李亞玲 劉 璐

(1.北京師范大學(xué)基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測協(xié)同創(chuàng)新中心 100875；2.石家莊市教科所 050000)

日前，筆者前往某市調(diào)研，隨堂聽了一節(jié)初三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)課——規(guī)律探索.課堂教學(xué)是數(shù)學(xué)教師促進(jìn)學(xué)生理解，增加活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的終端，是促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)和發(fā)展的主要舞臺(tái)，因此課堂教學(xué)設(shè)計(jì)是數(shù)學(xué)教育研究的重要課題.筆者下面就這堂課以及數(shù)學(xué)課堂教學(xué)談?wù)勛约旱乃伎?

1 關(guān)于這節(jié)專題復(fù)習(xí)課——規(guī)律探索

1.1 教學(xué)背景

在初三復(fù)習(xí)教學(xué)中，一般都要經(jīng)歷三個(gè)階段：系統(tǒng)復(fù)習(xí)—專題復(fù)習(xí)—綜合復(fù)習(xí)，專題復(fù)習(xí)是學(xué)生在對基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行能力提升的重要階段.可以通過此輪復(fù)習(xí)，提高學(xué)生對知識(shí)之間聯(lián)系的再認(rèn)識(shí)，把孤立的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行橫向縱向結(jié)合，在頭腦中形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，使學(xué)習(xí)的知識(shí)逐步內(nèi)化為分析解決問題的能力.不僅可以促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握，更在于可以讓學(xué)生通過有的放矢的教學(xué)活動(dòng)，增加數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

規(guī)律探索的專題確立，符合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011版)的要求，“借助現(xiàn)實(shí)情境了解代數(shù)式，進(jìn)一步理解用字母表示數(shù)的意義”，“能分析具體問題中的簡單數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表示”，“借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果.可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮著重要作用.”因而，在近幾年的中考試題中，規(guī)律探索類題目已成為備受命題者青睞的一類試題，這類題目的特點(diǎn)往往是給出一組具有遞推關(guān)系的數(shù)、代數(shù)式或圖形，通過探究其變化過程中的規(guī)律，歸納或猜想出一般性的結(jié)論.加強(qiáng)這類題目的學(xué)習(xí)，不僅可以發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、幾何直觀等核心素養(yǎng)，還可以培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、推理能力，以及運(yùn)用類比歸納、數(shù)形結(jié)合思想、模型思想等方法解決問題的能力.

1.2 教學(xué)目的

本節(jié)課是規(guī)律探索專題的第一課時(shí)，教師的課堂教學(xué)以題目為載體，通過對所選題目的練習(xí)與辨析，力圖使學(xué)生學(xué)會(huì)用代數(shù)式表示問題中的數(shù)量關(guān)系，并驗(yàn)證所探索的規(guī)律；經(jīng)歷探索數(shù)量關(guān)系，運(yùn)用符號(hào)表示規(guī)律，通過運(yùn)算驗(yàn)證規(guī)律的過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察比較、推理歸納、猜想驗(yàn)證的能力.從實(shí)際教學(xué)來看，知識(shí)層面的教學(xué)目標(biāo)能夠較好地達(dá)成，學(xué)生通過對典型例題的練習(xí)體會(huì)解答規(guī)律，通過教師的點(diǎn)撥講解感受知識(shí)的正向遷移，通過題目的舉一反三，掌握一類題目的解題技巧，最后初步形成對規(guī)律探索類題目的解題策略.

1.3 教學(xué)過程

老師在上課開始給同學(xué)們介紹了什么是規(guī)律探索問題，解決這類問題的一般方法，以及主要思想.

規(guī)律探索問題是根據(jù)給出的具有某種規(guī)律的數(shù)、式、圖形，或是給出與圖形有關(guān)的操作變化過程，或某一具體的問題情境，通過觀察、分析、類比、歸納，探究所蘊(yùn)含的本質(zhì)規(guī)律和共同特征，或者發(fā)展變化的趨勢，據(jù)此探索出一般性的結(jié)論.考查學(xué)生的歸納、概括、類比能力.

解決這類問題的一般方法是：從特殊情形入手——探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律——猜想結(jié)論——驗(yàn)證.

