王姿婷 李建華通訊作者：lijianhua@bnu.edu.cn ② 李友耕.進(jìn)位制與數(shù)學(xué)游戲[M].北京：科學(xué)出版社，008. pp. -6.

(1.海南省文昌中學(xué) 571300；2.北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與復(fù)雜系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 100875)

1 前言

經(jīng)典NIM游戲是一種古老的二人游戲，其規(guī)則十分簡(jiǎn)單，但從3堆開始，其制勝策略就因需用到進(jìn)位制的轉(zhuǎn)化而變得稍顯復(fù)雜.事實(shí)上，這么多年來(lái)，經(jīng)典NIM游戲仍被人津津樂道，除了它獨(dú)特的求解思路外，由它衍生出的各種變式游戲也是它在歲月蹉跎中保持熠熠生輝的重要原因.例如，對(duì)拿取過(guò)程中的規(guī)則進(jìn)行微調(diào)就可以得到簡(jiǎn)單的變式游戲；或者將游戲的形式由取子轉(zhuǎn)為在有限棋盤上行棋，這種變式游戲在與經(jīng)典NIM游戲進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí)，有時(shí)不十分直接自然，需要對(duì)兩種游戲的本質(zhì)特征有一定的了解；另外，還有些已成型的游戲體系，在數(shù)學(xué)的某些領(lǐng)域內(nèi)借用某種分析手段進(jìn)行拆解后，方能看出和經(jīng)典NIM游戲之間其實(shí)是能夠互通的，圖論中就有這樣的游戲模型.相較于第三種類型的變式游戲，從前面兩種中找出聯(lián)系可能更易于接受一些，而前兩種變式游戲具體有哪些例子呢？這正是本文將要介紹的內(nèi)容.

2 經(jīng)典NIM游戲的變式

2.1 三子沖鋒棋

游戲介紹：

此游戲是李友耕所著《進(jìn)位制與數(shù)學(xué)游戲》中提到的一種變式棋子游戲——十格三子棋②.在成一橫行的若干方格中，隨意放上3顆棋子(允許幾枚棋子放在同一方格內(nèi)).游戲雙方輪流操作，以從右向左的方向?yàn)檎较?，任選3顆棋子中的一顆沿著正方向移動(dòng)到任一方格中(只能前進(jìn)，不能不動(dòng)或者后退).走棋子時(shí)，可以跳過(guò)別的棋子，也可以走在有棋子的方格內(nèi).誰(shuí)把最后一顆棋子走到最左邊的方格內(nèi)，使對(duì)方下一步無(wú)棋子可走，誰(shuí)就獲勝.

圖1

游戲中的數(shù)學(xué)：

這個(gè)游戲存在唯一前進(jìn)的正方向，而且雙方都可以對(duì)所有棋子進(jìn)行操作，前進(jìn)格數(shù)任意，終點(diǎn)是左邊的最后一個(gè)方格.

實(shí)際上，這個(gè)游戲可以看成是經(jīng)典NIM游戲的又一種變形，只不過(guò)棋子的堆數(shù)變成了棋子的顆數(shù)，而每一堆棋子顆數(shù)變成了每一顆棋子可走的方格數(shù).如圖1所示的三子沖鋒棋，以每顆棋子與最左邊的方格的距離為考察對(duì)象，隨著不斷前進(jìn)，與考察對(duì)象的距離就越短，剛好對(duì)應(yīng)拿取數(shù)目會(huì)變少，因此，這里其實(shí)就是經(jīng)典NIM游戲中k=3時(shí)的局勢(shì)(3,7,8)，最終的勝利局勢(shì)是(0,0,0)，并且，其后手有利的局勢(shì)就是“NIM和”為0的局勢(shì).

若將正方向換至從左向右，則有兩種策略，一種是換考察對(duì)象為與最右邊方格的距離，那么思路無(wú)異，還有另一種是照樣以每顆棋子與最左邊的方格的距離為考察對(duì)象，不過(guò)此時(shí)就變?yōu)榫嚯x越來(lái)越大的游戲了，可以將這樣的游戲類型對(duì)應(yīng)原來(lái)以拿取為游戲操作的NIM游戲的回溯，若將前者稱為“拿取式”，這種規(guī)定一個(gè)目標(biāo)終態(tài)，由空開始往上加的形式可成為“添加式”，這樣的游戲形式可能更適用于教室中的課堂游戲，因?yàn)橹苯油蠐寯?shù)字即可，搶數(shù)字的游戲是紙筆間就可以完成的.另外，可以直觀到，“添加式”與“拿取式”的NIM游戲本身就可以很自然的進(jìn)行切換.

