng),討論了平均駐留時(shí)間(Average dwell time,ADT)下的切換系統(tǒng)穩(wěn)定問(wèn)題,而文獻(xiàn)[19]對(duì)切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究成果進(jìn)行了更為深入的總結(jié).針對(duì)切換系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)的研究相對(duì)較少,如文獻(xiàn)[20]針對(duì)離散切換系統(tǒng),設(shè)計(jì)了異步濾波器來(lái)處理一類具有電力電子現(xiàn)實(shí)背景的問(wèn)題,并討論了其穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[21]同時(shí)針對(duì)連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)設(shè)計(jì)了延遲觀測(cè)器,同時(shí)達(dá)到了異步切換的效果.對(duì)于具有未知輸入的切換系統(tǒng),文獻(xiàn)[22]針對(duì)廣義離散切換系統(tǒng),設(shè)計(jì)了未知輸入觀測(cè)器來(lái)估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài),并基于線性矩陣不等式證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[23]則在未知輸入匹配條件滿足的前提下,基于系統(tǒng)強(qiáng)可檢測(cè)性的假設(shè),針對(duì)連續(xù)切換系統(tǒng),設(shè)計(jì)了未知輸入切換觀測(cè)器.文獻(xiàn)[24]在駐留時(shí)間假設(shè)下研究了切換系統(tǒng)的指數(shù)鎮(zhèn)定問(wèn)題,并消除了切換超調(diào)的不利影響.總之,目前針對(duì)切換系統(tǒng)的觀測(cè)器設(shè)計(jì)的成果不多,降維未知輸入切換觀測(cè)器的成果還鮮有報(bào)道.

結(jié)合上述背景,本文首先對(duì)離散系統(tǒng)未知輸入觀測(cè)器的存在性進(jìn)行討論,然后將其應(yīng)用于離散切換系統(tǒng),設(shè)計(jì)了降維未知輸入切換觀測(cè)器,并提出了未知輸入代數(shù)重構(gòu)方法.本文的貢獻(xiàn)在于:1)將連續(xù)系統(tǒng)未知輸入觀測(cè)器的秩條件和Lyapunov-type代數(shù)方程組兩者的等價(jià)性結(jié)論,推廣到了離散系統(tǒng);2)基于等價(jià)性條件,給出了切換系統(tǒng)未知輸入觀測(cè)器存在性的前提條件;3)提出了一種切換降維觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法,該方法可以直接消除未知輸入的影響,并提出了一種未知輸入代數(shù)重構(gòu)方法.論文的結(jié)構(gòu)如下:第1節(jié)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行了描述,對(duì)一般系統(tǒng),討論了觀測(cè)器匹配條件與一個(gè)Lyapunov-type代數(shù)方程的等價(jià)性;第2節(jié)提出了降維未知輸入切換系統(tǒng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法;第3節(jié)提出了未知輸入代數(shù)重構(gòu);第4節(jié)給出了仿真分析;第5節(jié)對(duì)全文進(jìn)行了總結(jié).

1 問(wèn)題描述

考慮一類具有未知輸入的離散線性系統(tǒng)

其中,x(k)∈Rn,u(k)∈Rm是已知控制輸入,y(k)∈Rp是可測(cè)輸出,η(k)∈Rq是未知輸入.系數(shù)矩陣 A ∈ Rn×n,B ∈ Rn×m,C ∈ Rp×n和D ∈Rn×p為已知常數(shù)矩陣.不失一般性,假設(shè)(A,C)可觀測(cè),B,D為列滿秩,C為行滿秩,并有n≥p≥q.

定義1.定義為系統(tǒng)(1)的Rosen-brock矩陣.當(dāng)復(fù)數(shù)z0滿足秩條件rank(R(z0))＜n+q時(shí),稱z0為系統(tǒng)(1)的不變零點(diǎn).

定義2.若系統(tǒng)(1)的所有不變零點(diǎn)均在 z平面單位圓內(nèi),則稱系統(tǒng)(1)為最小相系統(tǒng).其等價(jià)描述為:對(duì)任何滿足|z|≥1的z∈C,有rank(R(z))=n+q.

假設(shè)1.系統(tǒng)(1)是最小相系統(tǒng).

假設(shè)2.rank(D)=rank(CD)=q.

注1.無(wú)論是連續(xù)系統(tǒng)還是離散系統(tǒng),假設(shè)1和2都是未知輸入觀測(cè)器設(shè)計(jì)的基本前提條件.針對(duì)連續(xù)系統(tǒng),文獻(xiàn)[3]給出了一個(gè)與假設(shè)1和2等價(jià)的Lyapunov-type描述,而這樣的等價(jià)描述,為未知輸入觀測(cè)器設(shè)計(jì)帶來(lái)了極大的便利.接下來(lái)我們?cè)谝?中將該等價(jià)描述推廣到離散系統(tǒng),并給出嚴(yán)格的證明和算法.

