方宇

摘 要： 線性規(guī)劃是初等數(shù)學(xué)知識(shí)重要組成部分，它是以函數(shù)為基礎(chǔ)研究目標(biāo)函數(shù)在約束條件下取得最優(yōu)解。不僅在資源分配、經(jīng)營(yíng)管理等方面有著重要作用，如今，也是高考必考的知識(shí)板塊！那么究竟什么是線性規(guī)劃呢？什么又是線性規(guī)劃的最優(yōu)解？以及研究它在實(shí)際生活中又有哪些應(yīng)用呢？本文首先道出了學(xué)習(xí)線性規(guī)劃的背景、意義，然后解讀了簡(jiǎn)單線性規(guī)劃內(nèi)容，最后歸納出中常見(jiàn)的幾種題型以及在日常生活中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞： 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃；最優(yōu)解；考察形式；

1 研究課題的提出

1.1 課題研究的背景及意義

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，線性規(guī)劃思想廣泛應(yīng)用于各個(gè)各個(gè)領(lǐng)域，它已經(jīng)成為資源分配最佳方案的有力工具。簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃涉及了數(shù)學(xué)模型、數(shù)形結(jié)合等思想，如何掌握這部分知識(shí)以及解決其在生活中的簡(jiǎn)單應(yīng)用，不僅是學(xué)生要必須掌握的知識(shí)點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)老師所必須掌握的教學(xué)技能！

2 相關(guān)理論研究與準(zhǔn)備。

2.1 相關(guān)概念的界定

線性規(guī)劃：在線性約束的前提下求解線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題，我們稱之為線性規(guī)劃問(wèn)題。

線性約束條件：方程組組是一對(duì)變量的約束條件，這些約束條件都是關(guān)于變量的一次不等式，我們把它稱為稱為線性約束條件。

目標(biāo)函數(shù)：我們把需要求解最值的函數(shù)稱為目標(biāo)函數(shù)。

2.2 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃方法——圖解法

例：某養(yǎng)殖戶需購(gòu)進(jìn)飼料600千克，現(xiàn)市面上有兩種飼料，一種是每袋30千克，價(jià)格為140元，還有一種飼料是每袋20千克，價(jià)格為120元，在滿足養(yǎng)殖場(chǎng)所需的前提下，養(yǎng)殖場(chǎng)最少需要花費(fèi)多少錢？

（1）根據(jù)題目意思找出表示約束條件的不等式組和目標(biāo)函數(shù)；

設(shè)購(gòu)買第一種飼料x袋，購(gòu)買第二種飼料y袋，則由題意，可得到以下關(guān)系式

且可以確定其目標(biāo)函數(shù)為z=140x+120y

（2） 在坐標(biāo)平面內(nèi)，作出所有約束條件的圖形，找到可行域；

（3）求解出目標(biāo)函數(shù)在可行域內(nèi)的最優(yōu)解

易求出在x=20，y=0時(shí)，z取得最小值，此時(shí)成本最低，為z=140*20+120*0=2800元。

3 簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃的考察形式

簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的知識(shí)點(diǎn)，究竟它有哪些考察形式呢？下面我們就來(lái)總結(jié)一下：

3.1 與幾何意義有關(guān)的線性規(guī)劃問(wèn)題

3.1.1 與斜率相關(guān)的問(wèn)題

例：若x，y滿足 ，設(shè)y=kx，則k的取值范圍是__。

解：可以在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出列直線：x+y=3、直線x-y+1=0與直線3x-y-5=0。設(shè)直線x+y=3與直線x-y+1=0交于點(diǎn)A，直線x+y=3與直線3x-y-5=0的交點(diǎn)為B，直線x-y+1=0與直線3x-y-5=0交點(diǎn)為C，則不等式所表示的區(qū)域就是？ABC所在的區(qū)域，y=kx應(yīng)在直線OA與直線OB之間，易求出1/2≤k≤2

3.1.2 與距離相關(guān)的問(wèn)題

例：已知實(shí)數(shù)x、y滿足2x+y≥1，求u=x^2+y^2+4x-2y的最小值。

解：注意到所求式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可將u=x^2+y^2+4x-2y轉(zhuǎn)化為u=〖（x+2）〗^2+〖（y-1）〗^2，這就轉(zhuǎn)化成了兩點(diǎn)距離平方求解。u=〖（x+2）〗^2+〖（y-1）〗^2-5表示點(diǎn)p（x，y）與（-2，1）的距離的冪再減去5，由約束條件2x+y≥1知，點(diǎn)p（x，y）在2x+y=1上及右上方平面G中，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求定點(diǎn)A（-2，1）到區(qū)域G最近距離。

由點(diǎn)到直線的距離公式由

3.2 與目標(biāo)函數(shù)有關(guān)的最值問(wèn)題

3.2.1 最優(yōu)解只有一個(gè)的問(wèn)題

例：若變x、y滿足的約束條件 則z=2x+y的最大值是____。

解：在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出上述不等式

目標(biāo)函數(shù)z的系數(shù)大于0，則上移時(shí)z的值增大，由 得A（3，5），所以Zmin=2*3+5=11

3.2.2 最優(yōu)解有無(wú)數(shù)多個(gè)的問(wèn)題

例：已知x、y滿足 則使目標(biāo)函數(shù)z=4x+y-10取得最小值的最優(yōu)解有 （ ）

A、1個(gè) B、2個(gè)

C、3個(gè) D、無(wú)數(shù)個(gè)

解：可行域如圖所示，由于4x+y-10=0與4x+y-4=0平行且z=4x+y-4中的y的系數(shù)大于0，向下移動(dòng)時(shí)z的值減小，那么最優(yōu)解就有無(wú)數(shù)個(gè)，答案選D。

3.3 含參數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題

例1：若A為方程組組 表示的區(qū)域，則當(dāng)a從-2持續(xù)變化到1時(shí)，運(yùn)動(dòng)的直線x+y=a經(jīng)過(guò)A表示區(qū)域的面積是____。

解：在圖中做出了y-x=2、x+y=1以及x+y=-2的圖像，可求出

結(jié)束語(yǔ)

在完成這篇論文的過(guò)程中，不僅讓我對(duì)簡(jiǎn)單線性規(guī)劃這部分知識(shí)有了更深刻的了解，同時(shí)，也被先輩們不懈追求科學(xué)真理的精神所折服，下定決心做一名優(yōu)秀的人名教師，把今天這些來(lái)之不易的科學(xué)成果傳遞下去。

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