趙文靜 文靈華

(燕山大學理學院,河北省微結構材料物理重點實驗室,秦皇島 066004)

半無限深勢阱中自旋相關玻色-愛因斯坦凝聚體的量子反射與干涉?

趙文靜 文靈華?

(燕山大學理學院,河北省微結構材料物理重點實驗室,秦皇島 066004)

自旋相關玻色-愛因斯坦凝聚體,半無限深勢阱,量子反射,量子干涉

1 引 言

物質波的量子反射與干涉是量子物理中最有趣的效應之一.近年來,科學家們先后實現了玻色-愛因斯坦凝聚體(Bose-Einstein condensates,BECs)的干涉[1],以及硅固體表面BECs的量子反射[2,3],引起了實驗和理論物理學家的廣泛關注.首先,量子反射與干涉過程中形成的干涉條紋是宏觀系統(tǒng)量子性和相干性的強有力證據.其次,量子反射與干涉為研究超冷原子氣體的多體物理提供了一條重要的途經.借助于BECs的量子干涉與反射,人們揭示了超冷玻色原子氣體中的超流-莫特絕緣體相變[4]、低維量子漲落[5]、量子關聯[6]和量子排斥[7],時空量子結構的普朗克尺度物理[8],渦旋與反渦旋疊加態(tài)[9],物質波的輸運、囚禁和動力學激發(fā)等[10,11].再者,BECs的量子反射與干涉在設計原子芯片實現冷原子的精確操控方面具有潛在的應用價值,例如可用于反射、輸運、分離和重組原子云[12,13].

近來Bloch小組實現了自旋相關光晶格中BECs的分離和相干輸運[14],為操縱多體系統(tǒng)的量子態(tài)和基于冷原子體系的量子信息處理開辟了一個重要的新渠道.對于該實驗中觀察到的干涉條紋,常規(guī)的相位相干理論(包括標準的相位相干、測量導致的相位相干和相互作用導致的相位相干等)[15?20]、關聯函數分析[21,22]和光晶格的周期決定論[23,24]是無效的,這些理論不能解釋其干涉圖樣的形成機理.Wen等[25?27]提出了一個新的理論模型,成功地解釋了實驗中觀測到的干涉條紋,分析了自旋相關光晶格中BECs的干涉機理和物理本質.研究表明,單個原子內部自由度與外部自由度的糾纏是自旋相關光晶格中BECs干涉的充分條件,這類干涉與凝聚體的相位無關,即每一個凝聚體只和它自己發(fā)生干涉,任意兩個不同的凝聚體之間沒有干涉效應.最近,Yue等[28]還研究了臨界區(qū)域超冷玻色氣體的物質波干涉.

對于單組分BECs的量子反射或干涉已有大量的實驗和理論研究,但關于多組分BECs體系中并存的量子反射和干涉的研究還少有系列報道.本文研究了半無限深勢阱中自旋相關BECs的量子反射與干涉,發(fā)現了顯著調制的干涉條紋,分析了自旋相關輸運距離、自旋態(tài)和相對相位對干涉條紋的可見度、條紋間距和密度振蕩的影響,對理解自旋相關光晶格中的相干輸運性質和BECs的干涉機理有一定幫助,為進一步檢驗自旋相關光晶格中BECs干涉的理論模型和物理本質提供有價值的參考.

2 理論模型

理論模型基于Bloch小組實驗[14]的操作順序建立.首先,在諧振子磁阱中制備BECs,原子處于超精細能級|F=1,mF=?1〉.然后,疊加三維的光晶格勢,其中x方向形成自旋相關光晶格勢.通過增加光晶格勢壘的高度,系統(tǒng)由超流相進入莫特絕緣相,不再具有長程的相位相干性.最后,絕熱關閉磁阱以及y軸和z軸方向的光晶格,從而可以在單粒子水平上對沿x軸方向的自旋相關輸運過程本身進行實驗研究,無需考慮原子間相互作用導致的多體態(tài)相移.詳細的實驗過程參見文獻[14].當磁阱和y軸、z軸方向的光晶格撤除后,有一系列BECs形成于沿x軸方向的一維自旋相關光晶格.由于系統(tǒng)事先經歷了莫特相變,不同格點中的BECs彼此之間不具有相干性,相鄰格點之間的隧穿被抑制,并且在BECs的自由膨脹過程中原子間相互作用效應可以忽略,這一點已得到實驗證實[14].而同一個格點中的BECs是完全相干的,可以用一個序參量Ψk=[N/(2kM+1)]1/2?kexp(iθk)描述,其中?k為第k個格點中的單粒子波函數,θk為相干輸運前第k個BEC的初始隨機相位,i為虛數單位,N為總凝聚原子數,2kM+1為總格點數,系數N/(2kM+1)表示每個BEC的平均粒子數.

