陳卓然 湖南省長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)

抽屜原理與數(shù)學(xué)邏輯的關(guān)系

陳卓然 湖南省長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)

摘抽屜原理作為一種常用的數(shù)學(xué)解題思路，其具有一定的邏輯性，為了更好地在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中利用這一原理，就應(yīng)該深入分析抽屜原理和數(shù)學(xué)邏輯二者之間的關(guān)系。本文將從分析抽屜原理的內(nèi)涵出發(fā)，探索其對(duì)數(shù)學(xué)邏輯闡述的作用，再對(duì)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)運(yùn)用該原理提出一些建議。

抽屜原理 數(shù)學(xué)邏輯 關(guān)系

高中數(shù)學(xué)是非常重要的學(xué)科，不僅能夠給學(xué)生未來(lái)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，還能夠幫助學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力。而抽屜原理是組合數(shù)學(xué)中非常經(jīng)典、有用的基礎(chǔ)原理，掌握好抽屜原理可以更好的解答很多數(shù)學(xué)難題，有利于理解一些抽象、復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論。因此，了解和分析二者之間的關(guān)系是有重大積極意義的，對(duì)于我們高中學(xué)生來(lái)說(shuō)，充分發(fā)掘抽屜原理中的有效價(jià)值，會(huì)促進(jìn)數(shù)學(xué)邏輯思維能力的提升。

1 概述抽屜原理

1.1 含義

數(shù)學(xué)理論學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)這樣一類(lèi)問(wèn)題，探究存在事實(shí)情況的數(shù)學(xué)問(wèn)題，比如，有13個(gè)人在一起上課，其中最少有兩個(gè)人的生肖是相同的。又如，1004個(gè)人在隨機(jī)分成100個(gè)小組，這些小組中至少有一個(gè)組的人數(shù)超過(guò)了10人。這種存在性分析類(lèi)問(wèn)題里，所謂的“存在”就是保證在該條件下至少會(huì)出現(xiàn)一個(gè)這種情況。想要快速解答這種類(lèi)型的問(wèn)題時(shí)，只需要證明其有存在的可能，并不要求指出是具體的哪一個(gè)，也不用通過(guò)某種方法把這個(gè)存在的情況確定出來(lái)。類(lèi)似這種“存在性”問(wèn)題，相較于其他數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)說(shuō)中間基本不會(huì)涉及到復(fù)雜的運(yùn)算步驟，依靠的解題思路也很簡(jiǎn)單，所以把解答這類(lèi)問(wèn)題的理論歸納總結(jié)為“抽屜原理”。

該原理最早是德國(guó)的一名數(shù)學(xué)家迪里赫萊創(chuàng)造性地提出來(lái)用于解決一些常見(jiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，所以也用他的名字來(lái)命名這一原理。還可以簡(jiǎn)潔地把迪里赫萊原理概括為“若把11只鴿子分放到10個(gè)鴿籠里面，保證每一個(gè)鴿籠里面都要有鴿子，那么其中一個(gè)籠子里面必然存在兩只鴿子”。這是非常淺顯易懂的道理，但在實(shí)際應(yīng)用該原理時(shí)，卻能夠快速有效的解決許多抽象問(wèn)題，并且答案往往都會(huì)讓人覺(jué)得匪夷所思。

1.2 一般形式

抽屜原理在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中通常以?xún)煞N抽屜原理形式出現(xiàn)。第一種原理的形式主要表現(xiàn)為：首先，把數(shù)量大于n的所有物品分別放到n個(gè)柜子里面，那么其中至少應(yīng)該存在一個(gè)柜子里面存在兩件或以上的物品?？梢赃\(yùn)用反證法予以證明，假設(shè)一個(gè)抽柜子最多只可以放一個(gè)物品，那么可以放的物品的總量最多是n個(gè)，而不是題干中交代的n+a(a≥1)，因此這是不可行的。其次，將大于mn個(gè)的物品放在n個(gè)柜子里面，則最少都有一個(gè)柜子其里面裝了大于或等于m+1個(gè)物品。再通過(guò)反證法來(lái)證明，如果每個(gè)柜子只能放m個(gè)物品進(jìn)去，而n個(gè)柜子最多只可以放mn個(gè)物品，和題目要求相矛盾，所以也不可能。最后，把無(wú)窮多的物品放到n個(gè)柜子中，那么最少存在一個(gè)柜子會(huì)有無(wú)窮個(gè)物品。上述三種都是第一抽屜原理在現(xiàn)實(shí)中常見(jiàn)的表述方式。第二抽屜原理的典型形式是把（ab－1）個(gè)物品全部放到a個(gè)柜子中，其中必然會(huì)出現(xiàn)一個(gè)柜子里最多只能放入（b—1）個(gè)物品。同樣利用反證法來(lái)證明一下，假使每一個(gè)柜子中都能夠存放不少于b個(gè)物體，則所需要的物品總量應(yīng)該至少是ab，顯然和前面的條件不相符合，因此這是沒(méi)有可行性的。