主要思想：數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般的思想.

本節(jié)課里，教師根據(jù)以往教學(xué)經(jīng)驗(yàn)精心選擇，確定了三類題目作為研究主體.類型一是數(shù)式規(guī)律探索；類型二是圖形規(guī)律探索；類型三是坐標(biāo)系中的圖形規(guī)律探索.每個(gè)類型的探索下面分別設(shè)置了例題和練習(xí)，主要內(nèi)容如下：

類型一：數(shù)式規(guī)律探索

例2(2014·安徽)觀察下列關(guān)于自然數(shù)的等式：

32-4×12=5

①

52-4×22=9

②

72-4×32=13

③

…

根據(jù)上述規(guī)律解決下列問題：

(1)完成第四個(gè)等式：92-4×( )2=( )；

(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式(用含n的式子表示)

類型二：圖形規(guī)律探索

例3(2015·貴州安順)如圖所示是一組有規(guī)律的圖案，第1個(gè)圖案由4個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，第2個(gè)圖案由7個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，……，第n(n是正整數(shù))個(gè)圖案中的基礎(chǔ)圖形個(gè)數(shù)為________(用含n的式子表示).

例4(2015·河北)如圖10，∠BOC=9°，點(diǎn)A在OB上，且OA=1，按下列要求畫圖：

以A為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點(diǎn)A1，得第1條線段AA1；

再以A1為圓心，1為半徑向右畫弧交OB于點(diǎn)A2，得第2條線段A1A2；

再以A2為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點(diǎn)A3，得第3條線段A2A3；

……

這樣畫下去，直到得第n條線段，之后就不能再畫出符合要求的線段了，則n=________

(圖10)

類型三：坐標(biāo)系中的圖形規(guī)律探索

例5(2014·湖北孝感)正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如圖的方式放置，點(diǎn)A1，A2，A3，…和點(diǎn)C1，C2，C3，…分別在直線y=x+1和x軸上，則點(diǎn)B6的坐標(biāo)是________.

授課方式上，老師主要通過展示例題，請同學(xué)思考解答，隨后老師反饋評價(jià)，并對學(xué)生在完成的過程中容易出錯(cuò)的環(huán)節(jié)進(jìn)行總結(jié)和強(qiáng)調(diào)展開教學(xué)，整節(jié)課在完成例5的時(shí)候結(jié)束.

2 教學(xué)活動(dòng)點(diǎn)評——適當(dāng)教學(xué)內(nèi)容的組織和教學(xué)策略是實(shí)現(xiàn)教學(xué)效率的重要因素

上好一節(jié)專題復(fù)習(xí)課的首要前提條件是選好習(xí)題，包括例題和練習(xí).本節(jié)課的任課教師有一定的工作經(jīng)驗(yàn)，對日常教學(xué)和中考復(fù)習(xí)具備一定的研究能力，教學(xué)語言表述清楚，思路條理清晰，屬于成熟型教師.在本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師根據(jù)以往教學(xué)經(jīng)驗(yàn)精心選擇，確定了三類題目作為研究主體.并為每一類型的題目配備了相對應(yīng)的中考原題作為例題和習(xí)題.習(xí)題的選擇是本節(jié)課的一個(gè)亮點(diǎn)，所選題目能夠很好地體現(xiàn)每類題型的特點(diǎn)，不僅有代表性，還具有層次性，思維含量逐漸加大，既涉及了知識(shí)的廣度，又有能力要求的深度，考查的技能和能力較為全面，從這一方面講，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)上做了充分的準(zhǔn)備.這也是一節(jié)好課構(gòu)成的重要因素.另一方面，教師單方面的精心準(zhǔn)備不是上好一節(jié)課的全部因素，關(guān)鍵還要看教師如何通過對課堂教學(xué)的設(shè)計(jì)，激發(fā)學(xué)生的求知欲，調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)熱情，把教師教的課堂變成學(xué)生學(xué)習(xí)的課堂和探索的實(shí)驗(yàn)室，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的獲得過程，通過自身的思考和探索解決問題收獲結(jié)論，真正體會(huì)到學(xué)習(xí)的內(nèi)涵和價(jià)值，這才是我們教學(xué)的真正目標(biāo).