當(dāng)然，此游戲格子數(shù)與棋子數(shù)不限于此，同樣都可以進(jìn)行推廣，推廣后同樣還是能夠?qū)?yīng)回經(jīng)典NIM游戲.

2.2 靠攏游戲

游戲介紹：

在成一橫行的若干個(gè)方格里(方格數(shù)可以任意劃定)，隨意挑選某幾個(gè)方格，在這些方格里各放上一顆棋子，每一個(gè)方格所放的棋子都不超過(guò)一顆(如圖2).隨后，規(guī)定從右向左為前進(jìn)的方向，游戲雙方輪流操作，任選其中一顆棋子向前走動(dòng)(只能前進(jìn)，不能不動(dòng)或后退).走棋子時(shí)，只能走在空格內(nèi)，不能走到已有棋子的方格內(nèi)，也不能跳過(guò)別的棋子.誰(shuí)走完棋子后使得對(duì)方無(wú)法可走，誰(shuí)就獲勝.與三子沖鋒棋一樣，這也是李友耕提到的一種變式棋子游戲，文中稱其為“斗法游戲”.

圖2

游戲中的數(shù)學(xué)：

這款游戲相較于三子沖鋒棋又稍微多了些限制，每一格只允許放一顆棋子，而且不允許有超越的操作，這樣一來(lái)，若仍將每顆棋子與最左端空格的距離為考察對(duì)象以期實(shí)現(xiàn)將其與經(jīng)典NIM游戲直接關(guān)聯(lián)的想法就必須好好斟酌一下了，因?yàn)椴⒉皇侨我庖活w棋子的距離減少都是任意且連續(xù)的了，這與經(jīng)典NIM游戲是有區(qū)別的，那么，其制勝策略該怎么找呢？

由于每一顆棋子都被前面的一顆擋住，故每一顆棋子的活動(dòng)空間實(shí)則為它與它前面相鄰的那顆棋子的空格數(shù)(最左端的棋子為其前面的空格數(shù))，所以這才是這款游戲應(yīng)該被考慮的對(duì)象.

但我們發(fā)現(xiàn)，動(dòng)一顆棋子以后，它與它前面那顆棋子間的空格數(shù)減少了，同時(shí)它與它后面那顆棋子間的空格數(shù)就增加了，這一增一減的似乎沒辦法兼顧到，那該怎么辦呢？經(jīng)典NIM游戲中的拿取只會(huì)帶來(lái)棋子數(shù)減少的效果，減少只能是所動(dòng)棋子與其前一顆棋子之間移動(dòng)后產(chǎn)生的效應(yīng)，此游戲中，中部的棋子都有兩顆棋子與之相鄰，那么，可否只考慮它與相鄰兩顆中的一顆棋子之間的影響呢？若我們只以兩兩作為一組來(lái)考慮，只考慮每組中兩顆棋子間空格數(shù)的變化，而暫時(shí)擱置它的移動(dòng)對(duì)組外另一顆棋子的影響，似乎就能夠使得由減所帶來(lái)的增這一變化得到“緩沖”.

