陳雷，鄭德忠，王忠東

（1.東北石油大學秦皇島分校，河北 秦皇島 066004；2.燕山大學 電氣工程學院 河北省測試計量技術及儀器重點實驗室，河北 秦皇島 066004）

0 引 言

隨著信息技術的高速發(fā)展和人們對電能信息需求量的增加，需要不間斷地對電網電能信號進行采集，以便進行相關的參數(shù)檢測和數(shù)據(jù)分析。

為了降低存儲和傳輸成本，必須對電能數(shù)據(jù)進行壓縮處理。為此，很多學者提出了針對電能信號的壓縮和解壓縮方法［1-5］，這些壓縮方法都是在Nyquist采樣定理的基礎上先進行高速采樣，然后再做壓縮處理，在壓縮過程中丟棄了大量已采集的非重要數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)之所以可以丟棄，是因為其并不包含原始數(shù)據(jù)的關鍵信息，是冗余的。因此，這些數(shù)據(jù)壓縮方法雖然取得了較好的壓縮效果，但前期的采樣和存儲過程卻消耗了大量的采樣和存儲資源。

近幾年提出的壓縮感知（Compressed Sensing，CS）理論指出，如果信號本身是稀疏的或可壓縮的，或者在某種變換域下是稀疏的或可壓縮的，則可以利用一種與變換域不相關的測量矩陣，將高維信號投影到低維空間上，實現(xiàn)壓縮采樣。同時，由于這種在低維空間上的投影包含了重構原始高維信號所需要的關鍵信息，因此可以用非線性優(yōu)化算法從低維空間上以高概率精確恢復原始信號［6-7］。可見只要能找到電能信號的合適的稀疏表示空間，即可利用壓縮感知理論，直接將信號采樣為壓縮形式，進而完成精確恢復。本文將壓縮感知重構算法應用于含有諧波和間諧波電力信號的壓縮感知重構，研究其可行性和有效性。

1 電力信號的壓縮感知問題

壓縮感知是一種與變換編碼密切相關的采樣方法，可廣泛應用于現(xiàn)代通信系統(tǒng)和大規(guī)模數(shù)據(jù)采集。變換編碼把高維空間的信號轉換到低維空間，通常，信號的變換基需要根據(jù)信號的特點來選取，常用的變換編碼方法主要有：離散余弦變換（DCT）、離散傅里葉變換（DFT）、離散小波變換、Curvelet變換、Gabor變換以及冗余字典等［8］。

信號的稀疏表示是應用壓縮感知理論的先決條件。當信號f∈RN在N維變換基上可以用K?N個大系數(shù)表達，即f在變換基下可壓縮或K稀疏時，則說明可以成功進行變換編碼。電力信號本身在時域上并不稀疏，而是在某種變換域Ψ∈R N×N或者字典上是稀疏或可壓縮的，下面考慮一種通用的非適應線性測量過程：

這里Ф∈R M×N（M?N）為壓縮感知測量矩陣，與f不相干，Θ=ΦΨ，x∈RN是K稀疏的，u∈R M為f在Ф上的線性投影，即壓縮采樣矢量值，這個過程將壓縮和采樣同時實現(xiàn)，大幅度降低了采樣和存儲成本。在這個框架內，從隨機投影中求解x是一個病態(tài)問題，但如果投影基Ф與信號有稀疏表達的基Ψ不相關，則在稀疏先驗的前提下，可以僅使用M?N個投影解碼K稀疏的離散時域信號x，進而根據(jù)f=Ψx，恢復原始信號f。

2 電力信號的壓縮感知重構算法

目前，壓縮感知理論主要是針對特定應用，設計測量矩陣和低復雜度、易用的重構算法，而重構算法是求解一個非線性優(yōu)化問題的過程，其目的是配合測量矩陣盡可能減少測量數(shù)據(jù)，且計算速度快、具有普適性以及能夠解決大尺度問題。

目前的CS重構算法主要分為以下幾大類。第一類是凸優(yōu)化算法，即使用線性規(guī)劃方法的l1范數(shù)優(yōu)化問題，主要有基追蹤法、梯度投影法、內點法、迭代閾值法、迭代重加權最小二乘（IRLS）法等［9］。該類算法是求解全局最優(yōu)解，所以算法具有很高的精度和穩(wěn)定性，且需要的測量值相對更少；但計算復雜度很高，速度慢。第二類是求取次最優(yōu)解的基于貪婪迭代匹配追蹤的系列算法，該類算法是通過逐步選取對壓縮測量值產生最大影響的列向量來實現(xiàn)對原始信號的最優(yōu)估計，由于其低復雜度和簡單的幾何解釋，引起了極大關注。目前主要有：MP、OMP、StOMP、SP、CoSaMP、SAMP等［10-11］。除了以上兩大類算法外，還有以稀疏貝葉斯為代表的統(tǒng)計優(yōu)化算法和組合算法等。

