尹忠俊， 趙久松， 張 航， 韓 天

(北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 北京 100083)

Adams法求解渦激振動(dòng)壓電能量獲取問題

尹忠俊， 趙久松， 張 航， 韓 天

(北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 北京 100083)

研究流-機(jī)-電三相耦合圓柱渦激振動(dòng)能量獲取問題，使用矩陣法求解機(jī)電耦合頻率和機(jī)電耦合阻尼，應(yīng)用Fluent軟件求解機(jī)電耦合振動(dòng)方程得到圓柱振動(dòng)響應(yīng)，使用Adams法求解機(jī)電耦合輸出電壓和機(jī)電耦合輸出功率。研究外接載荷對機(jī)電耦合輸出電壓、機(jī)電耦合輸出功率的影響，以及尾流干涉下，機(jī)電耦合輸出電壓隨外接載荷變化的情況。結(jié)果表明：Adams法求解機(jī)電耦合輸出電壓的頻率范圍更加廣泛，機(jī)電耦合輸出電壓與外接載荷成正比，機(jī)電耦合輸出功率在外接負(fù)載R=106Ω達(dá)到了最大值；在約化速度Ur=5時(shí)，尾流干涉下的機(jī)電耦合阻尼表現(xiàn)出對下游圓柱振幅起明顯的抑制作用。

渦激振動(dòng)； 輸出電壓； 流機(jī)電耦合； Adams求解法

從周圍環(huán)境中獲取能量可用來給電子元器件供電，微型能量收集器可從振動(dòng)、溫度差、旋轉(zhuǎn)等獲取能量成為許多學(xué)者的關(guān)注點(diǎn)[1-4]。水動(dòng)能是一種清潔的可再生能源[5]，利用壓電材料從渦激振動(dòng)系統(tǒng)中獲取能量具有很高的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。渦激振動(dòng)壓電能量獲取研究需要考慮流固耦合振動(dòng)和機(jī)電耦合，涉及了流體場、固體場和電場，是一個(gè)多物理場相互耦合的能量獲取研究，具有較高的學(xué)術(shù)研究價(jià)值[6]。

Dai等[7]研究渦激振動(dòng)和基礎(chǔ)激勵(lì)壓電能量獲取問題。壓電懸臂梁自由端與圓柱連接組成；研究能量獲取的簡化模型，將離散化Galerkin方法應(yīng)用在拉格朗日和非保守功；根據(jù)Facchinetti的研究，渦激振動(dòng)受力是由尾流振動(dòng)圓柱運(yùn)動(dòng)引起的，可用脈動(dòng)升力、阻力系數(shù)和圓柱運(yùn)動(dòng)速度表示，圓柱渦街脫落的尾跡運(yùn)動(dòng)同樣可以表示出來；通過將上述幾個(gè)方程簡化，可以得到渦激振動(dòng)能量獲取的方程組；并且發(fā)現(xiàn)數(shù)值預(yù)測模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有很好的吻合，當(dāng)風(fēng)速在同步區(qū)域時(shí)，能量獲取功率有較大的提升。羅竹梅等[8]研究耦合四圓柱渦激振動(dòng)的力特性及水動(dòng)能獲取分析；水動(dòng)能及能量密度隨著組合間距比的增加先增加，隨后發(fā)現(xiàn)獲取能量增加緩慢，而能量密度卻不斷減少。Mehmood等[9]研究壓電傳感器渦激振動(dòng)能量收集問題；在圓柱兩端使用2根細(xì)長的PZT壓電薄片進(jìn)行支撐，將帶有電阻的電路連接到PZT壓電懸臂梁上用于收集電荷。雷諾數(shù)設(shè)定在96≤Re≤118區(qū)間，此區(qū)間涵蓋了前同步、同步、后同步區(qū)域，負(fù)載電阻范圍為500 MΩ≤R≤5 MΩ。負(fù)載電阻對機(jī)電耦合系統(tǒng)的阻尼和固有頻率有影響，負(fù)載電阻的增大會(huì)使同步區(qū)域增大和輸出電壓升高。王軍雷等[10]研究了外界載荷對三相耦合圓柱繞流渦激振動(dòng)能量轉(zhuǎn)換的影響。使用矩陣法分析外界載荷對渦激振動(dòng)能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)阻尼和固有頻率的影響，并使用準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)近似理論推導(dǎo)獲得機(jī)電耦合系統(tǒng)電壓輸出的準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)解析式，應(yīng)用OpeanFOAM開源平臺(tái)對Navier-Stokes、二階范德波爾方程和高斯定律進(jìn)行渦激振動(dòng)耦合計(jì)算，當(dāng)滿足98

