文/劉頓

銳角三角函數(shù)的創(chuàng)新題

文/劉頓

銳角三角函數(shù)是初中數(shù)學的重要內(nèi)容.在中考中，出現(xiàn)了以考查創(chuàng)新思維能力為目的的新題型.現(xiàn)歸納總結(jié)如下,供你學習時參考.

一、規(guī)律探究

例1如圖1，把n個邊長為1的正方形拼接成一排，求得計算tan∠BA4C=_____，…按此規(guī)律，寫出tan∠BAnC=______（用含n的代數(shù)式表示）.

圖1

解: 如圖1，過點C作CE⊥A4B于E，

易得∠A4BC=∠BA4A1，

BE=4CE，而BC=1，

溫馨小提示:在斜三角形中，需要引垂線構(gòu)造出直角三角形.這道規(guī)律探究題，要通過銳角三角函數(shù)的定義，求出相應的值，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

二、猜想驗證

例2小明在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果：

圖2

據(jù)此，小明猜想：對于任意銳角α，均有sin2α+sin2（90°-α）=1.

小明的猜想是否成立，請說出理由.

解:小明的猜想成立.證明如下：

如圖2，在△ABC中，∠C=90°，設∠A=α，則∠B=90°-α，于是

溫馨小提示:理解題意并作出直角三角形，就可解決問題.

三、知識拓展

例 3 如圖3，在△ABC中，設∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，過點A作AD⊥BC，垂足為D，可得

圖3

圖4

通過推理還可以得到另一個表達三角形邊角關系的定理——余弦定理：

在△ABC中，若∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，則

用上面的三角形的面積公式和余弦定理解決問題：

（1）如圖4，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的對邊分別是3和8，求S△DEF和DE2；

（2）如圖5，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC′、△BCA′、△ACB′分別是以AB、BC、AC為邊的等邊三角形，設△ABC、△ABC′、△BCA′、△ACB′的面積分別為S1、S2、S3、S4.

求證：S1+S2=S3+S4.

解:（1）如圖4，在△DEF中，

∵∠F=60°，∠D、∠E的對邊分別是3和8，

圖5

（2）證明：如圖5，∵∠C＝60°，

∵△ABC′、△BCA′、△ACB′都是等邊三角形，

溫馨小提示：要讀懂題意，靈活運用條件中兩類公式解題.（2）的證明還可以設∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，由三角形的面積公式，用a，b，c表示出△ABC、△ABC′、△BCA′、△ACB′的面積，即可得到S1+S2和S3+S4，最后由余弦得到a2+b2=c2+ab，從而證明結(jié)論.

王二喜