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        一類雙曲型偏微分方程混合問題的分離變量解

        2018-01-04 01:33:04賈對紅
        長治學(xué)院學(xué)報 2017年5期

        賈對紅

        (長治學(xué)院 數(shù)學(xué)系,山西 長治 046011)

        一類雙曲型偏微分方程混合問題的分離變量解

        賈對紅

        (長治學(xué)院 數(shù)學(xué)系,山西 長治 046011)

        研究了一類特殊的雙曲型偏微分方程的混合問題,用初等解法即分離變量法得出了混合問題的非平凡解。

        偏微分方程;混合問題;分離變量法

        由于信息技術(shù)以及數(shù)值計算的飛速發(fā)展,偏微分方程的數(shù)值解法得以廣泛發(fā)展與應(yīng)用,而一些初等解法卻漸漸被人們忽略。文章針對一類特殊的雙曲型偏微分方程的混合問題,采用了一種初等解法即變量分離法給出了其解。

        對于混合問題:

        設(shè)方程具有滿足上述邊界條件的非零變量分離解u(x,t)=X(x)T(t),將其代入方程得:

        即得:

        在上式中,左端是t的函數(shù),右端是x的函數(shù),而它們在區(qū)域Q={0<x<l,t>0}上恒等,因此它們只能是常數(shù),我們設(shè)這個常數(shù)是-λ,從而有:

        將解(x,t)=X(x)T(t)代入邊界條件得:

        由于我們所求的是非零解,故T(t)≠0,從而得到S-L問題:

        求解S-L問題(4)得方程的通解為:

        代入邊界條件得:

        相應(yīng)的非零解為:

        這樣我們就得到了S-L問題的解。

        將式(5)中的λ代入方程(2),求得:

        即un(x,t)=Xn(x)Tn(t)滿足(1)中的方程和邊界條件,我們將所有的un(x,t)疊加起來使得它滿足(1)中的初始條件,即?。?/p>

        從而得到:

        同理得:

        這樣我們就求得了混合問題(1)的形式解(7),其中系數(shù)An,Bn由公式(10)(11)給出。

        為了證明形式解(7)確實(shí)是混合問題(1)的解,我們需要對定解條件加上光滑性要求,以及在角點(diǎn)(0,0),(l,0)處的相容性條件,由此得到以下定理。

        則由(7)式給出的函數(shù)u(x,t)是混合問題(1)的解。

        [1]朱長江,鄧引斌編著.偏微分方程教程[M].北京:科學(xué)出版社.2005.

        [2]車向凱,謝彥紅等.數(shù)理方程[M].北京:高等教育出版社.2006.

        [3]白艷平,陸平,薛亞奎編著[M].北京理工大學(xué)出版社.2006.

        The Separation of Variables for a Class of Hyperbolic Partial Differential Equations

        Jia Dui-hong
        (Department of Mathematics Changzhi University,Changzhi Shanxi 046011)

        In this paper,we study the mixing problem of a class of special hyperbolic partial differential equations,and obtain the nontrivial solution of the mixing problem by the elementary solution method.

        partial differential equations,mixing problem,separation of variables

        O175

        A

        1673-2014(2017)05-0029-02

        2017—04—16

        賈對紅(1979— ),女,山西壽陽人,講師,主要從事微分方程及其應(yīng)用研究。

        (責(zé)任編輯 趙巨濤)

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