陳鵬宇

（重慶市第八中學(xué)校 重慶 400000）

分形理論在巖石斷裂、損傷中的應(yīng)用研究

陳鵬宇

（重慶市第八中學(xué)校 重慶 400000）

分形理論是非線性科學(xué)的一門新學(xué)科。針對分形在巖石斷裂中的應(yīng)用，介紹了巖石沿晶破壞、穿晶破壞和耦合破壞三種微觀破壞模式；介紹了破碎巖塊分形維數(shù)計算的方法。針對分形在巖石損傷中的應(yīng)用，總結(jié)分析了利用分形維數(shù)表征巖石損傷程度的兩種常用方法。最后，根據(jù)對已有研究的分析提出思考，提出分形理論未來在巖石力學(xué)中發(fā)展的三個方向。

分形理論；巖石力學(xué)；損傷力學(xué)；斷裂力學(xué)

1 引言

由于客觀世界是極度復(fù)雜的，所以科研工作者普遍認(rèn)為非線性才是世界的本質(zhì)。通過對復(fù)雜事物進(jìn)行直接的研究，才能夠更加準(zhǔn)確而充分地反映自然界的根本特征，在這一背景下分形理論逐漸形成并完善，它屬于非線性科學(xué)的范疇[1]。

由于分形理論自身的特點(diǎn)，使得分形在很多領(lǐng)域都得到了迅速的發(fā)展。分形理論自上世紀(jì)八十年代末被謝和平院士引入中國以來，在巖石斷裂和損傷力學(xué)中得到廣泛的應(yīng)用和發(fā)展。

2 分形理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

分形兒何學(xué)的主要概念是分?jǐn)?shù)維數(shù)。在經(jīng)典幾何學(xué)中，我們一般認(rèn)為維數(shù)是一個整數(shù)。而對于分形幾何中的重要概念分形維數(shù)df，它也有可能是分?jǐn)?shù)，例如Koch曲線。

對于一個D維的物體，我們將它每一維的尺寸放大L倍，則會得到是原來K倍的物體

所以其中D就是我們所稱的維數(shù)。從另一個角度，我們通過將物體縮小的方法來定義我們所說的維數(shù)，比如我們將一個大的正方形分成9個(N)比較小的正方形，那么每個邊就要縮小為原來的1/3倍(r)，而且9個小正方形的總面積必然的等于，通過將這一概念進(jìn)行普遍化，就可以表達(dá)為我們將r稱做相似比，N稱作生成物數(shù)。

3 分形理論在巖石斷裂中的應(yīng)用

3.1 分形與巖石裂紋擴(kuò)展

巖石受荷載后，會形成微觀裂紋與宏觀裂紋并最終導(dǎo)致巖石的破壞。經(jīng)過分析，巖石材料中微觀裂紋的形態(tài)以及破碎后形成的碎塊都是可以從分形的角度進(jìn)行考察的。

在文獻(xiàn)[2-6]中對裂紋的擴(kuò)展形態(tài)問題進(jìn)行了研究。其中文獻(xiàn)[2，6]中根據(jù)巖石的CT掃描圖片將巖石中的微觀裂紋擴(kuò)展形態(tài)分為沿晶破壞、穿晶破壞以及穿晶與沿晶耦合破壞三種方式。經(jīng)過計算，幾種不同的斷裂方式下裂紋擴(kuò)展的分形維數(shù)值如表1所示，分析發(fā)現(xiàn)裂紋的分形維數(shù)越大斷裂就越難以產(chǎn)生，這與試驗中的現(xiàn)象是相吻合的：

表1 不同斷裂方式下裂紋分形維數(shù)

2.2 巖石破碎后巖塊的分形維數(shù)

文獻(xiàn)[6-9]中認(rèn)為巖石在受壓、巖爆或受到物理作用后產(chǎn)生的碎塊都具有分形特征。b即為破碎巖塊質(zhì)量分布的分形維數(shù)。

文中統(tǒng)計觀察到一些特征現(xiàn)象：試樣產(chǎn)生破碎巖塊的分形維數(shù)越大，碎塊越多而體積越小，而且破碎的程度相對越高；試樣產(chǎn)生碎塊分形維數(shù)越小，則碎塊越少但體積越大，而且試樣的破碎程度相對越低，因此也證明了塊度分布的分形維數(shù)可以定量地對巖石破碎后的破碎程度進(jìn)行一定的反映。文中還發(fā)現(xiàn)試樣破壞碎塊的分形維數(shù)越大，在試樣破碎時會出現(xiàn)爆裂的現(xiàn)象，巖石試樣就會越脆；然而對于分形維數(shù)比較小的試樣，試樣破壞時一般表現(xiàn)為在試樣中沿著某一剪切面產(chǎn)生剪切滑動破壞的特征，巖石的脆性會比較弱。因此，巖石破碎后的分形維數(shù)又可以表征巖石試樣的脆性程度。

4 分形理論在巖石損傷力學(xué)中的應(yīng)用

隨著巖石力學(xué)的發(fā)展，眾多研究證明，材料中的宏觀裂紋出現(xiàn)以前，損傷這種現(xiàn)象就已經(jīng)影響到了材料或者結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度與壽命[10]。目前對巖石損傷及其程度的描述一般是通過有效面積A或彈性模量E等宏觀量來實現(xiàn)的。但是這種方法有一定的缺陷，比如不能夠?qū)p傷的微觀機(jī)理進(jìn)行直接的反應(yīng)，缺乏很明顯的物理意義[11]。

