任勇生， 時玉艷， 張玉環(huán)

(山東科技大學(xué) 機(jī)械電子工程學(xué)院，山東 青島 266590)

材料內(nèi)阻對旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸動力學(xué)穩(wěn)定性的影響研究

任勇生， 時玉艷， 張玉環(huán)

(山東科技大學(xué) 機(jī)械電子工程學(xué)院，山東 青島 266590)

由于復(fù)合材料與金屬材料相比，具有更為突出的阻尼耗散能力，超臨界旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸在材料內(nèi)阻的作用下更容易產(chǎn)生不穩(wěn)定自激振動。從復(fù)合材料本構(gòu)關(guān)系、應(yīng)變-位移關(guān)系基本方程出發(fā)，基于Bernoulli-Euler梁理論，并考慮復(fù)合材料的黏彈性阻尼耗散特性，在導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的動能、勢能和內(nèi)阻耗散能的基礎(chǔ)上，采用Hamilton原理建立了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運動微分方程，采用Galerkin法對復(fù)數(shù)形式的彎曲方程進(jìn)行求解，導(dǎo)出轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的特征方程。通過數(shù)值分析得到固有頻率-轉(zhuǎn)速曲線和阻尼-轉(zhuǎn)速曲線，求得了臨界轉(zhuǎn)速和失穩(wěn)閾。研究了鋪層角、長徑比和鋪層方式的影響。模型結(jié)果的正確性，通過與文獻(xiàn)結(jié)果對比，得到了驗證。

復(fù)合材料軸;內(nèi)阻;振動穩(wěn)定性

將高性能先進(jìn)復(fù)合材料用于航空、汽車、船舶傳動軸系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計，不僅能帶來明顯的輕量化效果，增加有效載荷重量，提高載運工具的效率，同時也可以借助于復(fù)合材料比剛度、比強(qiáng)度高的特點，采用一根直徑更短、跨度更長的復(fù)合材料傳動軸取代兩根組裝在一起的金屬傳動軸，以解決汽車傳動軸系結(jié)構(gòu)復(fù)雜的問題。特別是，采用復(fù)合材料的鋪層設(shè)計可獲得更高的臨界轉(zhuǎn)速，從而提高傳動軸的能效和傳動功能。然而，由于復(fù)合材料具有比金屬材料更強(qiáng)的阻尼耗散能力[1]，當(dāng)轉(zhuǎn)速大于臨界轉(zhuǎn)速時，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在材料內(nèi)阻的影響下，往往會出現(xiàn)不穩(wěn)定的渦動現(xiàn)象，并引發(fā)嚴(yán)重的后果。因此，超臨界轉(zhuǎn)速下的內(nèi)阻失穩(wěn)問題，是復(fù)合材料軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的研究與設(shè)計中應(yīng)該著重考慮的問題。

迄今為止，絕大多數(shù)的有關(guān)材料內(nèi)阻對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性影響的研究僅限于旋轉(zhuǎn)金屬軸[2-6]。研究表明，當(dāng)轉(zhuǎn)速超過第一階臨界轉(zhuǎn)速時，材料內(nèi)阻(或稱為旋轉(zhuǎn)阻尼)將會引發(fā)轉(zhuǎn)子渦動，即轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運動失去穩(wěn)定性。近年來，隨著高速復(fù)合材料轉(zhuǎn)子動力學(xué)研究的發(fā)展，考慮復(fù)合材料內(nèi)阻的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)分析以及材料內(nèi)阻的失穩(wěn)預(yù)報，已經(jīng)開始受到關(guān)注。Singh等[7]采用分層梁理論提出了一個具有內(nèi)阻的復(fù)合材料轉(zhuǎn)子的動力學(xué)分析模型。Kim等[8]研究錐形復(fù)合材料懸臂軸的受迫振動與穩(wěn)定性問題。Montagnier等[9]研究位于黏彈性支承上的復(fù)合材料軸的超臨界動力學(xué)特性。然而，上述這些研究大多采用人為給定的等效黏性阻尼系數(shù)來表示材料的內(nèi)阻。Sino等[10]基于簡化的均勻梁有限元模型(SHBT)，研究帶有剛盤和彈性支承的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的動力學(xué)特性，其中采用黏彈性復(fù)合材料復(fù)本構(gòu)關(guān)系描述內(nèi)阻特性。

復(fù)合材料軸的內(nèi)阻一般來源于材料內(nèi)部能量的耗散。Saravanos等[11]提出了一個預(yù)測各向異性復(fù)合材料空心梁模態(tài)阻尼的有限元模型，但它僅適用于非旋轉(zhuǎn)的復(fù)合材料梁或者葉片。Ren等[12]基于變分漸進(jìn)(variational asymptotical approach)復(fù)合材料薄壁梁理論建立復(fù)合材料軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)模型，其中采用單層-截面-軸多尺度方法對復(fù)合材料內(nèi)阻進(jìn)行建模。