下面，我們兩兩分組，考慮從左邊開始，第1顆棋子與第2顆棋子之間，第3顆棋子與第4顆棋子之間，以及第5與第6顆棋子之間的空格數(shù)，而不考慮兩兩分組之外的相鄰棋子間的空格數(shù)，拿第1第2顆棋子構(gòu)成的小組作為例子分析，如果對(duì)方動(dòng)了第1顆，也即往前移動(dòng)了一格，那么該小組內(nèi)空格數(shù)增大了，我們可以將第2顆也往前移動(dòng)一格，這樣一來(lái)該組內(nèi)空格數(shù)沒有發(fā)生改變，又輪到對(duì)方拿棋，也就是說(shuō)這樣的操作下來(lái)，我們關(guān)注的空格數(shù)其實(shí)沒有發(fā)生變化，那么，如果對(duì)方動(dòng)了第2顆呢？那會(huì)減少了該組內(nèi)的空格數(shù)，這是能夠?qū)?yīng)上經(jīng)典NIM游戲中操作的！也就是說(shuō)我們確實(shí)可以找到這一游戲與經(jīng)典NIM游戲之間的對(duì)應(yīng)，從左到右依次兩兩分組后將組內(nèi)兩棋子間的空格數(shù)作為關(guān)注點(diǎn)，而不考慮其他空格數(shù)，如第2顆與第3顆棋子之間的空格數(shù)，因?yàn)閷?duì)于這類棋子，對(duì)方把后一顆棋子向前移動(dòng)幾步，我方只要移動(dòng)跟那顆棋子配對(duì)的相應(yīng)棋子，“亦步亦趨”即可，這樣一來(lái)，我們所關(guān)注的兩兩分好的組內(nèi)的空格數(shù)就不會(huì)發(fā)生什么變化.如圖2的靠攏游戲，就可視為經(jīng)典NIM游戲中k=3時(shí)的局勢(shì)(4,1,2).并且，對(duì)其進(jìn)行的這種轉(zhuǎn)化后，便可以知道其后手有利的局勢(shì)就是相應(yīng)的那些“NIM和”為0的局勢(shì).

2.3 悶宮游戲

游戲介紹：

圖3所示的是一盤象棋殘局，是原載于清代《竹香齋象戲譜》一書中的“雙炮禁雙炮”悶宮棋局.象棋的具體走法估計(jì)讀者都不陌生，此處不做過(guò)多敘述.

按照中國(guó)象棋的規(guī)則，把對(duì)方憋死(無(wú)法動(dòng)彈)，也算勝利.下面我們看看這一殘局中有哪些可動(dòng)彈的位置：由于炮5的橫向移動(dòng)會(huì)導(dǎo)致對(duì)方的炮吃掉本方的將(帥)，炮3的橫向移動(dòng)后，對(duì)方的炮3直接越過(guò)楚河漢界進(jìn)行將軍，故這盤棋雙方的炮都不能離開原縱向路徑，逼近將(帥)旁邊的兵(卒)也不該移動(dòng)，否則本來(lái)能夠挾制的將(帥)就逃脫了，必輸無(wú)疑.因此雙方只有兩個(gè)炮和邊上的兵(卒)可動(dòng)，且只能按沿著縱向移動(dòng).

圖3

游戲中的數(shù)學(xué)：

觀察上圖所示的棋局，由之前的簡(jiǎn)要分析我們知道，現(xiàn)在也就只有兩個(gè)炮及邊上的兵能移動(dòng)，而且還是縱向移動(dòng)，于是我們可以數(shù)出：中路兩炮相隔4個(gè)空位，邊上兩炮相隔6個(gè)空位，邊上的兵(卒)相隔2個(gè)空位，但實(shí)際上只能走一步(否則會(huì)被對(duì)方吃掉).

隨著棋子的移動(dòng)空位個(gè)數(shù)會(huì)變少，每次只能動(dòng)一個(gè)棋子，這是可以觀察到的特點(diǎn).因此，如果把可移動(dòng)的空位當(dāng)成棋子的顆數(shù)的話，那么這種棋局，其實(shí)就相當(dāng)于初始狀態(tài)為(1,4,6)的經(jīng)典NIM游戲，從我們一直的策略里面可知，這不是一個(gè)平衡數(shù)組，故若黑方先走，只要第一步走“炮七進(jìn)一”，就可以穩(wěn)操勝券，因?yàn)榇藭r(shí)的局勢(shì)變?yōu)榱?1,4,5)的平衡狀態(tài).接下來(lái)對(duì)方要走的就只可能是炮3進(jìn)4(1,4,1)(那我們就走炮五進(jìn)四(1,0,1))，兵9進(jìn)1(0,0,1)(那我們就走炮七進(jìn)一(0,0,0))，炮3退2(0,0,2)(我們就走炮七進(jìn)二(0,0,0))，炮三退二(0,0,2)(我們走炮七進(jìn)二(0,0,0)).因此我們一定能獲勝.

故這一游戲的后手有利的局勢(shì)也是“NIM和”為0的棋局.

這幾種NIM型游戲都是基于經(jīng)典NIM游戲變形而得到的，與前面介紹的幾個(gè)游戲相比，這一游戲變形較大，頗有點(diǎn)改頭換面的意思，但稍加分析會(huì)知道，這樣的變形仍尚屬明顯且易辨識(shí)的，下面介紹幾種直觀上將其與NIM游戲建立起聯(lián)系并不十分簡(jiǎn)單的游戲.