上述文獻(xiàn)中研究雷諾數(shù)大部分在同步區(qū)域的小范圍內(nèi)，采用Morse等[12]的準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)模型描述渦激振動(dòng)振幅，并計(jì)算出機(jī)電耦合輸出電壓。本文用Adams法求解機(jī)電耦合輸出電壓和機(jī)電耦合輸出功率，對于不能用準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)模型描述的渦激振動(dòng)振幅同樣適用，可以適用于更大范圍的雷諾數(shù)，應(yīng)用更加廣泛。本文使用矩陣法計(jì)算外接載荷對機(jī)電耦合阻尼和固有頻率的影響，并以上述結(jié)果為基礎(chǔ)利用Fluent軟件計(jì)算圓柱渦激振動(dòng)，得到圓柱振動(dòng)位移響應(yīng)，以振動(dòng)位移的數(shù)據(jù)點(diǎn)為基礎(chǔ)計(jì)算出機(jī)電耦合輸出電壓和輸出功率。主要研究外界載荷和流體速度對渦激振動(dòng)振幅、機(jī)電耦合輸出電壓以及輸出功率的影響；以及尾流干涉下，外接載荷對機(jī)電耦合輸出電壓的影響。

1 數(shù)學(xué)模型

渦激振動(dòng)機(jī)電耦合物理模型如圖1所示，壓電懸臂梁和末端圓柱體組成的渦激振動(dòng)能量收集系統(tǒng)簡化為二維單自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)，其中M為系統(tǒng)質(zhì)量，C為系統(tǒng)阻尼，K為系統(tǒng)彈簧剛度，U∞為均勻來流水流速度，R為外接電阻。

圖1 渦激振動(dòng)機(jī)電耦合物理模型Fig.1 Machine-clectvicity coapling model of vortex- induced vibration

1.1 流固耦合模型

本文求解非穩(wěn)態(tài)雷諾平均Navier-Stokes方程組，不可壓縮流體連續(xù)性方程和動(dòng)量方程為

(1)

(2)

式中:ρ為流體密度;v為運(yùn)動(dòng)黏性系數(shù)；u為速度矢量；f為作用在單位質(zhì)量流體微團(tuán)的質(zhì)量力，流體介質(zhì)為水。

單自由度范德波爾振動(dòng)方程表示為:

(3)

其中M,K,C存在以下關(guān)系：

(4)

ωn=C/2ζ·M

(5)

式中：M為單位長度圓柱質(zhì)量；ζ、ωn為振動(dòng)系統(tǒng)的阻尼比和圓頻率；Fy為圓柱升力。范德波爾振動(dòng)方程與流體控制方程在Fluent中求解，可以得到圓柱的動(dòng)態(tài)振動(dòng)響應(yīng)。

1.2 機(jī)電耦合模型

機(jī)電耦合振動(dòng)方程組需要考慮渦激振動(dòng)系統(tǒng)對電路輸出電壓的影響，同時(shí)運(yùn)用高斯定律[13]考慮電路對渦激振動(dòng)系統(tǒng)的負(fù)反饋?zhàn)饔?；結(jié)合流固耦合振動(dòng)計(jì)算結(jié)果，即可研究流-機(jī)-電三相耦合渦激振動(dòng)問題。機(jī)電耦合振動(dòng)方程如下：

(6)

(7)

式中：θ為機(jī)電耦合系數(shù)，Cp為電容系數(shù)，V為機(jī)電耦合輸出電壓。

將方程式(6)中的電壓項(xiàng)V消除，實(shí)現(xiàn)降維，研究外接載荷對機(jī)電耦合阻尼和機(jī)電耦合固有頻率的影響。使用矩陣法求解方程式(6)的線性方程式(8)：