本文基于Bernoulli-Euler梁理論，提出一個考慮復(fù)合材料內(nèi)阻的轉(zhuǎn)子動力學(xué)模型。從復(fù)合材料應(yīng)力-應(yīng)變和應(yīng)變-位移基本方程出發(fā)，并且考慮復(fù)合材料的黏彈性阻尼耗散特性，在導(dǎo)出復(fù)合材料軸的應(yīng)變能、動能和阻尼耗散能的基礎(chǔ)上，采用Hamilton原理導(dǎo)出運動方程。建模過程對復(fù)合材料軸的壁厚(薄壁或厚壁)不加任何限制。為了研究旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的彎曲振動與穩(wěn)定性，本文采用復(fù)數(shù)坐標(biāo)表示并借助于Galerkin法，對彎曲振動方程進(jìn)行求解。在導(dǎo)出轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的復(fù)特征方程的基礎(chǔ)上，通過數(shù)值計算獲得了復(fù)合材料軸的固有頻率和阻尼隨轉(zhuǎn)速的變化曲線，揭示了纖維鋪層角、鋪層方式和長徑比對臨界轉(zhuǎn)速和失穩(wěn)閾的影響規(guī)律。本文分析模型的正確性通過與文獻(xiàn)結(jié)果的對比，得到了驗證。

1 理論模型

為了建立如圖1所示，轉(zhuǎn)速為Ω,長度L的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的運動微分方程，采用Hamilton原理

(1)

式中:δT和δU分別表示動能和勢能的變分;δW表示復(fù)

圖1 旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic of the rotating composite shaft

合材料軸由于黏彈性阻尼產(chǎn)生的耗散應(yīng)變能。

應(yīng)力-應(yīng)變方程為

(2)

應(yīng)變-位移方程為

(3)

式中:ux表示中性軸沿x軸方向的位移;kxz和kxy分別表示軸在z和y方向的曲率;φ表示橫截面繞x軸的扭轉(zhuǎn)角。

復(fù)合材料軸的應(yīng)變能

(4)

式中:軸向力Nx;彎矩My;Mz和扭矩Mxα分別表示如下

(5)

其中

(6)

根據(jù)Bernoulli-Euler梁理論

(7)

式中:ψz和ψy分別表示橫截面繞y和z軸的轉(zhuǎn)角;uy和uz分別表示中性軸沿y和z軸方向的位移。

將式(7)中前兩式代入(5)中第2、3式，有

(8)

復(fù)合材料軸的動能

(9)

其中

(10)

式中，“·”表示對時間t求導(dǎo)，ρk為復(fù)合材料單層的密度。

由式(4)和式(7)，應(yīng)變能變分δU導(dǎo)出如下

(11)

動能的變分為

(12)

復(fù)合材料阻尼耗散力的虛功

(13)

(14)

經(jīng)過與式(11)類似的推導(dǎo)，可得

(15)

(16)

其中

(17)

將式(11)、(12)和(15)代入方程(1)，得

(18)

可以看到，方程(18)中的第2和第3個方程組成彎-彎耦合方程，第1和第4個方程組成拉-扭耦合方程，這兩組方程之間是相互獨立的。

由彎-彎耦合方程，并借助于式(5)和(16)，可以導(dǎo)出位移表示的彎曲振動方程

(19)

(20)

(21)

設(shè)方程(21)滿足簡支邊界條件的解，具有形式

(22)

式中:λn=ωn+idn(n=1,2，…)為復(fù)特征值，實部ωn和虛部dn分別為固有圓頻率和模態(tài)阻尼。顯然，如果虛部dn大于0，則轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

將式(22)代入式(21)，采用Galerkin法進(jìn)行化簡，得下列復(fù)特征方程

(23)

2 數(shù)值結(jié)果與分析

2.1 模型驗證

采用本文模型和計算方法，得到圓形空心復(fù)合材料懸臂梁的固有頻率和模態(tài)阻尼數(shù)值結(jié)果，如表1所示。將這些結(jié)果與文獻(xiàn)[11]的有限元模型結(jié)果進(jìn)行了比較，可以發(fā)現(xiàn)固有頻率的計算結(jié)果比較接近，但模態(tài)阻尼存在一定的差異，這可能是由于本文的彎曲振動模型不涉及拉-彎耦合剛度的緣故。

表1空心圓截面復(fù)合材料懸臂梁的固有頻率和模態(tài)阻尼

Tab.1Naturalfrequencyanddampingofvariouscantileverlaminatedtubularcircularbeams

鋪層方式模態(tài)固有頻率/Hz耗散因子/%文獻(xiàn)[11]本文文獻(xiàn)[11]本文[0°8]s一階拍打3.23.330.661.08一階揮舞3.23.330.661.08[90°8]s一階拍打1.91.922.352.28一階揮舞1.91.922.352.28[0°2/90°2/45°2/-45°2]s一階拍打2.42.551.441.68一階揮舞2.42.551.441.68[45°/-45°]8一階拍打2.02.392.451.91一階揮舞2.02.392.451.91

