陳大偉，斯小琴

(安徽建筑大學(xué) 城市建設(shè)學(xué)院，安徽 合肥，238076)

非線性單擺周期的數(shù)值解

陳大偉，斯小琴

(安徽建筑大學(xué) 城市建設(shè)學(xué)院，安徽 合肥，238076)

應(yīng)用計(jì)算機(jī)軟件和微分方程數(shù)值解的Euler法，研究了非線性單擺運(yùn)動(dòng)過程中角度與時(shí)間的微分關(guān)系，模擬出大角度單擺周期的高精度近似解，并作出時(shí)間隨擺角的變化曲線。將所得模擬值與實(shí)驗(yàn)值比較可知,該方法避免了解繁瑣的微分方程，可簡捷、快速得到周期較高精度的數(shù)值解，在解決相關(guān)實(shí)際問題中有一定的價(jià)值。

單擺周期；Euler法；數(shù)值解

單擺是一種理想物理模型，是指一端固定且不可伸長的細(xì)線與可視為質(zhì)點(diǎn)的物體相連，質(zhì)點(diǎn)在豎直平面內(nèi)繞固定端作小于5°的擺動(dòng)[1]。而當(dāng)擺角大于5°則不可再近似為線性單擺，其運(yùn)動(dòng)問題也變得較為復(fù)雜，這類復(fù)雜問題成為大學(xué)物理教學(xué)中關(guān)注的熱點(diǎn)問題[2-6]。對(duì)非線性單擺的討論，無論是獲得近似解的格林函數(shù)法[7]、漸進(jìn)法[8]，還是獲得精確解的解析法[9]，都避免不了繁瑣的數(shù)學(xué)計(jì)算。利用常微分方程數(shù)值解的Euler法格式，并借助計(jì)算機(jī)可簡捷、快速地得到非線性單擺的高精度近似解[10-13]，這給解決此類實(shí)際問題提供了一種有效而便捷的方法。

1 理論基礎(chǔ)

一端固定且不可伸長的細(xì)線與可視為質(zhì)點(diǎn)的物體相連，當(dāng)它在豎直平面內(nèi)以一定角度擺動(dòng)，在擺動(dòng)到中間任意角度θ位置時(shí)，其動(dòng)力學(xué)方程為：

(1)

(2)

將(2)式進(jìn)行變換，有

(3)

(4)

將(4)式分離變量后兩邊積分，得

(5)

(6)

正負(fù)號(hào)取決于計(jì)時(shí)起點(diǎn)。為方便討論這里取正，這樣有

(7)

為能利用角的始末條件，將(7)變換為

(8)

對(duì)于初始條件為t(θ0=θm)=0的(8)式常微分方程，其數(shù)值解的Euler法格式為：

(9)

2 數(shù)值模擬及結(jié)果分析

g取9.8m/s2，擺長l取2.45m以使問題具體化。θm取若干大角度(≥5°)，基于Euler法格式利用微軟EXCEL的下拉填充公式可快速模擬出N個(gè)角值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)間數(shù)值解，其中

角度步長Δθ取0.1°，即可得到精度較高的數(shù)值解。

由于θ=±θm不可代入Euler法格式，且單個(gè)點(diǎn)對(duì)整體誤差較小、對(duì)函數(shù)曲線走向無影響，故數(shù)值模擬時(shí)除起始點(diǎn)θ0=θm，令t=0外，其他θ=±θm點(diǎn)略去，θ=±θm的時(shí)間以相鄰角值點(diǎn)時(shí)間作修正獲得?，F(xiàn)僅取θ0=±0°、±θm四個(gè)特征角處時(shí)間列入表1中。

表1 特征角所對(duì)應(yīng)時(shí)間列表Table 1 The time list of characteristic angle

圖1 時(shí)間隨角度變化曲線Fig.1 The series curve of angle

表2 Ts/T0與TE/T0對(duì)比及誤差表Table 2 The list of Ts/T0 with TE/T0 and error table

從表2中可發(fā)現(xiàn)隨著擺角增大，Ts與T0之間比值也增大，這樣在大擺角下還用T0作周期就不再適合。而TE與Ts間的相對(duì)誤差隨著擺角增大而減小，這就意味著大擺角下周期更適合用TE作為周期。

3 討論

(1)實(shí)驗(yàn)不可能達(dá)到完全無阻尼的條件，所以周期的實(shí)驗(yàn)值應(yīng)比真值要大，這是實(shí)驗(yàn)值與模擬值之間產(chǎn)生誤差的一個(gè)因素；

(2)文中對(duì)往返-θm模擬時(shí)進(jìn)行了忽略，并將返回θm-Δθ角的時(shí)間加上3倍θm至θm-Δθ的時(shí)長作為周期，此種處理會(huì)使由-θm返回θm時(shí)間變短，這是產(chǎn)生誤差的另外一種因素；

(3)數(shù)值解本質(zhì)就是一種近似求解方法，產(chǎn)生誤差不可避免。所取角度步距Δθ越小誤差會(huì)越小，計(jì)算角值點(diǎn)也會(huì)越多，但是基于計(jì)算機(jī)軟件會(huì)很好地解決該困難；

(4)在精度要求范圍內(nèi)，取合適角度步距Δθ并借助計(jì)算機(jī)軟件，會(huì)便捷快速得到大擺角單擺周期的數(shù)值解，這給解決此類實(shí)際問題提供了一種有效而便捷的方法。

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TheNumericalSolutionoftheNonlinearPendulumPeriod

CHEN Dawei，SI Xiaoqin

(Urban Construction College,Anhui Jianzhu University,Hefei 238076,China)

single pendulum cycle; Euler method; numerical solution

1672-7010(2017)06-0001-04

O411.1

A

2017-11-05

安徽高校自然科學(xué)研究項(xiàng)目(KJ2017A810)；安徽高校自然科學(xué)研究項(xiàng)目(KJ2015ZD16)

陳大偉(1985-)，男，安徽巢湖人，講師,碩士,主要從事大學(xué)物理教學(xué)研究工作

Received：By application of computer software and differential equation numerical solution of Euler method,The differential relation between angle and time in nonlinear pendulum motion was studied,the high precision approximate solution of single pendulum cycle was simulated and the change curve of time with the angle of swing was given.The comparison of simulation value with experiment value showed that this method could avoid the complicated differential equation and it is simple and quick to obtain the numerical solution with high precision,so it has some value in solving relevant practical problems.