曾寅震 湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)

高中數(shù)學(xué)中復(fù)數(shù)的運(yùn)算方法

曾寅震 湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)

在高中數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)部分知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中，很多同學(xué)都覺(jué)得其運(yùn)算方法不好掌握，在解題計(jì)算時(shí)很容易出錯(cuò)。為了幫助同學(xué)們厘清復(fù)數(shù)的運(yùn)算方法，文章圍繞復(fù)數(shù)的相關(guān)概念展開(kāi)，通過(guò)詳細(xì)解答例題的方式復(fù)數(shù)的運(yùn)算方法。

高中數(shù)學(xué) 復(fù)數(shù) 運(yùn)算方法

復(fù)數(shù)相關(guān)知識(shí)在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是相對(duì)比較基礎(chǔ)的知識(shí)，其原理比較簡(jiǎn)單，教材的描述也比較具體。復(fù)數(shù)的運(yùn)算過(guò)程與平常的實(shí)數(shù)運(yùn)算方式具有差異，在計(jì)算時(shí)很容易出錯(cuò)。為了減少失誤，準(zhǔn)確的解答出與復(fù)數(shù)計(jì)算相關(guān)的題目，需要對(duì)其計(jì)算方法進(jìn)行細(xì)致研究。

1 復(fù)數(shù)概念解析

在高中的數(shù)學(xué)教材中，其對(duì)復(fù)數(shù)的定義主要是根據(jù)實(shí)數(shù)和新數(shù)這兩個(gè)概念來(lái)進(jìn)行推導(dǎo)的，實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則大家都比較熟悉。在實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)上增加新數(shù)i，并將其記作a+i，然后再用實(shí)數(shù)b與i相乘，并記作bi，然后再將兩則運(yùn)算相加，并得到復(fù)數(shù)的形式a+bi，其中，a、b都屬于實(shí)數(shù)R。經(jīng)過(guò)查閱相關(guān)文獻(xiàn)后，筆者發(fā)現(xiàn)人們對(duì)復(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)存在前后兩個(gè)階段。第一個(gè)階段是復(fù)數(shù)的產(chǎn)生主要是人們?cè)跀?shù)學(xué)領(lǐng)域中，求解某些三次方程時(shí)發(fā)現(xiàn)了負(fù)數(shù)開(kāi)平方的形式，并且部分三次方程的三個(gè)實(shí)數(shù)根客觀存在。而這與人們之前的認(rèn)知之間存在矛盾之處，為了解釋這一問(wèn)題，人們便引入了復(fù)數(shù)這一概念，并將其看做部分三次方程的形式解。第二階段是人們發(fā)現(xiàn)在研究平面旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，復(fù)數(shù)及其運(yùn)算能夠?yàn)槠浣⒂行Ｐ停瑥?fù)數(shù)理論被人們認(rèn)知并得到了重視。復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)一樣，也存在四則運(yùn)算，但其計(jì)算形式與結(jié)果內(nèi)涵與實(shí)數(shù)不同，復(fù)數(shù)具備典型的二元數(shù)特征，其自身極具奧妙性。

2 復(fù)數(shù)的運(yùn)算方法分析

2.1 復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則分析

復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)一樣，具有加法、減法、乘法、除法等運(yùn)算法則，復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算法則是假設(shè)X1=a+bi，x2=c+di，那么x1+x2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。在復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算法則中，復(fù)數(shù)的實(shí)部和與虛部和都是相互對(duì)應(yīng)的，并且其結(jié)果也仍然是復(fù)數(shù)。復(fù)數(shù)的加法原則滿足實(shí)數(shù)加法原則中的交換律和結(jié)合律，即三個(gè)任意的復(fù)數(shù)相加，在進(jìn)行計(jì)算時(shí)其兩兩之間的順序是可以打亂的。復(fù)數(shù)的減法原則是(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i，其實(shí)部差與虛部差都是相互對(duì)應(yīng)的，并且其結(jié)果也仍然是復(fù)數(shù)。復(fù)數(shù)的乘法原則是假設(shè)X1=a+bi，x2=c+di是兩個(gè)任意的復(fù)數(shù)，并且a、b、c、d都屬于實(shí)數(shù)R，那么，X1乘以x2就可以表示為（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+(bc+ad)i，實(shí)質(zhì)上就是將其多項(xiàng)式相乘并展開(kāi)，合并，然后就得到上述結(jié)果。復(fù)數(shù)乘以復(fù)數(shù)之后，其結(jié)果仍然是復(fù)數(shù)。復(fù)數(shù)的除法原則是若滿足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的復(fù)數(shù)x+yi(x，y∈R)叫復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商。在解答復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算時(shí)，可以像實(shí)數(shù)一樣，將其轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，只不過(guò)需要在其分子分母上同時(shí)乘以分母的共軛，實(shí)質(zhì)上就是變換其加減號(hào)。除法的運(yùn)算法則是：設(shè)復(fù)數(shù)a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商為x+yi(x，y∈R)，即(a+bi)÷(c+di)=x+yi(x，y∈R)

因?yàn)椋?x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i．

所以(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi．

所 以 就 有(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad)/ (c^2+d^2)i

2.2 復(fù)數(shù)的運(yùn)算方法分析

例題1：如果有（4+2i）+(3+8i)，試求其值。

此題是一道明顯的復(fù)數(shù)加法運(yùn)算題目，在進(jìn)行解答時(shí)只需要根據(jù)其加法運(yùn)算法則(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i進(jìn)行帶入計(jì)算即可。題目中（4+2i）+(3+8i)=（4+3）+（2+8）i=7+10i。所以題目的答案是（4+2i）+(3+8i)。

例題2：計(jì)算（5-6i）+(-2-i)-(3+4i)

解：根據(jù)復(fù)數(shù)加法和減法運(yùn)算法則可知，在解答此題目時(shí)只需要將其實(shí)部部分與虛部部分分別相加減即可。即（5-2-3）+（-6-1-4）i=-11i。

通過(guò)上面的幾道例題可以看出來(lái)，復(fù)數(shù)的所有運(yùn)算方法都是根據(jù)其運(yùn)算法則而來(lái)。要想做好與復(fù)數(shù)相關(guān)的計(jì)算題，就必須要牢固掌握其四則運(yùn)算法則中的具體內(nèi)容，并在課后多加練習(xí)。隨著后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，復(fù)數(shù)的運(yùn)算不僅僅停留在加減乘除這種簡(jiǎn)單的算法中，其還會(huì)涉及到指數(shù)運(yùn)算。其指數(shù)運(yùn)算規(guī)則是，當(dāng)i的指數(shù)是奇數(shù)時(shí)，那么其值便是1，如果i的指數(shù)是偶數(shù)，那么其值便是-1。比如在計(jì)算i+i2+i3+、、、i2006這一道題時(shí)，需要先將原來(lái)的式子進(jìn)行展開(kāi)，并尋找其中的規(guī)律，然后按照復(fù)數(shù)指數(shù)的相關(guān)法則進(jìn)行計(jì)算。其具體計(jì)算過(guò)程是i+i2+i3+、、i2006=（i+i2+i3+i4）+（i5+i6+i7+8）+、、、（i2001+i2002+i2003+i2004）+i2005+i2006=0+i+i2=i-1．如果不了解復(fù)數(shù)的指數(shù)運(yùn)算法則，此道題目是難以解決的。

在高中數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)中，不僅要厘清復(fù)數(shù)的概念，還需要牢固掌握其四則運(yùn)算法則，并記住其具體運(yùn)算公式。只有這樣，才能在解答相關(guān)計(jì)算題目時(shí)游刃有余，并提高其正確性。

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