張子賢

(江蘇建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 徐州 221116)

指數(shù)函數(shù)擬合公路隧道工程沉降規(guī)律的方法研究

張子賢

(江蘇建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 徐州 221116)

對于指數(shù)函數(shù)回歸，只當(dāng)采用乘積隨機(jī)誤差時才能夠線性化。導(dǎo)出了采用乘積隨機(jī)誤差及采用線性化回歸方法時，指數(shù)函數(shù)因變量的數(shù)學(xué)期望的表達(dá)式，該式表明，該因變量的估計值并非是其數(shù)學(xué)期望的估值。分析表明，采用線性化回歸方法所求指數(shù)函數(shù)的回歸系數(shù)不滿足該因變量的殘差平方和為最小。基于上述不合理現(xiàn)象，對指數(shù)函數(shù)的回歸計算應(yīng)采用非線性回歸方法求解。文中給出了采用高斯-牛頓法或借助MATLAB軟件中nlinfit函數(shù)求解指數(shù)函數(shù)非線性回歸的方法。實(shí)例進(jìn)一步表明，采用非線性回歸方法擬合效果顯著優(yōu)于線性化的回歸方法，且借助MATLAB軟件易于實(shí)現(xiàn)。

指數(shù)函數(shù)；線性化回歸方法；非線性回歸方法；沉降規(guī)律擬合；擬合精度

0 引言

指數(shù)回歸函數(shù)（以下簡稱指數(shù)函數(shù)）常用于擬合路基、隧道等建筑物的沉降量隨時間的變化規(guī)律[1-3]。對該函數(shù)的回歸計算，數(shù)理統(tǒng)計教科書、以往科技文獻(xiàn)以及生產(chǎn)實(shí)際中常用的方法是：首先，通過變量代換轉(zhuǎn)化為線性模型，并利用線性回歸方法推求線性回歸系數(shù)；然后，根據(jù)線性回歸系數(shù)反求指數(shù)函數(shù)的回歸系數(shù)。這種方法稱為非線性模型線性化回歸方法。該方法看起來是合理的，其實(shí)不然。實(shí)際上，只當(dāng)采用乘積隨機(jī)誤差時指數(shù)函數(shù)才能夠線性化，本文將分析指數(shù)函數(shù)采用線性化回歸方法的統(tǒng)計特性、分析指數(shù)函數(shù)非線性回歸與其線性化回歸二者的殘差平方和之間的關(guān)系式，進(jìn)而指出指數(shù)函數(shù)采用線性化回歸方法的不合理之處。給出了指數(shù)函數(shù)采用高斯-牛頓法進(jìn)行非線性回歸的方法或借助MATLAB軟件中nlinfit函數(shù)的回歸方法。實(shí)例表明，對于指數(shù)函數(shù)，采用非線性回歸方法的擬合效果顯著優(yōu)于線性化的回歸方法。

1 指數(shù)函數(shù)采用線性化回歸方法的統(tǒng)計特性

采用回歸分析方法，對因變量的值進(jìn)行估計，實(shí)質(zhì)上是對其數(shù)學(xué)期望進(jìn)行估計。因此，因變量的估計值應(yīng)等于其數(shù)學(xué)期望的估計值，這是回歸方法應(yīng)具備的統(tǒng)計特性。為分析指數(shù)函數(shù)采用線性化回歸方法時的統(tǒng)計特性，必須引入隨機(jī)誤差項(xiàng)ε。

當(dāng)采用乘積隨機(jī)誤差時[4]，指數(shù)函數(shù)回歸模型：

式中：A、B為待估參數(shù)。

對式（1）進(jìn)行自然對數(shù)變換后，并令v=lny，a=lnA，得線性模型

傳統(tǒng)的做法是假設(shè) ε～N（0，σ2），利用線性最小二乘法求解式（2）的線性回歸系數(shù)，進(jìn)而得式（1）的非線性回歸系數(shù)，為簡便起見且不致混淆，將也簡記為ˇ（下同）。因此，將作為y的估計值。然而并非是y的數(shù)學(xué)期望的估計值。因?yàn)椋?/p>