通過對已有文獻(xiàn)的研究發(fā)現(xiàn)，將分形運(yùn)用到巖石損傷力學(xué)的方法一般有兩種：

（1）利用不同應(yīng)力狀態(tài)下的微裂紋分形維數(shù)表征此時的巖石損傷狀態(tài)；

（2）在巖石微裂紋的分形維數(shù)與各種宏觀量之間建立聯(lián)系。

4.1 利用微裂紋分形維數(shù)表征巖石損傷狀態(tài)

在文獻(xiàn)[12-14]中都表明巖石和砼在受力過程中造成損傷的裂紋分布具有統(tǒng)計自相似性。其中文獻(xiàn)[12]中表明：在應(yīng)力加載條件下，很多材料損傷區(qū)的形狀和范圍大小都是隨時間逐漸變化的一個時空函數(shù)。

有學(xué)者進(jìn)行了大理巖張開型斷裂實驗，使用光學(xué)顯微鏡和自制加載裝置進(jìn)行了裂端的損傷演化觀測。發(fā)現(xiàn)了巖石裂紋端損傷區(qū)范圍和分布均具有很強(qiáng)的統(tǒng)計自相似性。

文獻(xiàn)[14]利用同樣的方法分析了混凝土試樣受壓峰前與峰后四種狀態(tài)下內(nèi)部裂紋的分形維數(shù)，其結(jié)果如表2所示。

表2 不同荷載下砼內(nèi)微裂紋分形維數(shù)

由表1和表2可以看出，隨著巖石和砼受荷載的增加，其內(nèi)部微裂紋的分形維數(shù)在不斷增加，說明巖石和砼內(nèi)部的損傷程度隨著荷載的增加而不斷增加。這與現(xiàn)實情況是相符合的，同時也驗證了利用分形維數(shù)來表示巖石類的損傷程度是可行的。

4.2 微裂紋分形維數(shù)同宏觀量相聯(lián)系

分形維數(shù)在巖石損傷中的另一個應(yīng)用是將分形維數(shù)與各種宏觀量聯(lián)系起來，以分形維數(shù)表征巖石材料的細(xì)觀本質(zhì)，同時宏觀量又便于實際應(yīng)用。在文獻(xiàn)[14-16]中都涉及到了如何將反映巖石類材料損傷微觀實質(zhì)的分形維數(shù)與各種宏觀量結(jié)合起來。

文獻(xiàn)[15]中利用Weibull模量m、巖石強(qiáng)度與分形維數(shù)D之間的關(guān)系推導(dǎo)了巖石強(qiáng)度與分形維數(shù)之間的關(guān)系式，可以看出巖石斷裂強(qiáng)度與分形維數(shù)（即裂紋的分布）有關(guān)，但由于分形維數(shù)D之間也有關(guān)系而且目前并不清楚，因此巖石強(qiáng)度與分形維數(shù)之間的關(guān)系還有待進(jìn)一步確定。

文獻(xiàn)[14]中通過不同荷載狀態(tài)下的裂紋分形維數(shù)表示了損傷因子。文獻(xiàn)[16]中給出了利用盒維數(shù)表示的相對損傷變量，用相對損傷來表示爆破對巖石的影響程度。

5 討論與展望

根據(jù)對已有諸多文獻(xiàn)的研究發(fā)現(xiàn)，分形與巖石力學(xué)的結(jié)合已經(jīng)取得了相當(dāng)豐富的研究成果。但是，我們也應(yīng)該需要注意到分形在巖石力學(xué)中的應(yīng)用和研究還應(yīng)該有更加豐富的內(nèi)容。

首先，分形與巖石力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論應(yīng)該是一個非常重要的努力方向。需要研究如何在分形空間中建立巖石的物理平衡條件、本構(gòu)關(guān)系和強(qiáng)度準(zhǔn)則等，另外還有對于分形空間中巖石的數(shù)值計算和初邊值問題等。主要目的是為了建立一整套用于定量描述和分析分形巖體的基礎(chǔ)理論與方法。

其次，對于巖石力學(xué)中的分形現(xiàn)象、性質(zhì)和機(jī)理研究也存在很多沒有探明和完全解決的問題。比如巖石性狀和力學(xué)性質(zhì)為什么會產(chǎn)生自仿射和多重分形性質(zhì)，更復(fù)雜的還有煤與瓦斯突出和軟巖巷道支護(hù)等巖體非線性動力學(xué)現(xiàn)象和特性的分形描述和機(jī)理研究。

最后，對于巖石力學(xué)分形研究在工程實際中的應(yīng)用才剛剛起步，我們還要努力推廣這種新的思想和方法，推動它在實際巖石工程中的實踐和應(yīng)用，這也是需要我們努力的重要課題。

巖石力學(xué)的分形研究屬于一種交叉學(xué)科，雖然現(xiàn)在還不特別成熟，但是我們應(yīng)該可以預(yù)見基于分形理論的巖石力學(xué)描述、分析和計算將會有廣闊的發(fā)展。

6 結(jié)語

（1）在巖石斷裂方面，總結(jié)了微觀裂隙三種破壞模式，介紹了破碎巖塊分形維數(shù)的統(tǒng)計方法。

（2）在巖石損傷方面，總結(jié)了分形理論在巖石損傷力學(xué)中的應(yīng)用有兩種主要方式。

（3）根據(jù)對已有文獻(xiàn)的研究，通過自己的思考，對分形理論在巖石力學(xué)中未來的發(fā)展方向提出三個方面的建議。

[1]張永平，謝和平.由幾何反演導(dǎo)出的分形幾何[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，1990(11).

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TU45 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】1009-5624（2018）02-0119-03