表2給出采用本文模型預(yù)測得到的一個旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的臨界轉(zhuǎn)速，同時也列出來自其它文獻(xiàn)的計算結(jié)果。該復(fù)合材料軸由硼/環(huán)氧層合材料制成，鋪層方式[90°/45°/-45°/0°6/90°]，長度2.47 m，平均直徑和厚度分別為12.69 cm和1.321 mm[13]。由表2可知，本文結(jié)果與采用等效模量梁理論(EMBT)得到的結(jié)果[16]是相近的。

表2 復(fù)合材料軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速Tab.2 The critical speed of composite shaft rotor

2.2 轉(zhuǎn)速對固有頻率和阻尼的影響分析

為了研究旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的固有頻率和阻尼隨轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律，確定臨界轉(zhuǎn)速和失穩(wěn)閾，下面的數(shù)值算例取復(fù)合材料軸的平均半徑為0.176 m，厚度0.010 16 m，采用角鋪設(shè)[±θ]8的層合方式，長度L根據(jù)長徑比確定。復(fù)合材料力學(xué)參數(shù)如表3所示。

表3 材料力學(xué)特性[11]Tab.3 Mechanical properties of material[11]

圖2和圖3分別表示長徑比18的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的第一階固有頻率和阻尼隨轉(zhuǎn)速的變化曲線，其中也顯示出鋪層角θ分別取0°，30°和60°的影響。

圖2 不同鋪層角復(fù)合材料軸第一階固有頻率隨轉(zhuǎn)速變化曲線(L/d=18)

Fig.2 First natural frequencies versus rotating speed for different ply angle (L/d=18)

圖3 不同鋪層角復(fù)合材料軸第一階阻尼隨轉(zhuǎn)速變化曲線(L/d=18)

Fig.3 First dampings versus rotating speed for different ply angle (L/d=18)

由圖2可以看到，轉(zhuǎn)速為0時，固有頻率隨著鋪層角的減小而增加，因此，臨界轉(zhuǎn)速也隨著鋪層角的減小而增加。這是由于沿纖維縱向的彈性模量E11明顯大于沿橫向的彈性模量E22(見表3)。所以，鋪層角越小，則軸的彎曲剛度D11越大，固有頻率和臨界轉(zhuǎn)速也越大。

由圖3看到，阻尼-轉(zhuǎn)速曲線上分支的阻尼值在整個轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)始終保持為正值，這說明轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的正進(jìn)動渦動是穩(wěn)定的。而阻尼-轉(zhuǎn)速曲線下分支的阻尼值，在一定的轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)為正的，隨著轉(zhuǎn)速的增加并且一旦超過某個界限，就開始由正變?yōu)樨?fù)，這意味著轉(zhuǎn)子系統(tǒng)喪失穩(wěn)定性。阻尼為0的轉(zhuǎn)速，就是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的失穩(wěn)閾。

此外，由圖3還可以看到，失穩(wěn)閾隨著鋪層角的增加而減小。這是因為失穩(wěn)閾的大小與復(fù)合材料內(nèi)阻的大小成反比。既然纖維橫向的阻尼能力要遠(yuǎn)高于纖維縱向的阻尼能力(見表3)，所以，鋪層角越大，即纖維越靠近軸的橫向鋪設(shè)，沿此方向上內(nèi)阻也越大，因此，產(chǎn)生失穩(wěn)的轉(zhuǎn)速也就越小，即轉(zhuǎn)子系統(tǒng)也越容易發(fā)生失穩(wěn)。

2.3 長徑比、鋪層角和鋪層方式對臨界轉(zhuǎn)速和失穩(wěn)閾的影響分析

表4給出對應(yīng)于三種不同的長徑比的、具有鋪層方式[0°]16、[±30°]8和[±60°]8的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速和失穩(wěn)閾的計算結(jié)果。由表2可知，臨界轉(zhuǎn)速和失穩(wěn)閾隨著長徑比的增加而減小，說明在其它條件相同的情況下，長度較長的軸相對更容易失穩(wěn)。上述結(jié)論與文獻(xiàn)[10]的結(jié)論是一致的。由表4也可以看到，第一階臨界轉(zhuǎn)速與失穩(wěn)閾相同，說明轉(zhuǎn)子系統(tǒng)一旦超過臨界轉(zhuǎn)速進(jìn)入超臨界范圍，就會產(chǎn)生不穩(wěn)定現(xiàn)象。

表4 長徑比對臨界轉(zhuǎn)速和失穩(wěn)閾的影響Tab.4 Effect of length aspect ratio on critical speed and instability threshold

