賈對紅
(長治學(xué)院 數(shù)學(xué)系,山西 長治 046011)
一類雙曲型偏微分方程混合問題的分離變量解
賈對紅
(長治學(xué)院 數(shù)學(xué)系,山西 長治 046011)
研究了一類特殊的雙曲型偏微分方程的混合問題,用初等解法即分離變量法得出了混合問題的非平凡解。
偏微分方程;混合問題;分離變量法
由于信息技術(shù)以及數(shù)值計算的飛速發(fā)展,偏微分方程的數(shù)值解法得以廣泛發(fā)展與應(yīng)用,而一些初等解法卻漸漸被人們忽略。文章針對一類特殊的雙曲型偏微分方程的混合問題,采用了一種初等解法即變量分離法給出了其解。
對于混合問題:
設(shè)方程具有滿足上述邊界條件的非零變量分離解u(x,t)=X(x)T(t),將其代入方程得:
即得:
在上式中,左端是t的函數(shù),右端是x的函數(shù),而它們在區(qū)域Q={0<x<l,t>0}上恒等,因此它們只能是常數(shù),我們設(shè)這個常數(shù)是-λ,從而有:
將解(x,t)=X(x)T(t)代入邊界條件得:
由于我們所求的是非零解,故T(t)≠0,從而得到S-L問題:
求解S-L問題(4)得方程的通解為:
代入邊界條件得:
相應(yīng)的非零解為:
這樣我們就得到了S-L問題的解。
將式(5)中的λ代入方程(2),求得:
即un(x,t)=Xn(x)Tn(t)滿足(1)中的方程和邊界條件,我們將所有的un(x,t)疊加起來使得它滿足(1)中的初始條件,即?。?/p>
從而得到:
同理得:
這樣我們就求得了混合問題(1)的形式解(7),其中系數(shù)An,Bn由公式(10)(11)給出。
為了證明形式解(7)確實(shí)是混合問題(1)的解,我們需要對定解條件加上光滑性要求,以及在角點(diǎn)(0,0),(l,0)處的相容性條件,由此得到以下定理。
則由(7)式給出的函數(shù)u(x,t)是混合問題(1)的解。
[1]朱長江,鄧引斌編著.偏微分方程教程[M].北京:科學(xué)出版社.2005.
[2]車向凱,謝彥紅等.數(shù)理方程[M].北京:高等教育出版社.2006.
[3]白艷平,陸平,薛亞奎編著[M].北京理工大學(xué)出版社.2006.
The Separation of Variables for a Class of Hyperbolic Partial Differential Equations
Jia Dui-hong
(Department of Mathematics Changzhi University,Changzhi Shanxi 046011)
In this paper,we study the mixing problem of a class of special hyperbolic partial differential equations,and obtain the nontrivial solution of the mixing problem by the elementary solution method.
partial differential equations,mixing problem,separation of variables
O175
A
1673-2014(2017)05-0029-02
2017—04—16
賈對紅(1979— ),女,山西壽陽人,講師,主要從事微分方程及其應(yīng)用研究。
(責(zé)任編輯 趙巨濤)