張瀟依

數(shù)學(xué)問題的形式千變?nèi)f化，結(jié)構(gòu)錯(cuò)綜復(fù)雜，特別是一些難度較大的綜合題。我們?cè)诮鉀Q這些問題時(shí)，往往不是直接解決原問題，思考的著重點(diǎn)就是把需要解決的問題轉(zhuǎn)化為能解決的問題或容易解決的問題。也就是說，在求解不易直接或正面找到解題途徑的問題時(shí)，我們往往轉(zhuǎn)化問題的形式，最終把它轉(zhuǎn)化成一個(gè)或若干個(gè)熟知的或已能解決的問題，這就是數(shù)學(xué)上解決問題的一種基本思想——轉(zhuǎn)化思想。

一、轉(zhuǎn)化思想的意義

數(shù)學(xué)問題的解決過程實(shí)質(zhì)上是一種思維活動(dòng)的轉(zhuǎn)化過程。所謂轉(zhuǎn)化，就是在分析解決問題時(shí)，把那些待解決或難解決的問題，通過有意識(shí)的知識(shí)遷移——“轉(zhuǎn)化”，把未知解的問題轉(zhuǎn)化為已知解的問題解決，把不熟悉、不規(guī)范的、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范、簡(jiǎn)單的問題，從而獲得原問題的解。

利用轉(zhuǎn)化法解決問題的過程可以簡(jiǎn)單、直觀地用以下框圖表示：

轉(zhuǎn)化法是一種分析問題、解決問題的基本思想方法。將待求的A問題轉(zhuǎn)換為相對(duì)于求解者來說已能解決的B問題，問題的轉(zhuǎn)換是轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵。如學(xué)完一元一次方程、因式分解等知識(shí)后，學(xué)習(xí)一元二次方程我們就通過因式分解等方法，將它轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解決。又如在平面幾何中我們?cè)趯W(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)角和定理后，對(duì)n邊形的內(nèi)角和，也是通過分解、拼合為若干個(gè)三角形來加以解決的。

二、轉(zhuǎn)化的原則

轉(zhuǎn)化思想具有靈活性和多樣性的特點(diǎn)，所以我們?cè)谶\(yùn)用轉(zhuǎn)化思想的方法去解決問題時(shí)，沒有一個(gè)統(tǒng)一的模式。它可以在數(shù)與數(shù)、數(shù)與形、形與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化；它可以在宏觀上進(jìn)行轉(zhuǎn)化，如在分析和解決實(shí)際問題的過程中，普通語言向數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化；它可以在符號(hào)系統(tǒng)內(nèi)部實(shí)施轉(zhuǎn)化。我們經(jīng)常在函數(shù)、方程、不等式之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，遇到問題，通過轉(zhuǎn)化，化難為易，化繁為簡(jiǎn)，化抽象為具體，從而簡(jiǎn)化解題過程。比如從無理式到有理式、從分式到整式的轉(zhuǎn)化等。轉(zhuǎn)化不能盲目進(jìn)行，為了實(shí)施有效轉(zhuǎn)化，我認(rèn)為一般應(yīng)遵循如下原則。

1.熟悉化原則

熟悉化就是把我們感到陌生的問題通過變形轉(zhuǎn)化為比較熟悉的問題，轉(zhuǎn)化的方向朝著熟悉化，把生僻的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題。這里的熟悉指的是“已知”或已掌握的“知識(shí)”和“方法”?！靶隆睎|西化作原有的“舊”東西，從而使我們能夠充分利用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)使問題得到解決。

例：解方程

分析：這是一個(gè)以x為未知數(shù)的一元三次方程，但是我們對(duì)三次方程的解法是比較陌生的，而對(duì)一次或二次方程的解法則比較熟悉，因此，我們理所當(dāng)然的希望能把它轉(zhuǎn)化為一次或二次方程來處理。注意到原方程的特點(diǎn)，可以看出：若把x看作“已知數(shù)”，而把 看作“未知數(shù)”，則原方程便可看作關(guān)于 的“二次方程”，我們就 解出原方程，也許能得到關(guān)于x的一次或二次方程，從而可能將原問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題而得到解決。

