宦繼慶

摘 要：基于恢復系數(shù)理論上保持不變的原理推導了重力加速度的測量公式，通過對三種不同材料小球?qū)嶒灁?shù)據(jù)的分析，總結了實驗成敗的關鍵在于發(fā)生碰撞的物體應具有較大的硬度和較高的恢復系數(shù)。

關鍵詞：恢復系數(shù)；重力加速度；落球；數(shù)字化實驗系統(tǒng)

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2017）11-0056-3

重力加速度是物理學中非常重要的物理量，測量它的傳統(tǒng)方法主要有自由落體法、單擺法、水滴法等。隨著數(shù)字信息化實驗系統(tǒng)（DIS）的引入，各類傳感器被運用于g值的測定并取得了很好的實驗效果[1]。本文在總結前人研究的基礎上，利用DIS系統(tǒng)的聲音傳感器，依據(jù)兩物體碰撞時恢復系數(shù)不變的原理，實現(xiàn)了對重力加速度較為準確的測量。

1 實驗原理

牛頓碰撞定律指出：碰撞后兩物體的分離速度與碰撞前兩物體的接近速度成正比，比值e稱為恢復系數(shù)[2]?，F(xiàn)假設一小球從某一高度處自由落下與靜止水平面發(fā)生碰撞并形成多次反彈。由于小球運動過程中受空氣阻力的影響非常小[3]，小球每次碰撞中相對于水平面的接近速度和分離速度可分別設為v1、v2；v2、v3；v3、v4；……根據(jù)恢復系數(shù)的定義有：e……可以看出，在非完全彈性碰撞（0

如圖1所示，設小球的起始高度為H1，第一次碰撞后反彈的高度為H2；第一次碰撞與第二次碰撞的時間間隔為ΔT1；第二次碰撞與第三次碰撞的時間間隔為ΔT2。若小球與水平面碰撞時間極短，小球前后兩次碰撞的時間間隔近似等于碰撞間小球在空中運動的時間，那么

根據(jù)（4）式測量重力加速度的關鍵在于碰撞時間間隔的測量，而碰撞時間間隔可以轉(zhuǎn)化為發(fā)聲時間間隔通過數(shù)字化實驗系統(tǒng)（DIS）的聲波傳感器進行測量：聲波傳感器能夠?qū)ε鲎矔r發(fā)出的聲音進行瞬時的采集，形成如圖2所示的波形圖。由波形圖可以很方便地確定發(fā)聲的時間點，進而確定發(fā)聲的時間間隔。

2 實驗操作方案

1）用方座支架以及試管夾在實驗桌上方固定一小平臺。小平臺的材料可以是硬紙板、直尺等，設置它的目的在于能使小球緊貼平臺的底部穩(wěn)定地由靜止下落，也便于測量小球下落的高度，即小平臺底部距離桌面的高度h與小球直徑d之差。另外，選擇桌面（本實驗的桌面為鋼木材質(zhì)）作為靜止的水平面是因為它的平整性較好，并且與小球發(fā)生碰撞時能發(fā)出較響的聲音。

2）將DIS系統(tǒng)的數(shù)據(jù)采集器接入電腦，聲波傳感器連入數(shù)據(jù)采集器；設置傳感器的采樣頻率為“10 K”，使時間的測量能精確到0.0001秒；調(diào)整聲波顯示窗口的縱軸（聲強）和橫軸（時間）的顯示比例，使傳感器采集到的聲信號能夠完整地顯示在圖形窗口當中，以便對數(shù)據(jù)的準確性作出初步的判斷。（理想的波形應該是振幅逐漸降低，波峰之間的間距逐漸減小。）

3）點擊實驗操作界面的“開始”按鈕后釋放小球，在小球與桌面發(fā)生三次碰撞后即可停止聲音的采集。

4）將采集到的聲波圖的橫軸充分放大，使所有的數(shù)據(jù)點得以分離，從而可以利用“顯示圖線中的數(shù)據(jù)點”“鼠標顯示坐標值”的功能準確地確定每次碰撞發(fā)聲的時間點t1、t2和t3。

5）帶入數(shù)據(jù)，計算重力加速度值。

3 實驗數(shù)據(jù)與誤差分析

3.1 實驗數(shù)據(jù)

我們分別采用橡膠球、鋼球和玻璃球進行了實驗，所得數(shù)據(jù)如表1。

3.2 測量值偏小的原因分析

從表1可以看出，利用橡膠球所測得的g值明顯偏小。我們認為這是因為橡膠球的材質(zhì)偏軟。比較不同小球產(chǎn)生的聲波圖（圖2、圖3）可以發(fā)現(xiàn)，橡膠球每次碰撞時有相對較長的發(fā)聲時間，說明它與桌面發(fā)生碰撞時需要相對較長的恢復彈性形變的時間，而這導致了兩次碰撞的時間間隔顯著大于了小球在空中運動的時間。也就是說，自由落體運動的時間偏大了，g值自然會偏小。

3.3 測量值偏大的原因分析

從表1還可以看出，采用鋼球和玻璃球的測量值都偏大，且采用鋼球的測量值偏差更大。我們認為這是由于實驗中碰撞恢復系數(shù)并不能保持恒定所致。小球第二、三、四次碰撞的恢復系數(shù)測量數(shù)據(jù)如表2所示。

雖然理論上同種材料恢復系數(shù)保持不變，但從表2可以看出，實際上e值是有變化的，而且有固定的變化趨勢。正如文獻[1]中所說：由于碰撞雙方為準剛體，隨著小球反彈高度的降低，碰撞初速度減小，恢復系數(shù)會逐次增加。而鋼球的恢復系數(shù)相對較小，前后兩次碰撞的初速度相差會大一些，因而鋼球恢復系數(shù)的增幅也會大一些。我們在推導公式（4）時，是用第二次碰撞的恢復系數(shù)代替了第一次碰撞的恢復系數(shù)，從而求得了第一次碰撞后小球反彈的高度H2=e2H1。由于e偏大，導致H2偏大，進而導致了g值偏大。e值偏差越大，g值偏差就越大，所有采用鋼球的測量值偏差會更大一些。

4 結 論

從以上的分析可以看出，要用落球彈跳法準確測量重力加速度需要滿足兩個重要的條件：第一，小球碰撞中恢復彈性形變的時間可以忽略不計；第二，碰撞中恢復系數(shù)變化很小。為此，實驗中發(fā)生碰撞的物體應具有較大的硬度和較高的恢復系數(shù)。文獻[1]中的鋼球與玻璃板的組合以及本文中玻璃球與桌面的組合正是滿足了上述兩個條件才取得了比較理想的實驗效果。

參考文獻：

[1]王梅，宗曉緯.用DIS測量重力加速度g值的四種方法比較[J].物理教學探討，2015，33（10）：54-56.

[2]何捷，陳繼康，戴琳.大學物理實驗[M].南京：南京師范大學出版社，2010：48.

[3]耿宏章，張衛(wèi)強，周開學.恢復系數(shù)的測量[J].物理實驗，2002，23（1）：39-41.

[4]Oliver Schwarz，Patrik Vogt，Jochen Kuhn.Acoustic measurements of bouncing balls and the Determination of gravitational acceleration[J].The Physics Teacher，2013，51（5）：312-313.

[5]漆安慎，杜嬋英.力學[M].北京：高等教育出版社，2005：138-139.

[6]宋紅霞.能量按比例轉(zhuǎn)化（轉(zhuǎn)移）的題型例析[J].物理教師，2012，33（12）：20-21.

（欄目編輯 王柏廬）