伍彩云

(沈陽(yáng)理工大學(xué) 裝備工程學(xué)院,沈陽(yáng) 100159)

基于平均駐留時(shí)間的切換模型參考自適應(yīng)控制方法的研究

伍彩云

(沈陽(yáng)理工大學(xué) 裝備工程學(xué)院,沈陽(yáng) 100159)

研究切換系統(tǒng)的被控對(duì)象存在參數(shù)不確定性的情形，解決切換模型參考自適控制系統(tǒng)的狀態(tài)跟蹤控制問(wèn)題。通過(guò)建立誤差切換系統(tǒng)，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論,利用平均駐留時(shí)間(ADT)方法得到充分條件，通過(guò)設(shè)計(jì)切換規(guī)則，解決閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)跟蹤問(wèn)題，并且通過(guò)仿真驗(yàn)證了方法的有效性。

模型參考自適應(yīng)控制；切換系統(tǒng)；切換律；狀態(tài)跟蹤

實(shí)際的控制系統(tǒng)，往往同時(shí)含有連續(xù)時(shí)間動(dòng)態(tài)和離散時(shí)間動(dòng)態(tài)，此時(shí)單純地用連續(xù)時(shí)間動(dòng)態(tài)系統(tǒng)或離散時(shí)間動(dòng)態(tài)系統(tǒng)來(lái)描述系統(tǒng)已經(jīng)不再實(shí)用。通常將這種具有連續(xù)時(shí)間動(dòng)態(tài)和離散事件動(dòng)態(tài)的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)稱(chēng)為混雜系統(tǒng)。由于系統(tǒng)特性，這種離散動(dòng)態(tài)與連續(xù)動(dòng)態(tài)的相互耦合使得傳統(tǒng)的系統(tǒng)分析和控制器設(shè)計(jì)方法難以應(yīng)用于混雜系統(tǒng)。但是，正是由于混雜系統(tǒng)比連續(xù)系統(tǒng)或者離散系統(tǒng)更能精確地描述實(shí)際控制系統(tǒng)，因此針對(duì)此類(lèi)系統(tǒng)的控制問(wèn)題研究已經(jīng)逐漸成為當(dāng)今控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一[1-2]。切換系統(tǒng)，作為一類(lèi)特殊的混雜系統(tǒng)，許多的大系統(tǒng)跟隨周?chē)h(huán)境的變化使得該類(lèi)系統(tǒng)呈現(xiàn)多個(gè)模態(tài)，因此在實(shí)際工程中具有非常廣泛的應(yīng)用[3-4]。例如：切換的網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)、飛行器控制、航空發(fā)動(dòng)機(jī)控制、機(jī)器人行走切換控制、燃油化工過(guò)程控制等[5-6]。并且，近些年來(lái)，切換系統(tǒng)在控制理論的不斷發(fā)展與完善也為大規(guī)模的實(shí)際系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和控制提供了理論依據(jù)和技術(shù)指導(dǎo)。

另一方面，控制器的設(shè)計(jì)往往依據(jù)于系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行設(shè)計(jì)，因此，控制器的控制效果很大程度上依賴(lài)于模型的精度。然而，在實(shí)際中，系統(tǒng)的參數(shù)往往隨著環(huán)境變化或本身就不可測(cè)，這給建立精確數(shù)學(xué)模型帶來(lái)很大難度；另外，在對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行建模的過(guò)程時(shí)，測(cè)量誤差和外界擾動(dòng)等因素的存在使得獲得精確描述的數(shù)學(xué)模型幾乎成為不可能。因此，在建模不準(zhǔn)確的情況下，研究如何處理這些不確定性，設(shè)計(jì)控制器使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)期望的控制目標(biāo)是非常必要的。作為處理這種不確定性的一個(gè)有效方法，自適應(yīng)控制已經(jīng)被大量的應(yīng)用于實(shí)際中[7]。其中，模型參考自適應(yīng)是比較流行的自適應(yīng)控制方式之一[8-9]，該方法主要是針對(duì)具有未知常參數(shù)的被控對(duì)象，首先設(shè)置一個(gè)動(dòng)態(tài)品質(zhì)優(yōu)良的參考模型，在系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中，通過(guò)動(dòng)態(tài)反饋控制器及自適應(yīng)律，使得被控對(duì)象的動(dòng)態(tài)特性與實(shí)現(xiàn)給定的參考模型動(dòng)態(tài)特性盡量接近。

