盧 強，王占江，丁 洋，劉曉新，郭志昀，吳玉蛟

線黏彈性球面發(fā)散應力波的頻率響應特性＊

盧 強1，2，王占江1，丁 洋1，劉曉新1，郭志昀1，吳玉蛟1

（1.西北核技術研究所，陜西 西安710024；2.西安交通大學航天學院機械結構強度與振動國家重點實驗室，陜西 西安710049）

基于線黏彈性球面波Laplace域的理論解，得到了不同傳播距離處粒子速度、粒子位移、應力、應變等力學量的傳遞函數。以標準線性固體模型為例，重點討論了粒子速度頻率響應函數的傳播特征，指出隨著傳播距離的增加，粒子速度幅頻響應函數的高頻響應會低于低頻響應，而在理想彈性條件下，粒子速度幅頻響應函數的高頻響應一直高于低頻響應。以彈性半徑為0.025m的空腔爆炸為例，采用Laplace數值逆變換方法對粒子速度波形的演化進行了分析，給出了粒子速度強間斷幅值及粒子速度峰值隨傳播距離變化的衰減規(guī)律曲線，指出黏彈性介質中粒子速度幅值的衰減曲線介于理想彈性介質中粒子速度幅值衰減曲線和黏彈性介質中粒子速度強間斷幅值衰減曲線之間。

球面應力波；頻率響應；拉普拉斯逆變換

在地震或地下爆炸激發(fā)的地震波傳播研究中，具有一定壓力邊界的有限球形空腔可以視為震源，因此固體介質中的球面應力波傳播理論對于研究地震或地下爆炸的震源特征、應力波的傳播演化規(guī)律等具有重要作用。F.G.Blake［1］和 H.L.Selberg［2］基于折合位移勢（reduced displacement potential，RDP）給出了理想彈性球面波傳播的處理方法。RDP是球面波波動方程的一個解，球面波傳播中涉及到的粒子速度、粒子位移、應力、應變等物理量均可通過RDP給出。H.C.Rodean［3］研究了理想彈性介質中球形發(fā)散壓縮波的傳播，并討論了球形發(fā)散應力波的特征頻率（周期、波長）及其衰減規(guī)律。H.C.Rodean的工作對理想彈性球面應力波的傳播規(guī)律進行了完整的總結。由于波傳播和材料的動態(tài)力學性能相關，研究者們基于不同的本構方程（彈塑性［4－8］、彈黏塑性［9－11］、Maxwell體［12］和 Kelvin－Voigt體［13］黏彈性、線性和非線性ZWT［14－20］等）對球面應力波的傳播特征進行了分析，進一步完善了球面波傳播理論。

在考慮介質的黏彈性條件下，從震源輻射出的波頻率特征和理想彈性條件下波的傳播特征不同。為深入研究黏彈性球面應力波的頻率響應特性隨傳播距離的變化特征，本文中基于線黏彈性球面波Laplace域的理論解［19］，得到不同傳播距離處粒子速度、應力、應變等物理量的傳遞函數，并以標準線性固體模型為例，重點討論粒子速度頻率響應函數的傳播特征。以彈性半徑為0.025m的空腔爆炸為例，采用Laplace數值逆變換方法［21］對粒子速度波形的演化進行分析，給出粒子速度強間斷幅值及粒子速度峰值隨傳播距離變化的衰減曲線。

1 線黏彈性球面應力波的頻率響應函數

無限介質中線黏彈性球面波的Laplace解可按如下方程計算［19］：

令s＝ωi（ω＝2πf為圓頻率，f為頻率，i為虛數單位），則公式（7）表征不同物理量傳遞函數對應的頻率響應函數。需注意的是，上面的分析中并沒有基于特定的線黏彈性本構模型，即上述公式具有分析線黏彈性球面發(fā)散應力波的普適性。

2 基于標準線性固體模型的粒子速度頻率響應函數傳播特征

在地下爆炸或地震研究中，地運動信號（粒子加速度、速度、位移）是常見的分析對象，因此本文中僅對粒子速度的頻率響應函數進行討論（理論上粒子加速度、速度、位移的頻率響應函數相同）。粒子速度的頻率響應函數可以寫為：

