管甜甜
“走進圖形世界”是初中幾何學習的起始部分.對這一章重難點的掌握程度、思想方法的體會程度,將會影響同學們接下來的幾何學習信心以及數(shù)學學習熱情.下面通過幾個經(jīng)典例題,與同學們一起來探索本章中常用的數(shù)學思想方法.
一、“概念型”的分類思想
例1 將下列幾何體分類,并說明理由.
【分析】本題應在認識到以上幾何體的各自特征基礎(chǔ)上,比較它們之間的相同點與不同點,再將它們進行分類.棱柱的特征:組成棱柱的面都是平面,上下底面是形狀、大小都相同的多邊形,側(cè)面是長方形或平行四邊形.球的特征:組成球的面是曲面.圓柱的特征:上下底面是大小相同的圓,側(cè)面是曲面.棱錐的特征:組成棱錐的面都是平面,底面是多邊形,側(cè)面是三角形.圓錐的特征:底面是一個圓,側(cè)面是曲面.
【答案】①若按柱、錐、球分:棱柱、圓柱是一類,為柱體;棱錐、圓錐是一類,為錐體;球是一類為球體.
②若按組成幾何體的面中是否有曲面來分:棱柱、棱錐是一類,即組成幾何體的各個面都是平面圖形;球、圓柱、圓錐是一類,即組成幾何體的面中至少有一個面是曲面.
③若按幾何體是否有頂點來分:棱柱、棱錐、圓錐是一類,即至少有一個頂點;球、圓柱是一類,沒有頂點.
【點評】這是一個開放型題目,又滲透了分類的思想.分類思想是根據(jù)數(shù)學本質(zhì)屬性的相同點和不同點,將數(shù)學研究對象分為不同種類的一種數(shù)學思想.概念型的分類,一定要充分了解分類對象的屬性,統(tǒng)一好分類的標準,不一樣的標準將會有不一樣的結(jié)果.
二、“結(jié)論型”的分類思想
例2 把下圖中的直角三角形和直角梯形(一腰垂直于底的梯形)相等的邊拼在一起,可以拼成哪些不同的平面圖形?
【分析】仔細觀察圖形,兩個圖形中有長度分別為1,2的邊長,可以分類將長度為1的拼在一起,長度為2的拼在一起.在此過程中讓一個圖形位置不變,另一個通過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等圖形運動將相等的邊拼在一起.注意分類還不能遺漏,圖中還有兩條沒標注長度的邊,需要考慮.
【答案】所拼成的圖形有直角三角形、有1個角是直角的凹五邊形、等腰梯形、平行四邊形、有2個角是直角的凸四邊形、有1個角是直角的凸五邊形、正方形、有3個角是直角的凸五邊形等8種情況如下:
【點評】這是一個操作型題目,其中也滲透了分類的思想,求解的數(shù)學問題結(jié)論一般有多種情況.如何將所有的情況不遺漏地全部得到,這就需要我們能夠有條理地進行分類.因此,從所給的問題情境中,正確而迅速地辨認題目中與分類有關(guān)的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系,是解決問題的關(guān)鍵.
三、“探索型”的化歸思想
例3 十八世紀瑞士數(shù)學家歐拉證明了簡單多面體中頂點數(shù) (V)、面數(shù)(F)、棱數(shù)(E)之間存在的一個有趣的關(guān)系式,被稱為歐拉公式.請你觀察下列幾種簡單多面體模型,解答下列問題.
(1)根據(jù)上面多面體模型,完成表格:
你發(fā)現(xiàn)頂點數(shù) (V)、面數(shù)(F)、棱數(shù)(E)之間存在的關(guān)系式是_______________;
(2)一個多面體的面數(shù)比頂點數(shù)大8,且有30條棱,則這個多面體的面數(shù)是_______________;
(3)某個玻璃飾品的外形是簡單多面體,它的外表面由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成,且有24個頂點,每個頂點處都有3條棱.設(shè)該多面體外表面三角形為x個,八邊形為y個,求x+y的值.
【分析】本題是一個有關(guān)歐拉公式的探索以及運用的題型.(1)通過觀察幾個特殊幾何體的頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù),得出具體數(shù)值,再探索出它們之間的一般關(guān)系. 經(jīng)歷由易到難,由特殊到一般的探索過程.(2)運用歐拉公式解決問題.(3)運用歐拉公式解決問題,與(2)不同的是,棱數(shù)要計算出來,這是一個小難點.
【答案】(1)
發(fā)現(xiàn):4+4-6=2,8+6-12=2,6+8-12=2,20+12-30=2,于是有:V+F-E=2.
(2)面數(shù)為20.
(3)每個頂點處有3條棱,這樣24個頂點共有72條棱.但是每條棱連著兩個頂點,每條棱均算了兩遍,實際上棱只有36條,根據(jù)歐拉公式V+F-E=2,可得x+y=14.
【點評】本題是寧波市的一道中考題,是典型的探索與運用題型.如果沒有第(1)問的直觀幾何體鋪墊,同學們無從下手推導出抽象的歐拉公式.此題正體現(xiàn)了數(shù)學中常用的化歸思想,將一個問題由難化易,由繁化簡,進行轉(zhuǎn)化和歸結(jié).化歸不僅是重要的解題思想,更是一種有效的數(shù)學思維方式.
(作者單位:江蘇省南京市第二十九中學致遠初級中學)endprint