(江西理工大學(xué) 信息工程學(xué)院，江西 贛州341000)

適用于大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的低復(fù)雜度RZF-SOR預(yù)編碼算法*

朱慶浩**，宋志鵬，吳君欽

(江西理工大學(xué) 信息工程學(xué)院，江西 贛州341000)

在大規(guī)模多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)中，為了降低傳統(tǒng)預(yù)編碼算法的復(fù)雜度，在原有正則化迫零(RZF)預(yù)編碼算法的基礎(chǔ)上，提出用超松馳迭代(SOR)法代替矩陣求逆的高復(fù)雜度運(yùn)算，得到一種改進(jìn)算法RZF-SOR，并應(yīng)用隨機(jī)矩陣原理得出其最優(yōu)相關(guān)參數(shù)的近似表達(dá)式和取值的必要條件。實(shí)驗(yàn)仿真表明，提出的RZF-SOR預(yù)編碼算法與RZF預(yù)編碼相比有效地降低了一個(gè)數(shù)量級(jí)的復(fù)雜度，在很小的迭代次數(shù)下達(dá)到接近于RZF預(yù)編碼的誤碼率性能，并且優(yōu)于基于Neumann級(jí)數(shù)預(yù)編碼算法的誤碼率性能。

大規(guī)模MIMO； 低復(fù)雜度預(yù)編碼;超松馳迭代；正則化迫零

1 引 言

4G無(wú)線通信系統(tǒng)遠(yuǎn)無(wú)法達(dá)到5G所預(yù)測(cè)的1 000倍數(shù)據(jù)流量增加，這就需要我們探索新的具有更寬帶寬的譜帶和更高頻譜效率的先進(jìn)物理技術(shù)[1-2]。為此,多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output，MIMO)技術(shù)吸引了學(xué)術(shù)和工業(yè)界的研究興趣。目前，MIMO技術(shù)已成功地應(yīng)用于一系列的通信技術(shù)上，如LTE-HI[3]、WLAN等。與小規(guī)模MIMO系統(tǒng)不同，大規(guī)模MIMO系統(tǒng)因基站上裝備了數(shù)以百計(jì)的天線來(lái)服務(wù)用戶，使其更能滿足日益增長(zhǎng)的高數(shù)據(jù)速率的要求。大規(guī)模MIMO系統(tǒng)因具有許多有吸引力的特性，包括大容量的優(yōu)勢(shì)、提高鏈路可靠性、更好的改善頻譜效率和能源效率[4]，使其成為了5G無(wú)線通信系統(tǒng)中公認(rèn)的關(guān)鍵技術(shù)之一[5]。

然而，大規(guī)模MIMO系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用中還有一些需要解決的難題，例如信道估計(jì)、硬件缺陷、包括預(yù)編碼和解碼在內(nèi)的低復(fù)雜度信號(hào)處理。在預(yù)編碼技術(shù)中，如何降低預(yù)編碼的復(fù)雜度、保證算法的性能成為了如今亟待解決的一道難題。預(yù)編碼技術(shù)分為線性預(yù)編碼和非線性預(yù)編碼。在下行多用戶MMO系統(tǒng)中，非線性預(yù)編碼技術(shù)可以很好地逼近理論的多天線信道容量限。然而，在大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，線性預(yù)編碼比非線性預(yù)編碼更加適用，即使簡(jiǎn)單的線性預(yù)編碼也有比非線性預(yù)編碼具有更好的性能[6]。但是，常見(jiàn)的線性預(yù)編碼如迫零(ZF)預(yù)編碼、正則化迫零(RZF)預(yù)編碼、最小均方誤差(MMSE)預(yù)編碼算法[7]都涉及到大尺寸的矩陣求逆運(yùn)算，這大大增加了整體的復(fù)雜度。而且大規(guī)模MIMO中隨著信道維度的增加，矩陣求逆的復(fù)雜度也會(huì)愈發(fā)增長(zhǎng)。為了降低復(fù)雜度，文獻(xiàn)[8]提出了一種截取矩陣多項(xiàng)式擴(kuò)展(Truncated Polynomial Expansion,TPE)預(yù)編碼算法(以下簡(jiǎn)稱TPE預(yù)編碼)，用截取矩陣多項(xiàng)式擴(kuò)展運(yùn)算代替矩陣求逆運(yùn)算。最近，一種基于Neumann級(jí)數(shù)的預(yù)編碼算法在文獻(xiàn)[9]中提出(以下簡(jiǎn)稱Neumann預(yù)編碼)，將矩陣求逆換成矩陣向量的疊加。此外，文獻(xiàn)[10]中也提出了一種基于Gauss-Seidel迭代算法的線性預(yù)編碼(以下簡(jiǎn)稱G-S預(yù)編碼)，通過(guò)用迭代的算法來(lái)重構(gòu)源信號(hào)，使得整體的復(fù)雜度減少。