2.4 翻硬幣游戲

游戲介紹：

這款游戲[注]王曉珂.解析一類游戲[J]國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)2007論文的規(guī)則是：在若干空格中各放置一枚硬幣(也可是撲克牌等有可區(qū)別兩面的道具)，但有些正面朝上，有些反面朝上，游戲的雙方輪流選擇在正面朝上的硬幣中選擇一枚翻至反面，若愿意，可同時(shí)選擇該枚硬幣左邊的任意一枚硬幣進(jìn)行翻面(可正變反亦可反變正)，最后無(wú)法操作者為敗.不妨令黑色代表正面，白色反面，如圖4，即為八個(gè)硬幣的某一布局.

一排硬幣擺在桌面上，只能對(duì)其進(jìn)行翻面處理，估計(jì)游戲一開始，你能做的就只是盤算著自己應(yīng)該翻哪一枚硬幣而且該不該將其左面的某一枚棋子進(jìn)行翻面，并猜測(cè)對(duì)手會(huì)有什么樣的心思，你不知道這里面能有什么技巧，正如你不知道這竟能與經(jīng)典NIM游戲沾上關(guān)系一般.

圖4

游戲中的數(shù)學(xué)：

在正式進(jìn)入分析之前，我們不妨先給桌上的硬幣從小到大編個(gè)號(hào)，如圖5所示，若將正面的硬幣視為一堆棋子，對(duì)應(yīng)的編號(hào)視作這堆棋子的顆數(shù)，那么我們就可以將這一游戲的操作放在我們熟悉的NIM游戲中進(jìn)行考慮了.下面我們分類討論一下所有可行的操作：1. 將某一正面硬幣翻至反面.剛剛將正面聯(lián)系為有棋子，故此舉可視為將這堆棋子全數(shù)取走；2. 若在第1中操作的同時(shí)又翻動(dòng)了左邊一枚反面硬幣.反面變正面，相當(dāng)于又有一堆出現(xiàn)，結(jié)合第1步的操作，其實(shí)這意味著將原來(lái)那堆棋子的數(shù)目切換至現(xiàn)反面硬幣翻正的這一堆棋子所代表的編號(hào)顆數(shù)，故先前我們編號(hào)時(shí)左小右大其實(shí)是有用意的，因?yàn)檫@樣的操作正好可以視為將某堆棋子取少達(dá)到的效果；3. 當(dāng)然，若同時(shí)翻動(dòng)的是左邊的一枚正面硬幣，則意味著同時(shí)將兩這堆棋子取盡.

由于在于棋子游戲建立聯(lián)系的分析過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，第3種操作是會(huì)動(dòng)到2堆棋子的，而且這種情況下只能將這兩堆都取盡，故與穆爾游戲k=2中取棋子數(shù)目任意這一特點(diǎn)又不相同.不過(guò)需注意到的是，同時(shí)取盡的兩堆從編號(hào)上可以知道，它們數(shù)目一定是不等的，所以不妨再回到經(jīng)典NIM游戲的角度找一下其平衡局勢(shì).

若某一硬幣局面為一個(gè)平衡局勢(shì)，由之前對(duì)三種操作手法的分析知道，由于之后對(duì)手最多在轉(zhuǎn)變?yōu)槠遄佑螒虻囊饬x上操作兩堆硬幣，若此時(shí)又出現(xiàn)了一個(gè)平衡狀態(tài)，那么意味著之前那個(gè)平衡局勢(shì)實(shí)為原兩個(gè)堆數(shù)為2的有利局勢(shì)的組合，而堆數(shù)為2的有利局勢(shì)是(p,p)形式的局勢(shì)，故這是(p,p,q,q,k)的一個(gè)平衡局勢(shì)，由于任意一個(gè)編號(hào)格子內(nèi)只能有一個(gè)正面朝上的硬幣，因此這種狀態(tài)在此游戲中顆本不存在，換句話說(shuō)，后手只能造出非平衡的局勢(shì)；而由前面對(duì)經(jīng)典NIM游戲的分析，我們知道任意給出一個(gè)非平衡的數(shù)組，總能適當(dāng)減小某一個(gè)數(shù)從而達(dá)到恢復(fù)平衡數(shù)組的目的，而這剛好對(duì)應(yīng)第二種操作手法.

