重慶市渝中區(qū)教師進修學院 (400015)

王躍輝

唐壓西重慶市復旦中學 (400015)

莫定勇

數(shù)學歸納法的探究性教學設計與教學建議*

重慶市渝中區(qū)教師進修學院 (400015)

王躍輝

唐壓西重慶市復旦中學 (400015)

莫定勇

數(shù)學歸納法是數(shù)學學科中一種重要而特殊的證明方法，主要用于證明與正整數(shù)有關的數(shù)學問題，它的獲得與運用過程充分體現(xiàn)了合情推理與演繹推理的基本思想方法.不僅它的運用對幫助學生體會證明的功能與特點，養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的思維習慣具有非常重要的作用，而且它的獲取過程對學生思維能力、探究能力、數(shù)學地研究問題的能力、學會數(shù)學地思考問題，以及創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)也很有好處.由此可見，數(shù)學歸納法的學習能很好地促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展，所以課標教材把它列為學生必須選修的重要內容之一.《普通高中數(shù)學課程標準》(以下簡稱《課標》)明確指出：方法的教學應通過適當問題情境的創(chuàng)設，引導學生從中發(fā)現(xiàn)數(shù)學的規(guī)律，使學生經(jīng)歷數(shù)學方法的獲取過程.我們知道，數(shù)學歸納法的基礎是皮亞諾(Peano)公理，所以數(shù)學歸納法是定理而不是公理.而高中學生未學習皮亞諾公理，所以數(shù)學歸納法的正確性學生是無法證明的.因此，高中階段只能讓學生把它作為公理來認識，然而其自明性又不明顯.因此，如何教學才能讓學生真正理解數(shù)學歸納法的原理和本質，切實掌握數(shù)學歸納法，一直是廣大數(shù)學教育教學工作者們探索的問題.分析《大綱》教材和《課標》教材的編寫方式，以及教師的課堂教學，就數(shù)學歸納法的處理方式大致可以分為如下三種：

第一種：首先給出學生不能由已有方法解決的數(shù)學問題，讓學生明確必須尋求新的方法；然后直接給出數(shù)學歸納法，最后用生活現(xiàn)象(如，多米諾骨牌)讓學生理解數(shù)學歸納法.

第二種：首先給出學生不能由已有方法解決的數(shù)學問題，讓學生明確必須尋求新的方法；然后引導學生通過對生活現(xiàn)象(如，多米諾骨牌)進行分析獲得規(guī)律，從而獲得數(shù)學歸納法.

第三種：直接從生活現(xiàn)象(如，多米諾骨牌)出發(fā)，引導學生對該現(xiàn)象進行分析，發(fā)現(xiàn)其中蘊含的規(guī)律，再運用這種規(guī)律來解決數(shù)學問題，從而獲得數(shù)學歸納法.

其中第一種是《大綱》教材的編寫方式，第二種是《課標》教材的編寫方式，第三種常見于教師的諸如：示范課、研究課和優(yōu)質課.

這三種處理方式都有兩個共同特點：一是注重數(shù)學歸納法本質的教學；二是關注數(shù)學與生活的聯(lián)系.不同之處是：第一種是以知識為中心，只講是什么不講為什么；后兩種都注重數(shù)學歸納法的獲取過程，讓學生在過程中了解數(shù)學歸納的原理和理解數(shù)學歸納法的本質.從形式上看，后兩種更能體現(xiàn)課程理念和思想，然而并非如此.我們知道，數(shù)學歸納法是數(shù)學家們在研究數(shù)學問題解決的過程中提煉總結出來的.也就是說，數(shù)學歸納法源于數(shù)學本身，不是來源于生活.換句話說，數(shù)學歸納法不是生活現(xiàn)象中的某種規(guī)律在數(shù)學中的應用.因此，如果從數(shù)學與生活的關系來看，第一種正確處理了這種關系，而后兩種則不然，不能讓學生形成正確的數(shù)學觀.如果從數(shù)學歸納法的獲取過程來看，后兩種不是數(shù)學歸納法的真正獲取過程，是一種偽過程.

筆者通過查閱有關數(shù)學歸納法的獲得過程的史實資料，對數(shù)學歸納法的產(chǎn)生、原理和本質進行了認真的研究，汲取了兩種教材的精華，給出了數(shù)學歸納法教學的一種全新設計方式，并將該教學設計運用于課堂教學，收到了較好的效果.現(xiàn)將其教學設計的主要環(huán)節(jié)介紹給大家，同時對每個環(huán)節(jié)給予教學分析與建議的說明，供同行參考.

一、情境創(chuàng)設，引入新課

思考題1 下列兩個推理所得結論是否正確？為什么？

(1)設數(shù)列{an}滿足條件：an=(n2-5n+5)2.∵當n=1,2,3,4時，都有an=1，∴對于任意的自然數(shù)n，都有an=1.