2 抽屜原理和數(shù)學(xué)邏輯的關(guān)系

2.1 有利于理清解題思維

我們高中學(xué)生在學(xué)習(xí)一些重要數(shù)學(xué)理論時(shí)，經(jīng)常會(huì)容易出現(xiàn)思維混亂，找不清頭緒的情況。對(duì)此，運(yùn)用抽屜原理非常有利于梳理相關(guān)數(shù)學(xué)邏輯思維順序，從而將數(shù)學(xué)難題有序解開(kāi)。比如，在解答這道關(guān)于自然數(shù)整除的問(wèn)題時(shí)，任意選取出了8個(gè)自然數(shù)，其中肯定會(huì)有兩個(gè)數(shù)相減后得出7的倍數(shù)。想要得出這道題的答案，必須明白數(shù)的整除問(wèn)題具備怎樣的特點(diǎn)，也就是指當(dāng)兩個(gè)整數(shù)m、n，二者同時(shí)和一個(gè)自然數(shù)a相除，得到的余數(shù)是一樣的，那么證明這兩個(gè)數(shù)的差m-n一定會(huì)是a的倍數(shù)。明白這個(gè)特點(diǎn)之后，解答該題的思路也就豁然開(kāi)朗，只需要證實(shí)在題目中提到的8個(gè)自然數(shù)中，肯定存在2個(gè)自然數(shù)和7相除得到的余數(shù)一樣。此時(shí)，把自然數(shù)和7相除可能得到的情況分列出來(lái)，可以發(fā)現(xiàn)一共有7種不同情況，包括余數(shù)可能為0到6的七種狀況。把這些不同情況當(dāng)成是有7個(gè)抽屜，將任取的8個(gè)自然數(shù)投放到各個(gè)抽屜中，再依靠抽屜原理的思路，可以發(fā)現(xiàn)至少應(yīng)該有兩個(gè)數(shù)在相同抽屜之中，代表其與7相除后余數(shù)一樣。因此，可以得出結(jié)論它們的差肯定可以和7整除。

2.2 幫助建立數(shù)學(xué)邏輯思維模式

當(dāng)數(shù)學(xué)問(wèn)題比較抽象時(shí)，可以充分利用抽屜原理來(lái)輔助建立嚴(yán)密的邏輯思維，便于正確理解和解答問(wèn)題。例如，當(dāng)5位學(xué)生分別從一個(gè)裝有黑白棋子的口袋中摸出3枚棋子，請(qǐng)證明有最少兩個(gè)學(xué)生得到棋子顏色完全相同。做這道題不可能真的做實(shí)驗(yàn)來(lái)解決，只能通過(guò)在腦海中的邏輯推理來(lái)分析，首先確定3枚棋子不同的顏色排布情況，既可能全黑，兩黑一白，也可能一黑兩白或是全白，將它們看作4個(gè)抽屜。依據(jù)抽屜原理，可以知道至少應(yīng)該有兩名學(xué)生的棋子完全相同。

作為一名高中學(xué)生應(yīng)該熟練掌握抽屜原理的內(nèi)涵和使用方法，對(duì)于提高數(shù)學(xué)邏輯思維能力具有重要作用。抽屜原理也屬于數(shù)學(xué)邏輯的一種，二者之間有著廣泛聯(lián)系。

[1]賈忠淼,沈林.抽屜原理在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].湖南農(nóng)機(jī),2013,(09):229+231