圖5

2.5 樓梯移物

游戲介紹：

首先，在地面上放置有一個(gè)n階的樓梯，其中每一階樓梯上都放著若干形狀大小相同的物塊，游戲者每次可以選擇任意一階并將其上任意數(shù)量(大于等于一)的物塊移至下一階樓梯上，游戲雙方輪流進(jìn)行決策，最終誰(shuí)先將物塊全部移至地面即可獲勝.如圖6即為分別放置有3、6、4、8、5的五階樓梯.

圖6

游戲中的數(shù)學(xué)：

有了先前若干游戲的經(jīng)驗(yàn)以后，你可能會(huì)猜想這次是不是可以將每一階樓梯上的物塊數(shù)視為各堆棋子的顆數(shù)呢？但如果你對(duì)經(jīng)典NIM游戲最初概念的認(rèn)識(shí)是正確的話，你會(huì)知道這一猜想是不可行的，因?yàn)橐苿?dòng)不代表取走，NIM游戲中只有往外減少的操作，沒有往內(nèi)增加一說(shuō)，而下移就意味著下一級(jí)階梯上的棋子變多了呀，故這種想法是不理想的.

有了上一種游戲的分析做鋪墊，我們也可以類似地想一下，能否也只考慮某些位置而暫時(shí)擱置其他位置呢？不能往里加的話，那如果能把某些階梯看做是寄存箱一樣的存在，往里添加不影響外圍環(huán)境，需要取走時(shí)再取，這樣一來(lái)，那不就可以擺脫先前想法遇到的尷尬境地了嗎？

于是問(wèn)題又來(lái)了，哪些階梯適合扮演這樣的角色呢？若把地面看做是第0階的樓梯，那么這一階樓梯顯然可以作為我們的寄存箱，除此以外還有嗎？借著0階的想法，若把偶數(shù)階的樓梯通通看做是寄存箱的話會(huì)怎樣呢？奇數(shù)階的物塊移至偶數(shù)階上即為寄存，偶數(shù)階如有物塊移至到了奇數(shù)階，我們可以將這些物塊再次往下移至另一偶數(shù)階，從而保證奇數(shù)階兩次操作后相當(dāng)于沒變化，這樣一來(lái)，至少可以保證奇數(shù)階上的物塊數(shù)就能夠和經(jīng)典NIM游戲發(fā)生對(duì)應(yīng)的了！而且制勝策略也呼之欲出！最終奇數(shù)階上的物塊都會(huì)被移動(dòng)至偶數(shù)階上，那么之后要做的就只是亦步亦趨的跟隨對(duì)手移動(dòng)了，他移動(dòng)一次只能將若干物塊移至某一奇數(shù)階，那我們也移動(dòng)的數(shù)目到緊鄰的偶數(shù)階上.不用多說(shuō)讀者就能夠發(fā)現(xiàn)，這樣一來(lái)，最后總將是我們能夠獲勝.

不得不說(shuō)，要迅速看出這一變式與NIM游戲之間的聯(lián)系并非易事，尤其是這里需要將某些位置等同地面，暫且擱置這一想法并不十分自然.稍微細(xì)心一點(diǎn)的讀者或許會(huì)發(fā)現(xiàn)此游戲與“靠攏游戲”思維上相近之處，都是只考慮當(dāng)中的某些位置而將剩余位置擱置一旁.事實(shí)上，若將“靠攏游戲”中的任意空格與此空格右邊最近的空格之間的整個(gè)空間視作是一階樓梯，最后一個(gè)空格的右邊可以看做是地面，而每段空間中所包含的棋子數(shù)視為物塊數(shù)，那么兩個(gè)游戲就能夠完全等價(jià)了！這可以讓我們用一個(gè)新的視角去審視“靠攏游戲”，從而獲得不一樣的心理體驗(yàn).

3 NIM型游戲

3.1 穆爾游戲

“穆爾”(E.H.Moore)游戲[注]E.H.Moore, A generalization of the game called nim, Annals of Mathematics,1910,series 2,Vol.X1,pp.90-94.的規(guī)則與經(jīng)典NIM游戲的規(guī)則基本相同，唯一有區(qū)別的地方是：玩家的每一步，可以從任意不超過(guò)k堆中取棋子，也即：在桌面上若干堆放置任意數(shù)目的棋子中，游戲的雙方依次輪流拿取，并要求每人每次可以從任意不超過(guò)k堆中取棋子，每堆中取棋子的數(shù)目任意，但不能不取，最終誰(shuí)先把棋子取完就算獲勝.事實(shí)上，經(jīng)典NIM游戲只能在一堆中拿取，就可以看成是k=1時(shí)的“穆爾”游戲.

