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        曲線系過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題解法研究

        2018-01-06 23:54:28蔣逸飛
        考試周刊 2018年2期

        摘 要:平面解析幾何經(jīng)常會(huì)碰到判定或證明平面曲線系過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題。本文從含有一個(gè)或兩個(gè)參數(shù)的曲線系來(lái)談過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的解法。

        關(guān)鍵詞:過(guò)定點(diǎn);參數(shù)曲線系;幾何

        平面解析幾何定值問(wèn)題中,經(jīng)常會(huì)碰到一類判定或證明平面曲線系過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題。本文試從含有一個(gè)或兩個(gè)參數(shù)的曲線系來(lái)談過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的解法。

        一、 含有一個(gè)參數(shù)的曲線系

        (一) 賦值法

        若已知含參數(shù)方程為直線方程,我們可以取參數(shù)的兩個(gè)特殊值可得兩條直線的方程,求出它們的交點(diǎn)。例如:無(wú)論m取何實(shí)值,(3m+4)x+(2m-3)y=1所表示的直線恒過(guò)一定點(diǎn),求定點(diǎn)坐標(biāo)。令m=0,得4x-3y=1;m=1,得7x-y=1,求得交點(diǎn)坐標(biāo)217,-317,即定點(diǎn)。此法具有普適性,但是需驗(yàn)證交點(diǎn)坐標(biāo)也適合直線方程。

        (二) 數(shù)形結(jié)合思想

        若已知含參方程為曲線方程,我們可以將參數(shù)方程化為所學(xué)過(guò)的圓的方程或者圓錐曲線方程形式來(lái)解決問(wèn)題。

        例如:設(shè)函數(shù)f(x,y)=x2+4(m-2)+y2-8my+645=0,求定點(diǎn)坐標(biāo)。

        [x+2(m-2)]2+(y-4m)2=[25(m-25)]2

        即m=25時(shí)得過(guò)定點(diǎn)(165,85)。

        (三) 分離系數(shù)法

        若已知方程是含有參數(shù)m的方程,我們可以把系數(shù)中的m分離出來(lái),化為mF(x,y)+G(x,y)=0的形式,由F(x,y)=0且G(x,y)=0解出x和y的值,即得定點(diǎn)坐標(biāo)。

        二、 含有兩個(gè)參數(shù)的曲線系

        對(duì)于過(guò)定點(diǎn)的雙參數(shù)曲線系的問(wèn)題,若已知方程是含有參數(shù)m、n的方程,且可以化為mF(x,y)+nH(x,y)=G(x,y)的形式,那么仍可以利用上述分離系數(shù)方法解決,即F(x,y)= H(x,y)= G(x,y)=0。在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)若已知方程是含有參數(shù)m,n的方程,化成mF(x,y)+nH(x,y)= G(x,y)形式,且m,n滿足線性約束條件αm+βn=y,則借助直線與方程系數(shù)對(duì)應(yīng)相等或成比例解法較快捷。

        當(dāng)曲線過(guò)定點(diǎn)A(x0,y0),則可得

        mF(x0,y0)+nH(x0,y0)=G(x0,y0)

        αm+βn=y

        當(dāng)曲線過(guò)A點(diǎn)時(shí),關(guān)于m,n的直線方程應(yīng)有無(wú)窮各個(gè)解,或兩直線重合。

        則:

        F(x0,y0)α=H(x0,y0)β=G(x0,y0)y ①

        解上述方程

        ①若無(wú)解,則曲線過(guò)不定點(diǎn)。

        ②若有一解,則曲線過(guò)一個(gè)定點(diǎn)。

        ③若有n解,則曲線過(guò)n個(gè)定點(diǎn)(n∈N*)

        [注]:當(dāng)α,β或y任意一個(gè)為0時(shí),如y=0,αβ≠0

        則,αm+βn=0,n=-αmβ,mF(x0,y0)-αmβH(x0,y0)=G(x0,y),故

        mF(x0,y0)-αβH(x0,y0)=G(x0,y),

        F(x0,y0)α=H(x0,y0)βG(x0,y0)=0

        當(dāng)α=β=y則認(rèn)為①中公式可轉(zhuǎn)化為下式:

        F(x0,y0)=H(x0,y0)=G(x0,y0) ②

        下面按我們通過(guò)幾道例題來(lái)明確這種方法。

        例1 若兩參數(shù)m,n滿足式子3m+5n=3,直線y=-mx+15n(n≠0),試問(wèn)直線是否必過(guò)一點(diǎn)A(x0,y0),若過(guò)A點(diǎn),請(qǐng)求出A點(diǎn)坐標(biāo)。若不過(guò),請(qǐng)說(shuō)明理由。

        解:直線轉(zhuǎn)換得mx+ny=15

        mx0+my0=15

        3m+5n=3

        根據(jù)上述方法,重合,得:

        x03=y05=153

        解得x0=15y0=25

        直線必過(guò)A(15,25)

        解題心得:此題原式稍加轉(zhuǎn)化,即可成為上述方法中。

        例2 若滿足4km- 3kn = 144(k≠0),則直線mx-ny=3,過(guò)一定點(diǎn)B(x0,y0),求x0,y0的值。

        解:4km-3kn=144

        m3-n4=12k

        根據(jù)上述方法,得

        x013=y014=312k

        解得x0=k12y0=k16

        通過(guò)上述例題,我們了解到利用直線與方程系數(shù)對(duì)應(yīng)或比例來(lái)解決這類過(guò)定點(diǎn)的雙參數(shù)曲線系問(wèn)題,簡(jiǎn)化了計(jì)算量,讓我們?cè)诮忸}速度有一個(gè)的提升。

        參考文獻(xiàn):

        [1] 崔寶法.巧用分離參數(shù)法解曲線系過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2006.

        [2] 李國(guó)民.用二次曲線系快速解決一類定點(diǎn)定值問(wèn)題[J].數(shù)學(xué)通訊,2014(9).

        作者簡(jiǎn)介:蔣逸飛,湖北省武漢市,華中科技大學(xué)附屬中學(xué)。endprint

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