王 強(qiáng), 張培林, 王懷光, 張?jiān)茝?qiáng), 李一寧

(軍械工程學(xué)院 車輛與電氣工程系，石家莊 050003)

基于多目標(biāo)粒子群算法的稀疏分解參數(shù)優(yōu)化

王 強(qiáng), 張培林, 王懷光, 張?jiān)茝?qiáng), 李一寧

(軍械工程學(xué)院 車輛與電氣工程系，石家莊 050003)

針對振動(dòng)信號稀疏分解過程中存在的復(fù)雜參數(shù)設(shè)置問題，提出利用多目標(biāo)粒子群算法進(jìn)行稀疏分解參數(shù)優(yōu)化，以實(shí)現(xiàn)振動(dòng)信號的有效壓縮。根據(jù)多目標(biāo)粒子群理論，建立稀疏分解參數(shù)優(yōu)化模型，確定粒子群優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)、待優(yōu)化參數(shù)，分析參數(shù)設(shè)置與目標(biāo)函數(shù)之間的泛函關(guān)系。設(shè)計(jì)仿真實(shí)驗(yàn)，研究數(shù)據(jù)壓縮指標(biāo)之間的約束關(guān)系，指導(dǎo)多目標(biāo)粒子群算法參數(shù)優(yōu)化，改善數(shù)據(jù)壓縮效果。應(yīng)用實(shí)測數(shù)據(jù)，驗(yàn)證多目標(biāo)粒子群算法的參數(shù)優(yōu)化能力，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：多目標(biāo)粒子群算法能夠優(yōu)化振動(dòng)信號稀疏分解參數(shù)，取得良好的振動(dòng)信號數(shù)據(jù)壓縮效果。

振動(dòng)信號；稀疏分解；多目標(biāo)粒子群算法；參數(shù)優(yōu)化；數(shù)據(jù)壓縮

Mallat等[1]首次提出稀疏分解算法，經(jīng)過不斷發(fā)展與完善，它能夠?qū)⑿盘栐谶^完備冗余字典上展開，實(shí)現(xiàn)信號的稀疏表示，在機(jī)械故障診斷[2]、特征辨識[3]、降噪[4]、壓縮[5]等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。

機(jī)電設(shè)備的振動(dòng)信號中包含著大量設(shè)備狀態(tài)信息，因此作為機(jī)電設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測以及故障診斷的依據(jù)[6]，應(yīng)用在機(jī)電設(shè)備的狀態(tài)監(jiān)測系統(tǒng)中，但是在實(shí)時(shí)遠(yuǎn)程監(jiān)測過程中，產(chǎn)生的振動(dòng)信號數(shù)據(jù)量龐大，給信號的傳輸帶來了巨大困難。稀疏分解算法能夠?qū)⑿盘栠M(jìn)行稀疏表示，有效降低信號的冗余信息，實(shí)現(xiàn)振動(dòng)信號的有效壓縮，解決狀態(tài)監(jiān)測振動(dòng)信號的傳輸問題。稀疏分解算法參數(shù)選擇在很大程度上影響了稀疏表示性能，影響數(shù)據(jù)壓縮效果?，F(xiàn)階段，稀疏分解算法的參數(shù)設(shè)置主要依賴于經(jīng)驗(yàn)值，參數(shù)復(fù)雜多樣，取值范圍廣，因此依賴經(jīng)驗(yàn)獲得的參數(shù)值可能不是最優(yōu)值。

粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)通過模擬鳥群捕食的行為，建立優(yōu)化模型，優(yōu)化粒子位置信息。該算法利用速度、位置等概念實(shí)現(xiàn)優(yōu)化的功能，概念簡單，容易實(shí)現(xiàn)[7]。為此本文引入粒子群算法解決上述稀疏表示參數(shù)優(yōu)化問題，優(yōu)化稀疏表示參數(shù)設(shè)置，改善稀疏表示性能，提高振動(dòng)信號壓縮效果。