Donoho和Tanner計算了高斯測量時精確重構的閾值，并指出對于任何稀疏度K和信號尺寸N的信號，恢復該信號所需要的測量數(shù)量M可以精確地確定［12］。下面將采用隨機高斯測量矩陣，對幾種典型重構算法進行分析。

2.1 IRLS算法

基于線性規(guī)劃的l1范數(shù)優(yōu)化重構算法在很多情況下可以用更少的測量值實現(xiàn)精確重構。特別的，用lp（0＜p＜1）范數(shù)代替l1范數(shù)，這里：

文獻［11］在隨機和非隨機傅里葉測量下，通過實驗證明，在0＜p＜1時，比p=1時的精確重構需要更少的測量。且對于越小的p，式（2）精確恢復信號所需的充分條件越弱［13］。

IRLS是對最小二乘法的改進，其基本思想是以一個加權l(xiāng)2范數(shù)代替式（2）中的lp目標函數(shù)：

并采用迭代過程求解一系列加權最小二乘問題，在每一步迭代中按照一定規(guī)則對權系數(shù)進行調整，使其逐步逼近最優(yōu)。其步驟是計算x，然后用x計算出權重，這兩步依次迭代。

這里Q t為對角矩陣，對角項為1/wi。由于在0＜p＜1時，有p-2＜0，因此權wi在時沒有定義。處理這個問題的通用的方法是加入一很小的ε＞0來規(guī)則化最優(yōu)問題，即：

在式（5）中使用相對大的ε，然后在收斂后重復減小ε的過程，并重復迭代式（4），這樣可以極大改善IRLS恢復稀疏信號的能力，使得用更少的測量值，或者對不夠稀疏的信號進行精確恢復成為可能。這種ε規(guī)則化方法在文獻［14］中得到有效的使用。

IRLS算法的計算過程如下：

2.2 需要稀疏度估計的OMP和SP算法

OMP與MP算法都是在每次迭代中擴展一個支撐，但OMP算法通過引入Gram-Schmidt正交化，來保證結果的最優(yōu)，克服了MP算法的次最優(yōu)性，減少了迭代次數(shù)，提高了算法的效率。

傳統(tǒng)OMP算法的停止標準是運行K步后才停止。實驗表明，精確運行K步并不是最好的選擇，并且在實踐中很難精確指定K的大?。换谟^測向量殘差能量的終止迭代，符合精確表達觀測向量的目的，可以改善OMP類重構算法的性能。使用基于殘差的停止迭代條件，OMP的恢復結果在某些情況下接近甚至超過BP類算法。因此本文對于OMP類算法，使用‖r‖2≤ε‖u‖2作為停止迭代條件，ε為一個很小的常數(shù)。OMP算法的步驟如下：

OMP算法中待選原子（Θ的列向量稱為原子）一旦進入支撐候選中，則不再被刪除，則錯誤的入選原子會影響重構精度。如果在當前迭代的步驟中，對入選原子做進一步篩選，若仍然滿足當次最優(yōu)則保留，否則剔除作為下次待選。這種回溯的方法可以最大程度保證重建的全局最優(yōu)性，SP算法針對OMP中原子選擇機制的缺點，引入了“回溯”的思想，其算法步驟如下：

可見，SP算法在每次迭代中，選擇多個原子，通過執(zhí)行刪除步驟進行回退篩選，從而允許在支撐估計中添加和刪除錯選的非零索引，整個迭代一直保留著長度為K的支撐估計集，在K估計準確的情況下，通過幾次迭代，即可以很小的誤差得到稀疏解。

實驗表明SP算法在稀疏度估計準確的情況下運行速度和恢復性能均優(yōu)于OMP，但若K估計值不準確，則其與實際值相差越大，其性能越差。

2.3 稀疏度自適應的SAMP算法

大多數(shù)自然信號在稀疏變換后都僅是可壓縮的，而不是嚴格稀疏。這些信號的稀疏度K并不能明確的定義。而稀疏自適應匹配追蹤（SAMP）可以不需要稀疏度先驗信息即可重構信號，這使得該算法在實際應用中很有優(yōu)勢。而且在理論上，SAMP在精確恢復和穩(wěn)定性上也具有嚴密的理論保障［9］。

