胡文生

(江西省九江市德安磨溪中學(xué))

文[1]給出了“四心垂足三角形面積的一條不等式鏈”，人們自然而然地會(huì)想到，四心垂足三角形是否存在一條周長(zhǎng)不等式鏈呢？經(jīng)筆者研究發(fā)現(xiàn)，答案是肯定的.

在銳角三角形ABC中,H,I,G,O分別為垂心，內(nèi)心，重心，外心；分別過H,I,G,O作BC,CA,AB的垂線，垂足分別為A1,B1,C1,A2,B2,C2,A3,B3,C3,A4,B4,C4，則△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3，△A4B4C4分別為△ABC的垂心，內(nèi)心，重心，外心的垂足三角形，設(shè)它們的周長(zhǎng)分別為S1,S2,S3,S4，△ABC的面積，半周長(zhǎng)，和外接圓、內(nèi)切圓半徑分別為△,s,R,r，對(duì)四心垂足三角形的周長(zhǎng)間的關(guān)系同樣有如下一個(gè)有趣的結(jié)論：

定理S1≤S2≤S3≤S4=s

(*)

證明如圖1，H是△ABC的垂心，三角形三邊三內(nèi)角分別為a,b,c,A,B,C,AA1,BB1,CC1是三條高，△A1B1C1是垂心垂足三角形，記

B1C1=a1,C1A1=b1,A1B1=c1.

圖1

因?yàn)镽t△AHB1∽R(shí)t△ACA1,

由圖1知A1C=bcosC，AB1=ccosA，

同理HC1=2RcosAcosB，

HA1=2RcosBcosC.

同理HB=2RcosB，HC=2RcosC.

因?yàn)镠A是△HB1C1外接圓直徑，設(shè)它的半徑為R′，由正弦定理知

a1=B1C1=2R′·sin∠C1HB1=HA·sinA

=2RcosA·sinA=Rsin2A

同理b1=C1A1=Rsin2B，

c1=A1B1=Rsin2C.

所以△A1B1C1的周長(zhǎng)為

S1=a1+b1+c1=R(sin2A+sin2B+sin2C)

=4RsinAsinBsinC

(1)

如圖2，I是△ABC的內(nèi)心，A2,B2,C2是切點(diǎn)，△A2B2C2是內(nèi)心垂足三角形,

圖2

且IA2=IB2=IC2=r，

記B2C2=a2,C2A2=b2,A2B2=c2，

因?yàn)镮A是△IB2C2外接圓直徑，設(shè)它的半徑為R″，由正弦定理知

a2=B2C2=2R″sin∠C2IB2=IAsinA

所以△A2B2C2的周長(zhǎng)為

(2)

或

S2=a2+b2+c2=IAsinA+IBsinB+ICsinC

(3)

如圖3，G是△ABC的重心，GA3,GB3,GC3分別垂直三邊，垂足分別為A3,B3,C3,△A3B3C3是重心垂足三角形，記B3C3=a3,C3A3=b3,A3B3=c3，ma,mb,mc是三條中線.

圖3

因?yàn)镚A是△GB3C3外接圓直徑，設(shè)它的半徑為R?，由正弦定理知

所以△A3B3C3的周長(zhǎng)是

S3=a3+b3+c3

(4)

或

S3=a3+b3+c3

=GAsinA+GBsinB+GCsinC

(5)

按不等式鏈(*)從左到右的順序，為證(*)式，先證第一個(gè)不等式S1≤S2.

由已知恒等式

acosA+bcosB+ccosC=4RsinAsinBsinC

和(1)式及

再由(2)式知，欲證S1≤S2，只需證

(6)

由恒等式

故(6)式得證，所以有S1≤S2.

下面再證S2≤S3，由(3)、(5)兩式知只要證

GAsinA+GBsinB+GCsinC

≥IAsinA+IBsinB+ICsinC

(7)

本文借用書[2]第45頁的例5的證明稍加調(diào)整和修改即可用來證明(7)式.

如圖4，I、G分別是△ABC的內(nèi)心和重心，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c，不妨設(shè)a≥b≥c，則有sinA≥sinB≥sinC.(注意本文討論的是銳角三角形)

下面證明G一定落在△BIC內(nèi)或邊界上.

圖4

先證G不落在△AIB內(nèi)，若不然，假設(shè)G落在△AIB內(nèi)，則有S△ABG

因此G落在△BIC內(nèi)或邊界上，且可證G在AI右側(cè);

由此可知AG≥AI+GIcosθ，

將以上三式兩邊分別乘以sinA、sinB、sinC得

AGsinA≥(AI+GIcosθ)sinA

①

②

③

由以上①，②，③可得

AGsinA+BGsinB+CGsinC-(AIsinA+

BIsinB+CIsinC)

故GAsinA+GBsinB+GCsinC

≥IAsinA+IBsinB+ICsinC,

即(7)式得證，所以S2≤S3成立.

最后證S3≤S4=s.

因?yàn)橥庑拇棺闳切?圖略)就是△ABC的三條中位線連結(jié)成的三角形，故S4=s，

下面只需證S3≤s

(8)

由(4)式和柯西不等式及三角形中線公式并注意到2∑a2b2-∑a4=16△2得

(9)

(10)

(11)

由書[3]，195頁15(1)Goldstone不等式 ∑(ab)2≤4(pR)2(注：式中p即本文的s)知欲證(11)式只需證

即 2s2R2≥8△2=8s2r2?R≥2r.

最后一個(gè)不等式是著名的歐拉不等式，于是(8)式得證，也就是定理(*)式中右邊最后一個(gè)不等式得證，從而一條優(yōu)美而有趣的不等式鏈(*)式獲證. 以上所有不等式當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)等號(hào)成立. 證畢.