引理1.假設(shè)1和2成立的充分必要條件是:對(duì)于任意對(duì)稱正定矩陣Q∈Rn×n,如下Lyapunov矩陣代數(shù)方程組

關(guān)于矩陣L∈Rn×p、G∈Rq×p和對(duì)稱正定矩陣P∈Rn×n有解.

證明.詳見(jiàn)附錄.

2 切換降維觀測(cè)器設(shè)計(jì)

本節(jié)將上述結(jié)論應(yīng)用于切換系統(tǒng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)中,結(jié)合切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論,提出一種切換降維觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法.為此,考慮如下具有未知輸入的離散切換系統(tǒng)

其中,x(k)∈Rn,u(k)∈Rm是已知控制輸入,y(k)∈Rp是可測(cè)輸出,η(k)∈Rq是未知輸入. 系數(shù)矩陣Aσ(k)∈Rn×n,Bσ(k)∈Rn×m和Dσ(k)∈Rn×q為常數(shù)切換矩陣,C ∈Rp×n為已知常數(shù)矩陣.不失一般性,假設(shè).切換信號(hào) σ(k):N+→ ?={1,2,···,N},其中N 為子系統(tǒng)數(shù).設(shè)采樣時(shí)刻 k1,k2,···,kv,kv+1,···為切換系統(tǒng)(4)的切換時(shí)刻,且不妨假設(shè)當(dāng)k∈[kv,kv+1),第i個(gè)子系統(tǒng)被激活,即假設(shè)當(dāng)k∈[kv,kv+1)時(shí),σ(k)=i.

假設(shè)3.系統(tǒng)(4)的任意子系統(tǒng)均為最小相系統(tǒng),而且存在常數(shù)0＜?＜1,對(duì)任何滿足|z|≥?的z∈C,有其中

假設(shè) 4.

定義3.對(duì)任意0≤kl≤ks,以Nσ(k)(kl,ks)表示區(qū)間[kl,ks)上的切換次數(shù).若存在常數(shù)τa＞0使得

成立,則稱常數(shù)τa為切換信號(hào)σ(k)的平均駐留時(shí)間(Average dwell time,ADT),稱N0為抖振界.

引理2[17].考慮離散切換系統(tǒng)

若存在常數(shù)0＜α＜1,β＞1,并存在C1函數(shù)Vσ(k):Rn→ R,σ(k)∈ ?,和兩類K∞函數(shù) ε1和ε2使得 ?σ(k)=i∈ ?,均有:

且 ?(σ(kv)=i,σ(kv?1)=j)∈ ?×?,i/=j,

則平均駐留時(shí)間(ADT)滿足

的切換系統(tǒng)(5)是全局漸近穩(wěn)定的.

則對(duì)應(yīng)于k∈[kv,kv+1)上的第i個(gè)子系統(tǒng)有

引理3.假設(shè)3和4的Lyapunov-type等價(jià)描述為:存在0＜γ1＜1,使得對(duì)任意的對(duì)稱正定矩陣Qi∈Rn×n,如下的矩陣方程組

關(guān)于對(duì)稱正定矩陣Pi∈Rn×n和矩陣Li∈Rn×p和 Gi∈ Rq×p有解.

證明.首先,在假設(shè)3 下,由矩陣C?=(1/?)C和所確定的未知輸入切換系統(tǒng)的任何第i個(gè)系統(tǒng)均是最小相系統(tǒng).事實(shí)上,?|z|≥1,由于|z|≥1且0＜?＜1?|?z|=?|z|≥?,故在假設(shè)3下有:

關(guān)于對(duì)稱正定矩陣Pi∈Rn×n和矩陣Li∈Rn×p和Gi∈Rq×p有解. 如果取γ1=1? ?2,則有0＜γ1＜1,這時(shí)式(8)即為式(7"). □

其中,Ai,11∈Rp×p,Bi,11∈Rp×m,Di,11∈Rp×q,Pi,11∈ Rp×p.

對(duì)系統(tǒng)(4)進(jìn)行線性變換θ(k)=Tσ(k)x(k),

則當(dāng)系統(tǒng)處于第i個(gè)子系統(tǒng)時(shí),一方面,由式(7)的第二式知

注意到KiDi,1+Di,2=0,因而有:

由于切換系統(tǒng)在切換時(shí)刻,新子系統(tǒng)的狀態(tài)初值為前一采樣時(shí)刻的狀態(tài)值,即有x(kv)=x(kv?1),所以有:

于是有:在假設(shè)3和4下,由引理3知,存在常數(shù)0＜γ1＜1,使得(7)關(guān)于對(duì)稱正定矩陣Pi∈Rn×n和矩陣Li∈Rn×p和Gi∈Rq×p有解.如果對(duì)對(duì)稱正定矩陣Pi解作進(jìn)一步的假設(shè),則提出如下切換降維觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法:

定理2.在假設(shè)3和4下,如果還存在常數(shù)γ2＞1使得對(duì)于?(σ(k)=i,σ(k?1)=j)∈?×?,i/=j,滿足:

且假設(shè)系統(tǒng)(4)切換信號(hào)σ(k)的平均駐留時(shí)間(ADT)滿足:

則系統(tǒng)

是系統(tǒng)(4)的切換降維未知輸入觀測(cè)器使得limk→∞(x(k)??x(k))=0.