2.1 結(jié)論是否有必要在引入環(huán)節(jié)呈現(xiàn)

教學(xué)：在授課伊始，教師便給出了對規(guī)律探索問題的一般性描述，讓學(xué)生對其有了初步的整體認(rèn)知，并提出解決這類問題的常見思路和涉及到的數(shù)學(xué)思想.

點(diǎn)評：這樣的引入直入主題，使學(xué)生對要研究的問題一目了然.但也有一定的弊端，在學(xué)生還沒有接觸到具體題目時(shí)就把解決問題的思想方法直接托出，并不能很好地起到引領(lǐng)作用，學(xué)生所看到的只是解題方法的文字表述，并不能完全領(lǐng)會(huì)和理解，有時(shí)反而會(huì)干擾和限制學(xué)生的思維，不妨讓學(xué)生在完成對題目的解答后，自己進(jìn)行總結(jié)歸納和概括，這樣對學(xué)生形成正確的解題策略會(huì)更有幫助.

2.2 我們應(yīng)該選擇什么樣的情境，才能啟發(fā)學(xué)生思考

教學(xué)：在這節(jié)課中，老師選擇了一道石家莊市2015年的中考試題作為例題，據(jù)課堂觀察，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對這道題的解答非常自如，沒有任何困難，課后的訪談得知學(xué)生在此前已經(jīng)針對這道原題進(jìn)行過多次練習(xí).

點(diǎn)評：啟發(fā)式教學(xué)是我們認(rèn)為成功的教學(xué)原則，而啟發(fā)的關(guān)鍵在于創(chuàng)設(shè)一種問題情境.問題的難度則是形成問題情境的重要因素.如果只是令學(xué)生簡單重復(fù)已經(jīng)反復(fù)練習(xí)過的內(nèi)容，學(xué)生不會(huì)有任何興趣；當(dāng)然，如果創(chuàng)設(shè)的問題對學(xué)生而言過于困難，讓學(xué)生力不能及，也會(huì)有同樣的結(jié)果.對此，認(rèn)知心理學(xué)家如皮亞杰等人，曾以適應(yīng)理論進(jìn)行了解釋：讓感性輸入和現(xiàn)有認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間具有中等程度的不符合時(shí)，興趣最大.

2.3 題目解答完成后，教師要做什么樣的教學(xué)評價(jià)

教學(xué)：本節(jié)課的教學(xué)主干知識(shí)為三大類型的規(guī)律探索類題目，每一類型題目的處理流程基本上都是給出了一道典型例題，取自近兩年的各地中考試題，學(xué)生獨(dú)立完成后，通過師生問答的形式得出答案，并進(jìn)行簡要的思路分析，然后再呈現(xiàn)同類題目進(jìn)行練習(xí)鞏固.

點(diǎn)評：這樣的設(shè)計(jì)無可厚非，也是我們常用的專題復(fù)習(xí)課的教法.但對復(fù)習(xí)課而言，教師選好題只是完成教學(xué)的第一步，更重要的是對學(xué)生解答的處理和提升.教師不能僅以學(xué)生得出正確答案作為完成教學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)，要對學(xué)生進(jìn)行追問，“你的解題思路是什么”“你是怎么想到的？”“還有其他解法嗎？”等等，學(xué)生回答的同時(shí)，也是對自己思維過程的審視.教師也可以通過對學(xué)生思維過程的分析，了解他是否真正掌握了該問題，其他同學(xué)也可以從中得到啟迪.教師在追問的同時(shí)，也要做好對題目解答的概括和提升，使學(xué)生可以通過對一道題的解答，學(xué)會(huì)對一類問題的處理方法，教師要把知識(shí)背后所隱含的數(shù)學(xué)思想方法教給學(xué)生.

例如，本節(jié)課中的例1的教學(xué).

課堂上教師認(rèn)為該題比較簡單，在學(xué)生得出答案后沒有任何評價(jià).如果教師通過一人做對就認(rèn)定人人都會(huì)，那么這道題就沒有練習(xí)的必要.每道題都有它的教學(xué)價(jià)值，這是一道基礎(chǔ)題，自然數(shù)列，奇數(shù)列的表示形式是后面較難題目的組成部分，復(fù)習(xí)課就是查漏補(bǔ)缺的，不能忽視基礎(chǔ).

