王少偉，羅萍萍

（上海電力學(xué)院電氣工程學(xué)院，上海200090）

0 引 言

可靠性指標(biāo)作為現(xiàn)代電力系統(tǒng)的一個重要指標(biāo)，其在電力系統(tǒng)的規(guī)劃、運行、檢修各方面都具有重要的意義［1-5］。目前在電力系統(tǒng)可靠性評估中應(yīng)用最多的是蒙特卡洛法，為了提高蒙特卡洛法的計算效率，必須減小計算過程中可靠性指標(biāo)的方差。因此，大量方差減小技術(shù)得到了廣泛的研究與應(yīng)用［6］。其中，用于電力系統(tǒng)可靠性評估中的方差減小技術(shù)主要有控制變量法［7-8］，對偶抽樣法［9］，分層抽樣法［10-12］，重要性抽樣法［13-14］等。在這些方法中應(yīng)用最多的是重要性抽樣方法，而在重要性抽樣方法中文獻［15］提出的基于交叉熵的重要性抽樣方法又因其良好的方差減小效果以及操作過程簡單等優(yōu)點得到了廣泛的應(yīng)用。該方法基于單一概率質(zhì)量函數(shù)進行迭代抽樣（稱之為基于單一概率質(zhì)量函數(shù)的交叉熵重要性抽樣，Cross-Entropy based Importance Sampling with Single PMF，CEIS-S），在處理高可靠性電力系統(tǒng)時如果預(yù)抽樣階段的樣本數(shù)較少，可能導(dǎo)致預(yù)抽樣過程結(jié)束時得到的“最優(yōu)概率質(zhì)量函數(shù)”不能達到良好的方差減小效果，直接影響正式的可靠性指標(biāo)計算階段系統(tǒng)狀態(tài)的合理抽取，從而降低可靠性指標(biāo)計算效率，甚至可能得不到正確的結(jié)果，嚴(yán)重影響該方法的效率以及正確性為了克服這一缺點，本文結(jié)合混合概率質(zhì)量函數(shù)模型和交叉熵原理［15-16］提出了基于混合概率質(zhì)量函數(shù)和交叉熵重要抽樣的發(fā)電系統(tǒng)可靠性評估方法（Cross-Entropy based Importance Sampling with mixture PMF，CEIS-M），可較大幅度提高發(fā)電系統(tǒng)可靠性評估的效率。

1 基于單一概率質(zhì)量函數(shù)交叉熵的系統(tǒng)可靠性評估方法

交叉熵重要性抽樣的基本思想是利用重要抽樣法結(jié)合交叉熵操作，實現(xiàn)在保持原有樣本期望值不變的條件下，改變現(xiàn)有樣本空間的概率質(zhì)量函數(shù)，使其方差減小，從而加快抽樣仿真的收斂速度［15］，而交叉熵過程正是實現(xiàn)樣本的概率質(zhì)量函數(shù)修正的過程。

基于重要性抽樣法的系統(tǒng)可靠性指標(biāo)為：

式中 Ω為 C維系統(tǒng)狀態(tài)空間，X=［x1，x2，…，xC］為由C個相互獨立的伯努利變量組成的系統(tǒng)狀態(tài)向量，對應(yīng)系統(tǒng)中不同的元件。F（X）為系統(tǒng)狀態(tài)X的可靠性函數(shù)，E（F（X））為系統(tǒng)可靠性指標(biāo)。f（X；u）和g（X；v）分別為系統(tǒng)狀態(tài)空間原有概率質(zhì)量函數(shù)和修正概率質(zhì)量函數(shù)且具有相同的形式，u=［u1，u2，…，uC］和 v=［v1，v2，…，vC］分別為 f（·）和g（·）的C維參數(shù)向量。以f（·）作為抽樣函數(shù)時，變量xj以概率uj取值為0，表示對應(yīng)元件處于故障狀態(tài)；以概率1-uj取值為1，表示對應(yīng)元件處于正常狀態(tài)。以g（·）作為抽樣函數(shù)時類似處理，衡量系統(tǒng)可靠性指標(biāo)精度的方差系數(shù)為：

