陳華霆， 譚 平， 彭凌云， 李志山， 周福霖

(1. 廣州大學(xué) 減震控制與結(jié)構(gòu)安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(培育)， 廣州 510405； 2. 北京工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院，北京 100022)

基于隔震結(jié)構(gòu)Benchmark模型的復(fù)振型疊加反應(yīng)譜方法

陳華霆1， 譚 平1， 彭凌云2， 李志山1， 周福霖1

(1. 廣州大學(xué) 減震控制與結(jié)構(gòu)安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(培育)， 廣州 510405； 2. 北京工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院，北京 100022)

隔震體系一般由隔震層和上部結(jié)構(gòu)組成，隔震層包括隔震支座和耗能裝置，其阻尼特性與上部結(jié)構(gòu)有較大差別。因此，隔震體系阻尼分布具有顯著的非比例特性，從而導(dǎo)致其阻尼矩陣不滿足無(wú)阻尼振型解耦的條件，故在隔震體系中經(jīng)典的振型疊加反應(yīng)譜方法已不適用?；陔S機(jī)振動(dòng)理論，結(jié)合隔震結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，推導(dǎo)了能夠考慮非比例阻尼特性的多維地震復(fù)振型疊加反應(yīng)譜方法。針對(duì)目前常用的強(qiáng)迫解耦方法，對(duì)其誤差進(jìn)行了探討，發(fā)現(xiàn)其阻止了隔震層與上部結(jié)構(gòu)的能量傳遞，導(dǎo)致上部結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)偏小?；诟粽鸾Y(jié)構(gòu)Benchmark模型對(duì)復(fù)振型疊加反應(yīng)譜方法、強(qiáng)迫解耦假定下的反應(yīng)譜方法、時(shí)程分析方法進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果表明隔震層阻尼較大時(shí)，強(qiáng)迫解耦方法精度較差，并且無(wú)法反映隔震層阻尼引起的上部結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)放大效應(yīng)，復(fù)振型疊加反應(yīng)譜方法計(jì)算精度較好，可充分反映隔震結(jié)構(gòu)非比例阻尼的特點(diǎn)。

反應(yīng)譜方法； 非比例阻尼； 復(fù)振型疊加方法； 強(qiáng)迫解耦方法； 隔震結(jié)構(gòu)Benchmark模型

隔震結(jié)構(gòu)可分為上部結(jié)構(gòu)和隔震層兩部分，其阻尼特性相差較大，具有明顯的非比例阻尼特性，無(wú)阻尼振型不能對(duì)其運(yùn)動(dòng)方程解耦，因此傳統(tǒng)的與振型疊加相關(guān)的時(shí)程分析與反應(yīng)譜方法已不再適用。目前較為常用的一種方法是忽略無(wú)阻尼振型坐標(biāo)下廣義阻尼矩陣的非對(duì)角項(xiàng)，稱(chēng)之為強(qiáng)迫解耦法[1]。這是一種近似方法，在阻尼非比例特性較強(qiáng)的情況下有較大誤差[2]。Traill-Nash等[3-4]提出在狀態(tài)空間中可利用復(fù)振型將運(yùn)動(dòng)方程解耦，從而得到與經(jīng)典振型分解方法類(lèi)似的復(fù)振型分解方法。在此基礎(chǔ)之上，Igusa等[5-9]研究了復(fù)振型分解反應(yīng)譜方法，主要包括振型組合規(guī)則、相關(guān)系數(shù)表達(dá)式、相對(duì)速度反應(yīng)譜、振型截?cái)嗟男拚约岸嗑S多點(diǎn)地震輸入下的振型組合等一系列問(wèn)題，使之成為了與傳統(tǒng)振型疊加反應(yīng)譜方法平行的一種抗震設(shè)計(jì)方法。

對(duì)于隔震結(jié)構(gòu)，Tsai等[10]認(rèn)為精確的復(fù)振型分解方法與強(qiáng)迫解耦方法的差別可以忽略不計(jì)，但作者的結(jié)論是基于一個(gè)5質(zhì)點(diǎn)的平面“糖葫蘆串”模型，并且隔震層阻尼比僅為10%。通常情況下，隔震層的阻尼比在10%～20%的范圍[11-12]，一些高阻尼橡膠隔震支座在20%以上[13]，有時(shí)為了更保守的限制隔震層的位移甚至將阻尼比提高到50%的水平[14]。隨著隔震層阻尼的增大，強(qiáng)迫解耦方法引起的誤差也在增大。