2.4 專題復(fù)習(xí)課“量”與“質(zhì)”哪個(gè)更重要

教學(xué)：本節(jié)課中，教師準(zhǔn)備了大量的題目，三大類題型，共設(shè)有五道例題，四道練習(xí)題.實(shí)際教學(xué)中教學(xué)時(shí)間不夠?qū)е旅黠@的前松后緊，類型三的教學(xué)尤顯倉促，最后一題沒有完成，反思小結(jié)已沒有時(shí)間讓學(xué)生回顧和思考，只能由教師代勞，直接呈現(xiàn)出規(guī)律探索的常見方法.

點(diǎn)評：這也是我們?nèi)粘?fù)習(xí)課的一個(gè)縮影，老師們在備課時(shí)往往考慮的是如何把題型找全，要盡可能多地讓學(xué)生見到各類題型，這樣自己才會(huì)放心.但是讓學(xué)生見到就代表他們學(xué)會(huì)了嗎？囫圇吞棗總是要消化不良的.如果教師能夠理性分析教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際情況，不貪多求全，對每類題目不求見的多而求做的對，讓學(xué)生打下扎實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)，真正掌握題目內(nèi)涵，才能不懼題目的外在變化.具體到本節(jié)課，教師應(yīng)給學(xué)生提供對每類題目的典型例題進(jìn)行深入分析和理解的機(jī)會(huì)，不僅注意觀察題目的外在呈現(xiàn)形式，還要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析題目的內(nèi)涵特征，能從已知條件中獲取有助于解答的隱含條件，明確解題思路.通過對題目的透徹分析，深刻理解題目的價(jià)值和意義，把所涉及的知識(shí)空缺進(jìn)行彌補(bǔ)，進(jìn)而可以對這一類題目都能有所掌握(詳見后文對例5的分析)，相信教學(xué)效果一定會(huì)事半功倍.

以上我們對整節(jié)課的教學(xué)組織以及教學(xué)策略層面進(jìn)行了一些點(diǎn)評，這些內(nèi)容自然很重要，在很大程度上決定了一節(jié)課的教學(xué)效率.但是，在一節(jié)規(guī)律探索課里，較之更重要的是讓學(xué)生親自經(jīng)歷探索，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)思想方法.

下面我們從本節(jié)課所承載的數(shù)學(xué)內(nèi)容和思想方法層面做進(jìn)一步分析.

3 讓學(xué)生經(jīng)歷探索，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高歸納能力，把數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)落到實(shí)處

3.1 積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，切實(shí)提高學(xué)生的歸納能力的重要性

本節(jié)課的教學(xué)目的是：根據(jù)給出的具有某種規(guī)律的數(shù)、式、圖形，或是給出與圖形有關(guān)的操作變化過程，或某一具體的問題情境，通過觀察、分析、類比、歸納，探究所蘊(yùn)含的本質(zhì)規(guī)律和共同特征，或者發(fā)展變化的趨勢，據(jù)此探索出一般性的結(jié)論.授課教師上課開始就明確了這一點(diǎn).可以看出，歸納能力的培養(yǎng)是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn).隨著近年來對創(chuàng)新人才培養(yǎng)的重視，歸納能力的培養(yǎng)為眾多學(xué)者所重視和提倡.

史寧中(2015)在《數(shù)學(xué)思想概論：數(shù)學(xué)中的歸納推理》中講到，歸納在本質(zhì)上是一種思想方法，這種方法表現(xiàn)在思維的過程之中，對于這種方法的把握不是靠人們的理解而是靠人們的感悟，是一種“意會(huì)”重于“言傳”的東西.這種思想，很難在過分注重傳授知識(shí)和技能的教學(xué)中得到實(shí)施，唯有讓學(xué)生親自經(jīng)歷觀察、分析、類比和概括的全過程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，才能切實(shí)提高學(xué)生的歸納能力.

