楊曉輝，王毅，劉小平，徐少平

（南昌大學(xué)信息工程學(xué)院，南昌330031）

0 引 言

混沌控制是非線性科學(xué)中的一個(gè)熱門研究領(lǐng)域，其廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)各個(gè)方面。自從Pecora和Carroll在1990年首次使用OGY方法來(lái)實(shí)現(xiàn)混沌同步控制以來(lái)［1］，關(guān)于混沌控制方面的研究取得了巨大的發(fā)展。國(guó)內(nèi)外的專家學(xué)者們提出了許多有效的控制方法，如自適應(yīng)控制［2］、反饋同步控制［3-4］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［5-6］、模糊控制［7-8］和滑模變控制［9］等。但很多方法都有控制較復(fù)雜，需要精確的數(shù)學(xué)模型和輸入目標(biāo)函數(shù)或者無(wú)法改變控制過(guò)程中的穩(wěn)定性等缺點(diǎn)。

如今電力系統(tǒng)的發(fā)展趨勢(shì)是大電網(wǎng)間的互聯(lián)，這使得電網(wǎng)間的輸電變得十分的方便、快捷，但同時(shí)也是對(duì)電力系統(tǒng)穩(wěn)定性的一大考驗(yàn)。電力系統(tǒng)是一個(gè)多變量、強(qiáng)耦合的非線性動(dòng)力系統(tǒng)，具有十分復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，例如其在某些參數(shù)和條件下將會(huì)表現(xiàn)出明顯的混沌現(xiàn)象。而如果混沌振蕩未能夠及時(shí)得到抑制，則可能會(huì)造成電力系統(tǒng)的電壓和相角崩潰，進(jìn)一步出現(xiàn)大范圍停電或其它安全事故［10-11］。近幾十年來(lái)，海內(nèi)外電網(wǎng)陸續(xù)發(fā)生了電壓、頻率振蕩失穩(wěn)甚至崩潰的事故，如2003年8月14日美加大停電，2005年5月23日莫斯科大停電等［12-13］。這些事故對(duì)人們的生命財(cái)產(chǎn)安全造成了巨大的損害，因此電力系統(tǒng)的混沌振蕩需要得到及時(shí)的控制及保護(hù)。

針對(duì)這一狀況，通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單二階互聯(lián)電力系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象進(jìn)行分析，采用了基于狀態(tài)負(fù)反饋控制方法的控制器來(lái)抑制系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象，從而使得整個(gè)系統(tǒng)能夠穩(wěn)定運(yùn)行。

1 電力系統(tǒng)的混沌數(shù)學(xué)模型

圖1 簡(jiǎn)單互聯(lián)電力系統(tǒng)Fig.1 Simple interconnected power system

本文考慮的控制對(duì)象是二階互聯(lián)電力系統(tǒng)中產(chǎn)生的混沌振蕩，其接線圖［14］如圖1所示。在圖1中，1和2分別表示兩個(gè)系統(tǒng)的等值發(fā)電機(jī)，3和4分別表示兩個(gè)系統(tǒng)的主變壓器，5和6表示斷路器，7表示電力系統(tǒng)的負(fù)載。

為了突出體現(xiàn)電力系統(tǒng)外在的因素，如周期性負(fù)荷擾動(dòng)和電磁功率擾動(dòng)對(duì)電力系統(tǒng)的影響，暫時(shí)不考慮系統(tǒng)網(wǎng)側(cè)等值系統(tǒng)的各端轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等內(nèi)在因素差異，則其系統(tǒng)模型如下：

式中δ，ω為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子運(yùn)行角與相對(duì)轉(zhuǎn)速；Pm，Ps為發(fā)電機(jī)機(jī)械功率與電磁功率；H為等值轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；D為等值阻尼系數(shù)；Pe為擾動(dòng)功率幅值；β為擾動(dòng)功率頻率。

為了便于分析及運(yùn)算，對(duì)式（1）進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，令 α=Ps/H，γ=D/H，ρ=Pm/H，A=Pe/H，則式（1）變?yōu)椋?/p>

當(dāng)電力系統(tǒng)無(wú)擾動(dòng)，即A=0時(shí)，系統(tǒng)在平衡點(diǎn)穩(wěn)定運(yùn)行。當(dāng)系統(tǒng)存在擾動(dòng)，即A≠0時(shí)，則系統(tǒng)視γ、A、β的情況可以穩(wěn)定運(yùn)行，也可以做不穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)，或者運(yùn)行在混沌狀態(tài)。

在式（2）中，取 α=60、γ=0.04、ρ=0.6、β=20時(shí)，利用Matlab進(jìn)行仿真，分別取A=2和A=0.2時(shí)，系統(tǒng)處于非常明顯的混沌狀態(tài)，此時(shí)系統(tǒng)的相圖及動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線分別如圖2和圖3所示?；煦绗F(xiàn)象的出現(xiàn)嚴(yán)重影響了二階互聯(lián)電力系統(tǒng)的正常工作，甚至可能引起整個(gè)系統(tǒng)的崩壞，因此需要抑制二階互聯(lián)電力系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象，從而使其能夠穩(wěn)定、可靠地運(yùn)行。

圖2 A=2時(shí)系統(tǒng)的相圖和動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線Fig.2 Phase diagram and dynamic response curve of the system when A=2