游戲中的數(shù)學(xué):

我們從最簡(jiǎn)單的情況2堆開始討論，當(dāng)k=1時(shí)已在經(jīng)典NIM游戲中討論清楚，而我們又容易看到k=2時(shí)先手直接可以將所有棋子都取走，顯然無(wú)意義，另外我們還會(huì)知道，當(dāng)在桌上有T堆棋子且k=T時(shí)也一樣無(wú)討論的必要，故我們下面討論1

3堆中k=2時(shí)，那么(1,1,1)就是先手必?cái)?，我們要竭力給對(duì)方留出這樣的局勢(shì)，很快會(huì)發(fā)現(xiàn)(2,2，2)也是，因?yàn)闊o(wú)論對(duì)方如何拿取，我們都可以取至(1,1,1)或者(0,0,0).于是我們可以考慮(n,n,n)是否都是先手必?cái)〉木置?這就可以嘗試用歸納假設(shè)進(jìn)行證明了.

假設(shè)當(dāng)0≤n≤m時(shí)(n,n,n)都是先手必?cái)〉木置?則當(dāng)n=m+1時(shí)，我們知道，面對(duì)(m+1,m+1,m+1)，對(duì)方只能在一堆或兩堆中取，即取至(p,m+1,m+1)或(p,q,m+1)其中p和q都是小于m+1的自然數(shù)，不妨設(shè)p≤q

顯然(n,n,n)這種先手必?cái)〉木置婺軌驖M足我們?cè)诮?jīng)典NIM游戲中的給出過(guò)的平衡數(shù)組的定義，接下來(lái)我們考慮，是否還存在其他的平衡數(shù)組能與其構(gòu)成連貫的策略體.

答案是否定的，正如前面歸納假設(shè)的證明中所示，當(dāng)三堆棋子數(shù)不全相等時(shí)，也即為(p,n,n)或(p,q,n)，那么先手都可以一步將其取至(p,p,p)，故在3堆的情況中，只有(n,n,n)是先手必?cái)〉?，其余都是先手必贏，而它們是這種游戲情形下平衡數(shù)組的形式.

4堆時(shí)，先考慮k=3的情況，因?yàn)檫@種比較簡(jiǎn)單.顯然(1,1,1,1)先手必?cái)?，?2,2,2,2)也是先手必?cái)?，這與3堆中k=2時(shí)的情況非常類似，故我們會(huì)直接想，這樣的拿取限制中，平衡數(shù)組是不是(n,n,n,n)，答案顯然也是成立的，也可以通過(guò)歸納假設(shè)來(lái)證明.

所以在面對(duì)4堆中k=2的情況時(shí)，我們可以想一下，是否有可能將棋子數(shù)進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)化，使之能夠體現(xiàn)出，先手只能使2個(gè)以內(nèi)的位置發(fā)生變化而我們就能夠動(dòng)到第3個(gè)位置這樣的形態(tài).于是我們又能聯(lián)想到經(jīng)典NIM游戲中的處理辦法，這其實(shí)很自然，因?yàn)檫@兩種游戲的規(guī)則類似，解法或許也有相通之處.在經(jīng)典NIM游戲中的處理辦法是將棋子數(shù)用二進(jìn)制表示出來(lái)，這里我們就可以考慮也換一個(gè)進(jìn)位制，沿用二進(jìn)制還是換一個(gè)三進(jìn)制比較好呢？先考慮，三進(jìn)制的話，數(shù)字全由0、1、2構(gòu)成，那平衡數(shù)組是寫成三進(jìn)制時(shí)每列保證有3個(gè)1或3個(gè)2或都是0嗎？但是當(dāng)這樣的狀態(tài)被破壞時(shí)，能一步回去嗎？似乎不行，例如這樣一個(gè)例子：

