周騰壹+李亞鵬

摘要：本文基于高斯基函數(shù)的線性組合來建立海流流速場模型。利用先驗數(shù)據(jù)，基于 范數(shù)最小化算法對高斯基函數(shù)的系數(shù)向量進行求解，選出了起作用大的高斯基函數(shù)，實現(xiàn)了以較少的高斯基函數(shù)建立流場模型。

關鍵詞：高斯基函數(shù)；海流流速場建模；范數(shù)最小化

1.引言

海流流速場模型在海流要素探測中具有重要的意義，例如，基于海洋流速場模型，能夠預測出海流輸運的化學羽流（例如溢油羽流）的運動特征，進而進行高效的探測。因此本文就范數(shù)最小化算法在海流流速場模型的建立過程中的應用問題進行了研究。

2.流場建模

在海流流場建模方面，已有研究人員對此進行了研究。例如，Dongsik Chang等人將海流流場分為潮汐成分和非潮汐成分[1]，對這兩種成分進行疊加，實現(xiàn)了對海流流場的建模。本文對其模型進行了簡化，即不考慮潮汐成分和非潮汐成分，而是統(tǒng)一用高斯基函數(shù)的線性組合來建立海流流速場模型。

設S*表示區(qū)域D內(nèi)未被采樣的點所在的位置，h（s*）表示空間高斯基函數(shù)組成的行向量，H（s*）是由h（s*）組成的矩陣，ξ（k/k）為隨機的時間函數(shù)組成的向量，那么，本文建立的海流流場模型為：

（1）

式中：

為k時刻未測量位置s*（s*εD）處的東西或者南北方向的海流流速值。

由于真實海洋環(huán)境復雜，實驗以及驗證成本高，因此本文用二元二次函數(shù)模擬了一個海流流場，若最終估計的流場流速值和這個模擬流場流速相同，則說明算法是正確的，可以用來對流場進行估計，反之，則算法不適用于海洋流場的估計。首先用二元二次多項式函數(shù)z（x，y）=a+bx+cy+dx2+ey2+fxy來模擬流場，其中x和y分別為海洋中某一點的橫縱坐標，z為點（x，y）處的流速值。設定x，y的范圍為（0m，100m），即模擬大小為100m2范圍的流場流速值。對于流速z的要求為大于等于0，通過求偏導、設定極值點等技巧確定了參數(shù)a=0.27，b=-0.001，c=0.001，d=-0.0000005，e=0.000001，f=-0.000001，即假設的流場流速狀態(tài)是z（x，y）=0.27-0.001x+0.001y-0.0000005xy+0.000001x2-0.000001。

在該區(qū)域內(nèi)均勻布置了100個高斯函數(shù)，即每10m2布一個高斯函數(shù)，該位置即高斯函數(shù)的中心點坐標cj（j=1，2，3…100），設置高斯函數(shù)的方差都為10。

3.流場初始化

對于 ，需要知道權重ξ的初始值，即 ），本文選用l1范數(shù)最小化算法[3]來對其初始化，其公式為：

（2）

其中： 表示通過l1范數(shù)最小化求出的ξ的最優(yōu)估計值，是一個稀疏信號， 為向量ξ的1范數(shù)。H叫做觀測矩陣，ξ為觀測矩陣對應的系數(shù)，叫做系數(shù)向量，y為由觀測值組成的觀測向量。該算法在保證Hξ=y的前提下，能夠使向量 中的零元素盡可能的多。

在羽流所在的區(qū)域內(nèi)隨機采集n個位置的流速值，利用采集的n個流速值對海流流場模型進行初始化，即對模型中的參數(shù) 進行初始化。公式中的y表示采集的n個位置的流速值，是一個n維列向量，即 。

H是高斯函數(shù)組成的矩陣，其形式如下：

（3）

ξ是m維列向量，表示各個高斯函數(shù)的權重，可以表示為ξ=[ξ1，ξ2…ξm]T。

從圖2所示的海流流速場模型中采集10000個數(shù)據(jù)作為測量值，用來對系數(shù)向量ξ（k/k）進行初始化，即求出ξ（0/0）。通過l1范數(shù)最小化之后得到的系數(shù)向量內(nèi)的元素值如圖3所示，通過該圖可以看出，經(jīng)過 l1范數(shù)最小化，系數(shù)向量內(nèi)的大多數(shù)元素成為了0，即成為了稀疏向量。系數(shù)向量內(nèi)的元素越小，意味著對應的高斯基函數(shù)對于流場的擬合所起的作用越小，因此為了提高計算效率，只保留起作用大的元素即可?；?范數(shù)最小化后的系數(shù)向量元素圖以及通過設定不同的保留元素個數(shù)，得出不同的初始化誤差圖，通過對比保留的元素個數(shù)越多，得到的結果越接近模擬的流場流速值，但是保留的元素個數(shù)越多，計算效率越低，最終保留了50個元素，用這50個元素組成的新的系數(shù)向量，用其將50個高斯基函數(shù)線性組合得到的效果圖以及誤差圖如圖1和圖2所示，可以看出誤差與海流流速值比起來非常小。

4.結論

本文通過l1范數(shù)最小化算法找出了對該流場其作用大的高斯基函數(shù)，實現(xiàn)了好較少的高斯基函數(shù)建立流場模型的效果，并通過MATLAB編程驗證了算法的有效性。

參考文獻：

[1]Chang D， Liang X， Wu W， et al. Real-Time Modeling of Ocean Currents for Navigating Underwater Glider Sensing Networks[M]// Cooperative Robots and Sensor Networks， Studies in Computational Intelligence， Volume 507. 2012：61-75.

[2]黃小平， 王巖. 卡爾曼濾波原理及應用[M]. 電子工業(yè)出版社，2015.

[3]Hayashi K， Nagahara M， Tanaka T. A User's Guide to Compressed Sensing for Communications Systems[J]. Ieice Transactions on Communications， 2013， E96-B（3）：685-712.endprint