本文在RZF預(yù)編碼算法的基礎(chǔ)上提出了一種RZF-SOR預(yù)編碼算法，通過(guò)超松弛迭代(Successive Over Relaxation,SOR)算法代替復(fù)雜的矩陣求逆運(yùn)算來(lái)減少RZF預(yù)編碼的復(fù)雜度。分析顯示，其整體復(fù)雜度也會(huì)減少一個(gè)數(shù)量級(jí)。此外，還分析得到了最優(yōu)松弛因子的解以及必要條件，提供了RZF-SOR預(yù)編碼與G-S預(yù)編碼的收斂速率的大小，對(duì)比了RZF-SOR預(yù)編碼與Neumann預(yù)編碼的復(fù)雜度。

2 系統(tǒng)模型

如圖1所示，本文討論的是經(jīng)典大規(guī)模MIMO系統(tǒng)，在單小區(qū)多用戶中，基站裝備了M根天線且提供給K個(gè)單天線用戶。在大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，通常天線數(shù)比用戶數(shù)大的多，即M>>K。用表示復(fù)數(shù)的集合，那么第K個(gè)用戶接收到的信號(hào)矢量y∈K×1的表達(dá)式為

(1)

式中：ρ為下行傳輸功率；H∈K×M為平坦衰落的瑞利信道矩陣，且整體服從均值為0、方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；x∈M×1是傳輸信號(hào)矢量；n∈K×1為高斯白噪聲矢量，其整體服從正態(tài)分布N(0,σ2I)。當(dāng)使用線性預(yù)編碼算法來(lái)處理x時(shí)有

x=Ws。

(2)

式中：W∈M×K為線性預(yù)編碼矩陣，s∈K×1為發(fā)射源信號(hào)。

圖1 大規(guī)模MIMO系統(tǒng)模型Fig.1 The massive MIMO system model

3 線性預(yù)編碼和分析

3.1 RZF預(yù)編碼算法

根據(jù)文獻(xiàn)[7]，總傳輸功率約束

(3)

式中：tr(·)是一個(gè)跡函數(shù)，求矩陣的跡即對(duì)角線元素之和;P是基站可以發(fā)送信號(hào)的總功率。RZF的預(yù)編碼矩陣為

WRZF=βHH(HHH+ξIK)-1=βHHG-1，

(4)

G=HHH+ξIK。

(5)

式中：β是功率歸一化因子，其作用是使式(4)滿足式(3)中的功率約束；標(biāo)量ξ是正則化系數(shù)，其值與發(fā)射總功率、噪聲功率和系統(tǒng)維數(shù)有關(guān)；IK是單位矩陣。從式(4)可以看出，RZF預(yù)編碼涉及到計(jì)算矩陣求逆的高復(fù)雜度運(yùn)算，其復(fù)雜度隨著系統(tǒng)復(fù)雜度的擴(kuò)大而急劇增加。

3.2 RZF-SOR線性預(yù)編碼

將式(2)和式(4)綜合起來(lái)，就可以將x重新寫(xiě)成

x=βHHG-1s。

(6)

對(duì)于一個(gè)任意的K×1非零向量q有qHHHHq=qHH(qHH)H。在平坦衰落的瑞利信道中，信道矩陣H是滿秩矩陣，那么就有qHH≠0,qHH(qHH)H>0，即HHH是正定矩陣。此外，(HHH)H=HHH,所以HHH是Hermitian 正定矩陣。式(5)中兩者之和實(shí)質(zhì)上是矩陣HHH對(duì)角線上的元素?cái)?shù)值增加ξ，其余元素值不變，故G仍是Hermitian 正定矩陣，所以可以將G分解為

G=D+L+LH。

(7)

