陳雷，鄭德忠，王忠東

（1.東北石油大學秦皇島分校，河北 秦皇島 066004；2.燕山大學 電氣工程學院 河北省測試計量技術(shù)及儀器重點實驗室，河北 秦皇島 066004）

0 引 言

隨著信息技術(shù)的高速發(fā)展和人們對電能信息需求量的增加，需要不間斷地對電網(wǎng)電能信號進行采集，以便進行相關(guān)的參數(shù)檢測和數(shù)據(jù)分析。

為了降低存儲和傳輸成本，必須對電能數(shù)據(jù)進行壓縮處理。為此，很多學者提出了針對電能信號的壓縮和解壓縮方法［1-5］，這些壓縮方法都是在Nyquist采樣定理的基礎(chǔ)上先進行高速采樣，然后再做壓縮處理，在壓縮過程中丟棄了大量已采集的非重要數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)之所以可以丟棄，是因為其并不包含原始數(shù)據(jù)的關(guān)鍵信息，是冗余的。因此，這些數(shù)據(jù)壓縮方法雖然取得了較好的壓縮效果，但前期的采樣和存儲過程卻消耗了大量的采樣和存儲資源。

近幾年提出的壓縮感知（Compressed Sensing，CS）理論指出，如果信號本身是稀疏的或可壓縮的，或者在某種變換域下是稀疏的或可壓縮的，則可以利用一種與變換域不相關(guān)的測量矩陣，將高維信號投影到低維空間上，實現(xiàn)壓縮采樣。同時，由于這種在低維空間上的投影包含了重構(gòu)原始高維信號所需要的關(guān)鍵信息，因此可以用非線性優(yōu)化算法從低維空間上以高概率精確恢復原始信號［6-7］?？梢娭灰苷业诫娔苄盘柕暮线m的稀疏表示空間，即可利用壓縮感知理論，直接將信號采樣為壓縮形式，進而完成精確恢復。本文將壓縮感知重構(gòu)算法應(yīng)用于含有諧波和間諧波電力信號的壓縮感知重構(gòu)，研究其可行性和有效性。

1 電力信號的壓縮感知問題

壓縮感知是一種與變換編碼密切相關(guān)的采樣方法，可廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代通信系統(tǒng)和大規(guī)模數(shù)據(jù)采集。變換編碼把高維空間的信號轉(zhuǎn)換到低維空間，通常，信號的變換基需要根據(jù)信號的特點來選取，常用的變換編碼方法主要有：離散余弦變換（DCT）、離散傅里葉變換（DFT）、離散小波變換、Curvelet變換、Gabor變換以及冗余字典等［8］。

信號的稀疏表示是應(yīng)用壓縮感知理論的先決條件。當信號f∈RN在N維變換基上可以用K?N個大系數(shù)表達，即f在變換基下可壓縮或K稀疏時，則說明可以成功進行變換編碼。電力信號本身在時域上并不稀疏，而是在某種變換域Ψ∈R N×N或者字典上是稀疏或可壓縮的，下面考慮一種通用的非適應(yīng)線性測量過程：

這里Ф∈R M×N（M?N）為壓縮感知測量矩陣，與f不相干，Θ=ΦΨ，x∈RN是K稀疏的，u∈R M為f在Ф上的線性投影，即壓縮采樣矢量值，這個過程將壓縮和采樣同時實現(xiàn)，大幅度降低了采樣和存儲成本。在這個框架內(nèi)，從隨機投影中求解x是一個病態(tài)問題，但如果投影基Ф與信號有稀疏表達的基Ψ不相關(guān)，則在稀疏先驗的前提下，可以僅使用M?N個投影解碼K稀疏的離散時域信號x，進而根據(jù)f=Ψx，恢復原始信號f。

2 電力信號的壓縮感知重構(gòu)算法

目前，壓縮感知理論主要是針對特定應(yīng)用，設(shè)計測量矩陣和低復雜度、易用的重構(gòu)算法，而重構(gòu)算法是求解一個非線性優(yōu)化問題的過程，其目的是配合測量矩陣盡可能減少測量數(shù)據(jù)，且計算速度快、具有普適性以及能夠解決大尺度問題。

目前的CS重構(gòu)算法主要分為以下幾大類。第一類是凸優(yōu)化算法，即使用線性規(guī)劃方法的l1范數(shù)優(yōu)化問題，主要有基追蹤法、梯度投影法、內(nèi)點法、迭代閾值法、迭代重加權(quán)最小二乘（IRLS）法等［9］。該類算法是求解全局最優(yōu)解，所以算法具有很高的精度和穩(wěn)定性，且需要的測量值相對更少；但計算復雜度很高，速度慢。第二類是求取次最優(yōu)解的基于貪婪迭代匹配追蹤的系列算法，該類算法是通過逐步選取對壓縮測量值產(chǎn)生最大影響的列向量來實現(xiàn)對原始信號的最優(yōu)估計，由于其低復雜度和簡單的幾何解釋，引起了極大關(guān)注。目前主要有：MP、OMP、StOMP、SP、CoSaMP、SAMP等［10-11］。除了以上兩大類算法外，還有以稀疏貝葉斯為代表的統(tǒng)計優(yōu)化算法和組合算法等。