近些年來(lái)，對(duì)具有未知常參數(shù)切換系統(tǒng)的研究逐漸得到重視。由于在實(shí)際系統(tǒng)中普遍存在參數(shù)的不確定性的情形，對(duì)切換系統(tǒng)自適應(yīng)控制的研究得到很大的關(guān)注，已經(jīng)成為控制理論領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一。Narendra等提出了基于多模型自適應(yīng)控制器，在達(dá)到系統(tǒng)的控制目標(biāo)的同時(shí)也提高了系統(tǒng)的性能[10]。Chiang等研究了一類(lèi)單輸入單輸出切換系統(tǒng)的變結(jié)構(gòu)自適應(yīng)控制問(wèn)題，然而由于其所給定的參考模型必須是相同的，因此限制了控制器設(shè)計(jì)的靈活性[11]。文獻(xiàn)[12]中研究了一類(lèi)分段線(xiàn)性切換系統(tǒng)的模型參考自適應(yīng)狀態(tài)跟蹤控制問(wèn)題。文獻(xiàn)[13]中，分別使用輸出反饋和狀態(tài)反饋解決了一類(lèi)單輸入單輸出分段線(xiàn)性切換系統(tǒng)的輸出跟蹤問(wèn)題，由于上述設(shè)計(jì)要求切換信號(hào)不僅僅需要滿(mǎn)足平均駐留時(shí)間，同時(shí)也要滿(mǎn)足其劃分的狀態(tài)空間，因此控制器的實(shí)現(xiàn)具有一定的難度。文獻(xiàn)[14]中對(duì)于一類(lèi)切換系統(tǒng)使用超穩(wěn)定理論。文獻(xiàn)[15]中提出了模型參考自適應(yīng)魯棒控制方法，分別得到了任意切換信號(hào)下閉環(huán)系統(tǒng)信號(hào)有界性。文獻(xiàn)[16]中研究了一類(lèi)離散分段線(xiàn)性系統(tǒng)，通過(guò)切換解決了狀態(tài)跟蹤控制問(wèn)題，但是由于其要求參考模型具有共同的李雅普諾夫函數(shù)，研究結(jié)果具有一定的保守性。由于未知參數(shù)的存在使常規(guī)的控制理論方法難以在系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)中進(jìn)行直接使用，同時(shí)，系統(tǒng)切換特性的存在更增加了分析和設(shè)計(jì)的難度，因此，對(duì)于切換的參考模型，以及切換的被控對(duì)象，研究狀態(tài)跟蹤控制問(wèn)題，具有非常重要的理論及實(shí)際意義。

本文研究切換模型參考自適控制系統(tǒng)的狀態(tài)跟蹤問(wèn)題。當(dāng)切換被控對(duì)象存在不確定性的時(shí)候，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，利用平均駐留時(shí)間給出一些充分條件，通過(guò)設(shè)計(jì)切換規(guī)則和切換自適應(yīng)控制器處理未知常參數(shù)和切換特性的關(guān)系，利用慢切換，使得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)跟蹤問(wèn)題可解。

本文的主要特點(diǎn)在于：首先，針對(duì)一類(lèi)帶有不確定性參數(shù)的切換系統(tǒng)進(jìn)行研究，此類(lèi)系統(tǒng)在實(shí)際工程領(lǐng)域非常廣泛，具有非常重要的意義；其次，本文的研究結(jié)果基于切換系統(tǒng)滿(mǎn)足一定的時(shí)間條件，有效的避免了切換系統(tǒng)頻繁切換情況，豐富了切換系統(tǒng)理論研究的結(jié)果。

1 問(wèn)題描述

考慮如下切換系統(tǒng)

(1)

式中：x(t)∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)；u(t)∈Rq為系統(tǒng)的控制輸入；σ(t):[0,+)→Ξ={1,…,M}為切換信號(hào)；M>0為子系統(tǒng)的個(gè)數(shù)；Ai(i∈Ξ)和Bi為含有未知常參數(shù)的矩陣。

參考模型的狀態(tài)方程為

(2)

式中：Ami∈Rn×n為Hurwitz 矩陣；Bmi∈Rn×q為輸入矩陣；r(t)∈Rq為有界輸入信號(hào)；xm(t)為參考模型的狀態(tài)。此時(shí)，定義狀態(tài)跟蹤誤差為e(t)=

x(t)-xm(t)。

本文的控制目標(biāo)是找到一類(lèi)切換信號(hào)，通過(guò)設(shè)計(jì)一個(gè)自適應(yīng)控制律，使得狀態(tài)跟蹤誤差e(t)最終收斂到一個(gè)以原點(diǎn)為圓心的超球域內(nèi)。