線黏彈性球面應力波的傳播系數β（ωi）可以寫為：

式中：α（ω）為線黏彈性球面應力波衰減因子，k（ω）為線黏彈性球面應力波的波數（k（ω）＝ω／c（ω），c（ω）為線黏彈性球面應力波的相速度）。把公式（9）代入公式（8），則有：

式中： Hvr（r，r0，ωi）和φvr（r，r0，ω）分別為粒子速度響應函數的幅頻特性和相頻特性，其表達式可以寫為：

公式（12）中Φ（r，ω）滿足下式：

圖1 標準線性固體模型Fig.1Standard linear solid model

本文中基于標準線性固體模型展開對粒子速度頻率響應函數傳播特征的討論。標準線性固體模型由1個線性彈簧和1個Maxwell體并聯而成，如圖1所示。此模型的復體積模量K～（s）和復剪切模量G～（s）可以寫為：

式中：μ為泊松比，E0和E1分別為線性彈簧和Maxwell體中彈簧的彈性模量，K0和K1分別為對應的體積模量，G0和G1分別為對應的剪切模量，θ1為Maxwell體的松弛因子。令s＝ωi＝2πfi，把公式（14）～ （15）代入公式（9），可以給出衰減因子α（f）和波數k（f）的解析式［20］。由文獻［20］，當f→"時（對應高頻狀態(tài)）：

式中：c"代表高頻體波波速，可以寫為：

當f→0時（對應低頻狀態(tài)）：

式中：c0代表低頻體波波速，可以寫為：

結合公式（11）、（16）～（21），當f→"時，有：

當f→0時，有：

當公式（22）～（23）滿足下式時：

速度響應函數對高頻和低頻的響應相同，通過整理公式（24），有：

定義函數χ（r），有：

如圖2所示，函數χ（r）在r∈ （0，α－"1］區(qū)間內是遞增函數，在r∈ ［α－"1，"）區(qū)間內是遞減函數，在r＝α－"1處取得極大值。存在下述兩種情況：（1）當r0≤α－"1時，在r∈ ［α－"1，"）區(qū)間內存在r1滿足式（25），使得高頻幅頻響應和低頻幅頻響應相同。在r∈［r0，r1］區(qū)間內高頻幅頻響應高于低頻幅頻響應，在r∈（r1，"）區(qū)間內高頻幅頻響應低于低頻幅度響應；（2）當r0＞α－"1時，在r∈ ［r0，"）區(qū)間內當且僅當r1＝r0時滿足公式（25），由此可知在r∈（r0，"）區(qū)間內高頻幅頻響應均低于低頻幅頻響應。

圖2 函數χ（r）隨r的變化Fig.2Functionχ（r）vs.r

以黃土標準線性固體模型參數（如表1中所示）為例，此時α"≈3.55m－1（α－"1≈0.282m）。圖3給出了彈性半徑r0＝0.025m（r0≤α－"1）時粒子速度頻率響應函數隨傳播距離的變化，可以看出，圖3中曲線符合上述第一種情況的描述。當r＞r1＝r0＞α－"1時，其粒子速度頻率響應函數和圖3中r＝2.5m時的曲線類似，高頻幅頻響應均低于低頻幅頻響應，在頻率f0（定義為卓越頻率）處使得幅頻響應取得最大值，頻率f1（定義為上限頻率，高于此頻率的幅頻響應均低于低頻幅頻響應，即信號幅頻響應主要集中在上限頻率以下）處的幅頻響應等于低頻幅頻響應。