1 基于稀疏表示的數(shù)據(jù)壓縮

1.1 振動(dòng)信號稀疏表示模型

振動(dòng)信號的稀疏表示主要包含兩方面的內(nèi)容，即冗余字典設(shè)計(jì)和稀疏分解算法。將振動(dòng)信號在冗余字典下進(jìn)行稀疏分解，得到信號的稀疏表示，其數(shù)學(xué)模型[8]可以描述為如下形式：

(1)

式中：x為振動(dòng)信號；x∈Rn；D為冗余字典；G為稀疏系數(shù)；ε為最大容許誤差?！珿‖0表示求解G的0范數(shù)，即G中非零系數(shù)的個(gè)數(shù)。

振動(dòng)信號為高頻采樣的復(fù)雜信號，信號數(shù)據(jù)間相關(guān)性不明顯，這就給振動(dòng)信號的稀疏表示帶來很大困難。冗余的字典設(shè)計(jì)方法能夠改善字典對振動(dòng)信號的稀疏表示效果，冗余字典的更新過程采用K-SVD算法[8]，K-SVD利用原始振動(dòng)信號構(gòu)造訓(xùn)練樣本，能夠通過自適應(yīng)的學(xué)習(xí)訓(xùn)練獲得與原始信號相適應(yīng)的冗余字典，因此很大程度上保證了冗余字典的稀疏表示效果。

振動(dòng)信號的稀疏分解采用正交匹配追蹤算法[9](Orthogonal Matching Pursuit，OMP)，正交匹配追蹤由Pati提出，利用迭代的方式得到信號在冗余字典下的稀疏表示系數(shù)。在迭代過程中，通過保留每次迭代的最佳字典原子，構(gòu)成用于稀疏分解的字典原子集合，從而保證了字典集合與殘差信號的正交性，因此迭代過程能夠在有限的次數(shù)內(nèi)完成，收斂速度快。

振動(dòng)信號稀疏表示后。通過存儲(chǔ)稀疏表示系數(shù)、冗余字典、以及系數(shù)中的標(biāo)志位信息，能夠大大壓縮原始振動(dòng)信號的數(shù)據(jù)量，同時(shí)包含了完整重構(gòu)原始振動(dòng)信號的信息，有效實(shí)現(xiàn)對原始振動(dòng)信號的數(shù)據(jù)壓縮。

1.2 稀疏分解參數(shù)研究

基于稀疏表示的數(shù)據(jù)壓縮算法中涉及的參數(shù)之間相互影響，共同作用于數(shù)據(jù)壓縮效果，同時(shí)數(shù)據(jù)壓縮效果指標(biāo)多樣，因此在數(shù)據(jù)壓縮參數(shù)優(yōu)化過程中存在較大困難。

利用稀疏分解算法實(shí)現(xiàn)信號的數(shù)據(jù)壓縮過程中涉及的參數(shù)主要包括K-SVD冗余字典個(gè)數(shù)M、最大容許誤差ε、訓(xùn)練樣本容量K、訓(xùn)練字典過程中的迭代次數(shù)n。

(2)

n1=m×M+S0+S1

(3)

式中：m為原始振動(dòng)信號分割長度；S0為稀疏表示后信號的稀疏度；S1為標(biāo)志位數(shù)據(jù)量。

式(1)中，最大容許誤差ε直接影響稀疏分解系數(shù)gi以及稀疏分解后稀疏度S0的大小，最大容許誤差ε公式為

(4)

式中：sima為噪聲標(biāo)準(zhǔn)差；k為誤差系數(shù)，對于指定信號，可以利用k的取值表征ε大小，在小容許誤差條件下，稀疏分解過程中迭代次數(shù)增加，稀疏度增加，運(yùn)算時(shí)間變長。

訓(xùn)練樣本容量K為整數(shù)，與冗余字典之間相互影響，一方面在K-SVD字典學(xué)習(xí)訓(xùn)練過程中，K影響到D的訓(xùn)練效果，另一方面，K與冗余字典個(gè)數(shù)之間存在如下不等關(guān)系：

K≥M

(5)

字典訓(xùn)練過程中需要多次迭代以保證字典對原始信號的適應(yīng)性要求。迭代次數(shù)通常為大于0的整數(shù)，迭代次數(shù)的大小直接影響冗余字典的訓(xùn)練效果以及運(yùn)算時(shí)間。