SP算法可以更精確識別真正的支撐集，歸因于它的回溯思想，而OMP方法提供了一種通過逐步向前的方法估計K值的可能解決方案，SAMP吸收了兩種方法的優(yōu)點。同時SAMP采用了與StOMP類似的分段階梯方法逐步擴張支撐集，而且SAMP的候選集和最終集是自適應的，這些關鍵的創(chuàng)新使SAMP能夠在沒有預先知道K值的情況下進行盲恢復，用其重構稀疏度未知的電力系統(tǒng)信號更具可行性。其算法步驟如下：

3 仿真實驗與分析

3.1 重構算法的性能指標

采用相對均方根誤差（RRMSE）和重構信噪比（SNR）衡量各種算法對一維信號的重構性能。設f0為不含噪聲的原始信號，f為重構信號，信號長度為N，壓縮采樣數(shù)量為M，||·||2表示2范數(shù)。計算公式如下：

在本次研究中，重新建立微生物限度檢查法，使用添加適量慶大霉素的SDA，抑制了非目的菌的生長，體現(xiàn)產品霉菌和酵母菌的真實污染狀況，避免假陽性結果，挽回了損失。

3.2 仿真分析

研究不同的M下，算法的精確重構概率，對每個M，實驗100次，每次隨機產生新的Ф。為兼顧重構概率與運算速度，SAMP算法中的步長取2。首先將以上各種算法對本身嚴格稀疏的高斯分布信號的重構進行比較；然后對含有諧波和間諧波電能信號的壓縮重構性能進行比較，這里采用傅里葉稀疏變換基和與其具有極大不相關性的獨立同分布的高斯隨機矩陣作為測量矩陣Ф。

3.2.1 高斯稀疏信號的重構

用以上四種算法對服從均值為0、方差為1的高斯分布的一維稀疏信號進行重構，取N=256，K=20，得到重構概率曲線如圖1所示。在M=80時，四種算法的運行時間比約為：

IRLS：SAMP：OMP：SP=100：10：1：1。

圖1 精確重構概率比較Fig.1 Comparison of the exact reconstruction rate

可見，IRLS算法可以用更少的測量值實現(xiàn)高概率重構，但運行時間過長，且進一步實驗表明，IRLS的運行時間隨著N的增大呈指數(shù)增加。對0-1稀疏信號和均勻分布稀疏信號的重構實驗，也表現(xiàn)出了與重構高斯稀疏信號相似的性能。

3.2.2 含有諧波/間諧波電力信號的重構

譜分析知，其傅里葉正交基下的實際頻域稀疏度為12，這里取稀疏度估計分別為K=12和K=20，進行仿真實驗。得到圖2和圖3所示的重構概率曲線。

圖2 K=12時的精確重構概率Fig.2 Frequency of exact reconstruction when K=12

圖3 K=20時的精確重構概率Fig.3 Frequency of exact reconstruction when K=20

進一步實驗得到，在M=100時，四種算法的運行時間比約為：IRLS：SAMP：OMP：SP=1 000：4：2：1。

可見，如果信號在變換基下稀疏，SAMP可以在稀疏度未知的情況下實現(xiàn)相對更好的重構性能，SP算法雖然速度最快，但恢復性能隨著稀疏度估計值與實際值偏差的增大而下降。

同樣，IRLS算法的運行速度很慢，使其應用受到限制。因此對于電力信號的重構，在無法準確估計稀疏度時，SAMP在合適的稀疏變換基下，可以用更少的測量值以更高概率精確恢復原始電能信號。圖4給出了M=50時，SAMP算法對（8）的重構結果，為便于波形對比，圖中只給出了前200點的波形?？梢?，對于傅里葉正交基下稀疏，但稀疏度未知的含有諧波和間諧波的電力信號，SAMP算法可以從50個采樣值精確重構長度N=1 000的信號。

圖4 SAMP算法的重構結果Fig.4 Reconstruction result of SAMP algorithm

4 結束語

壓縮感知作為一種全新的信號獲取方法，目前的研究主要包括壓縮采樣測量矩陣的構造及其硬件實現(xiàn)、重構算法的設計兩大方面。本文對壓縮感知理論應用于電力信號壓縮采樣與重構的可行性進行了研究，針對一維信號的壓縮感知重構問題，對典型的基于線性規(guī)劃的l1范數(shù)優(yōu)化重構算法IRLS、需要稀疏度估計的 OMP和 SP、具有稀疏度自適應的SAMP四種算法的重構性能進行了對比分析，并對一維稀疏信號和變換基下稀疏的電力信號進行了大量重構實驗，理論分析和實驗結果表明，如果選擇合適的稀疏變換，在稀疏度未知的情況下，SAMP算法可以用更少的采樣測量值和較少的時間實現(xiàn)對含有諧波和間諧波電力信號的高概率精確重構。但壓縮采樣的硬件實現(xiàn)還不夠成熟，尚處于起步階段，仍需作深入研究。