金葉

【摘要】在高中教學中，基本不等式看似簡單，但是應用起來卻非常容易出錯，有的學生甚至在高考考場上還會出現(xiàn)失分現(xiàn)象，究其原因，是由于學生不能夠正確地理解并加以應用.有鑒于此，本文通過深入公式的本質來突破學習中的難點.

【關鍵詞】深挖公式;基本不等式;困惑

在高中數(shù)學中，基本不等式是學生容易犯錯的主要內容，其中“一正、二定、三相等”，即，a+b≥2ab，在a>0、b>0的前提下，a=b時，才取得最小值，如果ab不能為定值時是不是意味著a+b沒有最小值呢？這也是學生在應用基本不等式時常犯的錯誤，也是學生的易錯點.下面，筆者在教學中深挖公式，以期突破教學中的困惑.

一、積為定值有和的最小值

在數(shù)學教材中，不等式“ab≤a+b2（a>0、b>0）”稱為基本不等式，在解題中有著廣泛地應用.在教學中，筆者會用到這樣以下例子：用鐵絲網扎出一個矩形菜園，面積為100 m2，問，當此矩形的長度和寬度分別為多少時，所用的鐵絲網最短，最短值是多少？在授課中，在明確指出了基本不等式成立所需要的三個條件后進行了能力提升，筆者通過例題來啟發(fā)學生進行深入探討.

筆者：大家思考下，如果菜園的面積不是定值，是否可以求出周長的最小值？

學生：當面積不確定時，不能求出周長的最小值.

筆者：回答得非常好.假設a，b分別為菜園的兩個邊，結合基本不等式的公式，有何發(fā)現(xiàn)呢？

學生：基本不等式可以視為矩形周長2≥2矩形面積，因此，如果面積不能確定，那么矩形的周長也不會有最小值.

筆者：回答得非常好，通過基本不等式求最值，必須要滿足“定”的條件，只有在積為定值的前提下才會有和的最小值.

通過思考，學生可以從宏觀方面來掌握基本不等式求最值需要滿足的條件，對此有個大概了解和掌握.

二、相等未必有和的最小值

在講授完上述理論內容后，針對以往學生容易出錯的地方來進行試題鞏固.

題目：當x≥0時，7x+1的最小值為多少？

筆者：學生進行嘗試，有幾種不同的思路，均認為7x+1是代數(shù)式，可以將其分為兩項，3x+（4x+1）、4x+（3x+1）、2x+（5x+1）、5x+（2x+1）、x+（6x+1）、6x+（x+1）、7x+1，學生都有不同的思路.

思路1：7x+1拆分為3x+（4x+1），則，7x+1=3x+（4x+1）≥23x·（4x+1），只有當3x=（4x+1）時，即x=-1時，7x+1的最小值為-6.

思路2：7x+1拆分為2x+（5x+1），則，7x+1=2x+（5x+1）≥22x·（5x+1），只有當2x=（5x+1）時，即，x=-13時，7x+1的最小值為-43.

思路3：7x+1拆分為6x+（x+1），則，7x+1=6x+（x+1）≥26x·（x+1），只有當6x=（x+1）時，即，x=15時，7x+1的最小值為125.

思路4：帶入基本不等式，則，7x+1≥27x·1，只有當7x=1時，即，x=17時，7x+1的最小值為2.

筆者：大家對這道題有很多的思路，那么請分別按照上述思路來算出3x·（4x+1）、2x·（5x+1）、6x·（x+1）、7x·1的值，看是否為定值？依照上一問題，這些問題中的x是否是根據(jù)“a=b”得出，相同的試題為何卻能得到不同的答案？大家能不能將7x+1與27x·1進行比較？

通過以上分析，學生們有了以下深刻認識：（1）如果ab不為定值，則7x+1所拆分到的值不確定，即使在基本不等式中存在“a=b”情形，不能得出a+b的最小值.而思路1和2求出的x值錯誤，因此，只滿足“相等”條件并不能得到和的最小值;（2）在a>0，b>0的前提下，當a=b時，a+b=2ab，在a≠b情形下，a+b>2ab.如果a=b不存在，a+b不存在2ab的最小值.因此，筆者引導學生對基本不等式進行了深入討論，應用習題來對理解的內容進行深入學習和探究，掌握正確的解題思路，通過辨析來從微觀角度掌握公式的具體應用，提升基本不等式學習的質量和效率.

三、基本不等式教學反思

本文所研究內容是往年教學中學生都會出現(xiàn)的問題，我們應當從小處入手，緊抓教學細節(jié)，幫助學生辨識學習的內容.在基本不等式講解過程中，有時候會很難處理學生的疑惑，加之教學過程不夠細致，導致他們在學習時出現(xiàn)錯誤.通過預見式教學，學生在最開始時就會從宏觀和微觀兩個角度進行辨析，這有助于突破教學的困惑，最終真正掌握基本不等式的精髓.

總之，正確應用基本不等式需要學生在理解的基礎上來熟練應用，對一些容易犯錯的內容，教師要深入分析錯誤原因，挖掘其中的內在本質，幫助學生掌握解題技巧，使他們能夠正確、靈活地應用基本不等式.

【參考文獻】

[1]陳超.高中數(shù)學不等式教學策略研究[D].呼和浩特：內蒙古師范大學，2016.

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