證明.定義誤差方程為選取Lyapunov函數(shù)為

當(dāng)系統(tǒng)處于第i個(gè)子系統(tǒng)的時(shí)刻時(shí),即當(dāng)k∈[kv,kv+1),由式(14)可得:

且λ1=mini∈‘{λmin(Pi,22)},λ2=maxi∈‘{λmax(Pi,22)},λmin(Pi,22) 表示Pi,22最小的特征值,λmax(Pi,22) 表示Pi,22(i=1,2,···,N)最大的特征值.

由式(7)第一式,利用Schur引理,取Wi=PiLi,可得:

分解上式,有:

再經(jīng)初等行、列變換,可得:

故有:

由Schur補(bǔ)定理,可得:

也即

對(duì)于第i個(gè)子系統(tǒng),式(14)即為

從式(9)和(13)中的第一式,可得:

則有:

由式(16)和(18)可得:

用式(10)減去式(13)中第二式,我們有:

對(duì)于?(σ(kv)=i,σ(kv?1)=j)∈?×?,i/=j,從式(11)可得:

也即

因此有

進(jìn)一步地

也即

注意到式(15)、(18)、(20)和式(12),根據(jù)引理2推知觀測(cè)器誤差方程(17)是漸近穩(wěn)定的,這表明式(13)是式(4)的切換降維觀測(cè)器. □

3 未知輸入代數(shù)重構(gòu)

本節(jié)對(duì)未知輸入提出一種代數(shù)延遲重構(gòu)方法,式(4)兩邊同時(shí)左乘矩陣C,有:

即

其中

定理3.在假設(shè)3和4的前提下,

是未知輸入η(k)的漸近收斂延遲重構(gòu).

證明.由式(21)和(22)可得,未知輸入重構(gòu)誤差

4 仿真

考慮離散切換系統(tǒng)(4)的系數(shù)矩陣為

假設(shè)輸入為u(k)=5sin(2k),未知輸入為η(k)=sin(50k),γ1=0.6,γ2=3.8.可以算出:

以及τ?a=1.457.切換序列如圖1所示,圖2給出狀態(tài)估計(jì)和未知輸入重構(gòu),由圖2可以看出,所提方法是正確有效的.

圖1 切換序列Fig.1 Switched sequence

圖2 系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)和未知輸入重構(gòu)Fig.2 Estimated states and unknown input reconstruction

5 總結(jié)

本文對(duì)具有未知輸入的離散切換系統(tǒng),提出了一種能直接消去未知輸入影響的切換降維觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法.為了達(dá)到設(shè)計(jì)目的,事先將文獻(xiàn)[3]中有關(guān)連續(xù)系統(tǒng)觀測(cè)器匹配條件的等價(jià)性條件的相關(guān)結(jié)論,推廣到一般的離散系統(tǒng),針對(duì)離散系統(tǒng)給出了類似于連續(xù)系統(tǒng)中觀測(cè)器匹配條件的Lyapunov-type等價(jià)表示形式,并給出了嚴(yán)格的推導(dǎo)過(guò)程.然后,將所得結(jié)論應(yīng)用于離散切換系統(tǒng),提出了降維切換觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法,并以此討論了切換觀測(cè)器存在的前提條件.在同樣的前提下,提出了一種未知輸入代數(shù)重構(gòu)方法.對(duì)同時(shí)具有未知輸入和測(cè)量噪聲的切換系統(tǒng),設(shè)計(jì)切換觀測(cè)器并討論存在性,是值得進(jìn)一步研討的議題.

附錄

為了證明引理1的結(jié)論,首先引入下面引理.

引理A1[3].假設(shè)2成立的充分必要條件是:存在可逆矩陣T∈Rn×n,S∈Rp×p,使得:

引理A2.對(duì)于任意對(duì)稱正定矩陣Q∈Rn×n,矩陣代數(shù)方程組(3)關(guān)于L∈Rn×p,G∈Rq×p和P∈Rn×n有解的充分必要是:=TTPT,=T?1LS,=GS和=TTQT是如下的代數(shù)矩陣方程

的解.

