夏春南

(江蘇武進(jìn)區(qū)鳴凰中學(xué) 213164)

1 問(wèn)題的提出

《普通高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》指出：高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一.人們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題時(shí)，不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想像、抽象概括、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過(guò)程[1].而三角函數(shù)是基本初等函數(shù)之一，在中學(xué)數(shù)學(xué)中處于核心地位，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力至關(guān)重要[2].

三角函數(shù)和代數(shù)、幾何、平面向量等有著密切的聯(lián)系，是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，高考每年至少命制一大題和一小題.從近幾年各省高考卷可以看出，三角函數(shù)的試題重基礎(chǔ)，起點(diǎn)低，考查全面，涉及三角函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值，解三角形及三角函數(shù)的綜合運(yùn)用.

筆者所在學(xué)校生源質(zhì)量一般，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)能力較薄弱，而三角函數(shù)的解答題一般位于解答題第一題，部分學(xué)生由于基礎(chǔ)知識(shí)薄弱，基本數(shù)學(xué)思想和方法不熟練，往往不能在較短時(shí)間內(nèi)順利作答，這對(duì)學(xué)生的整體數(shù)學(xué)成績(jī)及心理狀態(tài)至關(guān)重要.因此，如何在高三復(fù)習(xí)中夯實(shí)學(xué)生三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，提高高三復(fù)習(xí)效率值得研究.

本文旨在通過(guò)對(duì)高三三角函數(shù)的復(fù)習(xí)進(jìn)行前測(cè)與后測(cè)，對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行研究和分析，以期形成高三三角函數(shù)的復(fù)習(xí)策略，從而為高三三角函數(shù)的復(fù)習(xí)提供理論依據(jù)，對(duì)高三復(fù)習(xí)階段課堂教學(xué)的效果起到積極的推動(dòng)作用.

2 研究方法

2.1 研究被試

研究采用實(shí)驗(yàn)研究方法，以本校高三386名學(xué)生為研究對(duì)象，全部編號(hào)參加.

2.2 研究工具

(1)前測(cè)卷的編制

前測(cè)卷一方面需針對(duì)高考題型進(jìn)行整體設(shè)計(jì)，既要覆蓋所有的知識(shí)內(nèi)容，又要考慮所涉及的思想方法，以及測(cè)試問(wèn)卷的難易程度，試題的先后位置，另一方面，考慮前測(cè)工作是在學(xué)生新課結(jié)束后，一輪復(fù)習(xí)前使用，故難度不能太大.從近幾年的高考情況看，三角函數(shù)一直是考查的重點(diǎn)，并且是大題形式，前測(cè)試題共5題，每題20分，滿分100分.

題1：(2015年江蘇省高考15題)

在△ABC中，已知AB=2,AC=3,A=60°,(1)求BC的長(zhǎng)；(2)求sin2C的值.

此題屬于解三角形類型，主要考查余弦定理及二倍角公式.

題2：(2014年江蘇省高考15題)

此題屬于三角求值類型，主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系式、兩角和差的正余弦公式、二倍角公式，須特別注意余弦的符號(hào)，鈍角的三角函數(shù)值.

此題屬于三角函數(shù)圖像類型，已知函數(shù)圖像求函數(shù)解析式，第一問(wèn)中代入求φ，已知三角函數(shù)值求角，要注意角的范圍，第二問(wèn)考查二倍角公式和兩角和差的正弦公式.

(1)設(shè)∠COA=θ,求sin2θ的值；

(2)若△AOB為正三角形，求點(diǎn)B的坐標(biāo).

此題以單位圓為載體，主要考查三角函數(shù)的定義，二倍角的正弦和兩角和的正余弦公式.

此題第一問(wèn)考查了兩向量平行的充要條件及兩角差的正切公式，第二問(wèn)屬于三角函數(shù)圖像與性質(zhì)類型，涉及二倍角的倒用、輻角公式，是一道與向量結(jié)合的綜合題.此題要求學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的定義有清晰的認(rèn)識(shí).