下面，對(duì)切換系統(tǒng)(1)和切換參考模型(2)，給出傳統(tǒng)模型參考自適應(yīng)控制中的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)[8]:

(3)

(4)

2 切換參考模型的穩(wěn)定性分析

根據(jù)文獻(xiàn)[12-13]可知，對(duì)任意的t>t0,記t0

(5)

是指數(shù)穩(wěn)定的，那么利用相同的切換規(guī)則，切換參考模型(2)具有有界輸入有界狀態(tài)穩(wěn)定性能。顯然，存在滿(mǎn)足λm>0的常數(shù)λm,使得下面的不等式成立

(6)

對(duì)于切換參考模型(2)，選取Lyapunov函數(shù)：

(7)

≤-2λmVmi(xm(t))

(8)

(9)

Vmi(xm(t))≤μmVmj(xm(t)), ?i,j∈Ξ,i≠j

(10)

根據(jù)式(8)、式(9)、式(10)以及文獻(xiàn)[14]，可知，齊次系統(tǒng)(5)在滿(mǎn)足ADT

(11)

的任意切換信號(hào)σ(t)作用下都是指數(shù)穩(wěn)定的，并且齊次系統(tǒng)(5)是指數(shù)穩(wěn)定的，即

3 誤差切換系統(tǒng)的建立

為解決本文提出的切換系統(tǒng)的模型參考自適應(yīng)狀態(tài)跟蹤控制問(wèn)題，首先利用切換系統(tǒng)(1)和切換參考模型(2)建立一個(gè)誤差切換系統(tǒng)，將狀態(tài)跟蹤控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為誤差切換系統(tǒng)的控制問(wèn)題。

針對(duì)切換系統(tǒng)(1)，使用控制器形式如下

(12)

根據(jù)式(1)、式(2)及式(12)，得到閉環(huán)系統(tǒng)

(13)

由切換參考模型(2)和閉環(huán)系統(tǒng)(13)，得到誤差切換系統(tǒng)

(14)

因此，可以將切換系統(tǒng)(1)的模型參考自適應(yīng)狀態(tài)跟蹤控制問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為通過(guò)設(shè)計(jì)切換自適應(yīng)控制器(12)來(lái)解決誤差切換系統(tǒng)(14)穩(wěn)定性問(wèn)題。為此，下面給出本文中一個(gè)主要的定義:

定義1(全局實(shí)用穩(wěn)定性)[8]：考慮系統(tǒng)(14)，對(duì)給定常數(shù)r*>0, 如果存在切換信號(hào)σ(t)和常數(shù)T*=T*e(t0),r*≥0,使得對(duì)t≥t0+T*有et;t0,e(t0) ∈S(r*)=e‖e‖≤r*成立，此時(shí)，稱(chēng)系統(tǒng)(14)(相應(yīng)于r*)是全局實(shí)用穩(wěn)定的。

4 誤差切換系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)

利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，對(duì)誤差切換系統(tǒng)(14)設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器，并且利用平均駐留時(shí)間方法找到一類(lèi)切換信號(hào)，使得誤差切換系統(tǒng)(14)的控制問(wèn)題可解。

當(dāng)已知控制器參數(shù)的上界和下界時(shí)，根據(jù)文獻(xiàn)[13]，得到如下參數(shù)投影自適應(yīng)規(guī)則

(15)

令

(16)

對(duì)閉環(huán)誤差切換系統(tǒng)(14)和(15)選取Lyapunov函數(shù)

(17)

當(dāng)?shù)趇個(gè)子系統(tǒng)被激活的時(shí)候，對(duì)(17)式沿著(14)式及(15)式取時(shí)間的導(dǎo)數(shù)得

(18)

(19)

令

(20)

由式(17)和式(20)，可得

eT(t)Pie(t)≤Vi(z(t))≤eT(t)Pie(t)+ρ

(21)

顯然，有下面不等式成立

(22)

根據(jù)文獻(xiàn)[8]，誤差切換系統(tǒng)(14),得到Vi(z(t))的兩個(gè)性質(zhì)。

Vi(z(t))≤exp(-2λe(t-t0))Vi(z(t0))

(23)

(2)對(duì)于任意的r2>0, 如果e(t)∈Rn/S(r2),有下面不等式成立:

Vi(z(t))≤μeVj(z(t)), ?i,j∈Ξ,i≠j

(24)