證明.直接驗(yàn)證即可得知.引理1的證明:(必要性:假設(shè)1和2成立?式(3)有解).定義

可知

其中,?＞0是任意的正常數(shù),為任意矩陣,顯然,是對(duì)稱正定矩陣.在假設(shè)1和2的前提下,由引理4可知,可檢測(cè),因此,存在矩陣使得如下Lyapunov代數(shù)方程

充分性:式(3)有解?假設(shè)1和2成立).由于P∈Rn×n為對(duì)稱正定矩陣,故矩陣D和DTPD有相同的零空間,即rank?DTPD￠=rank(D),由DTP=GC,得DTPD=GCD,即

因此有rank(D)≤rank(CD)≤rank(D),即有rank(CD)=rank(D),也即假設(shè)2成立.

在假設(shè)2成立的前提下,由引理A1可知,存在可逆矩陣T∈Rn×n,S∈Rp×p,使得(3)成立.對(duì)于引理A2中定義的矩陣進(jìn)行如下的分塊

其中,由引理A2可知,式(3)有解意味著式(A1)有解,對(duì)式(A1)按分塊展開(kāi)

其中

也即有

即

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Discussions on Existence of Observers and Reduced-order Observer Design for Discrete-time Switched Systems

ZHU Fang-Lai1CAI Ming1GUO Sheng-Hui1,2

The paper discusses the unknown input observer(UIO)design issue for discrete-time switched systems with unknown inputs.First,a Lyapunov-type equivalent representation of observer matching condition for a general discretetime system is given and proved.Then,based on the stability theory of discrete-time switched system without unknown inputs,a reduced-order observer is developed for a discrete-time switched system with unknown inputs.The reducedorder observer can eliminate the in fl uences of the unknown inputs directly because of the special selection of the observer gain matrix determined by matrix block computation.Meanwhile,an algebraic unknown input reconstruction method is proposed.Finally,a simulation example is given to verify the correctness and eあectiveness of the proposed methods.

Discrete-time system,unknown input estimation,observer matching condition,switched system

Zhu Fang-Lai,Cai Ming,Guo Sheng-Hui.Discussions on existences of observers and reduced-order observer design for discrete-time switched systems.Acta Automatica Sinica,2017,43(12):2091?2099

2016-06-16 錄用日期2016-11-23

June 16,2016;accepted November 23,2016

國(guó)家自然科學(xué)基金(61573256),上海市科委“創(chuàng)新行動(dòng)計(jì)劃”項(xiàng)目(16111106502),浙江省高端創(chuàng)新載體專項(xiàng)項(xiàng)目浙江省高端創(chuàng)新載體專項(xiàng)項(xiàng)目資助

Supported by National Natural Science Foundation of China(61573256),Shanghai Science and Technology Innovation Fund(16111106502),Zhejiang Province High-end Innovative Carrier Project

本文責(zé)任編委孫希明

Recommended by Associate Editor SUN Xi-Ming

1.同濟(jì)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院 上海201804 2.蘇州科技大學(xué)電子與信息工程學(xué)院蘇州215009

1.College of Electronics and Information Engineering,Tongji University,Shanghai 201804 2.College of Electrical Engineering and Automation,Suzhou University of Science and Technology,Suzhou 215009

朱芳來(lái),蔡明,郭勝輝.離散切換系統(tǒng)觀測(cè)器存在性討論及降維觀測(cè)器設(shè)計(jì).自動(dòng)化學(xué)報(bào),2017,43(12):2091?2099

DOI10.16383/j.aas.2017.c160471

朱芳來(lái) 同濟(jì)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院教授.主要研究方向?yàn)榉蔷€性系統(tǒng)魯棒控制,觀測(cè)器設(shè)計(jì),基于模型的故障檢測(cè)與隔離.本文通信作者.

E-mail:zhufanglai@#edu.cn

(ZHU Fang-Lai Professor at the College of Electronics and Information Engineering,Tongji University.His research interest covers nonlinear robust control,modelbased fault detection and isolation.Corresponding author of this paper.)

蔡 明 同濟(jì)大學(xué)控制理論與控制工程專業(yè)碩士研究生.主要研究方向?yàn)榛谀Ｐ偷墓收蠙z測(cè)與隔離.

E-mail:basycai@163.com

(CAI Ming Master sutdent at the College of Electronics and Information Engineering,Tongji University.His research interest covers model-based fault detection and isolation.)

郭勝輝 蘇州科技大學(xué)電子與信息工程學(xué)院講師,博士.主要研究方向?yàn)榛谀Ｐ偷墓收蠙z測(cè)及觀測(cè)器設(shè)計(jì).

E-mail:12gsh@#edu.cn

(GUO Sheng-Hui Ph.D,lecturer at the College of Electronics and Information Engineering,Suzhou University of Science and Technology.His research interest covers model-based fault detection and observer design.)