（3）排除故障后，閉合開關(guān)，電壓表示數(shù)為1V，小燈泡實(shí)際亮度偏____（選填“亮”或“暗”）；為了使小燈泡正常發(fā)光，則滑動(dòng)變阻器滑片應(yīng)向________移動(dòng)（選填“C”或“D”）。

(8)

(9)

將上述方程組化為矩陣形式：

(10)

B(R)的解有三個(gè)特征值ki(i=1,2,3)；X的特征值中前兩個(gè)k1，k2的值與無電路振動(dòng)系統(tǒng)類似，存在共軛關(guān)系，其中共軛解的實(shí)部和虛部分別表示機(jī)電耦合系統(tǒng)中的機(jī)電耦合阻尼和固有頻率；而第三個(gè)特征值k3是常負(fù)實(shí)數(shù)，無實(shí)際物理意義，可忽略。機(jī)電耦合振動(dòng)方程中的電壓項(xiàng)V被消除，機(jī)電耦合振動(dòng)方程式(6)修正為

(11)

式中:Ccoup為機(jī)電耦合阻尼;Kcoup為機(jī)電耦合剛度。

本文機(jī)電耦合部分系統(tǒng)參數(shù)采用文獻(xiàn)[14]中的數(shù)值，機(jī)電耦合系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。

表1 渦激振動(dòng)機(jī)電耦合系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Parameters of vortex induced vibrationelectromechanical system

(12)

機(jī)電耦合輸出電壓可用四階Adams法求解，下式：

Vn+1=Vn+

(13)

其中：

(14)

(15)

將上述初始條件代入方程式(13)中即可求出每個(gè)時(shí)間點(diǎn)的機(jī)電耦合輸出電壓數(shù)值，得出機(jī)電耦合輸出電壓時(shí)程圖。

2 數(shù)學(xué)模型驗(yàn)證

如圖2所示，計(jì)算區(qū)域網(wǎng)格用四邊形網(wǎng)格劃分，且隨圓柱整體運(yùn)動(dòng)；在圓柱振動(dòng)過程中，壓縮和拉伸最外層網(wǎng)格高度，最外層網(wǎng)格可進(jìn)行分裂和合并，避免動(dòng)網(wǎng)格出現(xiàn)扭曲及變形的問題，提高了計(jì)算效率和計(jì)算精度。

圖2 網(wǎng)格示意圖Fig.2 Schematic diagram of mesh

在計(jì)算渦激振動(dòng)時(shí)，動(dòng)網(wǎng)格的處理是影響計(jì)算效率及計(jì)算精度的重要因素之一，因此本文將以單圓柱流機(jī)電耦合為基礎(chǔ)，其中的工況設(shè)置為：機(jī)電耦合固有圓頻率為12.67 rad/s，機(jī)電耦合阻尼比為0.190 3，采用疏密程度不同的網(wǎng)格進(jìn)行網(wǎng)格收斂性驗(yàn)證，將圓柱邊界網(wǎng)格數(shù)增加。結(jié)果如表2所示，表中給出了圓柱無量綱振幅(Ymax/D)，升力系數(shù)均方根值(Clrms)，阻力系數(shù)平均值(Cdmean)的對比結(jié)果；可以得到，不同網(wǎng)格下的數(shù)值計(jì)算結(jié)果非常接近，表明在當(dāng)前網(wǎng)格密度下，數(shù)值計(jì)算結(jié)果已近趨于收斂，下文將以網(wǎng)格1作為基準(zhǔn)。

表2 網(wǎng)格收斂性驗(yàn)證結(jié)果Tab.2 Comparisons of numerical results with differentmesh resolutions

本文用上述模型及網(wǎng)格劃分方法，對低雷諾數(shù)Re=100的條件下，單圓柱渦激振動(dòng)數(shù)值計(jì)算結(jié)果同及春寧等[15]的研究進(jìn)行對比，結(jié)果如圖3所示。

圖3 無量綱振幅隨約化速度Ur的變化情況Fig.3 Variation of the non-dimensional amplitude with the reduced velocity

