韓會(huì)龍， 張新春

(華北電力大學(xué) 能源動(dòng)力與機(jī)械工程學(xué)院，河北 保定 071003)

星形節(jié)點(diǎn)周期性蜂窩結(jié)構(gòu)的面內(nèi)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性研究

韓會(huì)龍， 張新春

(華北電力大學(xué) 能源動(dòng)力與機(jī)械工程學(xué)院，河北 保定 071003)

利用顯式動(dòng)力有限元法數(shù)值研究了沖擊載荷下星形節(jié)點(diǎn)周期性蜂窩結(jié)構(gòu)的面內(nèi)沖擊動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性。在保證各胞元壁長(zhǎng)不變的前提下，通過(guò)改變胞壁厚度、內(nèi)凹箭頭節(jié)點(diǎn)間夾角和韌帶長(zhǎng)度等微結(jié)構(gòu)參數(shù)，首先建立了星形節(jié)點(diǎn)周期性蜂窩結(jié)構(gòu)的有限元模型。在此基礎(chǔ)上，討論了沖擊速度和微結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)星形蜂窩材料的宏/微觀變形、密實(shí)應(yīng)變和動(dòng)態(tài)沖擊強(qiáng)度的影響。結(jié)果表明，由于胞壁受膜力和彎矩的耦合作用，在中、低速?zèng)_擊載荷下，試件表現(xiàn)出負(fù)泊松比材料在軸向壓縮時(shí)的“頸縮”現(xiàn)象?；谀芰啃史ê鸵痪S沖擊波理論，給出了星形蜂窩結(jié)構(gòu)密實(shí)應(yīng)變和動(dòng)態(tài)平臺(tái)應(yīng)力的經(jīng)驗(yàn)公式，以預(yù)測(cè)多胞材料的動(dòng)態(tài)承載能力。該研究將為拉脹多胞材料沖擊動(dòng)力學(xué)性能的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供新的設(shè)計(jì)思路。

星形節(jié)點(diǎn)蜂窩結(jié)構(gòu)；負(fù)泊松比；密實(shí)應(yīng)變；平臺(tái)應(yīng)力；微結(jié)構(gòu)

與傳統(tǒng)正泊松比材料相比，負(fù)泊松比材料在單軸拉伸作用下，會(huì)發(fā)生側(cè)向膨脹。這種獨(dú)特的拉脹現(xiàn)象，使得負(fù)泊松比多胞材料具有強(qiáng)大的工程應(yīng)用前景，并有望用于航空航天、軍事、機(jī)械工程以及生物醫(yī)學(xué)移植等工程領(lǐng)域[1-2]。隨著對(duì)負(fù)泊松比材料研究的進(jìn)一步深入，不同的微拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)也在不斷涌現(xiàn)，關(guān)于新型負(fù)泊松比多胞材料的研究一直是材料學(xué)家和力學(xué)家們關(guān)注的前沿課題。尤其在沖擊載荷作用下，載荷的高頻成分將控制結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，胞元微結(jié)構(gòu)的改變對(duì)材料局部動(dòng)態(tài)應(yīng)力演化過(guò)程的影響更加顯著。因此，如何建立胞元微結(jié)構(gòu)參數(shù)與多胞材料動(dòng)力學(xué)響應(yīng)間的關(guān)系，也是新型拉脹多胞材料力學(xué)性能研究的重要課題之一。

近年來(lái)，作為一種新型的負(fù)泊松比多胞材料，星形節(jié)點(diǎn)周期性蜂窩結(jié)構(gòu)引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[3-7]。但要在結(jié)構(gòu)上應(yīng)用該類(lèi)新型拉脹蜂窩材料，首先要對(duì)其宏/微觀力學(xué)性能進(jìn)行充分的研究和認(rèn)識(shí)。目前，關(guān)于星形蜂窩材料力學(xué)性能的大量研究已經(jīng)展開(kāi)。例如，Theocaris等[3]運(yùn)用均勻化的方法研究了具有星形結(jié)構(gòu)復(fù)合材料的負(fù)泊松比特性及其影響因素；Reis等[4]采用離散均勻化的方法研究了星形蜂窩的等效力學(xué)性能；贠昊等[5]采用有限元方法對(duì)星形節(jié)點(diǎn)周期性蜂窩結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散，并結(jié)合Bloch定理分析了彈性波在其內(nèi)部傳播的帶隙問(wèn)題；Gong等[6]運(yùn)用理論推導(dǎo)和數(shù)值仿真相結(jié)合的方法研究了星形蜂窩單元體結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化對(duì)其楊氏模量、面內(nèi)剪切模量、泊松比和面外橫向剪切模量的影響；Li等[7]利用數(shù)值方法討論了靜荷載下幾何參數(shù)和基體材料泊松比對(duì)內(nèi)凹晶胞結(jié)構(gòu)泊松比的影響。以上研究成果對(duì)于深入認(rèn)識(shí)星形蜂窩結(jié)構(gòu)的負(fù)泊松比特性以及多功能化設(shè)計(jì)具有重要指導(dǎo)意義，但目前研究主要集中于該類(lèi)結(jié)構(gòu)的模型構(gòu)建、準(zhǔn)靜態(tài)力學(xué)性能的預(yù)測(cè)以及負(fù)泊松比變形特性的解釋等方面的討論，而對(duì)其沖擊載荷下的動(dòng)態(tài)力學(xué)性能和能量吸收機(jī)理的研究尚未展開(kāi)。在強(qiáng)動(dòng)載荷作用下，微結(jié)構(gòu)效應(yīng)和慣性效應(yīng)將主要影響材料的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。胞元微拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的改變引起新型拉脹蜂窩材料中豐富的動(dòng)力學(xué)演化特性還有待于進(jìn)一步澄清。