式中：D、L、LH分別代表G的對(duì)角線成分、嚴(yán)格下三角成分、嚴(yán)格上三角成分。因?yàn)镚是Hermitian 正定矩陣，所以其上三角成分等于下三角成分的共軛轉(zhuǎn)置，即可以用LH來(lái)代替上三角部分。

當(dāng)我們用SOR迭代算法[11]來(lái)求解等式Ax=b,x=A-1b的解時(shí)有

(8)

式中：上標(biāo)i為迭代的次數(shù)，ω是松弛因子且ω>0。將上式化簡(jiǎn)為

(9)

(10)

(11)

3.3 相關(guān)系數(shù)分析

用SOR迭代法的目的之一在于獲得較高的收斂速率，松弛因子ω的選擇至關(guān)重要。如果矩陣G在快時(shí)變信道中變化迅速，計(jì)算出最優(yōu)松弛因子ωopt是十分必要的。根據(jù)文獻(xiàn)[12]，RZF-SOR最優(yōu)松弛因子ωopt為

(12)

式中：u=ρ(BJ)=ρ[D-1(L+LH)]<1，ρ[·]是一個(gè)矩陣的譜半徑，BJ是Jacobi法迭代矩陣。求出u的值就可以得到最優(yōu)松弛因子。根據(jù)式(7)，有

ρ[D-1(L+LH)]=ρ[D-1(G-D)]=

ρ[D-1G-I]=

ρ[D-1G]-1 。

(13)

(14)

此外，文獻(xiàn)[13]中根據(jù)隨機(jī)矩陣原理，可以將矩陣G的譜半徑近似地表達(dá)為

(15)

在矩陣譜半徑分析中有M>>ξ,因此式(15)中第二部分ξ可以省略。結(jié)合式(14)和式(15)可以得出

(16)

從式(12)和式(16)中可知，近似最優(yōu)松弛因子ωopt的值只和基站天線數(shù)M和用戶數(shù)K有關(guān)。而且由u<1得

(17)

天線數(shù)M與用戶數(shù)K必須滿足式(17)時(shí)才有最優(yōu)松弛因子。

3.4 收斂速率分析

本節(jié)比較RZF-SOR預(yù)編碼和G-S預(yù)編碼的收斂速率。當(dāng)最優(yōu)松弛因子ωopt確定后，RZF-SOR預(yù)編碼的迭代矩陣Gω的譜半徑[12]為

(18)

由式(12)可知，ωopt>1，當(dāng)ω=1時(shí)為G-S法迭代矩陣譜半徑，此時(shí)，ρ(GG-S)=u2，那么G-S迭代的收斂速率為

R(GG-S)=-ln(ρ(GG-S))=-2lnu。

(19)

當(dāng)ω=ωopt時(shí)，SOR迭代矩陣譜半徑為ρ(Gωopt)=ωopt-1。SOR迭代的收斂速率為

R(Gωopt)=-ln(ρ(Gωopt))=-ln(ωopt-1) 。

(20)

比較式(18)和式(19)的大小得

(21)

如此，我們可以得出結(jié)論：RZF-SOR預(yù)編碼的收斂速率大于G-S預(yù)編碼。

3.5 復(fù)雜度分析

本節(jié)對(duì)提出的RZF-SOR預(yù)編碼算法的復(fù)雜度進(jìn)行分析。因?yàn)槌朔ㄟ\(yùn)算量比加法運(yùn)算量要大得多，因此主要計(jì)算乘法運(yùn)算的次數(shù)來(lái)作為算法的復(fù)雜度。首先將式(9)改寫(xiě)為

(22)

表1比較了Neumann預(yù)編碼與RZF-SOR預(yù)編碼的復(fù)雜度。下面我們用ο(·)表示預(yù)編碼算法的復(fù)雜度的數(shù)量級(jí)。傳統(tǒng)RZF預(yù)編碼的復(fù)雜度是ο(K3)。從表中能得出Neumann預(yù)編碼在迭代次數(shù)i=2時(shí)復(fù)雜度由ο(K3)減少到ο(K2)，但當(dāng)i≥3時(shí)復(fù)雜度仍是ο(K3)；而RZF-SOR預(yù)編碼的復(fù)雜度是ο(K2)，這就表示RZF-SOR預(yù)編碼相較RZF預(yù)編碼復(fù)雜度降低了一個(gè)數(shù)量級(jí)。