假定初始時刻原子處于超精細態(tài)|F=1,mF=?1〉k(記為自旋態(tài)|0〉k), 應 用 一個任意的α微波脈沖,將原子制備到|F=1,mF=?1〉k和|F=1,mF=?2〉k(記 為自旋態(tài)|1〉k)的相干疊加態(tài),自旋態(tài)|0〉和|1〉組成原子的邏輯基矢,其變換規(guī)則為[25?27]

經歷自旋相關輸運后,原子的自旋態(tài)變?yōu)閏os(α/2)|0〉k+iexp(iβ)sin(α/2)|1〉k+r[14,25?27],其中r表示輸運后自旋態(tài)|0〉k和自旋態(tài)|1〉k+r波包之間的距離,兩個波包之間的相對相位β主要由輸運過程中積累的動能和勢能相位決定,與凝聚體的粒子數無關.原子的波函數可以用單個原子的內部自由度(自旋)與外部自由度(空間波包)形成的量子糾纏態(tài)表示為[25?27]

假定空間波包為高斯分布

式中d=λ/2表示光晶格的周期,λ為激光波長,A=1/(σ1/2π1/4)為歸一化系數,σ為每個晶格中凝聚體的寬度.應用一個π/2微波脈沖,其變換規(guī)則遵循(1)式,可得

其中

考慮到玻色子的全同性原理,(4)式中自旋態(tài)|0〉和|1〉的下標已移除.

凝聚體被相干輸運后,撤除自旋相關光晶格,讓其自由膨脹.與此同時,在原來的自旋相關光晶格中心位置豎立一個無限高的勢壘,形成兩個左右對稱的半無限深勢阱,以考察自旋相關BECs在半無限深勢阱中的量子反射與干涉動力學.這個無限高的勢壘可以利用強聚焦藍失諧排斥激光束在實驗中近似實現.另外,凝聚體的自由膨脹也是冷原子實驗中常用的一種探測方案,例如采用自由膨脹能夠揭示旋轉BECs中的隱渦旋[29,30].因此,本研究在當前實驗技術條件下是可行的,理論預言結果能夠得以檢驗.當自旋相關光晶格被關閉后,波函數的空間成分Ψj,k(x,t)(j=0,1)在半無限深勢阱中的演化可以用傳播子方法求出[31]:

式中Ψj,k(y,t=0)(j=0,1)是初始時刻的空間成分,由(5)式和(6)式給出,Kh(x,y,t)是半無限深勢阱的傳播子[32],

式中

和

分別為自由空間傳播子,m為原子質量,?為約化普朗克常數.將(5)式和(6)式代入(7)式進行積分,經過復雜的計算可求得如下解析解:

式中參數γ=?/(mσ2)表示光晶格單個阱中的囚禁頻率.

考慮原子氣體的整體密度分布,t時刻原子氣體的波函數為

式中?k(x,t)=|0〉Ψ0,k(x,t)+|1〉Ψ1,k(x,t). 因為邏輯基矢|0〉和|1〉是正交的,處于不同自旋態(tài)的波包之間不會發(fā)生干涉.根據Wen等[25?27]提出的理論模型,由于單個粒子的量子糾纏,每個原子只與它自己發(fā)生干涉,這種干涉與各個凝聚體的相位無關.原子氣體整體的密度分布表達式為

我們根據(12)式和(13)式并采用數值計算分別繪出處于自旋態(tài)|0〉和|1〉的原子波包的密度分布及其演化.計算中相關的參數取值與實驗[14]中給出的參數值一致,α=π/2,N=3×105,λ=785 nm,d=λ/2,kM～50[14,25,33].為簡單起見,先忽略相對相位,令β=0.后面會考慮相對相位β對干涉條紋的影響,并與忽略β情形進行比較.σ的大小主要由光學約束決定[33],可以采用變分法計算求解,我們的計算結果為σ/d=0.173.