圖4給出了彈性半徑r0分別為0.025、0.25、2.5、25和250m時卓越頻率f0和上限頻率f1隨傳播距離的變化。對于特定場地的地下填實爆炸來說，彈性半徑的大小和爆炸當量相關，爆炸當量越大則彈性半徑越大。從圖4中可以看出，f0和f1隨著傳播距離的增加而減小，爆炸當量越大，卓越頻率f0和上限頻率f1越小。為對比近區(qū)和遠區(qū)粒子速度響應函數的頻率特征，表2給出了不同彈性半徑時0.5和1 000km處的卓越頻率f0和上限頻率f1。彈性半徑為0.025～25m時，在接近1 000km傳播距離處，此4條曲線在圖4中基本重合，表2中的數據也證實了這一點，其卓越頻率f0在2.33～2.48Hz之間，上限頻率f1在11.32～11.71Hz之間?？梢钥闯霾煌瑥椥园霃较拢舷揞l率f1的變化率比卓越頻率f0要小。彈性半徑為25m時對應的爆炸當量是彈性半徑為0.025m時爆炸當量的109倍，而在1 000km處粒子速度頻率響應函數的卓越頻率f0和上限頻率f1基本一致，這說明當波的傳播距離據爆心足夠遠時爆炸當量對地震信號的頻譜特性沒有顯著影響。圖4中彈性半徑為250m時的頻率曲線在1 000km處卓越頻率f0為1.19Hz、上限頻率f1為10.09Hz。從變化趨勢上看，若傳播距離繼續(xù)增加，彈性半徑為250m時的頻率曲線會和彈性半徑分別為0.025、0.25、2.5、25m的4條頻率曲線更加接近。

圖3 幅頻響應函數 Hvr（r，r0，2πfi）隨頻率f 的變化Fig.3Amplitude－frequency response function Hvr （r，r0，2πfi）vs.frequencyf

圖4 卓越頻率f0和上限頻率f1隨傳播距離r的變化Fig.4Predominant frequency f0and upper limit frequency f1 varying with propagation distance r

表1 黃土材料標準線性固體模型參數Table 1Parameters of the standard linear solid model for loess

表2 卓越頻率f0和上限頻率f1的變化Table 2Variations of predominant frequency f0and upper limit frequency f1

3 粒子速度波形的演化

前面對不同位置粒子速度的頻率響應函數特征進行了討論，下面就粒子速度的波形演化特征進行數值模擬分析，主要是研究強間斷及粒子速度幅值隨傳播距離的變化規(guī)律。模擬中采用黃土作為示例材料（材料參數如表1所示），彈性半徑取為0.025m，假設空腔邊界的壓力形式為：

式中：σd＋σs為空腔邊界上施加壓力的強間斷幅值，σs為穩(wěn)態(tài)空腔壓力，t0為壓力的延遲時間。取σd＝σs＝1MPa，t0＝21μs。

圖5不同位置的粒子速度波形Fig.5Particle velocity histories at different locations

圖5 給出了0.025～4.775m區(qū)域內不同位置處的粒子速度波形。由公式（18）和表1，可以給出c"＝1 134.3m／s。由于空腔邊界處施加了強間斷壓力邊界條件，在空腔邊界上粒子速度的強間斷幅值vviscor＿sd（r0）可以寫為：

粒子速度強間斷幅值vviscor＿sd（r）可以寫為［19］：

通過圖5可以看出，粒子速度強間斷幅值衰減很快，在圖5（c）中，r≥2.275m處粒子速度強間斷幅值已經幾乎觀察不到了，這主要是高頻波衰減快造成的。在本文中給出的計算區(qū)域內，含有強間斷的粒子速度波形逐漸演化為具有一定上升時間的波形。這里需要指出，即使r≥2.275m處的粒子速度強間斷從視覺上觀察不到，但理論上是存在的。另外，通過圖5還可以看出，當r≥0.775m時，粒子速度強間斷幅值不再是粒子速度波形的峰值，這主要是因為不同位置處粒子速度的幅頻響應函數對不同頻率的波響應不同，這些位置處高頻波的幅頻響應不是整個幅頻響應曲線的峰值。

圖6粒子速度峰值（強間斷幅值）隨傳播距離r變化Fig.6Peak values of particle velocity vs.propagation distance r