2 振動(dòng)信號稀疏表示參數(shù)優(yōu)化

2.1 多目標(biāo)粒子群算法

粒子群優(yōu)化算法是模擬生物群體而產(chǎn)生的智能優(yōu)化算法，其操作簡單，容易實(shí)現(xiàn)，準(zhǔn)確度高，在解決實(shí)際問題中優(yōu)勢明顯。

粒子群中的每個(gè)粒子具有位置、速度以及適應(yīng)度三個(gè)屬性，位置信息中包含了待優(yōu)化參數(shù)的可行取值，速度信息表征了粒子位置的變化趨勢，適應(yīng)度表征在不同位置上的粒子優(yōu)劣程度。粒子群算法的核心是速度以及位置的優(yōu)化更新，更新過程迭代進(jìn)行，模擬了生物群體捕食的過程，其公式[10]可以表達(dá)為

vi+1=w×vi+c1×r1×(pbesti-pi)+

c2×r2×(gbesti-pi)

(6)

pi+1=pi+vi+1

(7)

式中：w為慣性權(quán)值，其大小影響了粒子飛行的慣性；c1、c2為加速常數(shù)，分別影響了局部和全局加速度的大小；r1、r2為0～1之間的隨機(jī)數(shù)，產(chǎn)生局部加速度與全局加速度的融合效果；pbesti為局部最優(yōu)適應(yīng)度的位置信息，是單個(gè)粒子個(gè)體歷史最優(yōu)位置；pi為當(dāng)前粒子的位置信息；gbesti為全局最優(yōu)適應(yīng)度的位置信息，是當(dāng)前粒子群中的最優(yōu)位置。求得粒子的飛行速度vi+1后，即可獲得迭代后粒子的位置。

Coello等[11]提出多目標(biāo)粒子群算法(Multi-Objective Particle Swarm Optimization，MOPSO)是粒子群算法的推廣，用于解決多個(gè)目標(biāo)函數(shù)條件下的參數(shù)優(yōu)化問題，在多目標(biāo)粒子群中，適應(yīng)度不再是單一數(shù)值，而是包含多個(gè)目標(biāo)函數(shù)值的數(shù)組，因此會(huì)出現(xiàn)不同粒子的優(yōu)劣無法明確的情況。對于全局最優(yōu)粒子，MOPSO采用了網(wǎng)格法來確定多個(gè)非劣粒子全局領(lǐng)導(dǎo)者，引導(dǎo)粒子群的飛行方向。網(wǎng)格法將目標(biāo)函數(shù)值的取值范圍進(jìn)行均勻的網(wǎng)格劃分，根據(jù)單個(gè)網(wǎng)格中粒子的疏密程度確定領(lǐng)導(dǎo)者，網(wǎng)格中粒子越多，則粒子被選擇的概率越小，因此在比較稀疏的網(wǎng)格中，粒子被選擇的概率較大。對于局部最優(yōu)粒子，在存在多個(gè)非劣粒子的情況下隨機(jī)選取一個(gè)作為局部最優(yōu)。

2.2 稀疏表示參數(shù)優(yōu)化模型

(1)確定目標(biāo)函數(shù)

數(shù)據(jù)壓縮過程中，數(shù)據(jù)壓縮效果評價(jià)指標(biāo)主要包括重構(gòu)峰值信噪比PSNR、壓縮比CR、運(yùn)算復(fù)雜度t。其中PSNR和CR計(jì)算方式如下：

(8)

(9)

(10)

(2)多目標(biāo)粒子群優(yōu)化流程

粒子群中每個(gè)粒子的位置由所有的待優(yōu)化參數(shù)構(gòu)成，即冗余字典個(gè)數(shù)M、誤差系數(shù)k、訓(xùn)練樣本容量K、訓(xùn)練字典過程中的迭代次數(shù)n，因此設(shè)計(jì)pi(Mi、ki、Ki、ni)。