3 結果與討論

如無特殊說明,由數值計算結果繪出的圖形的橫坐標皆以晶格周期d為單位,縱坐標皆以H=NA2/(2kM+1)為單位. 當飛行時間t=14 ms,輸運距離分別為r=d,2d,3d,4d,5d,6d時,處于自旋態(tài)|0〉的密度分布分別由圖1(a)—圖1(f)給出,處于自旋態(tài)|1〉的密度分布分別由圖2(a)—圖2(f)給出.

圖1 半無限深勢阱中處于自旋態(tài)|0〉的密度分布Fig.1.Density distributions in state|0〉in the semi-in finite potential wells.

圖2 半無限深勢阱中處于自旋態(tài)|1〉的密度分布Fig.2.Density distributions in state|1〉in the semi-in finite potential wells.

從圖1和圖2可以看出,無論是處于自旋態(tài)|0〉還是自旋態(tài)|1〉,隨著輸運距離r的增大,干涉條紋之間的距離都明顯減小,干涉條紋的可見度都顯著降低.說明隨著輸運距離的增大,自旋相關BECs的干涉性逐漸減弱.對比處于自旋態(tài)|0〉的密度分布,圖2(a)—圖2(f)中的干涉峰正好對應圖1(a)—圖1(f)中密度的局部極小值,反之亦然,這個特征可以根據系統(tǒng)的能量守恒和粒子數守恒得到很好的解釋.在整個動力學演化過程中,我們沒有考慮粒子間的多體相互作用,從而避免了量子反射與干涉過程中可能由多體相互作用導致的集體激發(fā)、系統(tǒng)的不穩(wěn)定性甚至塌縮.

此外,我們發(fā)現在干涉條紋的某些對稱的峰或谷附近存在劇烈的密度振蕩,顯然這些振蕩條紋是由半無限深勢阱壁造成的.嚴格來講,這些劇烈的密度振蕩所隱含的物理機理是相當復雜的,我們只給出一個簡化的物理圖像.當關閉自旋相關光晶格后,每個格點中的自旋相關物質波首先發(fā)生自由擴散,逐漸接近半無限深阱壁,在此過程中與來自不同格點的相同自旋態(tài)的物質波相遇并發(fā)生量子干涉,形成干涉條紋的主體.與此同時,不同格點中的自旋相關物質波先后在阱壁上發(fā)生反射,反射波與相應的入射波相干疊加發(fā)生二重干涉,導致密度的重新分布并形成調制的干涉條紋,這種二重干涉本質上是BECs的自干涉[34].從傳播子的表達式((8)式)來看,二重干涉可以看作阱壁作為鏡面對自旋相關物質波成像,是自旋相關凝聚體與鏡像凝聚體的干涉,一定程度上類似波動光學中的楊氏雙縫干涉,并且在阱壁處形成駐波節(jié)點.因此,二重干涉形成的局部密度振蕩的位置及間距主要與格點到阱壁的距離、晶格寬度、晶格高度、演化時間t四個因素有關,前三個因素本質上是由激光的波長和強度所決定的,以上分析在我們的數值模擬和計算中均已被證實.另外,由于自由膨脹之前自旋相關光晶格的存在,二重干涉導致衍射條紋的出現,即干涉條紋中局部的劇烈密度振蕩,這里的衍射現象是來自不同格點的相干波源的干涉結果.

圖3 半無限深勢阱中(a)處于自旋態(tài)|0〉和(b)處于自旋態(tài)|1〉的密度分布的局部放大(飛行時間t=14 ms,輸運距離r=d)Fig.3.Local enlargement of the density distributions(a)in state|0〉and(b)in state|1〉in the semi-in finite potential wells.The time of flight period t is 14 ms,and the transport distance r is d.

