一、問題

“分?jǐn)?shù)除法解決問題”是人教版數(shù)學(xué)教材六年級(jí)上冊(cè)中的教學(xué)內(nèi)容。它是在學(xué)生掌握了分?jǐn)?shù)乘法計(jì)算、解決問題和分?jǐn)?shù)除法計(jì)算的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，是小學(xué)階段解決問題中的一大難題。

從教材編排上看，這一類問題是“求比一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾是多少”的稍復(fù)雜分?jǐn)?shù)乘法解決問題的延伸。教師在教學(xué)這一類問題時(shí)，會(huì)訓(xùn)練學(xué)生按如下步驟進(jìn)行解題：一找關(guān)鍵句，通常是找含有分率的句子；二定單位1，“的”前“比”（是）后的量為單位1；三列算式，單位1已知用乘法，單位1未知用除法，多則加、少則減，然后進(jìn)行訓(xùn)練。

按照這種方法，學(xué)生似乎只需機(jī)械地記憶并套用公式，但在練習(xí)時(shí)卻頻繁出錯(cuò)。這種情況一直困擾著眾多教師。學(xué)生為什么練習(xí)中會(huì)頻繁出錯(cuò)？我們?cè)撊绾螏椭鷮W(xué)生解決這個(gè)問題，切實(shí)提高學(xué)生解決此類問題的能力？為此，我們數(shù)學(xué)組進(jìn)行了思考和實(shí)踐。

1.教學(xué)實(shí)踐中的問題

為了切實(shí)掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，以及練習(xí)中出現(xiàn)的問題，我們隨機(jī)抽取了90名六年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了教學(xué)前測(cè)。前測(cè)要求是只寫出數(shù)量關(guān)系式，測(cè)試題目和結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：

從前測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)來看，學(xué)生未學(xué)習(xí)這一內(nèi)容，在寫“求比一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾是多少”的關(guān)系式時(shí)，正確率在80%左右，而在寫“已知比一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾的數(shù)是多少，求這個(gè)數(shù)”的關(guān)系式時(shí)，正確率下降到60%。通過對(duì)學(xué)生的前測(cè)結(jié)果進(jìn)行分析，結(jié)合對(duì)教師的調(diào)查，我們發(fā)現(xiàn)在教與學(xué)中主要存在以下問題。

（1）前面的學(xué)習(xí)中沒有與“比一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾”這類數(shù)量關(guān)系相匹配的題型，也就是說這一內(nèi)容與學(xué)生之前的學(xué)習(xí)出現(xiàn)了斷層。學(xué)生沒有可供借鑒的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，出錯(cuò)也就在所難免。

（2）教學(xué)分?jǐn)?shù)乘法時(shí)直接列式計(jì)算，不要求寫關(guān)系式。很多老師在教學(xué)第一單元分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題時(shí)，訓(xùn)練學(xué)生審題后直接列式計(jì)算。由于這個(gè)知識(shí)點(diǎn)比較簡(jiǎn)單，學(xué)生整體掌握得較好。但是，一旦接觸分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題后，尤其是遇到分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題的對(duì)比練習(xí)時(shí)，學(xué)生難以根據(jù)數(shù)量關(guān)系式找出它們的聯(lián)系與區(qū)別，容易將兩類題混淆，導(dǎo)致出錯(cuò)。

（2）將分?jǐn)?shù)乘法和分?jǐn)?shù)除法解決問題作為對(duì)比練習(xí)。教學(xué)時(shí)，可以把分?jǐn)?shù)除法解決問題與分?jǐn)?shù)乘法解決問題結(jié)合起來，理清它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，讓學(xué)生在比較的過程中發(fā)現(xiàn)，數(shù)量關(guān)系式只與關(guān)鍵句有關(guān)。不管單位1是已知還是未知，我們都可以用乘法數(shù)量關(guān)系式解決這些問題。求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少以及求比一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾是多少這兩種題背后的解題策略是一致的。

按照以上思路，我們進(jìn)行了如下的教學(xué)嘗試。

二、實(shí)踐

1.復(fù)習(xí)引入，解決求比一個(gè)數(shù)少幾分之幾是多少的實(shí)際問題。

師：已知爸爸的體重是75千克，你知道小明的體重是多少千克嗎？為什么？

生1：不知道，因?yàn)樯倭艘粭l信息，不知道爸爸的體重和小明的體重之間的關(guān)系。

師：這就是爸爸的體重和小明的體重之間的關(guān)系，我們把這種關(guān)系式叫做數(shù)量關(guān)系式。你能根據(jù)數(shù)量關(guān)系式求出小明的體重嗎？（生練習(xí)）

師：也就是說我們要把相應(yīng)的量替換出來。剛才爸爸的體重是75千克，我們就換成75?，F(xiàn)在爸爸的體重不知道，我們就用x代替。這樣就根據(jù)數(shù)量關(guān)系式列出了方程，只要解出方程就順利解答出問題了?？磥碛脭?shù)量關(guān)系式可以有效地解決這類問題。細(xì)心的同學(xué)有沒有發(fā)現(xiàn)，之前的練習(xí)和現(xiàn)在的例題有什么異同？