解：令 ，則原方程可轉(zhuǎn)化為

即

解這個(gè)關(guān)于y的二次方程得：

或 即 或

所以 或

2.簡(jiǎn)單化原則

簡(jiǎn)單化就是把比較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為比較簡(jiǎn)單的問題，把比較復(fù)雜的形式轉(zhuǎn)化為比較簡(jiǎn)單的形式，以便使其中的數(shù)量關(guān)系和空間形式更加明朗和具體，從而找到問題的突破口。這里的簡(jiǎn)單不僅是指問題結(jié)構(gòu)形式表示上的簡(jiǎn)單，而且還指問題處理方式、方法上的簡(jiǎn)單。但是，簡(jiǎn)單也具有相對(duì)性，如解方程問題，在初學(xué)一元一次方程的內(nèi)容時(shí)，形如 式的方程是簡(jiǎn)單的，而那些不是這種形式的方程相對(duì)就是復(fù)雜的了。解方程時(shí)，轉(zhuǎn)化的目標(biāo)就是通過把含未知數(shù)x的項(xiàng)移到一邊，常數(shù)項(xiàng)移到另一邊，合并后而使原方程呈簡(jiǎn)單形式 。一元一次方程掌握之后，再學(xué)習(xí)方程組時(shí)，所有一元一次形式的方程都是簡(jiǎn)單的了。

3.具體化原則

很多數(shù)學(xué)問題是各種信息的高度濃縮和抽象，如果我們繼續(xù)沿著“抽象化”的路走下去，往往會(huì)走入迷宮。如果我們改變方向，從新的角度、新的觀念出發(fā)，把問題中的各種概念以及概念之間的關(guān)系具體明確，亦即對(duì)原來抽象的問題具體轉(zhuǎn)化，往往會(huì)使問題輕而易舉地得到解決。

轉(zhuǎn)化時(shí)，可采用具體化的方式（如作圖），使某個(gè)抽象的問題形象化，從而在某種具體意義的指導(dǎo)下，討論問題，尋求解答；有時(shí)，也可將某一問題的具體內(nèi)容舍棄，僅關(guān)注它的關(guān)系和結(jié)構(gòu)，形成為一個(gè)純粹的數(shù)學(xué)問題去進(jìn)行討論，做到抽象問題具體化。

總之，轉(zhuǎn)化的原則是以已知的、熟悉的、具體的、基本的知識(shí)為基礎(chǔ)，將未知的、陌生的化為已知的、熟悉的，復(fù)雜的化為簡(jiǎn)單的，抽象的、非基本的化為具體的、基本的，從而得出正確的解答。熟悉化、簡(jiǎn)單化和具體化是轉(zhuǎn)化的三個(gè)基本原則。

三、轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用

1.轉(zhuǎn)化思想在解方程中的應(yīng)用

方程問題是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要分支，分式方程常轉(zhuǎn)化為整式方程解決，無理方程常轉(zhuǎn)化為有理方程解決，高次方程常轉(zhuǎn)化為低次方程解決等。

2.轉(zhuǎn)化思想在簡(jiǎn)單幾何問題中的應(yīng)用

在解決代數(shù)問題時(shí)我們常用到數(shù)形結(jié)合的思想，即由代數(shù)式轉(zhuǎn)化為圖形，而在解決幾何問題時(shí)，我們所用到是形與形之間的轉(zhuǎn)化，即在一個(gè)大圖形中實(shí)行局部圖形之間的轉(zhuǎn)化或是在多個(gè)圖形中根據(jù)相似、全等等特征實(shí)行線段與線段、圖形與圖形之間的轉(zhuǎn)化。

3.轉(zhuǎn)化思想在解不等式中的應(yīng)用

不等式作為中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要的工具性知識(shí)與函數(shù)、方程有著緊密的聯(lián)系，所以不等式的很多問題都可以轉(zhuǎn)化成函數(shù)和方程問題進(jìn)行解決，通過這樣的轉(zhuǎn)化，思路巧妙，過程簡(jiǎn)捷。

總之，在中學(xué)中，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行轉(zhuǎn)化的例子比比皆是。數(shù)學(xué)對(duì)象常從一種狀態(tài)轉(zhuǎn)化為另一種狀態(tài)，從一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式。事物間的相互聯(lián)系是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的條件。所以我們?cè)诮忸}過程中要把握好聯(lián)系，打好轉(zhuǎn)化的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，大膽猜想，尋求最有效的轉(zhuǎn)化方法，以達(dá)到事半功倍的效果。