本文以星形節(jié)點(diǎn)周期性蜂窩結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，運(yùn)用數(shù)值模擬和理論分析相結(jié)合的方法對(duì)新型負(fù)泊松比蜂窩材料的宏/微觀變形特性、密實(shí)應(yīng)變和動(dòng)態(tài)平臺(tái)應(yīng)力進(jìn)行了研究，以期建立星形節(jié)點(diǎn)周期性蜂窩結(jié)構(gòu)的宏觀動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性與胞元微結(jié)構(gòu)、相對(duì)密度以及沖擊速度間的關(guān)系。

1 模型構(gòu)建與臨界沖擊速度

1.1 幾何結(jié)構(gòu)

星形節(jié)點(diǎn)周期性蜂窩結(jié)構(gòu)是由內(nèi)凹箭頭節(jié)點(diǎn)拼接而成，圖1給出了星形節(jié)點(diǎn)周期性蜂窩陣列式結(jié)構(gòu)和代表性體積單元(RVE)的示意圖。其中，Ls表示星形節(jié)點(diǎn)胞壁的長(zhǎng)度，L表示連接星形結(jié)構(gòu)的韌帶長(zhǎng)度的一半，t表示蜂窩材料胞壁厚度，α表示內(nèi)凹箭頭節(jié)點(diǎn)內(nèi)夾角，β表示內(nèi)凹箭頭節(jié)點(diǎn)間夾角(如圖1(b)所示)。對(duì)于星形節(jié)點(diǎn)周期性蜂窩結(jié)構(gòu)，夾角α與β存在如下關(guān)系：

β=2α-90°,α∈(45°,90°]

(1)

式中，當(dāng)α=90°時(shí)，星形節(jié)點(diǎn)周期性蜂窩變?yōu)檎叫畏涓C。

根據(jù)多孔材料(即CMT)理論，蜂窩材料的相對(duì)密度可由代表性體積單元的承載面積與其總橫斷面面積的比值給出。因此，對(duì)于星形節(jié)點(diǎn)周期性蜂窩結(jié)構(gòu)，其相對(duì)密度可由下式給出，即

(a) 陣列式結(jié)構(gòu)

(b) 代表性體積單元圖1 星形節(jié)點(diǎn)周期性蜂窩陣列式結(jié)構(gòu)和代表性體積單元Fig.1 Array structure and representative volume element of periodic 4-point star-shaped honeycomb

(2)

式中:As表示星形節(jié)點(diǎn)周期性蜂窩結(jié)構(gòu)代表性體積單元實(shí)體部分的面積;Atotal表示星形節(jié)點(diǎn)周期性蜂窩結(jié)構(gòu)代表性體積單元的總橫斷面面積。

1.2 有限元模型

面內(nèi)沖擊載荷作用下星形節(jié)點(diǎn)周期性蜂窩結(jié)構(gòu)的計(jì)算模型如圖2所示。試件長(zhǎng)度為L(zhǎng)1，寬度為L(zhǎng)2，分別由不同微拓?fù)湫切喂?jié)點(diǎn)周期性蜂窩結(jié)構(gòu)所填充，如圖3所示。利用非線性顯式動(dòng)力學(xué)有限元軟件ABAQUS/EXPLICIT進(jìn)行面內(nèi)沖擊動(dòng)力學(xué)特性模擬。對(duì)于本文的所有計(jì)算，保持星形節(jié)點(diǎn)胞壁長(zhǎng)度Ls=2 mm不變，1.6 mm≤L≤2.8 mm，0.15 mm≤t≤0.35 mm，15°≤β≤75°。計(jì)算過(guò)程中，基體材料為金屬鋁(Al)，并假定為理想彈塑性模型，服從Mises屈服準(zhǔn)則，具體材料參數(shù)如表1所示。上、下剛性板均視為鋼材，采用R3D4單元進(jìn)行離散，相應(yīng)參數(shù)也列于表1中。試件各胞壁采用S4R殼單元進(jìn)行離散。經(jīng)過(guò)收斂性測(cè)試，并在考慮計(jì)算成本和計(jì)算精度的前提下，每個(gè)星形節(jié)點(diǎn)胞壁的單元數(shù)為4，胞元連接韌帶的單元數(shù)為8，試件總單元數(shù)為9 136。為了保證收斂，沿厚度方向取5個(gè)積分點(diǎn)。試件在x和y方向上分別有13和15個(gè)胞元。研究表明，在x和y方向內(nèi)填充胞元的數(shù)目超過(guò)10時(shí)，其動(dòng)態(tài)響應(yīng)趨于穩(wěn)定。對(duì)于計(jì)算中可能的接觸，在剛性板與試件間定義為面—面接觸，且摩擦因數(shù)為0.02；試件內(nèi)部各胞元間定義為通用接觸，且無(wú)摩擦。邊界條件與文獻(xiàn)[8-10]完全相同，當(dāng)剛性板沿y方向沖擊蜂窩試件時(shí)，試件的底端固定，左右兩側(cè)自由。另外，為保證變形的平面應(yīng)變狀態(tài)，試件中所有節(jié)點(diǎn)面外位移均被限制。本文中，模型的面外(即沿z方向)厚度取單位厚度。