表1 預(yù)編碼算法的復(fù)雜度對(duì)比Tab.1 Complexity comparison between precoding algorithms

此外，在相同的迭代次數(shù)下，Neumann預(yù)編碼和RZF-SOR預(yù)編碼兩者的復(fù)雜度的差別只與用戶數(shù)K有關(guān)，與天線數(shù)M無(wú)關(guān)。兩種預(yù)編碼都是運(yùn)用其他的運(yùn)算代替了高復(fù)雜度的矩陣求逆運(yùn)算。在相同的大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，其復(fù)雜度之差和用戶數(shù)K有直接關(guān)系。

由此，我們可以得出結(jié)論：在大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，基站的天線數(shù)M是巨大的，遠(yuǎn)大于迭代次數(shù)i，RZF-SOR預(yù)編碼的復(fù)雜度小于Neumann預(yù)編碼，更是遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于RZF預(yù)編碼。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證復(fù)雜度分析的結(jié)果，當(dāng)基站處天線數(shù)與用戶數(shù)的比值K/M=0.1時(shí)，對(duì)RZF、RZF-SOR和Neumann的復(fù)雜度進(jìn)行仿真分析。隨著天線數(shù)的不斷增加，各預(yù)編碼算法的復(fù)雜度變化如圖2所示。從圖中可以清晰看出RZF預(yù)編碼的復(fù)雜度是最高的，Neumann預(yù)編碼次之。RZF-SOR預(yù)編碼的復(fù)雜度隨著迭代次數(shù)i的增加而增加，但其數(shù)值也是遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于相同天線數(shù)的RZF預(yù)編碼的。同時(shí)，從圖中也可以看出3種預(yù)編碼算法的復(fù)雜度的差距也會(huì)隨著用戶數(shù)的增加而加大，從而驗(yàn)證了上文分析的結(jié)論。RZF-SOR的復(fù)雜度小于Neumann和RZF。

圖2 三種預(yù)編碼算法復(fù)雜度的對(duì)比Fig.2 Complexity comparison among three precoding algorithms

為了更好地評(píng)估提出的RZF-SOR預(yù)編碼算法的性能，我們比較了RZF、RZF-SOR、G-S和Neumann預(yù)編碼的誤碼率(BER)性能。在仿真中，我們采用了兩種大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的配置分別是M×K=128×16和M×K=256×16，調(diào)制方法為64QAM，下行信道模型為平坦衰落的瑞利信道。

圖3展示的是M×K=128×16的系統(tǒng)配置時(shí)，4種預(yù)編碼算法的BER性能比較，其中i代表迭代次數(shù)。從圖中我們可以看出，當(dāng)相同迭代次數(shù)時(shí)，RZF-SOR預(yù)編碼的BER性能是優(yōu)于Neumann預(yù)編碼的,而且這種優(yōu)勢(shì)隨著迭代次數(shù)的增加在增大。而RZF-SOR預(yù)編碼與G-S預(yù)編碼的BER性能幾乎相同。此外，在大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，3種預(yù)編碼算法在低SNR時(shí)BER性能相差不大，但是在高SNR時(shí)，RZF-SOR預(yù)編碼隨著迭代次數(shù)i的增加，其BER性能改善得十分迅速。例如：SNR=26 dB、i=2時(shí)的RZF-SOR預(yù)編碼與RZF預(yù)編碼的BER性能相差約25 dB，但是i=3時(shí)兩者相差10 dB，i=4時(shí)兩者基本相同。這就表示RZF-SOR預(yù)編碼僅用小的迭代次數(shù)就能達(dá)到接近最優(yōu)的性能，而其復(fù)雜度比RZF預(yù)編碼的少了一個(gè)數(shù)量級(jí)。

圖3 M×K=128×16大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的預(yù)編碼BER性能比較Fig.3 Precoding BER performance comparison for the 128 × 16 massive MIMO system

SOR迭代法是在G-S迭代法基礎(chǔ)上提高收斂速率提出來(lái)的，但是在誤碼率性能上兩者十分相近。如圖3所示，代表RZF-SOR預(yù)編碼的紅色實(shí)線和代表G-S預(yù)編碼的黑色實(shí)線幾乎重合，所以在下面的仿真實(shí)驗(yàn)中不考慮G-S預(yù)編碼的BER性能。