重要性抽樣的效率與修正概率質(zhì)量函數(shù)密切相關(guān)，為了尋求最優(yōu)的修正概率質(zhì)量函數(shù){g（X；vopt）}，簡記為 gopt（X），采用在函數(shù)族{g（X；v）}中通過確定最優(yōu)參數(shù)向量vopt找到接近于gopt（X）的概率質(zhì)量函數(shù)g′（X；v），當(dāng)二者之間的距離足夠小時將其視為的gopt（X）近似值，該距離采用Kullback-Leibler距離（即交叉熵）來衡量［15］，即：

式（3）的最小化為如式（4）的優(yōu)化問題：

對于解式中的最小化問題，其最優(yōu)解為：

通過預(yù)抽樣迭代即可求解式（5）并將迭代收斂時的中間分布對應(yīng)的參數(shù)向量作為系統(tǒng)最優(yōu)概率質(zhì)量函數(shù)的參數(shù)向量 vopt=［vopt-1，vopt-2，…，vopt-C］并相應(yīng)得到最優(yōu)概率質(zhì)量函數(shù)gopt（X）；然后即可根據(jù)gopt（X）進行正式抽樣并由式（1）計算系統(tǒng)相應(yīng)的可靠性指標(biāo)，限于篇幅具體預(yù)抽樣迭代求解過程及可靠性指標(biāo)計算過程可參考文獻［15］。

2 基于混合概率質(zhì)量函數(shù)交叉熵的系統(tǒng)可靠性評估方法

2.1 混合概率質(zhì)量函數(shù)模型

混合概率質(zhì)量函數(shù)模型使用K個子概率質(zhì)量函數(shù)的加權(quán)來描述系統(tǒng)的狀態(tài)，系統(tǒng)的概率質(zhì)量函數(shù)如下式：

式中 gj（X；vj）（j=1，2，…，K）為與系統(tǒng)原始概率質(zhì)量函數(shù)具有相同形式的子概率質(zhì)量函數(shù)，πj為gj（X；vj）對應(yīng)的權(quán)重。

X服從每次由向量Z中取值為1的元素對應(yīng)的某一概率子概率質(zhì)量函數(shù)，因此，在給定Z時X的條件概率質(zhì)量函數(shù)為：

將式（8）乘上式（9）可得X和Z的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)如下式（10）：

根據(jù)式（10）可求得X的邊緣概率質(zhì)量函數(shù)即混合概率值函數(shù)表的達式，如式（7）。

2.2 基于最小交叉熵原理的混合模型概率質(zhì)量函數(shù)的更新

混合模型將gmix（X）作為描述系統(tǒng)狀態(tài)的概率質(zhì)量函數(shù)。在利用最小交叉熵原理對修正概率質(zhì)量函數(shù)的參數(shù)進行更新時，基于單一概率質(zhì)量函數(shù)交叉熵重要抽樣的可靠性計算方法只對修正概率質(zhì)量函數(shù)的參數(shù)向量進行更新，基于混合概率質(zhì)量函數(shù)交叉熵重要抽樣的可靠性計算方法同時對修正概率質(zhì)量函數(shù)所包含的所有子概率質(zhì)量函數(shù)的權(quán)值{π1，π2，…，πK}及其對應(yīng)的參數(shù)向量{v1，v2，…，vK}進行更新。

將式（7）代入式（4），交叉熵最小化的問題轉(zhuǎn)化為下式（11）：

式（11）中，Xi（i=1，2，……，N）是某一輪更新中根據(jù)概率質(zhì)量函數(shù)gmix（X）抽樣得到的樣本，gimx（X）的參數(shù) v1，v2，…，vK由上一輪更新得到，式（11）中，