由于橫坐標單位的限制,圖1和圖2中振蕩條紋的具體起伏不太清晰,為此我們將干涉條紋的振蕩進行局部放大,以比較不同自旋態(tài)的干涉條紋的區(qū)別,如圖3所示.在圖3中,我們分別給出了t=14 ms,r=d情形自旋態(tài)|0〉和自旋態(tài)|1〉干涉條紋的局部放大,考慮到干涉條紋關于中心左右兩邊對稱,因此只繪出左邊部分的局部放大.從圖3可以看出,在原點附近兩種自旋態(tài)密度分布中的小振蕩都是關于原點對稱的,自旋態(tài)|1〉的振蕩比自旋態(tài)|0〉的振蕩劇烈,原因是干涉條紋中這兩種自旋態(tài)的局部極值是相反的(圖1和圖2),這一點與系統(tǒng)的能量守恒和粒子數守恒是自洽的.對于相同的輸運距離,自旋態(tài)|0〉和自旋態(tài)|1〉的干涉條紋中出現局部密度振蕩的位置是重合的.根據前述討論,這些局部密度振蕩造成的干涉調制效應,是由于自由膨脹的自旋相關物質波碰到無限深勢阱壁發(fā)生量子反射形成的反射波與入射波發(fā)生二重干涉引起的.在此過程中,自旋態(tài)|0〉和自旋態(tài)|1〉的物質波的量子反射與二重干涉是獨立的也是同步的.

前文計算中已令β=0,即沒有考慮相對相位β是否對干涉條紋產生影響.圖4所示為β=?π/12(圖4(a)和圖4(b)),β=?π/2(圖4(c)和圖4(d))和β= π/2(圖4(e)和圖4(f))時系統(tǒng)演化后處于自旋態(tài)|1〉的密度分布,相關參數為t=15 ms,r=2d.由圖4可以看出,對于半無限深勢阱中自旋相關BECs的動力學演化,改變相對相位β的取值,其密度分布及振幅會有所改變,但干涉條紋關于原點左右兩邊的對稱性保持不變,干涉條紋中局部密度振蕩所在位置基本不變.根據實驗中觀察到的干涉圖樣[14],能夠推斷出實驗中相對相位β的絕對值應該比較小,接近于零.

圖4 相對相位β對處于自旋態(tài)|1〉的密度分布的影響(飛行時間t=15 ms,輸運距離r=2d) (a)β=?π/12;(b)圖(a)的局部放大;(c)β=?π/2;(d)圖(c)的局部放大;(e)β=π/2;(f)圖(e)的局部放大Fig.4.The effect of the relative phase β on the density distributions in state|1〉(the time of flight period t is 15 ms,and the transport distance r is 2d):(a)β= ?π/12;(b)local enlargement of(a);(c)β= ?π/2;(d)local enlargement of(c);(e)β=π/2;(f)local enlargement of(e).

4 結 論

本文利用傳播子方法和飛行時間吸收成像方案,研究了自旋相關BECs在半無限深勢阱中的量子反射和干涉演化動力學.在Bloch小組實驗的基礎上建立了理論模型,推導得到半無限深勢阱中自旋相關的凝聚體波函數的嚴格解析解.對于具體的參數,通過數值計算分別繪制了處于自旋態(tài)|0〉和|1〉的密度分布圖,在飛行時間一定的情況下,考察了自旋態(tài)、輸運距離和相對相位對干涉條紋的影響.研究表明,當自旋相關光晶格撤除后,初始處于同一格點的物質波經歷π/2脈沖—自旋相關輸運—π/2脈沖操作后,非局域于不同格點中相同自旋態(tài)的物質波在自由膨脹過程中發(fā)生量子干涉,形成了對比度明顯的干涉條紋.與此同時,半無限深勢阱的存在直接導致自旋相關BECs的量子反射和二重干涉,干涉條紋呈現顯著的調制效應,在兩邊對稱的某些干涉峰或谷附近密度分布表現出劇烈的振蕩.這些局部密度振蕩的位置與間距主要是由演化時間、激光波長和強度所決定的.隨著輸運距離的增大,干涉條紋間距減小,干涉條紋的可見度顯著降低,自旋相關BECs的相干性逐漸減弱,而由量子反射與二重干涉所造成的干涉條紋的調制效應變得更為明顯.該研究有利于促進人們對自旋相關BECs物理特性的認識,在當前的冷原子實驗技術條件下容易實現,同時也為深入檢驗自旋相關BECs的理論模型和干涉機理提供了一個新的可行方案.

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Quantum re flection and interference of spin-dependent Bose-Einstein condensates in semi-in finite potential wells?