本文基于Zhou給出的CCQC組合規(guī)則，結(jié)合隔震結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)將復(fù)振型分解反應(yīng)譜方法應(yīng)用到隔震結(jié)構(gòu)中，同時(shí)推導(dǎo)了多維地震動(dòng)輸入下的復(fù)振型組合規(guī)則。目前對(duì)于隔震結(jié)構(gòu)的反應(yīng)譜分析仍常用強(qiáng)迫解耦方法，為此對(duì)該方法的誤差進(jìn)行了探討，并將其與復(fù)振型分解反應(yīng)譜方法在隔震結(jié)構(gòu)Benchmark模型上進(jìn)行了對(duì)比。

1 隔震結(jié)構(gòu)Benchmark模型

1.1 Benchmark模型簡(jiǎn)介[15]

隔震結(jié)構(gòu)Benchmark模型是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的、被廣泛接受的隔震結(jié)構(gòu)模型，為研究各類(lèi)隔震方案、控制算法和分析方法提供了一個(gè)公共平臺(tái)，它由美國(guó)土木工程師協(xié)會(huì)(ASCE)與杜克大學(xué)Gavin、南加州大學(xué)Johnson提出。該模型取自美國(guó)加州洛杉磯的一個(gè)真實(shí)結(jié)構(gòu)—USC醫(yī)院(The University of Southern California Teaching Hospital)如圖1所示，其建筑平面1到6層呈L形，長(zhǎng)寬尺寸為82.4 m×54.3 m，7到8層呈矩形，長(zhǎng)寬尺寸為82.4 m×29.8 m。上部結(jié)構(gòu)(圖2(a))的支撐沿著建筑平面的周邊布置，由壓型鋼板和鋼格梁組成的結(jié)構(gòu)支撐著所有的混凝土樓板，上部結(jié)構(gòu)支撐在一個(gè)剛性混凝土基礎(chǔ)板上。所有樓板及基礎(chǔ)板平面內(nèi)的剛度都可視為無(wú)窮大，考慮結(jié)構(gòu)的平扭耦聯(lián)振動(dòng)，上部各層和隔震層在質(zhì)心處被定義成具有X方向、Y方向和扭轉(zhuǎn)方向3個(gè)自由度的質(zhì)點(diǎn)，因此整個(gè)結(jié)構(gòu)具有27個(gè)動(dòng)力自由度。上部結(jié)構(gòu)的各階振型阻尼比為5%，其對(duì)應(yīng)的前三階自振周期分別為0.89 s、0.78 s、0.66 s，下部隔震層布置了92個(gè)位置固定的橡膠隔震支座，其分布如圖2((b))所示。

圖1 UCS醫(yī)院Fig.1 UCS hospital

(a)上部結(jié)構(gòu)(b)隔震支座布置

圖2 隔震結(jié)構(gòu)Benchmark模型

Fig.2 The isolated benchmark building

1.2 運(yùn)動(dòng)方程

隔震體系可分為上部結(jié)構(gòu)和隔震層，通常隔震層剛度較大可將其假定為剛性隔板，記上部結(jié)構(gòu)固定時(shí)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣分別為Ms,Cs和Ks，其相對(duì)隔震層的運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

(2)

由于上部結(jié)構(gòu)屬于經(jīng)典阻尼體系，因此運(yùn)動(dòng)方程(1)可表達(dá)為解耦的無(wú)阻尼振型坐標(biāo)下的運(yùn)動(dòng)方程形式

(3)

對(duì)于具有自由度數(shù)目為Nb的隔震層，其質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣用Mb、Cb和Kb表示，運(yùn)動(dòng)方程可表達(dá)為

(4)

式中，Rs3是隔震層關(guān)于地面運(yùn)動(dòng)的影響矩陣。

將式(3)與式(4)合并為矩陣形式

(5)

式中：

矩陣C*為仍為非經(jīng)典阻尼，為利用復(fù)振型分解方法，需要將其表達(dá)為狀態(tài)方程的形式

(6)

式中：

(7)

式中，zi(t)為復(fù)振型坐標(biāo)，由下式求得

(8)

(9)

(10)

將式(9)代入式(7)，并把上部結(jié)構(gòu)的振型空間響應(yīng)轉(zhuǎn)換到物理空間中，可到整個(gè)隔震結(jié)構(gòu)位移

(11)

在工程實(shí)踐中，通常關(guān)心的反應(yīng)量有層位移、層間位移以及剪力、彎矩等，這些反應(yīng)量是與位移相關(guān)的，故任意地震反應(yīng)量R(t)=νTu(t)，ν是響應(yīng)轉(zhuǎn)換向量，與結(jié)構(gòu)的幾何、物理屬性有關(guān)。利用式(11)，R(t)可進(jìn)一步表示為

(12)

式中，

2 反應(yīng)譜方法

(13)

(14)

(15)