每個(gè)粒子的適應(yīng)度由峰值信噪比PSNR、壓縮比CR、運(yùn)算時(shí)間t構(gòu)成，優(yōu)化過后，輸出當(dāng)前粒子以及每次迭代過程中產(chǎn)生的所有非劣粒子位置、適應(yīng)度。非劣粒子由每次迭代過程中的當(dāng)前粒子產(chǎn)生，當(dāng)出現(xiàn)粒子的多個(gè)目標(biāo)函數(shù)值僅部分劣于任意一個(gè)粒子的情況時(shí)，粒子被認(rèn)定為非劣粒子。

基于多目標(biāo)粒子群優(yōu)化的稀疏表示參數(shù)優(yōu)化過程，如圖1所示。

2.3 仿真信號分析

為檢驗(yàn)多目標(biāo)粒子群算法對振動(dòng)信號稀疏表示參數(shù)優(yōu)化效果，設(shè)定仿真信號進(jìn)行分析。

y=y1+y2

(11)

式中：y1仿真機(jī)械設(shè)備振動(dòng)信號，信號中包含兩個(gè)特征頻率：32 Hz、90 Hz。其表達(dá)式為

y1=sin(2×π×32×t)+

sin(2×π×90×t)

(12)

y2為高斯白噪聲，仿真振動(dòng)信號中的噪聲，其標(biāo)準(zhǔn)差為0.5。仿真信號的采樣頻率為1 024 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為6 400，信號分割長度為16，仿真信號如圖2所示。

圖1 稀疏表示參數(shù)優(yōu)化流程Fig.1 The flow chart of parameter optimization for sparse representation

圖2 仿真信號時(shí)域圖Fig.2 Simulatied signal in time domain

設(shè)定粒子群粒子容量為100，最高迭代次數(shù)為50，慣性權(quán)值為0.3，并隨著迭代次數(shù)的增加而逐漸降低，c1=1、c2=2。設(shè)定待優(yōu)化參數(shù)取值范圍：冗余字典個(gè)數(shù)M在20～50之間取整數(shù)值，誤差系數(shù)k位1～3之間的任意數(shù)值，字典訓(xùn)練迭代次數(shù)在1～20之間變化，訓(xùn)練樣本容量M≤K≤100。應(yīng)用多目標(biāo)粒子群算法對參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，圖3為當(dāng)前粒子群以及累積的非劣粒子適應(yīng)度分布圖。

從圖3中可以看出，經(jīng)過迭代后，粒子群中的粒子穩(wěn)定在特定范圍內(nèi)飛行，累積非劣粒子群描繪出粒子群收斂效果，結(jié)果表明：① 峰值信噪比與壓縮比之間存在明顯約束關(guān)系。② 粒子群的非劣集合集中與空間曲面當(dāng)中，空間曲面與z坐標(biāo)平行，表明算法復(fù)雜度與峰值信噪比、壓縮比之間沒有約束關(guān)系。

設(shè)定目標(biāo)函數(shù)為峰值信噪比與壓縮比，進(jìn)一步研究峰值信噪比與壓縮比之間的約束關(guān)系，其他參數(shù)設(shè)置不變，圖4為粒子分布效果。

(a)迭代1次

(b)迭代25次

(c)迭代50次圖3 三目標(biāo)函數(shù)粒子分布Fig.3 Particle distribution with three objects

(a)迭代1次

(b)迭代25次

(c)迭代50次圖4 雙目標(biāo)函數(shù)粒子分布Fig.4 Particle distribution with double objects

經(jīng)過迭代后，粒子群集中在曲線附近，累積非禮粒子描繪結(jié)果表明，峰值信噪比與壓縮比之間存在限制關(guān)系，即隨著峰值信噪比的提高，壓縮比在不斷下降，并且在不同信噪比階段內(nèi)，下降的幅度不同，針對仿真信號，從圖中可以發(fā)現(xiàn)信噪比低于23.97 db時(shí)，曲線斜率較大，在23.97～24.51 db附近時(shí)較為適宜，此時(shí)隨著信噪比的提高，壓縮比降低較為緩慢，信噪比在24.51～39.50 db時(shí)，隨著信噪比的提高，壓縮比下降速度變快，當(dāng)信噪比超過39.51 db時(shí)，隨著信噪比的提高，壓縮比迅速降低。