Zhao Wen-Jing Wen Ling-Hua?

(Key Laboratory for Microstructural Material Physics of Hebei Province,College of Science,Yanshan University,Qinhuangdao 066004,China)

14 April 2017;revised manuscript

5 July 2017)

The quantum re flection and interference of Bose-Einstein condensates(BECs)encountering a potential barrier or well is one of the most efficient ways of studying the exotic properties of macroscopic matter waves.As a matter of fact,one can reveal the quantum nature,coherence properties,and many-body effects as well as the potential applications of ultracold atomic gases by virtue of the quantum reflection and interference of BECs.Although there have been extensive investigations regarding the quantum reflection and interference of single-component BECs,so far there have been very few studies regarding those of multi-component BECs.In this work,we investigate the quantum reflections and interferences of spin-dependent BECs in semi-in finite potential wells by using the propagation method and the time of- flight imaging scheme which is widely used in cold atom experiments.We obtain the exact analytical solutions of the spin-dependent condensate wave functions in the semi-in finite potential wells.It is shown that once the spin-dependent optical lattice is switched off the spin-dependent matter wave packets delocalized in different lattice sites interfere with each other during the free expansion.Consequently,the interference fringes with high contrast are formed.At the same time,the expanded spin-dependent matter waves encounter the hard wall of the semi-in finite potential well,which leads to a quantum reflection.There is a double interference between the reflected wave and the freely expanded incident wave,which is characterized by the significant modulation effect in the interference patterns.Concretely,there exist intense density oscillations in several symmetric and local regions of the interference fringes.Essentially,the double interference is a self-interference of BECs,and it results from the interference between the spin-dependent BEC and the BEC image,where the hard wall severs as a mirror plane.Therefore it is similar to Young’s double-slit interference in wave optics,and a standing wave node is formed at the trap wall.In particular,the positions and the intervals of the local density oscillations in the interference patterns are determined by evolution time,laser wavelength and laser intensity,which is verified in the numerical simulations and calculations.In addition,the effects of spin state,transport distance,and relative phase on the interference fringes are analyzed and discussed.The present investigation is helpful in understanding the macroscopic quantum properties of the spin-dependent BECs,and provides a new scheme to test the theoretical model and physical mechanism of the condensate interference in a spin-dependent optical lattice.

spin-dependent Bose-Einstein condensates,semi-in finite potential well,quantum reflection,quantum interference

PACS:03.65.–w,03.75.Kk,03.75.Mn,05.30.JpDOI:10.7498/aps.66.230301

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.11475144),the Natural Science Foundation of Hebei Province of China(Grant No.A2015203037),and the Research Foundation for Advanced Talents of Yanshan University,China(Grant No.B846).

?Corresponding author.E-mail:linghuawen@ysu.edu.cn

(2017年4月14日收到;2017年7月5日收到修改稿)

玻色-愛因斯坦凝聚體與勢壘或勢阱的量子反射及干涉是考察宏觀物質波奇特物性的最有效途徑之一.利用傳播子方法和基于冷原子實驗廣泛采用的飛行時間吸收成像方案,研究自旋相關玻色-愛因斯坦凝聚體在半無限深勢阱中的反射和干涉演化動力學,得到了自旋相關的凝聚體波函數的嚴格解析解.結果表明,當自旋相關光晶格關閉后,非局域于不同格點中相同自旋態(tài)的物質波在自由膨脹過程中發(fā)生量子干涉,形成了對比度明顯的干涉條紋.與此同時,擴張的自旋相關物質波包與半無限深勢阱壁相遇發(fā)生量子反射,反射波與入射波產生二重干涉,在密度分布兩邊對稱的局部位置出現劇烈的振蕩,干涉條紋表現出顯著的調制效應.分析討論了自旋態(tài)、相干輸運距離和相對相位等因素對干涉條紋的影響.該研究有助于促進對自旋相關凝聚體宏觀量子特性的認識,為深入檢驗自旋相關光晶格中凝聚體干涉的理論模型和物理機理提供依據和新方案.

10.7498/aps.66.230301

?國家自然科學基金(批準號:11475144)、河北省自然科學基金(批準號:A2015203037)和燕山大學人才引進科研啟動基金(批準號:B846)資助的課題.

?通信作者.E-mail:linghuawen@ysu.edu.cn