表5的結(jié)果表明，鋪層中含0°鋪層角的單層越多，則失穩(wěn)閾越大，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)越不容易產(chǎn)生材料內(nèi)阻失穩(wěn)。事實上，鋪層方式對穩(wěn)定性的影響是每個單層影響效果的綜合體現(xiàn)。單層的影響包括鋪層角以及單層在疊層中的位置。如果單層的鋪層角不變，僅改變它在疊層中的位置，失穩(wěn)閾也同樣會發(fā)生變化，例如，在鋪層方式(5)和(6)中的鋪層角為90°、45°和0°單層的數(shù)目是相同的，它們分別為5,2和9，但這些單層在疊層中相對位置的變化，也會導(dǎo)致失穩(wěn)閾變化。

表5 鋪層方式對失穩(wěn)閾的影響(L/d=30)Tab.5 Effect of stacking sequence on instability threshold(L/d=30)

由此看來，在穩(wěn)定性設(shè)計中，可以利用鋪層方式作為參數(shù)，對復(fù)合材料轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)特性進(jìn)行優(yōu)化，從而最大限度地提高系統(tǒng)在超臨界旋轉(zhuǎn)下的運行穩(wěn)定性。

3 結(jié) 論

本文基于復(fù)合材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系、應(yīng)變-位移關(guān)系、Bernoulli-Euler梁理論和Hamilton原理，建立具有內(nèi)阻的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的動力學(xué)方程。模型從單層復(fù)合材料的黏彈性阻尼耗散特性出發(fā)，引入復(fù)合材料內(nèi)阻的影響。采用復(fù)數(shù)坐標(biāo)表示旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的彎曲振動方程，基于Galerkin法得到系統(tǒng)的復(fù)特征方程并進(jìn)行求解。本文模型能夠用于揭示旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的固有振動特性和阻尼特性隨轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律，預(yù)測轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速和失穩(wěn)閾，評價纖維鋪層角、鋪層方式和長徑比的影響效果。主要研究結(jié)論如下：

(1)材料的內(nèi)阻耗散特性是導(dǎo)致旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸在超臨界狀態(tài)下產(chǎn)生動力不穩(wěn)定的根本原因，對臨界轉(zhuǎn)速和失穩(wěn)閾能夠產(chǎn)生影響的主要因素包括纖維鋪層角、鋪層方式和長徑比。

(2)臨界轉(zhuǎn)速和失穩(wěn)閾隨著鋪層角的增加而減小，同時也隨著長徑比的增加而減小。

(3)鋪層方式能夠影響復(fù)合材料軸的彎曲剛度和彎曲阻尼，從而影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速和失穩(wěn)閾，在本文給出的所有鋪層方式中，[±60°]8對應(yīng)的彎曲剛度系數(shù)最小，彎曲阻尼系數(shù)最大，失穩(wěn)閾最小，因此，最容易發(fā)生失穩(wěn)，所以，最不適合在超臨界范圍內(nèi)應(yīng)用。

(4)由于旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的穩(wěn)定性對鋪層方式的高度敏感性，可取鋪層方式作為參數(shù)，對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，以便能夠極大地提高轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在超臨界旋轉(zhuǎn)下的運行穩(wěn)定性。

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Effectsofinternaldampingondynamicstabilityofarotatingcompositeshaft

REN Yongsheng, SHI Yuyan, ZHANG Yuhuan

(College of Mechanical and Electronic Engineering, Shandong University of Science and Technology, Qindao 266510, China)

As composite material has a higher damping capacity than metallic materials, a supercritical rotating composite shaft under the action of material’s internal damping is easier to have an unstable self-excited vibration. Here, based on the basic equations for constitutive relations and strain-displacement relations of composite material, the kinetic energy, the potential energy, and the internal damping dissipative energy of the rotor system including the rotating composite shaft were derived with Bernoulli-Euler beam theory and considering dissipative characteristics of viscoelastic damping. The rotor system’s equations of motion were deduced using Hamilton principle. Galerkin method was used to solve the rotor system’s equations of motion in complex coordinates to derive the characteristic equations of the rotor system. The rotor system’s natural frequency versus rotating speed curve and damping versus rotating speed curve were obtained through numerical analysis. From these curves,the critical rotating speed and instability threshold of the system were gained. The effects of ply angle, stacking sequences, and ratio of length to outer radius on the system’s critical rotating speed and instability threshold were analyzed .The correctness of the dynamic model built here for the rotor system was verified by comparing the calculated results of critical speedand damping of the rotor system with those available in literatures.

rotating composite shaft; internal damping; dynamic stability

國家自然科學(xué)基金(11272190;11672166)

2016-10-24 修改稿收到日期：2017-02-10

任勇生 男，博士，教授，1956年生

TB33

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.23.027