下面，得出本文的主要結(jié)論。

定理1：考慮誤差切換系統(tǒng)(14)，對(duì)于任意的r0>max{r1,r2}, 抖振界N0>0及r*>0, 如果存在正定矩陣Pi及一個(gè)常數(shù)λm>0，使得線(xiàn)性矩陣不等式(6)成立，那么，誤差切換系統(tǒng)(14)滿(mǎn)足下面的平均駐留時(shí)間條件的任意切換信號(hào)σ(t)

(25)

作用下是全局實(shí)用穩(wěn)定的。

對(duì)任意e(tk)∈Rn/S(r0), 根據(jù)性質(zhì)1和2，有下式成立

V(z(t)) ≤exp( -2λe(t-tNσ(tk,t)))V(z(tNσ(tk,t)))

=exp(Nσ(tk,t)lnμe-2λe(t-tk))V(z(tk))

綜合式(23)和式(24)得到

=μeexp(Nσ(tk,t)lnμe-2λe(t-tk))‖e(tk)‖2

也就是

(26)

(27)

因此，當(dāng)e(tk)∈Rn/S(r0)時(shí)，如果切換信號(hào)σ(t)滿(mǎn)足式(25)，那么一定存在Tk=Tke(tk),r0≥0使得‖e(tk+Tk)‖=r0成立。同時(shí)，由于T0=T0e(t0),r0≥Tk，所以，如果當(dāng)t=tk時(shí)，狀態(tài)跟蹤誤差e(t)的軌跡在超球域S(r0)外，那么當(dāng)t>tk時(shí)，該軌跡一定會(huì)到達(dá)這個(gè)超球域的邊界。

證畢。

(28)

的作用下是漸近穩(wěn)定的。

證明：此證明由文獻(xiàn)[13]的結(jié)果很容易得到。

5 仿真算例

通過(guò)對(duì)一個(gè)HiMAT飛行器進(jìn)行仿真，以此驗(yàn)證本文所提出方法的有效性。

根據(jù)文獻(xiàn)[14]，選擇如表1所示包絡(luò)線(xiàn)內(nèi)的兩個(gè)工作點(diǎn)的數(shù)據(jù)，假設(shè)該兩個(gè)線(xiàn)性模型能夠描述HiMAT飛行器在以上兩個(gè)工作點(diǎn)鄰域內(nèi)的動(dòng)態(tài)行為，通過(guò)利用順序縱向短周期線(xiàn)性模型構(gòu)造一個(gè)切換系統(tǒng)。系統(tǒng)狀態(tài)為x=x1(t),x2(t)T, 其中x1(t)和x2(t)分布代表迎角與俯仰角速率，控制輸入為u=u1(t),u2(t)T,u1(t)和u2(t)分別代表升降副翼角度和鴨翼角度。

表1 HiMAT 飛行器的兩個(gè)工作點(diǎn)

切換系統(tǒng)中參數(shù)如下[15,18]：

切換參考模型式(2)的參數(shù)如下：

切換參考模型的輸入信號(hào)為r(t)=sin(0.2πt)+sin(πt).通過(guò)式(6)得

圖1 切換信號(hào)

圖2～圖5分別給出誤差切換系統(tǒng)在切換信號(hào)σ(t)作用下的仿真結(jié)果。其中，圖2～圖3為e(t0)=(0.02, -0.02)T的狀態(tài)誤差曲線(xiàn)和控制曲線(xiàn)，此時(shí)‖e(t0)‖≤r*。圖4～圖5為e(t0)=(25,-25)T的狀態(tài)誤差曲線(xiàn)和控制曲線(xiàn)，此時(shí)‖e(t0)‖≥r*。

圖2 狀態(tài)跟蹤誤差 (e(t0)=(0.02,-0.02)T)

圖3 控制曲線(xiàn)(e(t0)=(0.02,-0.02)T)

圖4 狀態(tài)跟蹤誤差 (e(t0)=(25,-25)T)

圖5 控制輸入曲線(xiàn) (e(t0)=(25,-25)T)