圖2 面內(nèi)沖擊載荷作用下星形蜂窩材料的計(jì)算模型

Fig.2 Calculating model of star-shaped honeycomb under in-plane crushing

(b) Ls/L=1,β=45°,Δρ=0.19

(c) Ls/L=1,β=60°,Δρ=0.15

(d) Ls/L=1,β=75°,Δρ=0.13

(e) β=30°,Ls/L=5/4,Δρ=0.31

(f) β=30°,Ls/L=1,Δρ=0.24

(g) β=30°,Ls/L=5/6,Δρ=0.20

(h) β=30°,Ls/L=5/7,Δρ=0.16圖3 不同微結(jié)構(gòu)參數(shù)下的星形蜂窩結(jié)構(gòu)填充示意圖Fig.3 Star-shaped honeycombs under different micro-structure parameters表1 基體材料與剛性板材料參數(shù)Tab.1 Matrix material and rigid plate material parameters

密度ρs楊氏模量Es泊松比μ屈服應(yīng)力σys金屬鋁(Al)2700kg/m369GPa0.376MPa剛性板7800kg/m3210GPa

1.3 臨界沖擊速度

在沖擊載荷作用下，當(dāng)沖擊速度超過(guò)陷波波速時(shí)，多胞材料的變形開(kāi)始由整體變形向局部變形轉(zhuǎn)變，其局部變形帶開(kāi)始形成。陷波波速[10]稱為第一臨界速度，即

(3)

式中:εcr表示多胞材料的初始應(yīng)變(即應(yīng)力達(dá)到第一次應(yīng)力峰值時(shí)對(duì)應(yīng)的應(yīng)變);σ′(ε)表示多胞材料線彈性階段的彈性模量;Δρ表示多胞材料的相對(duì)密度，ρs表示基體材料的密度。

隨著沖擊速度的進(jìn)一步增加，局部變形帶以沖擊波的形式從沖擊端向固定端傳播。Tan等[11]給出了多胞材料沖擊波形成的臨界沖擊速度，稱為第二臨界速度，即

(4)

式中，σc,ys表示多胞材料的靜態(tài)平臺(tái)應(yīng)力值(即靜態(tài)屈服應(yīng)力)，εD為多胞材料的密實(shí)應(yīng)變。

根據(jù)方程(3)和方程(4)，對(duì)于壁厚t=0.3 mm的星形節(jié)點(diǎn)周期性蜂窩結(jié)構(gòu)(β=30°和Ls/L=1)，第一臨界速度Vcr1≈14 m/s，第二臨界速度Vcr2≈72 m/s。在本文的計(jì)算中，我們選取沖擊速度v=3 m/s

2 數(shù)值結(jié)果與討論

2.1 變形模式

在沖擊載荷作用下，變形局部化是多胞材料動(dòng)態(tài)響應(yīng)的一個(gè)非常重要的特征，而慣性效應(yīng)則主導(dǎo)多胞材料的宏/微觀動(dòng)態(tài)變形行為。圖4給出了不同沖擊速度下，星形節(jié)點(diǎn)周期性蜂窩結(jié)構(gòu)在不同壓縮應(yīng)變下的宏觀變形模態(tài)。其中，名義應(yīng)變?chǔ)艦樵嚰Q向壓縮位移與原始高度的比值，星形節(jié)點(diǎn)的胞壁長(zhǎng)度與胞元連接韌帶長(zhǎng)度比值Ls/L=1，內(nèi)凹箭頭節(jié)點(diǎn)間夾角β=30°，胞壁厚度t=0.3 mm。在低速?zèng)_擊載荷下(v=3 m/s

(b) ε=0.375

(c) ε=0.551

(d) ε=0.727

v=20 m/s (e) ε=0.175

(f) ε=0.374

(g) ε=0.549

(h) ε=0.724

v=120 m/s (i) ε=0.175

(j) ε=0.375

(k) ε=0.550

(l) ε=0.725圖4 星形蜂窩結(jié)構(gòu)在不同沖擊速度下的宏觀變形模式(Ls/L=1，β=30°，t=0.3 mm)Fig.4 Macroscopic deformation modes of star-shaped honeycomb under different impact velocities (Ls/L=1, β=30°, t=0.3 mm)

