邢家省， 楊義川

(1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院， 北京100191；2.數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點實驗室， 北京100191)

函數(shù)列一致收斂的奧斯古德定理

邢家省1,2， 楊義川1,2

(1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院， 北京100191；2.數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點實驗室， 北京100191)

研究函數(shù)列的一致收斂性的理論方法問題，在有限閉區(qū)間上，給出了判斷函數(shù)列一致收斂的奧斯古德定理和狄尼定理的兩種形式，對奧斯古德定理給出了兩種證明方法，給出了奧斯古德定理的幾個推論，溝通了相關(guān)知識的聯(lián)系，并通過實例說明奧斯古德定理的應(yīng)用及其理論價值。在開區(qū)間或無限區(qū)間上，給出了函數(shù)列一致收斂的判別定理，并應(yīng)用于研究含參變量廣義積分的一致收斂性，從理論上溝通了函數(shù)列一致收斂與參變量廣義積分的一致收斂的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)成一套理論方法體系。

函數(shù)列的一致收斂性；等度一致連續(xù)；奧斯古德定理；狄尼定理

函數(shù)列的一致收斂性是經(jīng)典數(shù)學(xué)分析中的重要理論課題[1-8]，具有深刻的學(xué)術(shù)發(fā)現(xiàn)意義，為后繼理論發(fā)展提供基礎(chǔ)，為此，人們進(jìn)行了持續(xù)不斷的研究。著名的狄尼定理是判斷函數(shù)列一致收斂的一個充分條件[1-7]，是數(shù)學(xué)分析中的常用定理。然而判斷函數(shù)列一致收斂的奧斯古德定理[1,8]在數(shù)學(xué)分析中一般不作為定理給予列出，沒有得到足夠的重視，導(dǎo)致人們在出現(xiàn)需要使用的場合，難于找到具體的出處[1,8-10]。其實奧斯古德定理具有重要的理論發(fā)展意義，為Arzela-Ascoli定理的發(fā)現(xiàn)做了準(zhǔn)備，Arzela-Ascoli定理為連續(xù)函數(shù)空間中的列緊性理論提供了知識基礎(chǔ)，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個基本理論結(jié)果，具有重要的應(yīng)用價值[11-13]。

1 函數(shù)列一致收斂的奧斯古德定理

設(shè)I是一個區(qū)間，將I上的連續(xù)函數(shù)全體構(gòu)成的集合記為C(I)。

設(shè)F?C(I)，如果存在常數(shù)M>0，對任何f∈F，任意x∈I，都有f(x)≤M，則稱函數(shù)族F在I上是一致有界的[1,2,11]。

設(shè)F?C(I)，如果對?ε>0,?δ>0，當(dāng)x1-x2<δ，x1,x2∈I時，便有f(x1)-f(x2)<ε，對所有f∈F成立，則稱函數(shù)族F在I上是等度一致連續(xù)的[1,11]。

定理1[1,8,14]設(shè)函數(shù)列{fn}在有限閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且{fn(x)}在[a,b]上一致收斂于f(x)，則有f(x)在[a,b]上的連續(xù)，且{fn}在[a,b]上等度一致連續(xù)。

定理1的證明見文獻(xiàn)[1,8,14]。

fn(x)-f(x)≤fn(x)-fn(xk)+

fn(xk)-f(xk)+f(xk)-f(x)<3ε

這就證明{fn(x)}在[a,b]上一致收斂于f(x)。

定理3就是著名的Osgood定理，在文獻(xiàn)[9-10]中得到應(yīng)用。

定理4中的條件，來源于Osgood條件[18-19]。

定理7的證明見文獻(xiàn)[14]，也可以參考定理3中證法2給出相應(yīng)的證明過程。

例1可以說明文獻(xiàn)[14]中的定理5，推論2，定理6，推論3，定理7(1)都是錯誤的，文獻(xiàn)[14]中所給條件不夠。文獻(xiàn)[14]中本身的例子也可以用來說明這幾個結(jié)論均是不成立的。