式中，

式中：Rkx,Rky分別表示反應(yīng)譜Dk(ω,ξ)與Vk(ω,ξ)作用在結(jié)構(gòu)x,y方向下的最大響應(yīng)，Rkxy為Rkx與Rky的交叉項(xiàng)。式(15)即多維地震作用下的反應(yīng)譜復(fù)振型組合方法，可見(jiàn)式中除了已知的位移譜還需要提供速度譜，通?？捎蓚嗡俣茸V代替。若假設(shè)地震動(dòng)為白噪聲過(guò)程，則相關(guān)系數(shù)有解析表達(dá)式

其中，r=ωi/ωj。

3 強(qiáng)迫解耦法誤差探討

記整個(gè)隔震體系的質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣分別為M,C和K，為了表述的方便，考慮一維地震作用下的運(yùn)動(dòng)方程

(16)

式中:u為N維相對(duì)地面的位移向量;r為影響向量。若將u在無(wú)阻尼振型空間Φ中展開(kāi)，即u=Φq，則式(16)用振型運(yùn)動(dòng)方程表達(dá)

(17)

(18)

(19)

(20)

式中，隨著ξb的增大，耦合系數(shù)μi1與振型阻尼比ξi都會(huì)增大，而Qi(ω)的大小由μi1與ξi的相對(duì)大小決定。事實(shí)上，Qi(ω)是先減小后增大，也就是說(shuō)當(dāng)ξb增大到一定程度時(shí)，響應(yīng)會(huì)增大。而這些振型響應(yīng)是反映的上部結(jié)構(gòu)，因此對(duì)于上部結(jié)構(gòu)存在一個(gè)最優(yōu)阻尼比ξb。

對(duì)于強(qiáng)迫解耦方法，由于其忽略了耦合項(xiàng)，振型位移幅值為

(21)

顯然，隨著ξb的增大，振型響應(yīng)是不斷減小的。這與考慮耦合項(xiàng)對(duì)上部結(jié)構(gòu)的影響是顯著不同的。只有非比例阻尼特性比較弱時(shí)，強(qiáng)迫解耦方法才能提供較好的結(jié)果，因?yàn)榇藭r(shí)振型運(yùn)動(dòng)方程之間的能量傳遞較小。

4 算例及分析

基于Matlab平臺(tái)對(duì)隔震結(jié)構(gòu)Benchmark模型進(jìn)行地震響應(yīng)分析。隔震層共92個(gè)支座，其中各個(gè)支座編號(hào)詳見(jiàn)文獻(xiàn)[15]，剛度屬性由表1所示，隔震支座的阻尼屬性通過(guò)整個(gè)隔震層阻尼比反映。在隔震層阻尼比為20%和40%的水平下整個(gè)隔震體系的動(dòng)力特性見(jiàn)表2，其中EXACT表示復(fù)特征值方法，是精確解，F(xiàn)DM表示強(qiáng)迫解耦方法，可以看出兩種方法計(jì)算出的振型阻尼比與自振周期相差不大，這是由隔震結(jié)構(gòu)本身的特點(diǎn)決定的。

表1 隔震支座剛度屬性Tab.1 Stiffness of the elastomeric bearings

表2 隔震體系周期與振型阻尼比Tab.2 Periods and modal damping ratios of the isolated system

對(duì)于地震響應(yīng)分析采用了三種分析方法，即基于New-markβ積分的時(shí)程分析方法、強(qiáng)迫解耦方法(FDM)以及復(fù)振型分解反應(yīng)譜方法(本文推薦方法)，其中時(shí)程分析方法作為精確解。地震動(dòng)由Clough- Penzien功率譜模型[17]生成，其表達(dá)式為

(22)

式中:S0為強(qiáng)度因子;ωg、ξg為土層的自振圓頻率和阻尼比;ωf、ξf為第二過(guò)濾層的自振圓頻率和阻尼比。本文取ωg=5 rad/s、ωf=0.5 rad/s、ξg=0.2及ξf=0.6，對(duì)于S0的取值使生成的地震動(dòng)最大峰值平均值為0.4 g，共生成的100組人工波。另外，與此功率譜對(duì)應(yīng)的反應(yīng)譜通過(guò)單自由度體系時(shí)程分析得到。

為了研究隔震層阻尼大小對(duì)結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的影響，取隔震層阻尼比為0～60%，基本涵蓋了所有可能的阻尼水平。計(jì)算結(jié)果如圖3～圖7所示，圖3、圖4表示地震動(dòng)輸入方向?qū)Φ卣鸱磻?yīng)的影響(隔震層阻尼比固定為20%)，可以看出地震輸入方向?qū)Y(jié)果影響不大。圖5～圖7反映了隔震層阻尼比大小對(duì)頂層位移和底層層間位移的影響，顯然，隨著隔震層阻尼比的增