非劣粒子群在空間集合生成的曲面與z坐標(biāo)軸平行，表明pi中存在部分參數(shù)在變化過程中，壓縮比、信噪比趨于穩(wěn)定，運(yùn)算時(shí)間卻顯著增加，為此對pi中各參數(shù)對目標(biāo)函數(shù)的影響效果進(jìn)行進(jìn)一步研究。pi中各參數(shù)逐個(gè)進(jìn)行分析，待分析參數(shù)在其變化范圍內(nèi)均勻取值，其他參數(shù)固定在中值。為同時(shí)比較峰值信噪比PSNR、壓縮比CR、運(yùn)算時(shí)間t的變化趨勢，對以上三個(gè)指標(biāo)進(jìn)行歸一化處理，計(jì)算過程中采用多次試驗(yàn)取平均值得方法排除誤差干擾，試驗(yàn)次數(shù)為10次，結(jié)果如圖5所示。

結(jié)果表明：在給定范圍、控制其他參數(shù)不變的條件下，字典個(gè)數(shù)M增加會(huì)不斷提高信噪比，降低壓縮比，同時(shí)運(yùn)算時(shí)間也隨之增加；誤差系數(shù)k的影響效果與之相反，隨著k的增加，信噪比降低，壓縮比提高，運(yùn)算時(shí)間不短縮短；從圖中可以看出，隨著訓(xùn)練樣本K的增加，壓縮比迅速提高，并達(dá)到穩(wěn)定，信噪比迅速提高后，緩慢提高，趨于穩(wěn)定，而運(yùn)算時(shí)間呈現(xiàn)出不斷上升趨勢；樣本訓(xùn)練迭代次數(shù)n的影響效果與訓(xùn)練樣本類似，當(dāng)n達(dá)到一定數(shù)值后，信噪比與壓縮比不再變化，運(yùn)算時(shí)間卻不斷增加。因此在滿足一定信噪比以及壓縮比的條件下，可以通過控制訓(xùn)練樣本數(shù)K以及樣本訓(xùn)練迭代次數(shù)n來有效降低運(yùn)算時(shí)間。

圖5 各參數(shù)分析

Fig.5 Analysis on every parameter

為比較多目標(biāo)粒子群對稀疏表示參數(shù)的優(yōu)化結(jié)果，在峰值信噪比21～22、31～32、38～39之間各選取一個(gè)非劣粒子與普通粒子作對比，比較數(shù)據(jù)壓縮效果，如表1所示。

表1 壓縮效果對比Tab.1 Compression effect comparison

從表1中可以看出，非劣粒子在壓縮效果上互有優(yōu)劣，無法選出較優(yōu)者，普通粒子的壓縮效果存在三個(gè)指標(biāo)都劣于某一非劣粒子的情況，因此經(jīng)過粒子群優(yōu)化的非劣粒子的參數(shù)設(shè)置更為合理，在不同的壓縮條件要求下，能夠取得最佳的參數(shù)組合，達(dá)到最佳的壓縮效果。

3 實(shí)測信號驗(yàn)證與分析

為進(jìn)一步檢驗(yàn)多目標(biāo)粒子群算法對振動(dòng)信號稀疏表示的參數(shù)優(yōu)化能力，運(yùn)用實(shí)測數(shù)據(jù)對算法進(jìn)行驗(yàn)證并對實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析。實(shí)測數(shù)據(jù)引用文獻(xiàn)[12]齒輪箱信號。實(shí)測信號的采樣頻率為6 400 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為6 400，按照信號分割長度16構(gòu)造訓(xùn)練矩陣，參數(shù)變化范圍不變。實(shí)測信號時(shí)域特征，如圖6所示。

圖6 實(shí)測信號時(shí)域圖Fig.6 Measured signal in time domain

對實(shí)測信號應(yīng)用多目標(biāo)粒子群算法進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，記錄下當(dāng)前粒子群在飛行搜索過程中發(fā)現(xiàn)的非劣粒子，飛行迭代次數(shù)為50，粒子群容量為100，c1，c2，w值與仿真信號相同。