蜂窩仍然會(huì)呈現(xiàn)出負(fù)泊松比的特性，并發(fā)生“頸縮”現(xiàn)象，但不如低速?zèng)_擊時(shí)明顯。在變形的大部分時(shí)段呈現(xiàn)出星形節(jié)點(diǎn)梁轉(zhuǎn)動(dòng)、彎曲變形和連接梁軸向受壓屈曲混合變形的變形模式。在中低速?zèng)_擊載荷下，與手性蜂窩和內(nèi)凹六邊形蜂窩材料[12]類(lèi)似，星形節(jié)點(diǎn)周期性蜂窩結(jié)構(gòu)亦表現(xiàn)為明顯的“頸縮”現(xiàn)象。

除了沖擊速度，微拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的變化亦對(duì)星形蜂窩的宏觀變形有重要影響。在保證胞壁厚度和Ls/L值不變的前提下，通過(guò)改變內(nèi)凹箭頭節(jié)點(diǎn)間夾角的大小(即β=30°、45°、60°和75°)，圖6給出了β對(duì)星形蜂窩結(jié)構(gòu)宏觀沖擊變形的影響。圖中顯見(jiàn)，當(dāng)β值較小(β=30°)時(shí)，試件整體內(nèi)凹，呈現(xiàn)出明顯的整體“頸縮”現(xiàn)象，變形模式表現(xiàn)為“> <”型；隨著β值的增大(比如，β=60°和β=75°)，試件僅在靠近沖擊端發(fā)生局部?jī)?nèi)凹，并且表現(xiàn)出局部“頸縮”現(xiàn)象。研究表明，隨著β值的增大，“頸縮”現(xiàn)象相對(duì)減弱(β=75°)，這與Theocaris等的研究結(jié)果相吻合。圖中顯見(jiàn)，隨著β值增大，星形蜂窩結(jié)構(gòu)在中低速?zèng)_擊時(shí)負(fù)泊松比特性相對(duì)減弱。通過(guò)改變星形蜂窩節(jié)點(diǎn)梁與連接梁的長(zhǎng)度比值Ls/L(Ls/L=5/4、1、5/6和5/7)，圖7給出了Ls/L對(duì)星形節(jié)點(diǎn)周期性蜂窩結(jié)構(gòu)宏觀變形的影響。當(dāng)Ls/L的值較大(Ls/L=5/4)時(shí)，試件表現(xiàn)為整體壓縮變形，“頸縮”現(xiàn)象相對(duì)明顯。隨著Ls/L的增大，試件的負(fù)泊松比變形特性逐步減弱，變形主要集中于沖擊端，并且表現(xiàn)為“V”型剪切變形模式。隨著Ls/L的增大，“V”型剪切變形帶逐漸增強(qiáng)?？梢?jiàn)，在沖擊載荷作用下，星形蜂窩結(jié)構(gòu)的面內(nèi)沖擊響應(yīng)主要依賴于沖擊速度、Ls/L和β值。

綜上所述，隨著沖擊速度的增加，星形蜂窩結(jié)構(gòu)將表現(xiàn)為3種宏觀變形模態(tài)：“均勻”模式、“過(guò)渡”模式和“折疊”模式。在面內(nèi)沖擊載荷作用下，星形蜂窩結(jié)構(gòu)的變形機(jī)制主要有2種。一種是由于塑性鉸的存在，節(jié)點(diǎn)梁在壓縮過(guò)程中受到彎矩作用產(chǎn)生一定的轉(zhuǎn)動(dòng)和彎曲，致使單元體的α角增大，β角減小，進(jìn)而試件發(fā)生內(nèi)凹而在宏觀上呈現(xiàn)出“頸縮”現(xiàn)象，如圖5(a)所示。另一種是由于豎向連接梁軸向受壓引起的屈曲，當(dāng)沖擊載荷超過(guò)臨界屈曲值時(shí)，連接梁中間部位首先發(fā)生折彎，由于折彎處無(wú)其他梁連接，因此梁的受力以膜力為主，如圖5(b)所示。通過(guò)以上分析可知，節(jié)點(diǎn)梁的轉(zhuǎn)動(dòng)和彎曲變形是星形蜂窩具有負(fù)泊松比特性的主要原因，星形蜂窩的宏觀變形模式是由胞壁彎曲和膜力共同耦合作用所決定的。

(a) 節(jié)點(diǎn)梁的轉(zhuǎn)動(dòng)和彎曲

(b) 連接梁的屈曲圖5 星形蜂窩結(jié)構(gòu)沖擊載荷下的微觀變形機(jī)制Fig.5 Microscopic deformation mechanism of star-shaped honeycomb structure under impact load

(a) β=30°

(b) β=45°

(c) β=60°

(d) β=75°圖6 β對(duì)星形蜂窩結(jié)構(gòu)面內(nèi)沖擊變形模式的影響(ε=0.375)Fig.6 Effects of β on the in-plane crushing deformation mode of star-shaped honeycombs (ε=0.375)

(a) Ls/L=5/4

(b) Ls/L=1/1

(c) Ls/L=5/6

(d) Ls/L=5/7圖7 Ls/L對(duì)星形蜂窩結(jié)構(gòu)面內(nèi)沖擊變形模式的影響(ε=0.375)Fig.7 Effects of Ls/L on the in-plane crushing deformation mode of star-shaped honeycombs (ε=0.375)