生16：它們的條件不同，關(guān)鍵句相同，數(shù)量關(guān)系式也相同。

師：也就是說同樣的關(guān)鍵句可以解決兩類問題，一類是單位1已知的情況，另一類是單位1未知的情況，都可以通過數(shù)量關(guān)系式找到突破口。

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生結(jié)合圖示寫數(shù)量關(guān)系式的基礎(chǔ)上，教師展示錯(cuò)誤轉(zhuǎn)換單位1的情況，師生一同對(duì)數(shù)量關(guān)系式糾錯(cuò)，加深學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系式的理解。再結(jié)合數(shù)量關(guān)系式，選擇合適的方法解決問題。

3.鞏固練習(xí)。

師：你學(xué)會(huì)用數(shù)量關(guān)系式解決問題了嗎？我們來試試看。

從統(tǒng)計(jì)結(jié)果來看，相對(duì)于前測(cè)，學(xué)生解決問題的正確率有了一定的提高。在解決問題的過程中，學(xué)生不再只關(guān)注單位1已知還是未知，用乘法還是用除法，而是更加重視理解題意，找出數(shù)量關(guān)系式，體會(huì)到了用方程解決問題的優(yōu)越性。

三、討論

經(jīng)過教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐，我們對(duì)這節(jié)課的教學(xué)有了進(jìn)一步的思考。

1.重視數(shù)量關(guān)系式的理解與應(yīng)用。

寫出數(shù)量關(guān)系式對(duì)解決此類問題有事半功倍的效果。借助數(shù)量關(guān)系式，可以溝通已知量和未知量之間的聯(lián)系，從整體上對(duì)問題進(jìn)行把握和建構(gòu)。學(xué)生難以寫出數(shù)量關(guān)系式時(shí)，教師需要放慢速度，結(jié)合線段圖幫助學(xué)生理解。在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題時(shí)就要給學(xué)生充足的時(shí)間練習(xí)寫數(shù)量關(guān)系式，包括“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”和“求比一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾是多少”兩類題型。在這一過程中，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，如果正確寫出了數(shù)量關(guān)系式，解題時(shí)直接將數(shù)據(jù)代入數(shù)量關(guān)系式即可。有了這樣的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法解決問題時(shí)，學(xué)生只需將這一方法進(jìn)行遷移，把數(shù)量關(guān)系式中未知的量換成x，問題就能迎刃而解。最后引導(dǎo)學(xué)生歸納，不管單位1已知還是未知，我們都可以用這兩類數(shù)量關(guān)系式解決這些問題。在后續(xù)練習(xí)中，教師要將分?jǐn)?shù)乘除法解決問題進(jìn)行交叉重組，幫助學(xué)生理清兩種問題的區(qū)別與聯(lián)系，選擇合適的解題策略，從而建立有效的解題模型。

2.借助數(shù)量關(guān)系式用方程解決這類問題。

解決這類問題通常有兩種方法。一種是用分?jǐn)?shù)除法列式解答，這是一種算術(shù)思維。實(shí)際教學(xué)中，教師習(xí)慣于按照“一找關(guān)鍵句、二定單位1，單位1已知用乘法、單位1未知用除法，多則加、少則減”的方式讓學(xué)生進(jìn)行操練，并告訴學(xué)生用對(duì)應(yīng)分量÷對(duì)應(yīng)分率=標(biāo)準(zhǔn)量，即量率對(duì)應(yīng)法則。這種解題模式過分注重迅速?gòu)念}中提取數(shù)據(jù)，尋求數(shù)據(jù)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，淡化了學(xué)生解題過程中的理解和感悟，不利于學(xué)生解決問題能力的培養(yǎng)和思維的發(fā)展。另一種是列方程解決問題，這是一種代數(shù)思維，也是一種關(guān)系思維，是通過把已知的和未知的關(guān)系用等式刻畫出來，然后代入數(shù)據(jù)，逐步解答。最新的人教版數(shù)學(xué)教材將分?jǐn)?shù)除法的解決問題部分由原來的算術(shù)解法修改為引入方程解決問題。在教學(xué)過程中，我們發(fā)現(xiàn)方程的確能有效地降低除法逆運(yùn)算的思維難度。在后續(xù)用百分?jǐn)?shù)解決濃度或利潤(rùn)問題時(shí)，數(shù)量關(guān)系更加復(fù)雜。比如：在10千克濃度為20%的食鹽水中加入5%的食鹽水和白開水各若干千克，得到了濃度為10%的食鹽水。如果加入的食鹽水是白開水質(zhì)量的2倍，那么加入白開水多少千克？毋庸置疑，遇到這種更復(fù)雜的問題，引入方程的思路十分有必要。用方程解決問題是一種順向思維，可以直接通過數(shù)量關(guān)系式找到突破口，解決問題的方法更符合學(xué)生的思維特點(diǎn)，普適性更強(qiáng)。所以，我們認(rèn)為學(xué)生應(yīng)該從這里開始進(jìn)行方程的入門練習(xí)，從易到難，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

（執(zhí)筆：謝凝、吳波勇、余鋇、陳雷、陳澤榮、羅朝霞、鄭志剛、徐旺、李闖）endprint