對于第j個子概率質(zhì)量函數(shù)的參vj數(shù)的更新過程如下：

根據(jù)式（11）對 vj（j=1，2，…，K）求導(dǎo)可得：

將式（13）代入式（12）可以得到vj更新的表達式如下：

對于第 j（j=1，2，…，K）個子概率質(zhì)量函數(shù)的權(quán)重πj的更新如下：

根據(jù)式（11）對πj求導(dǎo)可得πj的更新的表達式：

根據(jù)式（14）和式（15）即可完成對 vj和 πj迭代更新，直到式（11）中的最小化問題滿足收斂條件時迭代停止，此時可得到最優(yōu)的參數(shù){vopt-1，vopt-2，…，vopt-K}和{πopt-1，πopt-2，…，πopt-K}，進而寫出最后的最優(yōu)概率質(zhì)量函數(shù)gopt（X）如下：

3 基于混合模型和交叉熵重要抽樣的可靠性評估方法在發(fā)電系統(tǒng)中的應(yīng)用

本文將CEIS-M方法應(yīng)用于發(fā)電系統(tǒng)的可靠性計算中。設(shè)發(fā)電系統(tǒng)擁有C臺獨立運行的發(fā)電機，每臺發(fā)電機只存在停運和正常兩種狀態(tài)，則各臺發(fā)電機的狀態(tài)可用伯努利變量表示，發(fā)電系統(tǒng)的狀態(tài)可由向量X表示為 X=［x1，x2，…，xC］，其中 xj=1表示第j（1≤j≤C）臺發(fā)電機處于正常狀態(tài)，xj=0表示該發(fā)電機處于停運狀態(tài)。系統(tǒng)負(fù)荷Ld取為其峰值負(fù)荷，故障標(biāo)志為系統(tǒng)發(fā)電量S（X）小于Ld導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)停電?；诒疚腃EIS-M法的發(fā)電系統(tǒng)可靠性指標(biāo)計算共分兩個階段，具體過程如下：

階段I：交叉熵預(yù)抽樣求得最優(yōu)混合概率質(zhì)量函數(shù)。

該階段包括8個步驟，步驟（1）和（2）為初始化過程，步驟（3）～（7）為基于交叉熵預(yù)抽樣的混合概率質(zhì)量函數(shù)參數(shù)更新過程，步驟（8）輸出發(fā)電系統(tǒng)最優(yōu)概率質(zhì)量函數(shù)。

選用內(nèi)置微處理器的低功耗網(wǎng)絡(luò)繼電器替換功耗較大的入侵報警主機。網(wǎng)絡(luò)繼電器具備開關(guān)量、干節(jié)點、繼電器信號的輸入/輸出能力，可接入IP網(wǎng)絡(luò)，具備自編程邏輯控制能力及遠程操控能力，能夠滿足閥室的控制需求。網(wǎng)絡(luò)繼電器功耗在2 W左右，而報警主機的功耗在25 W左右，既滿足了功能需求又降低了功耗。

（1）讀入系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)以及各發(fā)電機必要的數(shù)據(jù)信息，設(shè)定預(yù)抽樣樣本數(shù)為N，分位點ρ（一般在0.01～0.1之間取值），迭代次數(shù)以k表示：

（4）記序列{S1，S2，…，SN}中的 S（1-ρ）N為 Lk，如果Lk≤Ld，令Lk=Ld。計算所有系統(tǒng)狀態(tài)樣本對應(yīng)的失負(fù)荷概率指標(biāo)（LOLP）的可靠性函數(shù) FLOLP（X1），F(xiàn)LOLP（X2），…，F(xiàn)LOLP（XN）。對于 FLOLP（Xi），如果 S（Xi）＜Lk，令 FLOLP（X1）=1；反之，令 FLOLP（Xi）=0；

（5）計算所有系統(tǒng)狀態(tài)樣本的似然比函數(shù)，其中第i個系統(tǒng)狀態(tài)樣本的似然比函數(shù) w（Xi；u，π，為，簡記為 w（Xi）：