圖4展示的是M×K=256×16的系統(tǒng)配置下3種預(yù)編碼算法的BER性能比較。對(duì)比圖3和圖4可知，RZF-SOR預(yù)編碼的BER性能曲線與RZF預(yù)編碼的BER性能曲線極為接近。隨著天線數(shù)的增加，在圖4中兩者幾乎重合而且3種預(yù)編碼的BER性能都在變得更好，RZF-SOR預(yù)編碼的BER性能仍優(yōu)于Neumann預(yù)編碼。在高信噪比下，比如SNR=26 dB時(shí)，兩者BER性能相差隨著迭代次數(shù)增加依次為10 dB、15 dB、17 dB。當(dāng)i=4時(shí)，RZF-SOR預(yù)編碼與RZF預(yù)編碼BER性能曲線幾乎完全重合。

圖4 M×K=256×16大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的預(yù)編碼BER性能比較Fig.4 Precoding BER performance comparison for the 256 × 16 massive MIMO system

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種在RZF預(yù)編碼的基礎(chǔ)上改進(jìn)的迭代預(yù)編碼算法RZF-SOR，用SOR迭代法代替矩陣求逆的高復(fù)雜度運(yùn)算來(lái)降低預(yù)編碼算法的復(fù)雜度，還給出了RZF-SOR預(yù)編碼的最優(yōu)松弛因子的表達(dá)式以及其取值的必要條件，分析了RZF-SOR預(yù)編碼和Neumann預(yù)編碼的復(fù)雜度，證明了RZF-SOR預(yù)編碼的收斂速率是大于G-S預(yù)編碼的。仿真結(jié)果顯示，RZF-SOR預(yù)編碼的BER性能優(yōu)于Neumann預(yù)編碼，能用很小的迭代次數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)與RZF預(yù)編碼幾乎相同的BER性能，并降低了一個(gè)數(shù)量級(jí)復(fù)雜度。在大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，當(dāng)天線數(shù)量更加巨大達(dá)到上萬(wàn)時(shí)，預(yù)編碼算法的復(fù)雜度也會(huì)急劇增加，那么應(yīng)研究更加優(yōu)秀的低復(fù)雜度高性能的預(yù)編碼算法。

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ALow-complexityRZF-SORPrecodingAlgorithmforMassiveMIMOSystems

ZHU Qinghao，SONG Zhipeng，WU Junqin

(Information Engineering Institute,Jiangxi University of Science and Technology,Ganzhou 341000,China)

In order to reduce the complexity of traditional precoding algorithm in massive multiple-input multiple-output(MIMO) systems,an improved algorithm called Regularized Zero Forcing- Successive Over Relaxation(RZF-SOR) algorithm is proposed based on the original RZF precoding algorithm,which uses the SOR iterative method instead of the matrix inversion. The approximate expression and the necessary condition of the optimal correlation parameter are obtained by using the stochastic matrix principle. Experimental results show that the proposed RZF-SOR precoding algorithm effectively reduces an order of magnitude complexity compared with RZF precoding,achieves bit error rate(BER) performance close to RZF precoding at very small iterations and is superior to Neumann Series based precoding algorithm.

massive MIMO;low-complexity precoding;successive over relaxation(SOR);regularized zero forcing(RZF)

10.3969/j.issn.1001-893x.2017.12.014

朱慶浩，宋志鵬，吳君欽.適用于大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的低復(fù)雜度RZF-SOR預(yù)編碼算法[J].電訊技術(shù)，2017,57(12):1427-1432.[ZHU Qinghao，SONG Zhipeng，WU Junqin.A low-complexity RZF-SOR precoding algorithm for massive MIMO systems[J].Telecommunication Engineering,2017,57(12):1427-1432.]

2017-04-06；

2017-07-04

date:2017-04-06；Revised date：2017-07-04

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61501210)

302842908@qq.comCorrespondingauthor302842908@qq.com

TN919

A

1001-893X(2017)12-1427-06

朱慶浩(1992—)，男，河南新鄉(xiāng)人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)榇笠?guī)模 MIMO;

Email:302842908@qq.com

宋志鵬(1995—)，男，江西萍鄉(xiāng)人，江西理工大學(xué)通信工程專業(yè)本科生；

吳君欽(1966—)，男，江西贛州人，教授、碩士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)闊o(wú)線通信。