2.2 密實(shí)應(yīng)變

與傳統(tǒng)多胞材料相同，星形節(jié)點(diǎn)周期性蜂窩結(jié)構(gòu)的沖擊過(guò)程可分為三個(gè)階段：線彈性區(qū)、平臺(tái)區(qū)和密實(shí)化區(qū)，如圖8所示。在軸向沖擊過(guò)程中，線彈性階段的范圍非常小，且伴隨著由于慣性而產(chǎn)生的初始應(yīng)力峰值，使彈性區(qū)的界限更為模糊。對(duì)于準(zhǔn)靜態(tài)及沖擊壓縮過(guò)程，彈性階段結(jié)束的標(biāo)志是壓縮應(yīng)力逐漸減小并趨于恒定值，此時(shí)所對(duì)應(yīng)的壓縮應(yīng)變?yōu)槌跏紤?yīng)變?chǔ)與r。進(jìn)入平臺(tái)階段，星形蜂窩結(jié)構(gòu)將發(fā)生大變形，壓縮應(yīng)力趨于恒定并圍繞某一恒定值上下波動(dòng)。當(dāng)所有的胞壁完全貼合在一起，達(dá)到壓縮密實(shí)，這一階段稱為密實(shí)化階段。密實(shí)化階段開(kāi)始的標(biāo)志是應(yīng)力應(yīng)變曲線斜率突然增大并保持不變，此時(shí)對(duì)應(yīng)的應(yīng)變用密實(shí)應(yīng)變?chǔ)臘表示(如圖8所示)。

圖8 名義應(yīng)力-應(yīng)變曲線與能量吸收效率曲線Fig.8 Nominal stress-strain curve and corresponding energy absorption efficiency curve of star-shaped honeycomb

在整個(gè)沖擊過(guò)程中，與沖擊能量吸收關(guān)系最大的是平臺(tái)區(qū)的平臺(tái)應(yīng)力(σp)和密實(shí)應(yīng)變(εD)。理論上多胞材料的密實(shí)應(yīng)變等于孔隙率，即

εD=1-Δρ

(5)

實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，發(fā)生密實(shí)化現(xiàn)象時(shí)對(duì)應(yīng)的應(yīng)變略小于孔隙率。一些文獻(xiàn)已對(duì)多胞材料的密實(shí)應(yīng)變做了較為精確的計(jì)算，一般來(lái)說(shuō)，密實(shí)應(yīng)變是多胞材料相對(duì)密度的函數(shù)，即

εD=1-λΔρ

(6)

式中，λ為系數(shù)，主要取決于多胞材料的微拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。對(duì)于蜂窩材料，Gibson等建議取λ=1.4。然而大量研究表明，密實(shí)應(yīng)變?chǔ)臘是一個(gè)速度敏感性變量，在一定程度上受到慣性等因素的影響[12]。目前，廣泛采用確定密實(shí)應(yīng)變的方法為能量吸收效率方法，在一定程度上避免了人為選擇的隨意性。基于能量吸收效率方法[12]，密實(shí)應(yīng)變?chǔ)臘可由下式確定，即

(7)

式中，E為多胞材料的能量吸收效率參數(shù)，可定義為在給定名義應(yīng)變下所吸收的能量與相應(yīng)名義應(yīng)力的比值，即

(8)

實(shí)際上，多胞材料的能量效率曲線中有很多局部極大值(圖8)。文中定義最后的極大值點(diǎn)(即能量效率曲線開(kāi)始迅速下降的點(diǎn))所對(duì)應(yīng)的名義應(yīng)變?yōu)榻^對(duì)密實(shí)化點(diǎn)[12]。

當(dāng)β=30°和Ls/L=1不變時(shí)，通過(guò)改變胞壁厚度，表2給出了星形蜂窩結(jié)構(gòu)在不同沖擊載荷下的密實(shí)應(yīng)變。對(duì)于相同的相對(duì)密度，在低速?zèng)_擊(即“均勻”變形

表2 星形蜂窩結(jié)構(gòu)的密實(shí)應(yīng)變Tab.2 Densification strains of star-shaped honeycombs

模式)下，星形蜂窩結(jié)構(gòu)的密實(shí)應(yīng)變大致等于其靜態(tài)密實(shí)應(yīng)變，與沖擊速度關(guān)系不大；在高速?zèng)_擊(即“折疊”變形模式)下，不同沖擊速度下試件的密實(shí)應(yīng)變大致相同，且接近于孔隙率，沖擊速度的影響較小。但對(duì)于中速?zèng)_擊(即“過(guò)渡”變形模式)下，密實(shí)應(yīng)變將受到微結(jié)構(gòu)慣性和沖擊速度的影響。密實(shí)應(yīng)變隨著相對(duì)密度的增大而逐漸減小，隨著沖擊速度的增大而相應(yīng)增大?？梢?jiàn)，在低速和高速?zèng)_擊時(shí)，相對(duì)密度是影響星形蜂窩結(jié)構(gòu)密實(shí)應(yīng)變的重要指標(biāo)，與沖擊速度關(guān)聯(lián)度較小；在中速?zèng)_擊時(shí)，試件的密實(shí)應(yīng)變同時(shí)受到相對(duì)密度和沖擊速度的影響?？紤]到胞元微結(jié)構(gòu)和沖擊速度的影響，給出基于分段函數(shù)形式的不同沖擊速度下密實(shí)應(yīng)變公式[13]，即