因此，如何在課堂中落實(shí)這些環(huán)節(jié)，讓學(xué)生真正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，從而掌握思考問題，解決問題，進(jìn)行探究的一般過程，才是本節(jié)課的重中之重.

在這節(jié)課里，老師多數(shù)采用了代勞的方式代替了學(xué)生的探索，并且在題目講解的最后也沒有時(shí)間讓學(xué)生反思整個(gè)歸納過程，形成探索一般性結(jié)論的思想方法，成為本節(jié)課的遺憾.

下面，我們選取一個(gè)例題，分析一下如何讓學(xué)生在課堂中經(jīng)歷探索，形成歸納能力.

3.2 例談數(shù)學(xué)歸納過程的教學(xué)

我們以本節(jié)課的例5為例，對這道題得到結(jié)論的歸納過程進(jìn)行逐步解構(gòu)：

1)觀察

觀察是指發(fā)現(xiàn)事物的自身特征，觀察各事物之間的關(guān)系，以便獲得事物的規(guī)律性.

具體到此題，從已知條件中，可以看到的顯性條件是：

(1)點(diǎn)A1，A2，A3，…，An在直線y=x+1上；

(2)點(diǎn)C1，C2，C3，…，Cn在x軸上；

(3)四邊形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…是正方形；

題干中還有一句話非常重要：“按如圖的方式放置”，在此我們要認(rèn)真讀圖，采用數(shù)形結(jié)合的方法，可以得出下列的隱含條件：

(4)點(diǎn)A1，A2，A3，…的坐標(biāo)可以寫成(x，x+1)形式；

(5)點(diǎn)C1，C2，C3，…的坐標(biāo)可以寫成(x′，0)形式；

(6)OA1=B1C1，A1B1=OC1，C1A2=B2C2,A2B2=C1C2，…

2)分析、比較

分析就是把研究對象的整體分解為各個(gè)組成部分、因素、方面、層次，并對它們進(jìn)行研究和考察，從而整體地關(guān)聯(lián)地把握事物.比較是在分析基礎(chǔ)上針對一個(gè)事物的各個(gè)組成部分、各要素進(jìn)行比對，也可以針對各個(gè)事物之間在組成部分、各要素加以比照，找出它們的共同性、相似性以及差異性.

在以上觀察的基礎(chǔ)上，展開分析和比較.我們結(jié)合圖形把題目中的已知條件及其推導(dǎo)條件都已寫出來了，再看題目的所求，是點(diǎn)B6的坐標(biāo)，點(diǎn)B既不在直線y=x+1上，也不在x軸上，那么它與已知條件中的點(diǎn)A1，A2，A3…點(diǎn)C1，C2，C3，…有什么關(guān)系呢？

綜合條件(4)(5)(6)，又可得出

(7)A1(0，1)，B1(1，1)，C1(1，0)

A2(1，2)，B2(3，2)，C2(3，0)

A3(3，4)，B3(7，4)，C3(7，0)

觀察上面的式子及圖像，從直觀上可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)與點(diǎn)A1的橫、縱坐標(biāo)之和相等，B1的橫坐標(biāo)與C1的橫坐標(biāo)相同；點(diǎn)B1的縱坐標(biāo)與點(diǎn)A1的縱坐標(biāo)相同.同理，可以推導(dǎo)出點(diǎn)B2、B3與對應(yīng)點(diǎn)A2、A3具備同樣的規(guī)律.

考慮到我們的目標(biāo)是求B6的坐標(biāo)，因此我們從B1，B2，B3的橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系繼續(xù)分析：

xB2=xB1+yA2yB2=yA2

=xB1+(xB1+1) =xA2+1

=2xB1+1 =xB1+1

由此，我們找到了點(diǎn)B2和點(diǎn)B1的坐標(biāo)之間的關(guān)系.

3)抽象、概括

抽象就是在思想中撇開事物的次要標(biāo)志、非本質(zhì)屬性，而引出其固有的本質(zhì)屬性和特點(diǎn)，形成科學(xué)的概念和范疇，認(rèn)識(shí)客觀事物的規(guī)律.概括是在思想中把從某些具有若干相同屬性的事物中抽象出來的本質(zhì)屬性，擴(kuò)大到具有這些相同屬性的一切事物，從而形成關(guān)于這類事物的普遍概念.