(2)設數(shù)列{an}為等差數(shù)列，d為公差.∵當n=1時，有a1=a1+(1-1)d，當n=2時，有a2=a1+d=a1+(2-1)d，當n=3時，有a3=a2+d=a1+(3-1)d，……

一般地，當n=k+1時，有ak+1=ak+d=a1+[(k+1)-1]d，……，

∴對于任意的自然數(shù)n，都有an=a1+(n-1)d.

教學分析與建議：《課標》教材把數(shù)學歸納法放在選修2-2的“推理與證明”一章中，在這之前，學生已學習了數(shù)列的相關知識和掌握了數(shù)列的一些基本證明方法，以及合情推理與演繹推理.對于第1個推理，學生容易由n=5,得an=5≠1，進而可知其推理所得結論不正確.對于第2個推理，學生用迭加法容易證明其結論的正確性.而這兩個都是與自然數(shù)有關的問題，所以創(chuàng)設這樣一個問題情境引入課題的意圖主要有三：一是復習數(shù)列的相關知識與證明方法，以及合情推理與演繹推理，讓學生更進一步明確：由特殊到一般所得的結論可能正確也可能不正確，其正確性需要用邏輯推理的方法加以證明；二是第2個推理的過程實際上蘊含了數(shù)學歸納法的兩個基本原理;三是提出問題：一般地，對于任意一個與自然數(shù)有關的問題，應該用什么方法來證明它的正確性呢？因此，該問題情境在學生的已有知識經(jīng)驗與將要學習的數(shù)學歸納法知識之間建立了一種有機聯(lián)系，讓學生感受到將要學習的數(shù)學知識是已有知識的延伸與發(fā)展.

二、過程分析，厘清區(qū)別

思考題2 上述兩個推理過程有什么區(qū)別？

教學分析與建議：既然兩個結論都是采用由特殊到一般的方法得到的，然而一個正確，另一個卻不正確.因此，我們就有必要對這兩個推理過程進行認真分析，弄清它們的區(qū)別是什么，找出其中影響結論正確與否的真正原因，所以在教學中設計了這個思考問題.教學時教師要引導學生通過分析明確：第1個推理的結論是直接把n=1,2,3,4代入通項公式中計算發(fā)現(xiàn)其結果都為1而得到的；而第2個推理的結論是在a1成立的前提下，由a1推得a2成立，然后又由a2成立推得a3成立，……，最后一般地由ak成立推得ak+1成立，并且這種推理是可以無限地進行下去而得到的.由此可見，第1個推理所得的結論之所以不正確其原因是：各個推理相互獨立，沒有任何聯(lián)系；而第2個推理所得結論正確的原因是：在a1正確的前提下，后面任意一個結論的正確性都是由前一個結論推得的，相互之間存在著一種內在的必然聯(lián)系：后一個結論的正確性依賴于前一個.

三、簡化過程，突顯本質

問題1 請根據(jù)第2個推理的特點用一個簡潔明了的推理過程表示第2個推理.

教學分析與建議：由于第2個推理的特點是：在a1成立的前提下，由a1推得a2成立，然后又由a2成立推得a3成立，……，最后一般地由ak成立推得ak+1成立，并且這種推理可以無限地進行下去，并且它所推得的等差數(shù)列的通項公式是正確的.因此，我們就有必要對它做進一步的研究，看看具有這種特點的推理中是否蘊含了一種什么普實性的數(shù)學思想方法？而第2個推理的過程顯然不夠簡潔，所以在教學中我設計了這樣一個問題.其意圖是讓學生通過對第2推理中各個推理的分析，抓住本質，簡化其過程，以便后面做進一步的研究.教學時，教師要引導學生把第2個推理過程簡化為如下形式：

四、運用方法，獲得猜想

思考題3 假設P(n)是一個與自然數(shù)有關的問題，如果我們要采用推理過程(1)的方法來說明它的正確性，其推理過程應怎樣表述？

教學分析與建議：推理過程(1)簡潔地反映了等差數(shù)列通項公式的推導過程，而等差數(shù)列的通項公式又是一個與自然數(shù)有關的問題，所以在教學中教師應引導學生思考：對于任意一個與自然數(shù)有關的問題，是否只要采用這種方法能推得其結論，那么該問題就必定正確？要解決該問題，就必須給出其與推理過程(1)相應的推理方法，所以在教學中我設計了這樣一個思考題.教學時教師只須引導學生運用特殊到一般的數(shù)學方法便可給出如下推理過程：

由此猜想：對于任意一個與自然數(shù)有關的P(n)命題，只要采用推理過程(2)的方法可推得其結論，那么該命題P(n)就必定正確.

五、聯(lián)系生活，理解原理

觀察與思考：觀察“多米諾骨牌現(xiàn)象”，請用“多米諾骨牌現(xiàn)象”解釋推理過程(2).