(9)

式中，εDH、εDT和εDD分別為低速、中速和高速?zèng)_擊時(shí)星形蜂窩結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)密實(shí)應(yīng)變，λDH、λDT和λDD分別為低速、中速和高速?zèng)_擊時(shí)的修正系數(shù)，kDH、kDT和kDD分別為低速、中速和高速?zèng)_擊時(shí)速度相關(guān)系數(shù)。kDH和kDD為常數(shù)，kDT為沖擊速度的函數(shù)，即

kDT=a(1+bv)

(10)

式中：a和b為常數(shù)；v為沖擊速度。

基于最小二乘擬合方法，本文給出了不同沖擊速度下的星形蜂窩結(jié)構(gòu)密實(shí)應(yīng)變的經(jīng)驗(yàn)公式，即

(11)

為了驗(yàn)證上述分析和經(jīng)驗(yàn)公式的正確性，圖9給出了不同沖擊下星形蜂窩結(jié)構(gòu)密實(shí)化應(yīng)變的計(jì)算結(jié)果與經(jīng)驗(yàn)公式(11)的對(duì)比關(guān)系。圖中顯見(jiàn)，兩者吻合較好，即在低速和高速?zèng)_擊時(shí)，星形蜂窩的密實(shí)應(yīng)變主要取決于相對(duì)密度；在中速?zèng)_擊時(shí)，由相對(duì)密度和沖擊速度共同主導(dǎo)。研究表明，該經(jīng)驗(yàn)公式對(duì)于相對(duì)密度低于0.35的星形蜂窩結(jié)構(gòu)均適用。

圖9 星形周期性蜂窩結(jié)構(gòu)的密實(shí)應(yīng)變與沖擊速度間的關(guān)系

Fig.9 Variation between densification strain and impact velocity of the periodic 4-point star-shaped honeycombs

此外，為了進(jìn)一步表征星形蜂窩結(jié)構(gòu)的密實(shí)化程度，本文引入了相對(duì)密實(shí)應(yīng)變?chǔ)臨，定義為實(shí)際密實(shí)應(yīng)變與理論密實(shí)應(yīng)變的比值，即

(12)

圖10給出了給定相對(duì)密度下(即Δρ=0.24)，星形周期性蜂窩結(jié)構(gòu)的相對(duì)密實(shí)應(yīng)變隨沖擊速度的變化關(guān)系。圖中顯見(jiàn)，隨著沖擊速度的增加，相對(duì)密實(shí)應(yīng)變逐漸增大。當(dāng)沖擊速度超過(guò)某一臨界值(即Vcr2

圖10 不同沖擊速度下星形蜂窩的相對(duì)密實(shí)應(yīng)變(Δρ=0.24)

Fig.10 Relative densification strains of star-shaped honeycomb under different impact velocities (Δρ=0.24)

2.3 平臺(tái)應(yīng)力

平臺(tái)應(yīng)力是描述多胞材料動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性的另一個(gè)非常重要的指標(biāo)，可由下式給出，即

(13)

式中:εcr為初始應(yīng)變，在整個(gè)沖擊過(guò)程中，εcr值很小，文中取εcr=0.02，以達(dá)到更高的計(jì)算精度。εD為密實(shí)應(yīng)變。

基于一維沖擊波理論，Qiu等[14]給出了不同微結(jié)構(gòu)蜂窩材料沖擊端的平臺(tái)應(yīng)力與沖擊速度和相對(duì)密度間的關(guān)系，即

(14)

式中:A和B為擬合系數(shù)，其值取決于蜂窩材料的微拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)；σys為基體材料的屈服應(yīng)力；Δρ為蜂窩材料的相對(duì)密度；ρs為基體材料的密度。

研究表明，方程(14)也可應(yīng)用于其它多胞材料[15]。為了進(jìn)一步給出星形蜂窩結(jié)構(gòu)沖擊端的平臺(tái)應(yīng)力與沖擊速度和相對(duì)密度之間的關(guān)系，基于方程(14)和最小二乘擬合，本文給出了星形周期性蜂窩結(jié)構(gòu)的經(jīng)驗(yàn)公式，即

(15)

圖11給出了不同相對(duì)密度下星形蜂窩結(jié)構(gòu)沖擊端平臺(tái)應(yīng)力的有限元結(jié)果和經(jīng)驗(yàn)式(15)的對(duì)比關(guān)系曲線。圖中顯見(jiàn)，兩者擬合較好，從而證明該經(jīng)驗(yàn)公式的合理性。但需要注意的是，該經(jīng)驗(yàn)公式過(guò)低估計(jì)了星形蜂窩結(jié)構(gòu)沖擊端的平臺(tái)應(yīng)力。

圖11 不同相對(duì)密度下星形蜂窩沖擊端的平臺(tái)應(yīng)力Fig.11 Plateau stresses at the impact end of star-shaped honeycombs under different relative densities

隨著沖擊速度的增大，慣性效應(yīng)增強(qiáng)，局部變形愈發(fā)顯著。為了衡量星形蜂窩結(jié)構(gòu)固定端和沖擊端平臺(tái)應(yīng)力變化情況，本文引入了不均勻系數(shù)η[16]，即