文獻(xiàn)[5]已證明：E（eε）=1+σ2/2+σ4/8

由式（3）可知ˇ，對數(shù)變換后y的數(shù)學(xué)期望不為AeBx，而估計值=AeBx不等于y的數(shù)學(xué)期望的估值，顯然不是好的估計。

對于指數(shù)函數(shù)，若采用加性隨機(jī)誤差：

對于式（4），設(shè)ε～N（0，σ2），則E（y）=AeBx。因此，指數(shù)函數(shù)因變量的估計值：

2 指數(shù)函數(shù)非線性回歸與其線性化后二者的殘差平方和的關(guān)系

一般地，設(shè)可線性化的曲線回歸變量代換后的線性回歸的因變量v的殘差平方和為曲線回歸因變量的殘差平方和為,文獻(xiàn)[5]導(dǎo)出二者的近似關(guān)系式為

對于指數(shù)函數(shù)，v=lny，即y=ev，dy/dv=ev，則有：

綜上所述，為取得好的擬合效果以及提高擬合精度，對于指數(shù)函數(shù)應(yīng)采用非線性回歸方法求解。

需要指出，反映線性化回歸密切程度的指標(biāo)常用相關(guān)系數(shù)r或r2：

反映非線性回歸模型的相關(guān)指數(shù)R2（也稱為決定系數(shù)）

顯然，當(dāng)對非線性待估變量y作了變換時，r2≠R2。

3 指數(shù)函數(shù)的非線性回歸方法及其Matlab實(shí)現(xiàn)

對于指數(shù)函數(shù)回歸模型式（4）、式（5），引入?yún)?shù)向量 θ=（A,B）。設(shè) y和 x具有 n組觀察值（xi，yi），i=1～n。采用高斯-牛頓法[6]求解指數(shù)函數(shù)回歸參數(shù)“最小二乘”估計的參數(shù)遞推公式，寫成矩陣形式為：

采用高斯-牛頓法對指數(shù)函數(shù)非線性回歸計算的步驟如下。

（1）分別對式（5）中參數(shù) A、B 求偏導(dǎo)數(shù)，得：

（2）確定待估參數(shù)初值 θ（0）=（A0，B0）′，可利用實(shí)測值中任兩組關(guān)系值求得。

（3）利用 θ（0）、式（12）、式（13）及 n 組實(shí)測值（ti，y）i，i=1～n，計算偏導(dǎo)數(shù)矩陣J（θ（0））及θ（0），進(jìn)而根據(jù)式（10）進(jìn)行迭代計算，直到 θ（k）收斂穩(wěn)定，即小于或等于預(yù)先指定的小正數(shù)（例如δ=0.000 5），從而得到非線性回歸系數(shù)A，B的估計值。

實(shí)例1：柳山隧道左洞K39+630拱頂及該隧道斷面內(nèi)空收斂1#、2#、3#測線的累計沉降量y的觀測數(shù)據(jù)見表1[1]。

根據(jù)實(shí)例1各測點(diǎn)的散點(diǎn)圖，采用指數(shù)函數(shù)估計累計沉降量：

令x=1/t,式（14）則轉(zhuǎn)化為式（5）。

對實(shí)例1分別采用線性化回歸方法、非線性回歸的高斯-牛頓法，擬合拱頂及該隧道斷面內(nèi)空收斂1#、2#、3#測線的累計沉降量，其結(jié)果見表2。擬合曲線分別見圖1～圖4?？梢姡咚?牛頓法擬合效果顯著優(yōu)于線性化回歸方法。