圖7為實(shí)測信號三目標(biāo)函數(shù)以及雙目標(biāo)函數(shù)迭代后的粒子分布圖，從圖中可以看出實(shí)測信號的粒子分布規(guī)律與仿真信號相吻合，(a)圖中空間曲面與z坐標(biāo)軸平行(b)圖中，在峰值信噪比較低時(shí)，曲線斜率大，壓縮比下降較快，在信噪比高于43 db時(shí)，斜率緩慢降低，隨著信噪比的降低，壓縮比下降速度變緩。

(a) 三目標(biāo)函數(shù)

(b) 雙目標(biāo)函數(shù)圖7 實(shí)測信號粒子分布Fig.7 Particle distribution of measured signal

在信噪比滿足43～46之間的粒子中各選取一個(gè)非劣粒子與普通粒子作對比，圖7為兩種參數(shù)設(shè)置下信號的重構(gòu)效果圖，圖8為重構(gòu)信號對比。

(a)非劣粒子 M=29，k=2.6745，K=81，n=12

(b)普通粒子 M=44，k=3，K=92，n=17圖8 重構(gòu)信號對比Fig.8 Comparison of restricted signal

實(shí)測數(shù)據(jù)結(jié)果驗(yàn)證了多目標(biāo)粒子群算法對振動(dòng)信號稀疏表示參數(shù)的優(yōu)化能力，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，經(jīng)過粒子群優(yōu)化的參數(shù)設(shè)置能夠獲得良好的數(shù)據(jù)壓縮效果，同時(shí)降低運(yùn)算時(shí)間，在實(shí)際應(yīng)用過程中，可以根據(jù)不同的數(shù)據(jù)壓縮效果要求，依據(jù)粒子群算法的優(yōu)化結(jié)果，優(yōu)化稀疏表示參數(shù)，改善數(shù)據(jù)壓縮效果。

4 結(jié) 論

引入多目標(biāo)粒子群智能優(yōu)化算法，對機(jī)械設(shè)備振動(dòng)信號稀疏分解過程中的多個(gè)參數(shù)同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化，從而達(dá)到良好的振動(dòng)信號數(shù)據(jù)壓縮效果；設(shè)計(jì)仿真實(shí)驗(yàn)，分析了振動(dòng)信號數(shù)據(jù)壓縮指標(biāo)之間的約束關(guān)系，為參數(shù)優(yōu)化提供指導(dǎo)；應(yīng)用實(shí)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證算法的實(shí)際應(yīng)用效果，結(jié)果表明，多目標(biāo)粒子群算法提供的優(yōu)化參數(shù)能夠獲得良好的數(shù)據(jù)壓縮效果。

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Parametricoptimizationofsparsedecompositionbasedonmulti-objectiveparticleswarmoptimizationalgorithm

WANG Qiang, ZHANG Peilin, WANG Huaiguang, ZHANG Yunqiang, LI Yining

(Department of Vehicles and Electrical Engineering, Ordnance Engineering College, Shijiazhuang 050003, China)

Aiming at complex parameter setting in sparse decomposition process of vibration signals, the multi-objective particle swarm optimization algorithm was put forward for parameter optimization of sparse decomposition to realize effective compression of vibration signals. According to the multi-objective particle swarm theory, a model was established to determine objective function for the particle swarm optimization algorithm and parameters to be optimized, and the functional relation among parameters and the objective function was analyzed. A simulation test was designed to study constraint relations among indexes for data compression, guide the parameter optimization of the multi-objective particle swarm optimization algorithm, and improve the effects of data compression. The measured data were used to verify the parameter optimization ability of the multi-objective particle swarm optimization algorithm. The test results showed that the multi-objective particle swarm optimization algorithm can be used to optimize parameters for sparse decomposition of vibration signals, and get the good effects of data compression of vibration signals.

vibration signal； sparse decomposition； multi-objective particle swarm optimization algorithm； parameter optimization； data compression

國家自然基金(E51305454)

2016-05-10 修改稿收到日期：2016-10-11

王強(qiáng) 男，碩士生，1992年7月生

張培林 男，教授，博士生導(dǎo)師，1955年12月生

TH17

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.23.008