Donoho和Tanner計算了高斯測量時精確重構(gòu)的閾值，并指出對于任何稀疏度K和信號尺寸N的信號，恢復該信號所需要的測量數(shù)量M可以精確地確定［12］。下面將采用隨機高斯測量矩陣，對幾種典型重構(gòu)算法進行分析。

2.1 IRLS算法

基于線性規(guī)劃的l1范數(shù)優(yōu)化重構(gòu)算法在很多情況下可以用更少的測量值實現(xiàn)精確重構(gòu)。特別的，用lp（0＜p＜1）范數(shù)代替l1范數(shù)，這里：

文獻［11］在隨機和非隨機傅里葉測量下，通過實驗證明，在0＜p＜1時，比p=1時的精確重構(gòu)需要更少的測量。且對于越小的p，式（2）精確恢復信號所需的充分條件越弱［13］。

IRLS是對最小二乘法的改進，其基本思想是以一個加權(quán)l(xiāng)2范數(shù)代替式（2）中的lp目標函數(shù)：

并采用迭代過程求解一系列加權(quán)最小二乘問題，在每一步迭代中按照一定規(guī)則對權(quán)系數(shù)進行調(diào)整，使其逐步逼近最優(yōu)。其步驟是計算x，然后用x計算出權(quán)重，這兩步依次迭代。

這里Q t為對角矩陣，對角項為1/wi。由于在0＜p＜1時，有p-2＜0，因此權(quán)wi在時沒有定義。處理這個問題的通用的方法是加入一很小的ε＞0來規(guī)則化最優(yōu)問題，即：

在式（5）中使用相對大的ε，然后在收斂后重復減小ε的過程，并重復迭代式（4），這樣可以極大改善IRLS恢復稀疏信號的能力，使得用更少的測量值，或者對不夠稀疏的信號進行精確恢復成為可能。這種ε規(guī)則化方法在文獻［14］中得到有效的使用。

IRLS算法的計算過程如下：

2.2 需要稀疏度估計的OMP和SP算法

OMP與MP算法都是在每次迭代中擴展一個支撐，但OMP算法通過引入Gram-Schmidt正交化，來保證結(jié)果的最優(yōu)，克服了MP算法的次最優(yōu)性，減少了迭代次數(shù)，提高了算法的效率。

傳統(tǒng)OMP算法的停止標準是運行K步后才停止。實驗表明，精確運行K步并不是最好的選擇，并且在實踐中很難精確指定K的大?。换谟^測向量殘差能量的終止迭代，符合精確表達觀測向量的目的，可以改善OMP類重構(gòu)算法的性能。使用基于殘差的停止迭代條件，OMP的恢復結(jié)果在某些情況下接近甚至超過BP類算法。因此本文對于OMP類算法，使用‖r‖2≤ε‖u‖2作為停止迭代條件，ε為一個很小的常數(shù)。OMP算法的步驟如下：

OMP算法中待選原子（Θ的列向量稱為原子）一旦進入支撐候選中，則不再被刪除，則錯誤的入選原子會影響重構(gòu)精度。如果在當前迭代的步驟中，對入選原子做進一步篩選，若仍然滿足當次最優(yōu)則保留，否則剔除作為下次待選。這種回溯的方法可以最大程度保證重建的全局最優(yōu)性，SP算法針對OMP中原子選擇機制的缺點，引入了“回溯”的思想，其算法步驟如下：

可見，SP算法在每次迭代中，選擇多個原子，通過執(zhí)行刪除步驟進行回退篩選，從而允許在支撐估計中添加和刪除錯選的非零索引，整個迭代一直保留著長度為K的支撐估計集，在K估計準確的情況下，通過幾次迭代，即可以很小的誤差得到稀疏解。

實驗表明SP算法在稀疏度估計準確的情況下運行速度和恢復性能均優(yōu)于OMP，但若K估計值不準確，則其與實際值相差越大，其性能越差。

2.3 稀疏度自適應(yīng)的SAMP算法

大多數(shù)自然信號在稀疏變換后都僅是可壓縮的，而不是嚴格稀疏。這些信號的稀疏度K并不能明確的定義。而稀疏自適應(yīng)匹配追蹤（SAMP）可以不需要稀疏度先驗信息即可重構(gòu)信號，這使得該算法在實際應(yīng)用中很有優(yōu)勢。而且在理論上，SAMP在精確恢復和穩(wěn)定性上也具有嚴密的理論保障［9］。

SP算法可以更精確識別真正的支撐集，歸因于它的回溯思想，而OMP方法提供了一種通過逐步向前的方法估計K值的可能解決方案，SAMP吸收了兩種方法的優(yōu)點。同時SAMP采用了與StOMP類似的分段階梯方法逐步擴張支撐集，而且SAMP的候選集和最終集是自適應(yīng)的，這些關(guān)鍵的創(chuàng)新使SAMP能夠在沒有預(yù)先知道K值的情況下進行盲恢復，用其重構(gòu)稀疏度未知的電力系統(tǒng)信號更具可行性。其算法步驟如下：