(2)后測(cè)卷的編制

就前測(cè)中發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題，有針對(duì)性地進(jìn)行教學(xué)，查漏補(bǔ)缺，專項(xiàng)訓(xùn)練.后測(cè)卷是對(duì)三角函數(shù)復(fù)習(xí)效果的檢測(cè)，后測(cè)卷主要考查學(xué)生綜合應(yīng)用三角函數(shù)的能力，因此難度較前測(cè)卷略高.

題1：(蘇錫常鎮(zhèn)四市2015屆高三教學(xué)情況調(diào)研二第15題)

(1)求函數(shù)f(x)的最大值，并寫出當(dāng)f(x)取最大值時(shí)x的取值集合；

題2：(南通市2015屆高三第一學(xué)期期末試卷第15題)

在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，已知b·cosC+c·cosB=2a·cosA,

題3：(揚(yáng)州市2015屆高三第一學(xué)期期末考試第15題)

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

題4：(2015年南京市、鹽城市高三第一次模擬考試第15題)

(1)求函數(shù)f(α)的值域；

題5：(鹽城市2015屆高三第三次模擬試卷)

(1)求函數(shù)f(x)取最大值時(shí)x的取值范圍;

2.3 研究程序

運(yùn)用多種研究方法主要有調(diào)查問(wèn)卷研究法、實(shí)驗(yàn)研究法、比較研究法、行動(dòng)研究法及經(jīng)驗(yàn)總結(jié)法，對(duì)被試對(duì)象實(shí)施高三三角函數(shù)復(fù)習(xí)的前期測(cè)試和后效測(cè)試.

2.4 統(tǒng)計(jì)方法

對(duì)研究的測(cè)試結(jié)果利用SPSS19統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)輸入整理以及分析處理.

3 研究結(jié)果與分析

表一 前測(cè)卷測(cè)試結(jié)果

從表一可以看出，學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的掌握處于中等水平，第4題中，對(duì)三角函數(shù)的定義理解不到位，點(diǎn)B的坐標(biāo)不會(huì)用兩角和差來(lái)表示，第5題主要的失分在于二倍角的倒用，輔角公式化簡(jiǎn)不準(zhǔn)確，其中第1題的標(biāo)準(zhǔn)差最小，差異性最小.

表二 前測(cè)卷成績(jī)相關(guān)系數(shù)

**.在 .01 水平(雙側(cè))上顯著相關(guān)，

*.在 0.05 水平(雙側(cè))上顯著相關(guān).

由表二可以看出，第1題與第2題、第3題、第4題、第5題的解答，第2題與第3題、第4題的解答，第3題與第4、第5題的解答呈偏強(qiáng)相關(guān)，反映了三角函數(shù)內(nèi)部知識(shí)間是緊密聯(lián)系的，三角函數(shù)化簡(jiǎn)與求值能力直接影響了其它問(wèn)題的求解，第4題與第5題的解答弱正相關(guān)，第2題與第5題的解答不呈相關(guān)關(guān)系，反映了學(xué)生在三角函數(shù)與其它知識(shí)相結(jié)合上的短板，這些綜合問(wèn)題的求解需要靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí).

表三 后測(cè)卷測(cè)試結(jié)果

后測(cè)卷整體難度略高于前測(cè)卷，從表三可以看出，學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的掌握程度明顯高于前測(cè)卷.通過(guò)對(duì)學(xué)生問(wèn)題進(jìn)行有針對(duì)性的復(fù)習(xí)，學(xué)生的整體解題水平有了較大提高，如第1題的解答均值達(dá)16.05分，第2題的解答均值高達(dá)18.61分，其中特別是對(duì)三角函數(shù)定義的理解掌握程度有了明顯的改觀，該題滿分的學(xué)生也較前測(cè)中多.