利用文獻(xiàn)[1,11,16-17]中方法可以給出定理8的證明。

在無限區(qū)間上，奧斯古德定理不再成立。

例2設(shè)Ω=[0,+∞)，

n=1,2,…

定理6中的極限函數(shù)f(x)未必在[a,b]上可導(dǎo)。

例4出現(xiàn)于文獻(xiàn)[1-2]中，用的是原始證法，證明過程相當(dāng)繁瑣?？梢岳肙sgood定理給出直接的證明，從具體問題中發(fā)現(xiàn)一般性的規(guī)律。

例5的思想來源于文獻(xiàn)[1-2]，例5中的函數(shù)是對文獻(xiàn)[1-2]中給出的函數(shù)的改正。

2 狄尼定理的兩種形式

定理9就是常用的狄尼定理，在文獻(xiàn)[1-7,15-17]中給出了另外兩種證明方法。

由定理9的條件和結(jié)果，利用定理1可知{fn(x)}在[a,b]上等度一致連續(xù)，所以由定理9中的條件可推出滿足定理3的條件，就是奧斯古德定理比狄尼定理廣泛。

關(guān)于函數(shù)項級數(shù)和含參變量積分的狄尼定理，在文獻(xiàn)[1-7,16-17]中已有陳述，并給出了應(yīng)用。定理9的結(jié)果對開區(qū)間或無限區(qū)間的情形不再成立[1-7,15-17]。

定理10[16-17]設(shè)函數(shù)序列{fn(x)}在[a,b]上逐點收斂于函數(shù)f(x)，如果f(x)在[a,b]上連續(xù)，且對每個n，fn(x)都是[a,b]上的單調(diào)函數(shù)，則{fn(x)}在[a,b]上一致收斂于f(x)。

fn(x)-f(x)≤

fn(x)-fn(xi)+fn(xi)-f(xi)+f(xi)-f(x)≤

fn(xi+1)-fn(xi)+2ε≤

fn(xi+1)-f(xi+1)+f(xi+1)-f(xi)+

f(xi)-fn(xi)+2ε<5ε

即得{fn(x)}在[a,b]上一致收斂于f(x)。

定理10的結(jié)果，可以研究分布函數(shù)列的一致收斂性。

奧斯古德定理[1,8,14]和狄尼定理[1-7,14,16-17]的兩種形式，構(gòu)成判斷函數(shù)列一致收斂的一套完整的理論體系。

3 開區(qū)間或無限區(qū)間上一些函數(shù)列一致收斂的判別定理及應(yīng)用

利用定理11的證明方法，可以得到如下兩個結(jié)果。

證明設(shè)

在[u0,U]上是一致的。

例6在文獻(xiàn)[1,2,17]中，用的是原始證法，沒有上升為一般性的理論方法。本文發(fā)現(xiàn)可以利用一般性的理論結(jié)果給出簡單的證明，從具體問題中發(fā)現(xiàn)一般性的理論。

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The Osgood Theorem of Uniformly Convergent Functions

XINGJiasheng1,2,YANGYichuan1,2

(1.School of Mathematics, Beihang University, Beijing 100191, China;2.LMIB of the Ministry of Education, Beijing 100191, China)

Considering the theoretical method of uniformly convergent functions, Osgood theorem and the Dini theorem on the finite interval are given to judge the uniform convergence of Function column. Then two proof methods of Osgood theorem and its inference are given. And through the examples, the theoretical value of Osgood theorem is illustrated. Discriminant theorem of uniform convergence of function in open or infinite interval have been given and applied in studying the uniform convergence of generalized integrals with parametric variables which theoretically communicating the intrinsic relations between the uniform convergence of the function and the uniform convergence of the parameter generalized integral, and forming a set of theoretical method system.

uniform convergence of function; uniform equicontinuous; Osgood theorem; Dini theorem

1673-1549(2017)06-0083-06

10.11863/j.suse.2017.06.15

2017-08-06

國家自然科學(xué)基金資助項目(11271040)；北京航空航天大學(xué)校級重大教改項目(201403)

邢家省(1964-)，男，河南泌陽人，副教授，博士，主要從事偏微分方程、微分幾何泛函分析方面的研究，(E-mail)xjsh@buaa.edu.cn

楊義川(1970-)，男，甘肅天水人，教授，博士，主要從事邏輯代數(shù)、序代數(shù)、軟計算及其應(yīng)用方面的研究，(E-mail)ycyang@buaa.edu.cn

O177.2

A