圖3 A=0.2時(shí)系統(tǒng)的相圖和動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線Fig.3 Phase diagram and dynamic response curve of the system when A=0.2

2 狀態(tài)負(fù)反饋控制

狀態(tài)負(fù)反饋控制法具有需要的系統(tǒng)的信息少；小參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)無(wú)影響；具有較好的穩(wěn)定性和軌道跟蹤能力等優(yōu)點(diǎn)。

由上文可知，式（2）可變?yōu)榫仃囆问?，得?/p>

此時(shí)添加一個(gè)控制輸入u，則二階互聯(lián)電力系統(tǒng)的受控模型如下：

圖4 簡(jiǎn)單互聯(lián)電力系統(tǒng)控制框圖Fig.4 Control block diagram of simple interconnected power system

3 反饋參數(shù)的選擇

當(dāng)ε=0時(shí)的無(wú)攝動(dòng)系統(tǒng)為Hamilton系統(tǒng)，在相平面x-y相平面上有平衡點(diǎn)（kπ，0），k=0，±1，±2，...。由于周期對(duì)稱性，此處只需考慮三個(gè)平衡點(diǎn)（-π，0），（0，0），（π，0）。

將參數(shù)代入后，式（2）在平衡點(diǎn)（π，0）處的 Jacobi矩陣為：

則：

故此時(shí)系統(tǒng)的特征值為：

此處Re（λ2）＞0，故由 Lyapunov穩(wěn)定性理論可知點(diǎn)（π，0）是一個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。則系統(tǒng)變?yōu)椋?/p>

代入?yún)?shù)后，可得式（5）在（π，0）處的 Jacobi矩陣為：

則：

由上式可得：

同樣由Lyapunov穩(wěn)定性理論可知，若要使系統(tǒng)在點(diǎn)（π，0）處穩(wěn)定，且出現(xiàn)穩(wěn)定的極限環(huán)，則需要此時(shí)的Re（λ）均不大于0。故可以分以下兩種情況：

（1）當(dāng)（k2+0.04）2-4（k1-60）＜0時(shí)，即k1＞（k2+0.04）2+60時(shí)，此時(shí)其實(shí)部只需滿足 Re（λ）≤0，化簡(jiǎn)后可得k2≥ -0.04?？偨Y(jié)即為，當(dāng)反饋系數(shù)滿足+60和k2≥-0.04時(shí)，系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象能夠被控制。

（2）當(dāng)（k2+0.04）2-4（k1-60）≥0時(shí)，即（k2+0.04）2+60時(shí)，此時(shí)其實(shí)部只需滿足，化簡(jiǎn)后可得k1≥60。總結(jié)即為，當(dāng)反饋系數(shù)滿足（k2+0.04）2+60和k1≥60時(shí)，系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象能夠得到控制。

4 數(shù)字仿真

經(jīng)過(guò)上文的分析，本文通過(guò)Matlab進(jìn)行數(shù)值仿真來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證。仿真過(guò)程采取四階Runge-Kutta方法，其中二階互聯(lián)電力系統(tǒng)的參數(shù)如下：

經(jīng)分析可得，取兩組反饋系數(shù)，分別為k1=100，k2=2和k1=61，k2=2，它們分別滿足上述條件1和條件2。現(xiàn)計(jì)劃使系統(tǒng)在混沌狀態(tài)下運(yùn)行10 s后，然后投入控制器，則系統(tǒng)在上述兩個(gè)控制器作用下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線及相圖分別如圖5和圖6所示。

由圖5和圖6可看出，在不同反饋系數(shù)的控制器的作用下，系統(tǒng)曲線在經(jīng)歷初始的雜亂不規(guī)則后，均能逐漸被收攏控制在一周期軌道處，且無(wú)論將仿真時(shí)間增大多少，其都能夠穩(wěn)定地維持在中間的周期軌道處，同時(shí) δ（t）和 ω（t）曲線也在 3 s～4 s內(nèi)迅速?gòu)幕煦鐮顟B(tài)被控制成穩(wěn)定的正弦波形，表明系統(tǒng)在控制器的作用下達(dá)到了穩(wěn)定狀態(tài)。圖5與圖6證明只要選取的反饋參數(shù)符合條件，混沌現(xiàn)象均能得到有效控制，顯示了控制器的可靠性。

圖5 在第一個(gè)控制器的作用下系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線和相圖Fig.5 Phase diagram and dynamic response rve of the system with the first controller

圖6 在第二個(gè)控制器的作用下系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線和相圖Fig.6 Phase diagram and dynamic response curve of the system with the second controller

5 結(jié)束語(yǔ)

文章對(duì)電力系統(tǒng)混沌模型進(jìn)行分析后，提出了一種通過(guò)狀態(tài)負(fù)反饋將電力系統(tǒng)混沌控制到周期軌道處的方法，推出相應(yīng)的實(shí)現(xiàn)過(guò)程，并利用Matlab做了仿真實(shí)驗(yàn)。仿真結(jié)果表示該方法在消除電力系統(tǒng)中的有害的混沌現(xiàn)象方面有著明顯的成效。該方法具有較好的穩(wěn)定性和軌道跟蹤能力，且不需要改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)等優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)該控制方法原理簡(jiǎn)單，容易實(shí)現(xiàn)，具有較好的前景。