4 結(jié)論

從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以看出，在一輪復(fù)習(xí)前，通過(guò)對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行前測(cè)，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生這部分的掌握情況及存在問(wèn)題，便于在后面的復(fù)習(xí)中有針對(duì)性制定復(fù)習(xí)計(jì)劃，提高復(fù)習(xí)效率；在實(shí)驗(yàn)后，再對(duì)學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)后測(cè)，便于了解學(xué)生前階段的學(xué)習(xí)成果，為高三三角函數(shù)的復(fù)習(xí)提供有價(jià)值的建議，從而形成高三三角函數(shù)的復(fù)習(xí)策略.

(1)重視概念、公式的生成過(guò)程，做到基礎(chǔ)知識(shí)夯實(shí)

要重視對(duì)三角函數(shù)定義理解、重要公式的推導(dǎo)過(guò)程，特殊角的三角函數(shù)值的記憶等等.

(1)求tan(α+β)的值，(2)求α+2β的值.

又如在2011年陜西文理卷大題直接考查了：敘述并證明余弦定理，對(duì)課本定理的直接考查起到了良好的導(dǎo)向作用，這就要求我們復(fù)習(xí)中必須重視課本，回歸課本，理解課本上的定義的生成，重視重要公式定理的推導(dǎo)，特別是考試說(shuō)明中要求掌握的內(nèi)容，一定要理解和掌握，該記憶的內(nèi)容要熟記，如特殊鈍角的三角函數(shù)值，誘導(dǎo)公式等，對(duì)常規(guī)的解題方法要爛熟于心，要做到夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí).

(2)重視三角大題的訓(xùn)練，做到重點(diǎn)題型強(qiáng)化

三角函數(shù)一直是高考中考查的重點(diǎn)，而且必有一大題出現(xiàn).而大題的題型相對(duì)固定，主要有三角函數(shù)求值問(wèn)題、解三角形問(wèn)題、三角函數(shù)圖像與性質(zhì)及三角函數(shù)綜合問(wèn)題.三角函數(shù)求值問(wèn)題.

解三角形問(wèn)題不再是正余弦定理直接的應(yīng)用，有一定的難度，對(duì)三角式子的化簡(jiǎn)要求較高，特別是降冪公式，內(nèi)角和定理，輻角公式等；三角函數(shù)圖像與性質(zhì)問(wèn)題

這幾類題型在全國(guó)各省市高考卷中頻繁出現(xiàn)，因此需對(duì)這部分內(nèi)容精講精練，既要讓學(xué)生熟練掌握解題思路，如解三角形遇到有邊有角問(wèn)題，常規(guī)思路利用正余弦定理統(tǒng)一化成邊或角；如已知三角函數(shù)值求角問(wèn)題，一要注意角的范圍注意事項(xiàng)，二要選擇合理的三角函數(shù)；對(duì)于一些典型的、容易出錯(cuò)的問(wèn)題，學(xué)生要清楚知道哪些地方容易失分，如輻角公式后面的角度，兩角余弦公式的符號(hào)等這樣一些細(xì)節(jié)，對(duì)這樣一些重點(diǎn)題型要求學(xué)生通過(guò)限時(shí)訓(xùn)練、周末練習(xí)、章節(jié)測(cè)試等不斷強(qiáng)化，不斷反復(fù)，最終達(dá)到重點(diǎn)題型熟練化.

(3)課堂教學(xué)以學(xué)生的問(wèn)題為專題，做到難點(diǎn)問(wèn)題解決

學(xué)生成績(jī)的提高最有效途徑就是解決學(xué)生的問(wèn)題所在，只有習(xí)題沒(méi)有問(wèn)題是高三復(fù)習(xí)需要特別注意的.在三角函數(shù)重點(diǎn)題型的強(qiáng)化中，會(huì)不斷反復(fù)出現(xiàn)一些問(wèn)題，而這些問(wèn)題會(huì)一直困擾著學(xué)生的學(xué)習(xí)，此時(shí)一堂非常有針對(duì)性的講評(píng)課是非常有必要的.

通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，高中三角函數(shù)復(fù)習(xí)過(guò)程中，以三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)為順序的教學(xué)和以學(xué)生問(wèn)題為專題相結(jié)合的教學(xué)模式，是建立和夯實(shí)三角函數(shù)知識(shí)鏈的重要手段.