圖6 給出了黏彈性黃土介質中粒子速度峰值、強間斷幅值隨傳播距離的變化規(guī)律。作為對比，圖6還給出了理想彈性材料中粒子速度峰值隨傳播距離的變化規(guī)律（理想彈性材料中粒子速度強間斷幅值和粒子速度峰值相等）。從圖6可以看出，黏彈性介質中粒子速度幅值的衰減曲線介于理想彈性介質中粒子速度幅值衰減曲線和黏彈性介質中粒子速度強間斷幅值衰減曲線之間。在近區(qū)，理想彈性材料中粒子速度強間斷幅值衰減曲線（僅有幾何擴散效應）和黏彈性介質中粒子速度峰值（或強間斷幅值）的衰減曲線的偏離程度較小，而隨著波傳播距離的增加，兩者的偏離程度加大。這說明：（1）在近區(qū)，球面波的幾何擴散效應對粒子速度峰值（或強間斷幅值）的衰減起主導作用；（2）在遠區(qū)，介質的黏性對粒子速度峰值（或強間斷幅值）的衰減起主導作用。

4 結 論

基于球面發(fā)散應力波在Laplace域的理論解，得到了不同傳播距離處粒子速度、應力、應變等物理量的傳遞函數，并以標準線性固體模型為例，重點討論了粒子速度的頻率響應函數的傳播特征，給出了卓越頻率和上限頻率隨傳播距離變化的曲線。以彈性半徑為0.025mm的空腔爆炸為例，采用Laplace數值逆變換方法對粒子速度波形的演化進行了模擬?；谏鲜龇治?，得出如下結論：

（1）黏彈性球面波的幅頻響應函數除了和彈性半徑r0及傳播距離r有關之外，還和黏彈性本構引入的本構衰減有關。理想彈性球面波的幅頻響應函數僅和彈性半徑r0及傳播距離r有關；

（2）在線黏彈性條件下，當彈性半徑r0≤α－"1時，隨著球面波傳播距離的增加，粒子速度幅頻響應函數的高頻響應會由高于低頻響應狀態(tài)過渡到低于低頻響應狀態(tài)。當彈性半徑r0＞α－"1時，無論球面波傳播距離如何變化，粒子速度幅頻響應函數的高頻響應永遠低于低頻響應；

（3）黏彈性介質中粒子速度幅值的衰減曲線介于理想彈性介質中粒子速度幅值衰減曲線和黏彈性介質中粒子速度強間斷幅值衰減曲線之間。在近區(qū)，球面波的幾何擴散效應對粒子速度峰值（或強間斷幅值）的衰減起主導作用。在遠區(qū)，介質的黏性對粒子速度峰值（或強間斷幅值）的衰減起主導作用。

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Characteristics of frequency response for linear viscoelastic spherical divergent stress waves

Lu Qiang1，2，Wang Zhanjiang1，Ding Yang1，Liu Xiaoxin1，Guo Zhiyun1，Wu Yujiao1
（1.Northwest Institute of Nuclear Technology，Xi’an 710024，Shaanxi，China；2.State Key Laboratory for Strength and Vibration of Mechanical Structures，School of Aerospace，Xi’an Jiaotong University，Xi’an 710049，Shaanxi，China）

In this study the transfer functions of the mechanical quantities（i.e.the particle velocity，the particle displacement，the stress and the strain，etc.）at different propagation distances were analytically presented based on the solutions of the linear viscoelastic spherical stress wave in the Laplace domain，The propagating characteristics of the frequency response function for the particle velocity were examined with the standard linear solid model taken as an example.The results reveal that the high－frequency response of the frequency response function for the particle velocity in viscoelastic medium is less than that of the low－frequency response with the increase of the propagation distance；in an ideal elastic medium，however，it is always greater than that of the low－frequency response.With the cavity explosion with the elastic radius of 0.025mtaken as an example，the evolution of the wave form of the particle velocity was calculated using the numerical method of the inverse Laplace transform.The results reveal that the attenuation curve of the peak value for the particle velocity in viscoelastic medium falls in between the attenuation curve of the the peak value for the particle velocity in an ideal elastic medium and the attenuation curve of the amplitude of the strong discontinuity for the particle velocity in viscoelastic medium.

spherical stress waves；frequency response；Laplace inversion transform

O347.4 國標學科代碼：13015

A

10.11883／1001－1455（2017）06－1023－08

2016－04－21；

2017－01－07

國家自然科學基金項目（11172244）

盧 強（1984— ），男，博士研究生；通信作者：王占江，wangzhanjiang＠nint.ac.cn。

（責任編輯 曾月蓉）