（6）利用第k次迭代抽取的系統(tǒng)狀態(tài)樣本X1，X2，…，XN，分別根據(jù)式（14）和式（15）更新第 j（j=1，2，…，K）個子概率質(zhì)量函數(shù)對應(yīng)的停運率向量及權(quán)重

（7）如果 Lk=Ld，迭代過程結(jié)束，轉(zhuǎn)步驟（8）；否則 k=k+1，轉(zhuǎn)步驟（3）；

階段II：可靠性指標(biāo)計算。該部分包括6個步驟，步驟（1）為初始化，步驟（2）～（5）為可靠性指標(biāo)的計算，步驟（6）輸出發(fā)電系統(tǒng)可靠性指標(biāo)。

（1）設(shè)定發(fā)電系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的收斂標(biāo)準(zhǔn)為其方差系數(shù)β小于精度標(biāo)準(zhǔn)COV，COV一般取一個很小的正數(shù)，例如2%或1%；抽取NS（NS取1 000）個發(fā)電系統(tǒng)狀態(tài)樣本后在進行可靠性指標(biāo)計算（避免在可靠性指標(biāo)計算初期由于樣本數(shù)量較少且樣本對應(yīng)可靠性函數(shù)相同（或相近）導(dǎo)致的可靠性指標(biāo)出現(xiàn)過早的非正常收斂的情況）。樣本數(shù)量初始值m=0；

（2）根據(jù)最優(yōu)概率質(zhì)量函數(shù)gopt（X）抽樣得到發(fā)電系統(tǒng)狀態(tài)，m++，Xm。若 m＜NS，轉(zhuǎn)步驟（2），否則轉(zhuǎn)步驟（3）；

（3）根據(jù)式（18）和式（19）更新計算可靠性指標(biāo)及其對應(yīng)的方差系數(shù)，并根據(jù)式（2）計算其對應(yīng)的方差系數(shù)β。

（4）若β＜COV，表示系統(tǒng)可靠性指標(biāo)收斂，轉(zhuǎn)步驟（6），否則，轉(zhuǎn)步驟（5）；

（5）根據(jù) gopt（X）抽樣得到發(fā)電系統(tǒng)狀態(tài)，m++，計算 FLOLP（Xm），以及 w（Xm），轉(zhuǎn)步驟（3）；

（6）輸出發(fā)電系統(tǒng)可靠性指標(biāo)LOLP及其方差系數(shù)β。

在求解其他系統(tǒng)可靠性指標(biāo)時只需要將系統(tǒng)可靠性函數(shù)F（X）相應(yīng)值即可。例如求解系統(tǒng)缺供功率指標(biāo)EPNS時，將系統(tǒng)可靠性函數(shù)F（X）取EPNS對應(yīng)的值 FEPNS（X），若發(fā)電系統(tǒng)出現(xiàn)缺供則FEPNS（X）取相應(yīng)的缺供功率的值，否則 FEPNS（X）=0。

基于CEIS-M法的發(fā)電系統(tǒng)可靠性分析流程如圖1所示。

圖1 基于CEIS-M的發(fā)電系統(tǒng)可靠性分析流程圖Fig.1 Flow chart for generation system reliability evolution based on CEIS-M

3 算例分析

本文的算例對IEEE-RTS系統(tǒng)［17］的發(fā)電部分進行可靠性評估，該系統(tǒng)共32臺發(fā)電機，裝機容量3 405 MW，峰值負(fù)荷為2 850 MW，本算例的負(fù)荷水平按照峰值負(fù)荷考慮。分別利用基于CEIS-M法（本文方法）和文獻［15］中基于CEIS-S法（方法1）以及原始蒙特卡洛法（方法2）分別對系統(tǒng)的發(fā)電部分進行可靠性評估，計算系統(tǒng)失負(fù)荷概率LOLP和電力不足期望值EPNS。

3.1 三種方法的收斂速度的比較

按照COV=2%的標(biāo)準(zhǔn)分別對三種方法進行單次仿真，然后比較三種方法對應(yīng)的可靠性指標(biāo)以及所需樣本數(shù)和仿真時間。結(jié)果見表1。