教學分析與建議：以上猜想的正確性涉及了皮亞諾(Peano)公理,高中學生無法證明它的正確性，所以高中階段只能讓學生作為公理來認識，但它的自明性又不明顯.因此，教學中教師必須從學生生活經(jīng)驗中選取那些在其原理和本質上與之相同的一些生活現(xiàn)象進行解釋和說明，讓學生真正理解其原理和本質.而“多米諾骨牌現(xiàn)象”是一個很具代表性的典型生活實例，每個學生都有所接觸，所以在教學中我設計了這樣一個觀察與思考.教學時，教師只須引導學生根據(jù)“多米諾骨牌現(xiàn)象”來理解推理過程(1)的正確性即可.

六、依據(jù)規(guī)律，化無限為有限

問題2 請根據(jù)推理過程(2)的特點將過程中從第2個推理及后面的無限推理用一個統(tǒng)一的推理形式表示出來.

教學分析與建議：觀察與思考讓學生用自己生活中的現(xiàn)象對推理過程(2)進行了解釋，理解了它的合理性，并認可了用它所推得的結論是正確的.由于它含有無限個推理，學生容易知道它在實際運用中不具有可操作性.所以在教學中我設計了這樣一個問題.其意圖是引導學生根據(jù)其特點把它轉化為只含有有限個的推理，使其具有可操作性.

教學時，教師要引導學生根據(jù)前面分析所得推理過程(2)的特點：“從第2個推理開始，后面所有的各個推理都是用前一個的結論推后一個”把它們統(tǒng)一表示為：“當n=k+1時，由ak成立?ak+1成立(k∈N*)”.最后，再引導學生將推理(2)寫成如下形式：

七、明確意義，理解推理

思考題4 在推理過程(3)中，一共包含了幾個步驟？每個步驟的意義是什么？

教學分析與建議：推理過程(3)大大地簡化了推理過程(2)，它把含有無限個推理的推理過程(2)轉化為了一個只含有三個推理的推理過程，于是它就具有了可操作性.要正確使用，必須對其過程中每一步的意義達成真正的理解，所以在教學中我設計了這樣一個思考題.教學時，教師只須稍作引導和啟發(fā)，學生就可知道推理過程(3)包含了三方面的內容：一是“當n=1時，P(1)成立”是指“已知P(1)成立”；二是“當n=k時，P(k)成立”是指“當n=k時，如果P(k)成立”；三是在這兩個都成立的條件下，“當n=k+1時，由P(k)成立?P(k+1)成立”.

八、視角轉換，推導變證明

思考題5 將推理過程(3)作為一種證明方法，應該如何表述？

教學分析與建議：由前面的討論可知：如果一個與自然數(shù)有關的命題P(n)，只要用推理過程(3)的方法能推得其結論，那么命題P(n)就必定正確.也就是說，它還只是一種推導方法，但由于它所推得的結論必定正確，所以我們也可以把其作為證明一個與自然數(shù)有關的命題正確性的一種方法.我們知道，推導是根據(jù)已知的公理、定義、定理和定律等經(jīng)過演算和邏輯推理而得出新的結論；而證明則是根據(jù)已知的公理、定義、定理、定律等經(jīng)過演算和邏輯推理說明已知結論成立.所以，推導與證明是有區(qū)別的，它們是兩種不同的數(shù)學方法.因此，它們在使用時的表述方式上會存在一定的差異.盡管推理過程(3)也可作為一種證明方法來使用，但作為證明方法使用時必須符合證明方法的表述方式，所以在教學中我設計了這樣一個思考題.教學時，教師要引導學生從數(shù)學問題證明的角度思考:把推理過程(3)中的第一步“當n=1時，已知P(1)成立”轉換為“當n=1時，證明P(1)成立”；第二步“當n=k時，如果P(k)成立”轉換為“當n=k時，假如P(k)成立”；而第三步“當n=k+1時，由P(k)成立?P(k+1)成立”轉換為“當n=k+1時，依據(jù)P(k)成立，證明P(k+1)成立”.然后引導學生將其綜合形成如下證明一個與自然數(shù)有關的命題P(n)正確的方法(即數(shù)學歸納法)：

第一步，當n=1時，證明P(1)成立；

第二步，當n=k時，假如P(k)成立；

第三步，當n=k+1時，依據(jù)P(k)成立，證明P(k+1)成立.

以上是我對數(shù)學歸納法的教學設計與實施教學的幾個主要環(huán)節(jié).在設計時，注意以問題引領，問題的設計力求做到環(huán)環(huán)緊扣，每一環(huán)節(jié)或每一步的出現(xiàn)自然、合理、順理成章，讓學生從已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，經(jīng)歷數(shù)學歸納的一個比較完整的提煉與獲取過程.在教學時，力求做到既講邏輯又講道理，明確數(shù)學與生活的關系，讓學生通過數(shù)學歸納法的學習親身經(jīng)歷數(shù)學研究的過程，從中了解和體會數(shù)學地研究問題的思路與方法，促使學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展.在撰寫時，把著力點放在了教學分析與建議上，力求做到使該設計具有可借鑒和可操作性.最后，希望該設計對大家在數(shù)學歸納法的教學時有所啟迪和幫助.

* 本文系作者主持的重慶市十三五規(guī)劃專項課題《基于學生發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)的高中數(shù)學教學設計的研究》的研究成果之一.