6 結(jié)論

本文研究了具有被控對(duì)象具有未知常參數(shù)的切換模型參考狀態(tài)跟蹤控制問(wèn)題。為了讓切換的參考模型的狀態(tài)輸出是有界信號(hào)，首先給出了一個(gè)充分條件，使得切換參考模型具有有界輸入有界狀態(tài)性質(zhì)；然后，根據(jù)切換被控對(duì)象和切換參考模型建立誤差切換系統(tǒng)，設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器處理未知常參數(shù)和切換特性的關(guān)系；最后使用切換系統(tǒng)的平均駐留時(shí)間方法，得到了誤差切換系統(tǒng)的全局實(shí)用穩(wěn)定性條件，使得具有未知常參數(shù)的切換系統(tǒng)的狀態(tài)跟蹤控制問(wèn)題可解。本文研究的系統(tǒng)在現(xiàn)實(shí)控制系統(tǒng)中廣泛存在，得到的控制方法有效實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的跟蹤性能，具有重要的研究意義。

[1] Liberzon D.Switching in systems and control[M].Boston:Birkhauser,2003.

[2] Pettersson S.Analysis and design of hybrid systems[D].Goteborg,Sweden:Chalmers University of Technology,1999.

[3] Liberzon D,Morse A S.Basic problems in stability and design of switched systems[J].IEEE control systems magazine,1999,19(5):59-70.

[4] He X,Zhao J.Multiple lyapunov functions with blending for induced L2-norm control of switched LPV systems and its application to an F-16 aircraft model[J].Asian Journal of Control,2014,16(1):149-161.

[5] Wang X,Zhao J,Sun X M.Overshoot-free Acceleration of Aero-engines:An energy-based Switching Control Method[J].Control Engineering Practice,2016(47):28-36.

[6] 馮沖,張東好,羅禹貢,等.混合動(dòng)力客車(chē)自適應(yīng)巡航控制研究[J].汽車(chē)工程,2017,39(1):66-72.

[7] 伍彩云.切換系統(tǒng)的模型參考自適應(yīng)狀態(tài)跟蹤控制[D].沈陽(yáng)：東北大學(xué),2013.

[8] 伍彩云,關(guān)帥.狀態(tài)跟蹤問(wèn)題的切換自適應(yīng)控制策略[J].沈陽(yáng)理工大學(xué)學(xué)報(bào),2014,33(3):10-15.

[9] 祝庚,孫振東.切換線(xiàn)性系統(tǒng)的聚合優(yōu)化[J].控制理論與應(yīng)用,2013,30(7):815-820.

[10]Narendra K S,Balakrishnan J.Adaptive control using multiple models[J].IEEE Transactions on Automatic Control,1997,42(2):171-187.

[11]Chiang M L,Fu L C.Variable structure model reference adaptive control of unknown switched linear systems with relative degree greater than one[C]//in Proceedings of the IEEE Conference on Decision and Control.Shanghai,China,2009:4240-4245.

[12]Sang Q,Tao G.Adaptive control of piecewise linear systems:the state tracking case[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2012,57(2):522-528.

[13]Sang Q,Tao G.Adaptive Control of Piecewise Linear Systems with State Feedback for Output Tracking[J].Asian Journal of Control,2013,15(4):933-943.

[14]Hou Y,Dong C Y,Wang Q.Adaptive control scheme for linear uncertain switched systems[C]//in Proceedings of AIAA Guidance,Navigation and Control Conference and Exhibit,Honolulu,Hawaii,2008:1-12.

[15]Wang Q,Hou Y,Dong C.Model reference robust adaptive control for a class of uncertain switched linear systems[J].International Journal of Robust and Nonlinear Control,2012,22(9):1019-1035.

[16]Bernardo D M,Montanaro U,Olm J M,et al.Model reference adaptive control of discrete-time piecewise linear systems[J].International Journal of Robust and Nonlinear Control,2013,23(7):709-730.

SwitchingAdaptiveControlSchemefortheStateTrackingProblem

WU Caiyun

(Shenyang Ligong University,Shenyang 110159,China)

The state tracking problem is investigated for switched systems with parametric uncertainty.This problem is converted into the stability problem of an error switched system.By using Lyapunov stability theory and the average dwell time method,some sufficient conditions are given to guarantee the stability of the error switched system. Finally,a simulation example is given to illustrate the proposed method.

model reference adaptive control;switched system;switching law;state tracking

2017-05-19

國(guó)家自然科學(xué)基金青年基金資助項(xiàng)目(61603264);遼寧省博士啟動(dòng)基金資助項(xiàng)目(201601183);遼寧省優(yōu)秀人才支持計(jì)劃(LJQ2015094)

伍彩云(1976—),女，副教授，博士，研究方向：自適應(yīng)控制、切換系統(tǒng)等。

1003-1251(2017)06-0020-06

TP13

A

馬金發(fā))