表1 三種方法的結(jié)果對比Tab.1 Results comparison of three kinds of methods

由表1可以看出，由于采用了基于交叉熵的重要性抽樣方法，在相同的收斂標(biāo)準(zhǔn)下，本文方法和方法1的仿真速度和效率均遠遠高于基于原始蒙特卡洛法的方法2，并且三種方法得到的可靠性指標(biāo)都滿足準(zhǔn)確性的要求。本文方法和方法1在仿真所需樣本和耗費時間上并無明顯差別。

3.2 處理高可靠性系統(tǒng)時本文方法和方法1的比較

在本算例中，將系統(tǒng)的負(fù)荷水平降低至20.5 MW的水平，得到修正的新系統(tǒng)。此時由于負(fù)荷水平降低，系統(tǒng)的可靠性必定會大幅提升，其可靠性指標(biāo)LOLP和EPNS下降。算例對比了本文方法和方法1在處理修正系統(tǒng)時的預(yù)抽樣階段（階段I）和最后的評估階段（階段II）中所需要的樣本數(shù)以及仿真時間。其中，兩種方法的收斂標(biāo)準(zhǔn)均為2%，本文方法中的子概率質(zhì)量函數(shù)個數(shù)K取值20。表2和表3分別給出了兩種方法每一輪預(yù)抽樣中樣本數(shù)不同時的相關(guān)仿真情況。

由表2和表3可以看出，兩種方法在經(jīng)過階段I求得發(fā)電系統(tǒng)最優(yōu)概率質(zhì)量函數(shù)后，均能對發(fā)電系統(tǒng)可靠性指標(biāo)進行有效的計算，兩種方法的主要區(qū)別在于階段I所需的樣本數(shù)。方法1的階段I每輪至少需要抽樣130 000個樣本才能對可靠性指標(biāo)進行有效的評估，而本文方法的階段I每輪只需要抽樣50 000個樣本即可對可靠性指標(biāo)進行有效的評估。另外，對于兩種方法而言，相應(yīng)提高階段I中每輪的樣本數(shù)可以提高階段2的可靠性指標(biāo)評估效率，但是這也會大大增加階段I所需的時間，使得整個評估過程效率降低。相比而言，本文方法在整個評估過程中所需的總樣本數(shù)遠遠少于方法1在整個評估過程中的樣本數(shù)，大大提高了其可靠性指標(biāo)計算的速度。另外，考慮到對于發(fā)輸電組合系統(tǒng)的可靠性進行評估時，每個系統(tǒng)狀態(tài)樣本都要利用最小切負(fù)荷策略進行負(fù)荷損失的計算，由于最小切負(fù)荷的優(yōu)化問題非常耗時，本文中的評估方法由于所需樣本較少其優(yōu)勢將會更加明顯。

表2 本文方法的仿真結(jié)果Tab.2 Simulation results of the proposed method

表3 方法1的仿真結(jié)果Tab.3 Simulation results of the method 1

4 結(jié)束語

提出了一種基于混合模型和交叉熵重要性抽樣相結(jié)合的發(fā)電系統(tǒng)可靠性評估新方法。該方法本利用多個子概率質(zhì)量函數(shù)的加權(quán)來描述系統(tǒng)狀態(tài)，克服了現(xiàn)有的基于單一概率質(zhì)量函數(shù)交叉熵重要性抽樣方法在處理高可靠性系統(tǒng)時其預(yù)抽樣階段需要抽樣大量的樣本從而導(dǎo)致可靠性指標(biāo)總體計算效率降低的問題。算例結(jié)果表明本文方法在在處理高可靠性發(fā)電系統(tǒng)時，可在確保發(fā)電系統(tǒng)可靠性指標(biāo)準(zhǔn)確的同時使得預(yù)抽樣階段所需的樣本數(shù)大幅度地減少，從而有效的加快整個可靠性評估過程，提高發(fā)電系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的整體計算效率。