那用三進(jìn)制給出平衡數(shù)組難不成是一列中和能被3整除就行？但是像1+2變?yōu)?+0這樣的情況，就只需動(dòng)兩堆，也就是一步可以達(dá)到的，用不到3堆就意味著對(duì)方的操作并不是一定所想狀態(tài)破壞掉的，所以這也不是我們想要的.更何況，我們還要知道，我們現(xiàn)在僅僅是討論4堆的情況而已，若以后要考慮十幾堆的情況，難道也要用十幾進(jìn)制嗎？這顯然有點(diǎn)不太實(shí)際，所以我們還是只考慮二進(jìn)制吧.二進(jìn)制的話，將數(shù)字排列后，前面那種想法通過(guò)確保每一列上有3個(gè)1或3個(gè)0好像就可以了，因?yàn)閷?duì)方最多動(dòng)兩堆，所以這種局勢(shì)一定是會(huì)被破壞的，而我們也一定能夠一步還原回去！也就是k=2時(shí)將棋子數(shù)轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制后做列和保證每列都能被k+1=3整除就行，回過(guò)頭來(lái)看，在堆數(shù)為3，k=2時(shí)先手必?cái)【謩?shì)(n,n,n)以及堆數(shù)為4，k=3時(shí)的先手必?cái)【謩?shì)(n,n,n,n)，確實(shí)都能滿足這一條件，故我們之前認(rèn)為的突破口可能是k+1這一設(shè)想得到印證.

其實(shí)回過(guò)頭來(lái)看，先前在經(jīng)典NIM游戲中定義“NIM和”概念來(lái)進(jìn)行規(guī)律解釋的過(guò)程，其實(shí)也是有學(xué)問(wèn)的.若耐心思考，會(huì)發(fā)現(xiàn)用二進(jìn)制數(shù)作不進(jìn)位的“列和”之后模2的用意.由于保證局勢(shì)的“NIM和”為0后，先手只能在一堆中取棋子，故在拿取完后不可能存在某一列發(fā)生了改變卻依然能夠在作“列和”時(shí)模2余0，故先手必打破這種局勢(shì)，而后手緊接著又能恢復(fù).

放到這里看，其實(shí)很容易遷移過(guò)來(lái)，若規(guī)則只許在任意不超過(guò)k堆中取棋子，若能夠保證之前的狀態(tài)在化為二進(jìn)制數(shù)后作不進(jìn)位的“列和”模k+1余0，則先手無(wú)論怎么拿取都不可能緊接著造出這樣的“列和”模k+1余0的狀態(tài)！

于是再定義一個(gè)“NIM K和”*張遠(yuǎn)南，欒少波.游戲：拍案稱奇[M]上海：上海教育出版社，2011.4. pp. 121;116-136：把每一堆棋子的數(shù)目用二進(jìn)制數(shù)表示出來(lái)以后，將這幾個(gè)數(shù)作不進(jìn)位的“列和”后求其模的k+1余數(shù)，其結(jié)果即為這幾個(gè)數(shù)的“NIM K和”.

又由上面的分析，我們知道，對(duì)于“穆爾”游戲，局勢(shì)的“NIM K和”為0時(shí)，為平衡數(shù)組.

例如，在可以任意在k=3的“穆爾”游戲中，(1,3,5,7,9,11,13,15)是平衡數(shù)組，這是因?yàn)?/p>

但是在k=2的“穆爾”游戲中該局勢(shì)便為不利局勢(shì)了，因?yàn)?448(mod3)=1112(mod3)≠0(mod3).(未完待續(xù))

敬告：本刊2016年精裝合訂本已裝訂完成，每套100元(含掛號(hào)費(fèi))，歡迎郵購(gòu).匯款地址：北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)通報(bào)編輯部，郵編：100875，收款人：數(shù)學(xué)通報(bào)編輯部.

說(shuō)明：本刊的2344問(wèn)題，在編輯校閱過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)原題的表述不甚嚴(yán)謹(jǐn)，故改為2017年第一期中題目的形式；但在第二期刊出解答時(shí)，由于疏忽，又把原題刊載出來(lái)，給讀者造成了困擾，特為致歉！再有，2017年第二期問(wèn)題欄的兩個(gè)小標(biāo)題，也是由于工作不細(xì)致，導(dǎo)致與第一期的一樣，此二處應(yīng)分別是“2017年1月號(hào)問(wèn)題解答”、“2017年2月號(hào)問(wèn)題”.真誠(chéng)地向廣大讀者致歉！