(16)

式中，σDP為星形蜂窩結(jié)構(gòu)固定端平臺(tái)應(yīng)力值；σIP為沖擊端平臺(tái)應(yīng)力值。

在給定相對(duì)密度的下，圖12給出了星形蜂窩結(jié)構(gòu)沖擊端和固定端的平臺(tái)應(yīng)力以及不均勻系數(shù)隨沖擊速度間變化曲線。研究表明，試件在沖擊端的平臺(tái)應(yīng)力受沖擊速度的影響較大，其動(dòng)態(tài)平臺(tái)應(yīng)力近似正比于沖擊速度的平方。固定端平臺(tái)應(yīng)力受沖擊速度影響較小，隨著沖擊速度的增大略有下降，其與文獻(xiàn)[15]類(lèi)似。與之相對(duì)應(yīng)的是，不均勻系數(shù)隨著沖擊速度的增大而顯著減小，即隨著沖擊速度的增加，固定端和沖擊端平臺(tái)應(yīng)力的比值越來(lái)越小。造成這種現(xiàn)象的原因是，在低速?zèng)_擊時(shí)，塑性波要快于沖擊速度，很快由沖擊端傳遞至固定端，為均勻變形模式，因而固定端和沖擊端的平臺(tái)應(yīng)力基本相等；在高速?zèng)_擊時(shí)，由于慣性效應(yīng)增強(qiáng)，星形蜂窩只在沖擊端發(fā)生局部變形，固定端變形較小，為動(dòng)態(tài)變形模式，因而沖擊端平臺(tái)應(yīng)力增大，固定端略有降低。

圖12 星形蜂窩的平臺(tái)應(yīng)力和不均勻系數(shù)隨速度變化曲線(Δρ=0.24)

Fig.12 Variation of plateau stress and balance coefficient with respect to impact velocity for star-shaped honeycomb (Δρ=0.24)

圖13給出了高速?zèng)_擊時(shí)星形蜂窩結(jié)構(gòu)的平臺(tái)應(yīng)力和不均勻系數(shù)η隨相對(duì)密度的變化曲線。當(dāng)沖擊速度一定時(shí)，沖擊端和固定端的平臺(tái)應(yīng)力都隨著相對(duì)密度的增大而增大，但是沖擊端的增量遠(yuǎn)大于固定端；而不均勻系數(shù)基本保持恒定，不敏感于相對(duì)速度。

3 結(jié) 論

基于顯式動(dòng)力有限元方法，本文對(duì)星形節(jié)點(diǎn)周期性蜂窩結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性進(jìn)行了數(shù)值分析。得到結(jié)論如下：

(1) 隨著沖擊速度的增加，星形蜂窩結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出“均勻”模式、“過(guò)渡”模式和“折疊”模式3種宏觀變形模態(tài)，并且在中、低速?zèng)_擊載荷下表現(xiàn)出負(fù)泊松比材料在軸向壓縮時(shí)獨(dú)特的“頸縮”現(xiàn)象。節(jié)點(diǎn)梁的轉(zhuǎn)動(dòng)和彎曲變形是星形蜂窩具有負(fù)泊松比特性的主要原因，其宏觀變形模式由梁受到的彎矩和膜力共同作用所決定。隨著沖擊速度的增加，變形局部化顯著，慣性效應(yīng)增強(qiáng)，而負(fù)泊松比特性減弱。

圖13 星形蜂窩結(jié)構(gòu)的平臺(tái)應(yīng)力和不均勻系數(shù)隨相對(duì)密度的變化曲線(v=120 m/s)

Fig.13 Variation of plateau stress and balance coefficient with respect to the relative density for star-shaped honeycombs (v=120 m/s)

(2) 在低速和高速?zèng)_擊時(shí)，相對(duì)密度是影響星形蜂窩結(jié)構(gòu)密實(shí)應(yīng)變的重要指標(biāo)；在中速?zèng)_擊時(shí)，星形蜂窩結(jié)構(gòu)的密實(shí)應(yīng)變除了受相對(duì)密度的影響，還與沖擊速度有關(guān)。基于能量吸收效率方法，給出了星形蜂窩結(jié)構(gòu)在不同沖擊速度下的密實(shí)應(yīng)變公式。

(3) 基于一維沖擊波理論，給出了星形周期性蜂窩結(jié)構(gòu)的平臺(tái)應(yīng)力的經(jīng)驗(yàn)公式，與有限元結(jié)果吻合較好。另外，本文還引入了不均勻系數(shù)，來(lái)衡量星形蜂窩結(jié)構(gòu)沖擊端和固定端平臺(tái)應(yīng)力變化情況。星形蜂窩固定端和沖擊端平臺(tái)應(yīng)力的不均勻程度隨著沖擊速度的增大而顯著減小。

[1] 余同希, 邱信明. 沖擊動(dòng)力學(xué)[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2011.

[2] GIBSON L J, ASHBY M F. Cellular solids: structure and properties[M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1997.