大強(qiáng)迫解耦方法誤差增大，且無(wú)法反映隔震層阻尼過(guò)大導(dǎo)致上部結(jié)構(gòu)響應(yīng)放大的效應(yīng)，但當(dāng)隔震層阻尼比在10%以下時(shí)具有良好的精度，這與Tsai和Kelly的研究結(jié)果是一致的。在所有阻尼水平下本文方法與精確解都非常接近，明顯比強(qiáng)迫解耦方法更有優(yōu)勢(shì)。

5 結(jié) 論

本文經(jīng)過(guò)理論推導(dǎo)和實(shí)例分析，得出以下幾個(gè)重要的結(jié)論：

(1) 基于隨機(jī)振動(dòng)理論，結(jié)合隔震結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，推導(dǎo)出了多維地震激勵(lì)輸入下的反應(yīng)譜復(fù)振型組合規(guī)則，其假定和表達(dá)形式與傳統(tǒng)方法一致，易于設(shè)計(jì)人員掌握和工程應(yīng)用。

(2) 復(fù)振型疊加反應(yīng)譜方法能夠較好的預(yù)測(cè)隔震結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)，充分反映隔震體系的非經(jīng)典阻尼特性，并能體現(xiàn)出較大隔震層阻尼會(huì)引起上部結(jié)構(gòu)響應(yīng)放大的特點(diǎn)。

(3) 強(qiáng)迫解耦方法忽略了隔震層與上部結(jié)構(gòu)的相互作用，當(dāng)隔震層阻尼比在10%以下時(shí)計(jì)算結(jié)果具有一定精度，但隨著隔震層阻尼的增大，計(jì)算誤差也隨之增大。此時(shí)，強(qiáng)迫解耦方法過(guò)高的估計(jì)上部結(jié)構(gòu)的阻尼耗能作用，導(dǎo)致其地震響應(yīng)偏小。

(a) X方向

(b) Y方向

圖3 不同地震動(dòng)輸入角度下隔震層最大位移平均值

Fig.3 Mean maximum displacements of the isolation base with different incident angle

(a) X方向

(b) Y方向

圖4 不同地震動(dòng)輸入角度下頂層最大位移平均值

Fig.4 Mean maximum displacements of the top storey with different incident angle

(a) X方向

(b) Y方向

圖5 不同隔震層阻尼比水平下隔震層最大位移平均值

Fig.5 Comparison of mean maximum displacements of the isolation base under different damping of the isolation system

(a) X方向

(b) Y方向圖6 不同隔震層阻尼比水平下頂層最大 位移平均值

Fig.6 Comparison of mean maximum displacements of the top storey under different damping of the isolation system

(a) X方向

(b) Y方向圖7 不同隔震層阻尼比水平下上部結(jié)構(gòu)底層 最大層間位移平均值

Fig.7 Comparison of the mean maximum storey drifts of the bottom level in the superstructure under different damping of the isolation system

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Complexmodalshapessuperpositionresponsespectrumapproachbasedonvibrationisolationstructurebenchmarkmodel

CHEN Huating1, TAN Ping1, PENG Lingyun2, LI Zhishan1, ZHOU Fulin1

(1. State Key Lab for Seismic Reduction Control & Structural Safety (Cultivation), Guangzhou University, Guangzhou 510405, China; 2. College of Architecture and Civil Engineering, Beijing University of Technology, Beijing 100122, China)

A vibration isolation structure is composed of a superstructure and a vibration isolation layer including vibration isolation bearings and dampers with different damping features from those of superstructure, which possess typically non-proportional damping features. So, the damping matrix of this system can’t be decomposed via the system’s undamped modal shapes and the traditional modal shapes superposition response spectrum method is not applicable to this system. Here, based on the random vibration theory and considering features of vibration isolation structures, a multi-dimensional earthquake complex modal shapes superposition response spectrum method was proposed, it could consider non-proportional damping features. The error of the forced decoupling method, an approximate approach commonly used, was studied. It was found that the energy transfer between the superstructure and the vibration isolation layer is prevented with this method to cause smaller seismic responses of the superstructure. The vibration isolation benchmark model was taken as an example to implement the time-history method, the forced decoupling method and the proposed complex modal shapes superposition response spectrum method, respectively. Three results were compared, it was shown that the proposed method has a better accuracy and can fully reflect the non-proportional damping characteristics in vibration isolation systems; when the damping of the vibration isolation layer is larger, the forced decoupling approach has a worse accuracy, it can’t reflect the amplification effects of the superstructure seismic responses due to damping of the vibration isolation layer.

response spectrum method; non-proportional damping; complex modal shape superposition approach; forced decoupling method; base-isolated structure benchmark model

長(zhǎng)江學(xué)者和創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)發(fā)展計(jì)劃(IRT13057)

2016-06-29 修改稿收到日期：2016-09-04

陳華霆 男，博士，1988年4月生

譚 平 男，教授，博士生導(dǎo)師，1973年9月生

TU311.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.23.023