實(shí)際上，以上的觀察和分析，我們知道不僅點(diǎn)B2和點(diǎn)B1之間有這樣的遞推關(guān)系，B3和點(diǎn)B2之間，B4和點(diǎn)B3之間都有這樣的關(guān)系式，一般地，可以概括得到關(guān)于Bn和Bn-1的坐標(biāo)之間的關(guān)系：

xBn=2xBn-1+1,yBn=yBn-1+1

如果僅就解決這道題而言，利用以上概括得到的關(guān)系式，結(jié)合初始點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到結(jié)果B6(63，32).

如果進(jìn)一步抽象，根據(jù)以上遞歸關(guān)系式，我們可以得到Bn的坐標(biāo)可以寫成Bn(2n-1，2n-1).

至此，我們就完成了整個(gè)歸納的過程，當(dāng)然對于歸納得到的結(jié)論，還需要進(jìn)行論證，考慮到這不是這節(jié)課的重點(diǎn)，我們在此處也略去.

在教學(xué)中，題目呈現(xiàn)在學(xué)生面前時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生首先通讀全題，結(jié)合圖形再細(xì)讀題目，然后思考以下問題：

(1)你從題目的文字?jǐn)⑹鲋锌梢钥吹降囊阎獥l件有哪些？

(2)圖形中反映了哪些已知條件？

(3)結(jié)合圖形和文字，你還可以推導(dǎo)出哪些隱含條件？

(4)題目的問題是什么？

(5)未知量與已知量之間有什么聯(lián)系？

(6)解決問題的關(guān)鍵點(diǎn)是什么？

(7)如何在未知與已知之間架起溝通的橋梁？

教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生思考以上問題，并在回答這些問題的同時(shí)逐步完成觀察、分析、比較、歸納的整個(gè)過程，最終完成問題的解答.最后，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)對以上的思維過程進(jìn)行反思，形成對規(guī)律探索問題的歸納過程的一般性的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生的思維水平，從而把本節(jié)課數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)目的落到實(shí)處.

讓學(xué)生在規(guī)律探索課中，體驗(yàn)一個(gè)規(guī)律的歸納和提煉過程，讓學(xué)生感受其中的方法和魅力，他們會(huì)受益終生.

在課后的訪談中，老師提出來：不知道學(xué)生是不是都學(xué)會(huì)了？！這是一個(gè)誠懇的問題，也是班級(jí)授課的難題.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，在教師選擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力，讓學(xué)生形成數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)之外，我們認(rèn)為還應(yīng)有一個(gè)很重要的認(rèn)識(shí)：讓學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，成為課堂學(xué)習(xí)的主人，從而提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率.下面，我們拋開這節(jié)課的具體內(nèi)容，對主動(dòng)學(xué)習(xí)的意義進(jìn)行簡要論述,作為對授課老師提出的這個(gè)問題的一個(gè)回應(yīng).

4 讓學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，提高教學(xué)效率

4.1 學(xué)與教的對應(yīng)關(guān)系

教最終是為了學(xué).正因?yàn)閷W(xué)有許多有順序的階段，教才有這些階段.教學(xué)的目的是促進(jìn)學(xué)習(xí)，意味著安排外部情境、以便激活、支持和維持構(gòu)成學(xué)習(xí)事件的內(nèi)部過程.加涅根據(jù)學(xué)習(xí)和記憶的模型，以及課堂里的教學(xué)事件，建立了如下對應(yīng)的模型：

這個(gè)模型將教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)與學(xué)習(xí)過程的各個(gè)階段建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，由此可以看出，課堂里數(shù)學(xué)老師做的一切工作都是為了促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí).老師們精心設(shè)計(jì)教學(xué)的引入、創(chuàng)設(shè)問題情境、課堂互動(dòng)，對學(xué)生進(jìn)行反饋和評價(jià)的各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，顯然和學(xué)習(xí)的信息加工理論所識(shí)別的學(xué)習(xí)與記憶的內(nèi)部過程有關(guān).