[3] THEOCARIS P S, STAVROULAKIS G E, PANAGIOTOPOULOS P D. Negative Poisson’s ratios in composites with star-shaped inclusions: a numerical homogenization approach[J]. Archive of Applied Mechanics, 1997, 67(4): 274-286.

[4] REIS F D, GANGHOFFER J F. Equivalent mechanical properties of auxetic lattices from discrete homogenization[J]. Computational Materials Science, 2012, 51(1): 314-321.

[5] 贠昊, 鄧子辰, 朱志韋. 彈性波在星形節(jié)點(diǎn)周期結(jié)構(gòu)蜂窩材料中的傳播特性研究[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 2015, 36(8): 814-820.

YUN Hao, DENG Zichen, ZHU Zhiwei. Bandgap properties of periodic 4-point star-shaped honeycomb materials with negative Poisson’s ratios[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2015, 36(8): 814-820.

[6] GONG X B, HUANG J, SCARPA F, et al. Zero Poisson’s ratio cellular structure for two-dimensional morphing applications[J]. Composite Structures, 2015, 134: 384-392.

[7] LI D, DONG L, LAKES R S. A unit cell structure with tunable Poisson’s ratio from positive to negative[J]. Materials Letters, 2016, 164: 456-459.

[8] 張新春, 祝曉燕, 李娜. 六韌帶手性蜂窩結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性研究[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2016, 35(8): 1-7.

ZHANG Xinchun, ZHU Xiaoyan, LI Na. A study of the dynamic response characteristics of hexagonal chiral honeycombs[J]. Journal of Vibration and Shock, 2016, 35(8): 1-7.

[9] RUAN D, LU G, WANG B, et al. In-plane dynamic crushing of honeycombs—a finite element study[J]. International Journal of Impact Engineering, 2003, 28(2):161-182.

[10] ZHANG X C, AN L Q, DING H M. Dynamic crushing behavior and energy absorption of honeycombs with density gradient[J]. Journal of Sandwich Structures and Materials, 2014, 16(2): 125-147.

[11] TAN P J, REID S R, HARRIGAN J J, et al. Dynamic compressive strength properties of aluminum foams. Part Ⅱ-’shock’ theory and comparison with experimental data and numerical models[J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2005, 53(10): 2206-2230.

[12] ZHANG X C, AN L Q, DING H M, et al. Influence of cell micro-structure on the in-plane dynamic crushing of honeycombs with negative Poisson’s ratio[J]. Journal of Sandwich Structures and Materials, 2015, 17(1): 26-55.

[13] SUN D Q, ZHANG W H, ZHAO Y C, et al. In-plane crushing and energy absorption performance of multi-layer regularly arranged circular honeycombs[J]. Composite Structures, 2013, 96: 726-735.

[14] QIU X M, ZHANG J, YU T X. Collapse of periodic planar lattices under uniaxial compression, part II: Dynamic crushing based on finite element simulation[J]. International Journal of Impact Engineering, 2009, 36(10/11): 1231-1241.

[15] FAN J, ZHANG J, WANG Z, et al. Dynamic crushing behavior of random and functionally graded metal hollow sphere foams[J]. Materials Science and Engineering A, 2013, 561(3): 352-361.

[16] ZHANG J J, WANG Z H, ZHAO L M. Dynamic response of functionally graded cellular materials based on the Voronoi Model[J]. Composites Part B, 2016, 85: 176-187.

In-planedynamicimpactresponsecharacteristicsofperiodic4-pointstar-shapedhoneycombstructures

HAN Huilong, ZHANG Xinchun

(School of Energy Power and Mechanical Engineering, North China Electric Power University, Baoding 071003, China)

The in-plane dynamic impact response behaviors of periodic 4-point star-shaped honeycomb structures were numerically studied by means of the explicit dynamic finite element (EDFE) simulation method. Under the promise of cell element’s wall length keeping unchanged, the FE model of periodic 4-point star-shaped honeycombs was established by changing micro-cell structure parameters including cell wall thickness, angle between inner concave arrow nodes, and ligament length. Then the influences of impact velocity and micro-cell structural parameters on in-plane macro-/micro-deformation behaviors, densification strains and dynamic impact intensities of star-shaped honeycombs were discussed in detail. The results showed that the specimens reveal a “necking” phenomenon of negative Poisson ratio materials under impact loading with low ormoderate velocity, it is mainly due to cell walls bear the combination of membrane force and bending moment; based on the energy absorption efficiency method and the one-dimensional shock wave theory, empirical formulae for densification strain and dynamic plateau stress of the honeycombs were deduced to predict the dynamic load-bearing capacity of star-shaped honeycombs. The results provided a new idea for the multi-objective optimization design of dynamic impact properties of stretch cell materials.

4-point star-shaped honeycomb structure; negative Poisson ratio (NPR); densification strain; plateau stress; micro-cell structure

國(guó)家自然科學(xué)基金(11402089);河北省自然科學(xué)基金(A2017502015);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)資金(2016MS114;2017MS153)

2016-07-13 修改稿收到日期：2016-09-18

韓會(huì)龍 男，碩士，工程師,1988年12月生

張新春 男,博士,副教授,1980年4月生

E-mail:xczhang@ncepu.edu.cn

O347

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.23.033