3 仿真實驗與分析

3.1 重構(gòu)算法的性能指標

采用相對均方根誤差（RRMSE）和重構(gòu)信噪比（SNR）衡量各種算法對一維信號的重構(gòu)性能。設(shè)f0為不含噪聲的原始信號，f為重構(gòu)信號，信號長度為N，壓縮采樣數(shù)量為M，||·||2表示2范數(shù)。計算公式如下：

在本次研究中，重新建立微生物限度檢查法，使用添加適量慶大霉素的SDA，抑制了非目的菌的生長，體現(xiàn)產(chǎn)品霉菌和酵母菌的真實污染狀況，避免假陽性結(jié)果，挽回了損失。

3.2 仿真分析

研究不同的M下，算法的精確重構(gòu)概率，對每個M，實驗100次，每次隨機產(chǎn)生新的Ф。為兼顧重構(gòu)概率與運算速度，SAMP算法中的步長取2。首先將以上各種算法對本身嚴格稀疏的高斯分布信號的重構(gòu)進行比較；然后對含有諧波和間諧波電能信號的壓縮重構(gòu)性能進行比較，這里采用傅里葉稀疏變換基和與其具有極大不相關(guān)性的獨立同分布的高斯隨機矩陣作為測量矩陣Ф。

3.2.1 高斯稀疏信號的重構(gòu)

用以上四種算法對服從均值為0、方差為1的高斯分布的一維稀疏信號進行重構(gòu)，取N=256，K=20，得到重構(gòu)概率曲線如圖1所示。在M=80時，四種算法的運行時間比約為：

IRLS：SAMP：OMP：SP=100：10：1：1。

圖1 精確重構(gòu)概率比較Fig.1 Comparison of the exact reconstruction rate

可見，IRLS算法可以用更少的測量值實現(xiàn)高概率重構(gòu)，但運行時間過長，且進一步實驗表明，IRLS的運行時間隨著N的增大呈指數(shù)增加。對0-1稀疏信號和均勻分布稀疏信號的重構(gòu)實驗，也表現(xiàn)出了與重構(gòu)高斯稀疏信號相似的性能。

3.2.2 含有諧波/間諧波電力信號的重構(gòu)

譜分析知，其傅里葉正交基下的實際頻域稀疏度為12，這里取稀疏度估計分別為K=12和K=20，進行仿真實驗。得到圖2和圖3所示的重構(gòu)概率曲線。

圖2 K=12時的精確重構(gòu)概率Fig.2 Frequency of exact reconstruction when K=12

圖3 K=20時的精確重構(gòu)概率Fig.3 Frequency of exact reconstruction when K=20

進一步實驗得到，在M=100時，四種算法的運行時間比約為：IRLS：SAMP：OMP：SP=1 000：4：2：1。

可見，如果信號在變換基下稀疏，SAMP可以在稀疏度未知的情況下實現(xiàn)相對更好的重構(gòu)性能，SP算法雖然速度最快，但恢復性能隨著稀疏度估計值與實際值偏差的增大而下降。

同樣，IRLS算法的運行速度很慢，使其應(yīng)用受到限制。因此對于電力信號的重構(gòu)，在無法準確估計稀疏度時，SAMP在合適的稀疏變換基下，可以用更少的測量值以更高概率精確恢復原始電能信號。圖4給出了M=50時，SAMP算法對（8）的重構(gòu)結(jié)果，為便于波形對比，圖中只給出了前200點的波形。可見，對于傅里葉正交基下稀疏，但稀疏度未知的含有諧波和間諧波的電力信號，SAMP算法可以從50個采樣值精確重構(gòu)長度N=1 000的信號。

圖4 SAMP算法的重構(gòu)結(jié)果Fig.4 Reconstruction result of SAMP algorithm

4 結(jié)束語

壓縮感知作為一種全新的信號獲取方法，目前的研究主要包括壓縮采樣測量矩陣的構(gòu)造及其硬件實現(xiàn)、重構(gòu)算法的設(shè)計兩大方面。本文對壓縮感知理論應(yīng)用于電力信號壓縮采樣與重構(gòu)的可行性進行了研究，針對一維信號的壓縮感知重構(gòu)問題，對典型的基于線性規(guī)劃的l1范數(shù)優(yōu)化重構(gòu)算法IRLS、需要稀疏度估計的 OMP和 SP、具有稀疏度自適應(yīng)的SAMP四種算法的重構(gòu)性能進行了對比分析，并對一維稀疏信號和變換基下稀疏的電力信號進行了大量重構(gòu)實驗，理論分析和實驗結(jié)果表明，如果選擇合適的稀疏變換，在稀疏度未知的情況下，SAMP算法可以用更少的采樣測量值和較少的時間實現(xiàn)對含有諧波和間諧波電力信號的高概率精確重構(gòu)。但壓縮采樣的硬件實現(xiàn)還不夠成熟，尚處于起步階段，仍需作深入研究。