四川省成都市第七中學(xué)高二(10)班 (610000)

曾 偲

2017年高考數(shù)學(xué)天津卷壓軸題的高等數(shù)學(xué)背景

四川省成都市第七中學(xué)高二(10)班 (610000)

曾 偲

2017年高考數(shù)學(xué)天津卷壓軸題含有深刻的高等數(shù)學(xué)背景，即劉維爾(Liouville)不等式的背景.

題目(2017年高考數(shù)學(xué)天津卷理科壓軸題) 設(shè)a∈Z，已知定義在R上的函數(shù)f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a在區(qū)間(1,2)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)x0，g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).

(Ⅰ)求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)設(shè)m∈[1,x0)∪(x0,2]，函數(shù)h(x)=g(x)(m-x0)-f(m)，求證h(m)h(x0)<0；

筆者在看到此題第3小問(wèn)時(shí)，便覺(jué)得似曾相識(shí)，翻閱資料，最終在《微積分的歷程 從牛頓到勒貝格》[1]一書中找到了相關(guān)的描述，也即所謂的“劉維爾(Liouville)不等式”.十九世紀(jì)初的大數(shù)學(xué)家約瑟夫·劉維爾(JosephLiouville，1809.3.24—1882.9.8)向當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科中一個(gè)難題發(fā)出了挑戰(zhàn)，即超越數(shù)的存在性. 所謂超越數(shù)，即那些不能表示為任何具有整系數(shù)的方程之解的數(shù)，反之則為代數(shù)數(shù).在當(dāng)時(shí)，超越數(shù)僅僅是被定義出來(lái)，其存在性尚未可知，而對(duì)于頗受關(guān)注的常數(shù)π和e，數(shù)學(xué)家們亦僅僅是猜測(cè)其具有超越性，但對(duì)此的證明均無(wú)法給出.劉維爾通過(guò)精心而巧妙的幾個(gè)步驟，構(gòu)造并證明了數(shù)學(xué)史上第一個(gè)超越數(shù).而劉維爾不等式，即是他解決難題的一個(gè)橋梁.

假定x0是一個(gè)無(wú)理數(shù)代數(shù)數(shù).按照劉維爾的表示法，我們用

f(x)=axn+bxn-1+cxn-2+…+gx+h

表示它的次數(shù)最低的多項(xiàng)式，其中a,b,c,…,g,h∈Z，n≥2(如果n=1，那么x0顯然應(yīng)該是一個(gè)有理數(shù)，這與假設(shè)內(nèi)容不符)，從而：

劉維爾不等式如果x0是次數(shù)最低的整系數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)

證明:這里給出一個(gè)較于劉維爾證明方法更簡(jiǎn)單的替代方法.

對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)f(x)求導(dǎo)，即f′(x)=naxn-1+(n-1)bxn-2+(n-2)cxn-3+…+g.

這個(gè)(n-1)次多項(xiàng)式在區(qū)間[x0-1,x0+1]上是有界的(多項(xiàng)式函數(shù)顯然連續(xù)，而連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必有界)，即存在實(shí)數(shù)A>0，使得f′(x)在[x0-1,x0+1]上以A為界，亦即對(duì)任意x∈[x0-1,x0+1]，有|P′(x)|≤A.

從上面的例子可以看出，所謂高考?jí)狠S題，其一類創(chuàng)新方向不過(guò)是將現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中一些理論或結(jié)論適當(dāng)特殊化，并通過(guò)題目引導(dǎo)考生用高中方法對(duì)這些理論或結(jié)論進(jìn)行處理. 若是考生能夠提前了解相關(guān)的背景知識(shí)，那么這些壓軸題便不再是難以逾越的鴻溝了.

特別致謝：本文得到何毅章老師的悉心指導(dǎo)！

[1][美]William Dunham著.李伯民,汪軍,張懷勇譯.微積分的歷程:從牛頓到勒貝格[M].北京：人民郵電出版社,2010.