從圖3中可以看出：無量綱振幅Ymax/D的模擬結(jié)果與及春寧論文的數(shù)值結(jié)果吻合較好，由于本文的約化速度Ur(Ur=U∞/fnD)為3-12，兩數(shù)據(jù)間隔為1；及春寧的論文中Ur為2.4-12，兩數(shù)據(jù)間隔為1.2；約化速度點(diǎn)采取的不同造成了曲線的不同，本文的數(shù)據(jù)和變化趨勢和參考文獻(xiàn)都吻合的較好，因此可以驗(yàn)證本文數(shù)值方法的正確性。

3 結(jié)果和討論

3.1 機(jī)電耦合阻尼和圓頻率

在流速為0.1 m/s時(shí)，表3為機(jī)電耦合圓頻率、機(jī)電耦合阻尼和無量綱振幅在不同外接負(fù)載下的情況。

表3不同外接負(fù)載下，機(jī)電耦合圓頻率、機(jī)電耦合阻尼和無量綱振幅

Tab.3Underdifferentexternalload,electromechanicalcouplingcircularfrequency,electromechanicalcouplingdampingandnondimensionalamplitude

外接負(fù)載R/Ω機(jī)電耦合圓頻率ωncoup機(jī)電耦合阻尼Ccoup無量綱振幅Ymax/D10412.570.08730.51210512.670.7570.33110616.2761.76270.24010716.8910.20290.49710816.8980.03160.526

表3中可以看出，隨著外接負(fù)載R的增大，機(jī)電耦合圓頻率也增大；而機(jī)電耦合阻尼呈現(xiàn)出先增大后減小的趨勢，在外接負(fù)載R=106Ω時(shí)，達(dá)到最大值；無量綱振幅呈現(xiàn)出先減小后增大的趨勢，在外接負(fù)載R=106Ω時(shí)，達(dá)到最小值；機(jī)電耦合阻尼越大，相對應(yīng)的無量綱振幅越小。

3.2 機(jī)電耦合輸出電壓和輸出功率

在不同約化速度下，機(jī)電耦合輸出電壓隨外接負(fù)載的增大而增大，當(dāng)外接負(fù)載106Ω5時(shí)，不同約化速度下的機(jī)電耦合輸出電壓相差不大，在外接負(fù)載R>107Ω時(shí)，系統(tǒng)具有較高的輸出電壓。

圖4 不同約化速度下，機(jī)電耦合輸出電壓隨外接 負(fù)載的變化情況

Fig.4 The change of output voltage of electromechanical coupling with external load under different reduced speed

圖5給出了不同約化速度下，機(jī)電耦合輸出功率隨外接負(fù)載的變化情況。機(jī)電耦合輸出功率隨外接負(fù)載都呈現(xiàn)出先增大后減小的趨勢，當(dāng)Ur=4時(shí)，機(jī)電耦合輸出功率在外接負(fù)載R=105Ω達(dá)到了最大值，來流速度較小，對應(yīng)的機(jī)電耦合輸出電壓遠(yuǎn)小于其他約化速度對應(yīng)的機(jī)電耦合輸出電壓；對于其他的約化速度來說，機(jī)電耦合輸出功率都在外接負(fù)載R=106Ω達(dá)到了最大值，此時(shí)由于分流阻尼效應(yīng)，系統(tǒng)阻尼較大，無量綱振幅較小。

圖5 不同約化速度下，機(jī)電耦合輸出功率隨外接 負(fù)載的變化情況

Fig.5 The change of output power of electromechanical coupling with external load under different reduced speed