對指數(shù)函數(shù)非線性回歸計算也可直接調(diào)用MATLAB軟件中nlinfit函數(shù)，以實(shí)例1拱頂為例，具體方法如下[7，8]。

function yhat=volumsq（beta,t）

yhat=beta（1）*exp（beta（2）./t）

表1 實(shí)例1累計沉降量觀測數(shù)據(jù)

表2 實(shí)例1不同方法求得指數(shù)函數(shù)回歸的計算結(jié)果

（2）在命令窗口輸入

在命令窗口輸入

t=[1.007,2.313,3.021,4.007,4.986,6.149,7.18,7.975,9.027,10.037,10.999,12.02,13.117,13.978,15.159,15.996,17.006,18.201,19.218,20.017,21.221,22.256]y=[0.432,0.829,1.182,1.577,2.028,2.393,2.584,2.833,3.033,3.215,3.314,3.462,3.578,3.661,3.75 3.799,3.799,3.908,3.906,3.912,3.907,3.92]beta0=[3,-1]′[beta]=nlinfit（t′,y′,′volumsq′,beta0）;beta

圖1 實(shí)例1的拱頂由不同方法所得擬合曲線比較

圖2 實(shí)例1的1#測線由不同方法所得擬合曲線比較

圖3 實(shí)例1的2#測線由不同方法所得擬合曲線比較

圖4 實(shí)例1的3#測線由不同方法所得擬合曲線比較

得結(jié)果：beta=[4.887 8，-4.303 7]。

實(shí)例2：根據(jù)文獻(xiàn)[2]坡頭公路隧道拱頂沉降觀測數(shù)據(jù)，分別采用線性化回歸方法、非線性回歸高斯-牛頓法進(jìn)行指數(shù)函數(shù)回歸計算，結(jié)果見表3。擬合曲線見圖5?？梢姼咚?牛頓法擬合效果顯著優(yōu)于線性化回歸方法。利用高斯-牛頓法求得的回歸方程，計算回歸線的均方誤為0.169 1 mm、殘差絕對值和為4.927 6，分別小于文獻(xiàn)[2]相應(yīng)的計算結(jié)果 0.191 2 mm、6.021 6。

表3 實(shí)例2不同回歸方法求得指數(shù)函數(shù)回歸的計算結(jié)果

4 結(jié)語

對于指數(shù)函數(shù)回歸，只當(dāng)采用乘積隨機(jī)誤差時才能夠線性化。導(dǎo)出了采用乘積隨機(jī)誤差及采用線性化回歸方法時，指數(shù)函數(shù)因變量的數(shù)學(xué)期望的表達(dá)式，該式表明，該因變量的估計值并非是其數(shù)學(xué)期望的估值。得出了指數(shù)函數(shù)非線性回歸與其線性化回歸二者的殘差平方和之間的關(guān)系式，該式表明，采用線性化回歸方法所求得的非線性回歸系數(shù)不滿足指數(shù)函數(shù)因變量的殘差平方和為最小。因此，對指數(shù)函數(shù)的回歸計算應(yīng)采用非線性回歸方法求解。

圖5 實(shí)例2由不同方法所得擬合曲線比較

文中給出了采用高斯-牛頓法或借助MATLAB軟件中nlinfit函數(shù)求解指數(shù)函數(shù)非線性回歸的方法。結(jié)合兩則實(shí)例5個測點(diǎn)的沉降觀測數(shù)據(jù)，采用非線性回歸方法進(jìn)行指數(shù)函數(shù)的回歸計算，結(jié)果進(jìn)一步表明，非線性回歸方法的擬合效果顯著優(yōu)于線性化回歸方法。

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U456.3

A

1009-7716（2017）12-0157-04

10.16799/j.cnki.csdqyfh.2017.12.045

2017-08-07

住房與城鄉(xiāng)建設(shè)部項(xiàng)目(2015-K7-009)。

張子賢（1958-），女，河北豐南人，教授，從事應(yīng)用概率統(tǒng)計等方面的研究工作。