陶行知先生說(shuō)過(guò)：“好的先生不是教書，不是教學(xué)生，乃是教學(xué)生學(xué)”.在課堂教學(xué)中，要突出學(xué)生的主體性：可采用“先練后講，先思后講，合作探究”的教學(xué)方法，對(duì)正確率高的題目可讓學(xué)生總結(jié)解題規(guī)律，對(duì)正確率低而學(xué)生會(huì)的題目，可投影出錯(cuò)誤的解答，讓學(xué)生討論指出錯(cuò)誤，對(duì)學(xué)生不會(huì)的題目，學(xué)生思考片刻，讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)思路(或可在教師的點(diǎn)撥下)，最后讓學(xué)生解答.

在課堂教學(xué)中，要重視解題規(guī)律的總結(jié).題目解完不能就此束之高閣，要經(jīng)常反思，既要對(duì)解題知識(shí)進(jìn)行總結(jié)，更要把解題規(guī)律的總結(jié)作為解題總結(jié)的首要內(nèi)容；在課堂教學(xué)中，還要重視解題的變式訓(xùn)練.變式訓(xùn)練是提高課堂教學(xué)效率的重要手段，每年高考中都會(huì)有很多題目來(lái)源于課本，或從課本習(xí)題中演變而來(lái)，解題后經(jīng)常想想變式，“貌似而神不似” 、“貌不似而神似”等等，如能做到舉一反三，融會(huì)貫通則必能提高解題能力.

(4)重視三角綜合題的訓(xùn)練，做到思想方法提升

近幾年高考中，三角函數(shù)與平面向量、導(dǎo)數(shù)、不等式(線性規(guī)劃)、數(shù)列、解析幾何的聯(lián)系都比較密切，這些題目往往難度比較高.復(fù)習(xí)時(shí)可有意識(shí)選一些這樣的綜合題，有助于培養(yǎng)學(xué)生解決綜合性問(wèn)題的能力，有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和思維的深度.

此題考查函數(shù)的零點(diǎn)的判斷，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

在三角綜合題中特別還需注意的有三角函數(shù)的應(yīng)用題：如圖是一個(gè)半圓湖面景點(diǎn)的平面示意圖，已知AB為直徑，且AB=2km，O為圓心，C為圓周上靠近A的一點(diǎn)，D為圓周上靠近B的一點(diǎn)，且CD∥AB,現(xiàn)在準(zhǔn)備從點(diǎn)A經(jīng)過(guò)C到D建造一條觀光路線，其中A到C是圓弧AC,C到D是線段CD,設(shè)∠AOC=xrad,觀光路線長(zhǎng)為ykm，(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域；(2)求觀光路線總長(zhǎng)的最大值.

可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問(wèn)題一般更為簡(jiǎn)單，而利用導(dǎo)數(shù)三角函數(shù)的最值是高考?？碱}型.

(5)重視錯(cuò)題集整理，做到錯(cuò)題有反思

專家研究發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)高考狀元都有使用錯(cuò)題本的習(xí)慣.錯(cuò)題本是夯實(shí)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，提升學(xué)習(xí)成績(jī)，提高考試信心的重要手段.每次試卷上的錯(cuò)題正是考試的價(jià)值所在，也是下次成績(jī)提高的源泉所在.如何做好一本高質(zhì)量的錯(cuò)題本，學(xué)生個(gè)體情況不同，所用方法也不盡相同，有的老師建議學(xué)生寫出出錯(cuò)原因、考查知識(shí)點(diǎn)是個(gè)不錯(cuò)的方法.錯(cuò)題本整理關(guān)鍵在于堅(jiān)持，堅(jiān)持整理錯(cuò)題，日復(fù)一日，隔斷時(shí)間反復(fù)訂正，長(zhǎng)此以往，必定會(huì)大有收益.錯(cuò)題本的另一好處在于通過(guò)錯(cuò)題本的整理，督促一些平常沒(méi)有訂正習(xí)慣的學(xué)生可逐步養(yǎng)成訂正的習(xí)慣、反思的習(xí)慣.