3.3 尾流干涉下，機(jī)電耦合輸出電壓

上游固定相同直徑圓柱，下游圓柱進(jìn)行橫流向振動(dòng)，兩圓柱之間的間距比為L=3D，下游圓柱渦激振動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)與上述單圓柱相同；研究尾流干涉下，下游圓柱機(jī)電耦合輸出電壓的變化情況，并與單圓柱機(jī)電耦合輸出電壓對比。圖6給出了單圓柱與尾流干涉下圓柱機(jī)電耦合輸出電壓隨外接負(fù)載的變化情況。在外接負(fù)載R=104Ω時(shí)，單圓柱渦激振動(dòng)機(jī)電耦合輸出電壓要小于尾流干涉下的下游圓柱渦激振動(dòng)機(jī)電耦合輸出電壓，兩者相差不大；對于其他外接負(fù)載的情況，單圓柱渦激振動(dòng)機(jī)電耦合輸出電壓較大。尾流干涉下，在外接負(fù)載R=106Ω時(shí)，機(jī)電耦合輸出電壓有一個(gè)極小值，下游圓柱的無量綱振幅幾乎為零，因?yàn)榇藭r(shí)機(jī)電耦合阻尼達(dá)到最大值；在外接負(fù)載R≥106Ω時(shí)，下游圓柱的機(jī)電耦合輸出電壓也迅速增長，因?yàn)闄C(jī)電耦合阻尼開始迅速減小。可得在約化速度Ur=5時(shí)，尾流干涉下的機(jī)電耦合阻尼表現(xiàn)出對下游圓柱振幅起明顯的抑制作用，造成了尾流干涉下的機(jī)電耦合輸出電壓比單圓柱的機(jī)電耦合輸出電壓小。

圖6 機(jī)電耦合輸出電壓隨外接負(fù)載的變化情況Fig.6 The change of output voltage of electromechanical coupling with external load

4 結(jié) 論

本文研究流機(jī)電三相耦合圓柱渦激振動(dòng)能量獲取問題，使用矩陣法計(jì)算外接載荷對機(jī)電耦合阻尼和固有頻率的影響，用極限法求解機(jī)電耦合輸出電壓，分析不同約化速度下，機(jī)電耦合輸出電壓、功率隨外接負(fù)載的變化情況以及尾流干涉下，下游圓柱渦激振動(dòng)機(jī)電耦合輸出電壓隨外接負(fù)載的變化情況。得到如下結(jié)論：

(1) 用極限法求解機(jī)電耦合輸出電壓，此方法適用于渦激振動(dòng)各個(gè)區(qū)域，振動(dòng)位移響應(yīng)能否用表達(dá)式表示不會(huì)影響此方法的求解，此方法應(yīng)用更加廣泛。

(2) 在不同約化速度下，機(jī)電耦合輸出電壓隨外接負(fù)載的增大而增大。

(3) 機(jī)電耦合輸出功率在外接負(fù)載R=106Ω達(dá)到了最大值，此時(shí)由于分流阻尼效應(yīng)，系統(tǒng)阻尼較大，無量綱振幅較小。

(4) 在約化速度Ur=5時(shí)，尾流干涉下的機(jī)電耦合阻尼表現(xiàn)出對下游圓柱振幅起明顯的抑制作用，造成了尾流干涉下的機(jī)電耦合輸出電壓比單圓柱的機(jī)電耦合輸出電壓小。

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SolvingpiezoelectricenergyacquisitionproblemforvortexinducedvibrationwithAdamsmethod

YIN Zhongjun, ZHAO Jiusong，ZHANG Hang，HAN Tian

(School of Mechanical Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China)

Here, the energy acquisition problem of vortex-induced vibration in a flow-machine-electricity three-phase coupling flow around a cylinder was studied. The electro-mechanical coupled frequency and damping of the system were solved by using the matrix method, and the cylinder vibration response was obtained by solving the electromechanical coupled vibration equation with the software FLUENT. Then the electromechanical coupled output voltage and output power were solved with Adams method. The effects of external load on the electromechanical coupled output voltage and output power were investigated. Besides, the changes of electromechanical coupled output voltage with external load variation under wake interferences were examined. The results showed that the electromechanical coupled output voltage solved with Adams method has a wider frequency range; the electromechanical coupled output voltage is proportional to external load; the electromechanical coupled output power reaches its maximum value when the external load R=106 Ω; when the reduced velocity Ur is equal to 5, the electromechanical coupled damping has an obvious suppression effect on the vibration amplitude of the downstream cylinder under wake interferences.

vortex-induced vibration; output voltage; flow-machine-electricity coupling; Adams method

2016-09-08 修改稿收到日期：2016-11-10

尹忠俊 男，博士，教授，1962年8月

韓天 男，博士，副教授，1977年7月

O353.1； TK79

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.23.022