正如加涅在《學(xué)習(xí)的條件和教學(xué)論》中指出的，講授式教學(xué)不屬于一種互動(dòng)方式，教學(xué)的事件不能夠適應(yīng)每一個(gè)學(xué)生的每時(shí)每刻的需要.就所有的聽講者而言，這些事件在支持學(xué)習(xí)過程中的預(yù)期效果并不是確定的.所以學(xué)生自己應(yīng)當(dāng)對從講授中獲得的學(xué)習(xí)負(fù)有最大的責(zé)任.對于準(zhǔn)備良好且具有適當(dāng)動(dòng)機(jī)的學(xué)生，從講授中學(xué)習(xí)不僅是有效的，而且也是令人愉快的.也就是說，學(xué)生要自己采取主動(dòng)，才能取得學(xué)習(xí)的成功，課堂教學(xué)的效益才能最大化.

4.2 學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的意義

關(guān)于學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，對學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)的意義，中外學(xué)者表現(xiàn)出一致的意見.美國伊利諾大學(xué)數(shù)學(xué)教育改革委員會(huì)主任比伯曼(M·Beberman)說:“如果學(xué)生積極參與發(fā)展數(shù)學(xué)思想和程序,他就能理解數(shù)學(xué).”北京師范大學(xué)丁爾陞教授認(rèn)為，“如果學(xué)生能夠主動(dòng)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，那么他們能學(xué)得更好，而且能發(fā)展自主的行為模式，增強(qiáng)數(shù)學(xué)思維能力.把學(xué)生從被動(dòng)中引出來去主動(dòng)的思考數(shù)學(xué)是不容易的”，“只有當(dāng)學(xué)生積極參與，他們的推理、解決問題和用數(shù)學(xué)交流思想的能力才會(huì)發(fā)展”.

怎么讓學(xué)生做學(xué)習(xí)的主人，中國的數(shù)學(xué)教學(xué)名師們提出了很多經(jīng)驗(yàn)和建議.特級(jí)教師孫維剛老師提出，課堂上,促使學(xué)生超前思維,并形成向教師(包括課本)“挑戰(zhàn)”的態(tài)勢,使學(xué)生在思維運(yùn)動(dòng)中訓(xùn)練思維,真正做學(xué)習(xí)的主人.

北京四中特級(jí)教師劉坤認(rèn)為，目前數(shù)學(xué)教法中存在的主要的問題是教師講的太多，啟發(fā)調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性顯得不夠.把提高學(xué)生的智力參與水平作為改進(jìn)教法的突破口，具有重要的普遍意義和現(xiàn)實(shí)意義.

我們看到無論是數(shù)學(xué)教育專家，還是資深數(shù)學(xué)教師，均一致的認(rèn)為，如果學(xué)生能夠主動(dòng)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，那么他們就會(huì)學(xué)得更好.因此，在課堂上，在教學(xué)中，如何激發(fā)學(xué)生的主動(dòng)性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)參與度，是教師在教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施中考慮的重點(diǎn).

回到授課老師提出的問題，要想讓學(xué)生學(xué)會(huì)，學(xué)好，應(yīng)該讓學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，深入?yún)⑴c課堂教學(xué)，在探索課上，讓學(xué)生自己真正探索.

5 結(jié)語

本文意圖以一節(jié)初三的專題復(fù)習(xí)課為載體，探討數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，因此在以下方面存在一些局限：首先，評價(jià)一節(jié)課的角度很多，除了本文考慮的這些方面，還可以觀察的維度有：課堂中的知識(shí)呈現(xiàn)、課堂文化等，文章只是選取了其中的某幾個(gè)角度；此外，我們選擇的是一節(jié)初三的復(fù)習(xí)課，不能代表數(shù)學(xué)課堂教學(xué)現(xiàn)實(shí)的全貌.但是，筆者依然認(rèn)為這節(jié)課在某種程度上反映了當(dāng)下數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一些現(xiàn)實(shí).我們希望基于本文分析的角度，老師們從中看到數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的內(nèi)核，緊緊圍繞數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心——數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)思想方法，合理組織教學(xué)，提高學(xué)生的參與度，真正幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高思維水平，切實(shí)提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率.