周運鴻，李強，葉紅楓，山江川，劉念

（1.四川大學(xué)電氣信息學(xué)院，成都610065；2.中核核電運行管理有限公司，浙江海鹽314300）

0 引 言

直流輸電系統(tǒng)中接地極附近地表電位的大小一方面受直流系統(tǒng)的影響，包括系統(tǒng)的運行方式、輸送功率、傳輸電壓等；一方面受接地極的影響，包括接地極的尺寸、形狀、埋設(shè)方式等；另一方面取決于大地的參數(shù)，包括電阻率的空間分布以及能夠引起空間電阻率改變的濕度、溫度、含鹽比例等［1-2］。其中，由復(fù)雜的地形地貌帶來多變的大地參數(shù)，是地表電位研究的難點。

單極大地回路方式、功率或電壓不相等的雙極不對稱或不平衡方式和同極性方式都有電流通過接地極流向大地，也就是HVDC系統(tǒng)大地回路運行方式［3］。其中，單極大地回線運行方式、同極性運行方式的入地電流最大，可達3 000 A。電流越大造成的地表電位也就越大，理論上零電勢的大地在接地極強大電流的作用下不再為零，不為零的范圍是以接地極為球心的半球形空間區(qū)域，球半徑r可達100 km。地表不為零的電勢將造成很多負(fù)面影響，如金屬管道腐蝕、變壓器直流偏磁、人畜安全、無線電干擾等。為了分析上述負(fù)面效應(yīng)的嚴(yán)重程度，必須考慮大地各種參數(shù)，期望得到盡可能準(zhǔn)確的地表電位分布。

本文研究的重點是N層復(fù)合大地模型地表電位的分布，與一些文章［4-6］相比具有更強的普遍性。文獻［4-6］選用單一水平分層、兩層水平分層或是采用兩層垂直分層的大地模型，這些文章近似計算出地表電位的分布，但沒有給出計算誤差，也沒有對這幾種模型的準(zhǔn)確性和經(jīng)濟性加以比較。本文用鏡像法和電磁波的折射反射規(guī)律推導(dǎo)了N層水平和垂直分層的土壤模型的計算方法和計算公式，并采用該公式計算不同的華東地區(qū)大地模型。仿真計算過程中，N層模型是在N-1層模型的基礎(chǔ)上加了一個水平層或垂直層，當(dāng)兩次計算結(jié)果的誤差足夠理想，就認(rèn)為N層模型是最理想的計算機仿真模型。

1 大地模型和接地極模型的建立

1.1 大地模型

大地是高壓直流輸電系統(tǒng)中重要的組成部分，因為系統(tǒng)中的單極電流和雙極的不平衡或不對稱電流都要流入大地。由于大地的電阻率受很多因素影響，如地理環(huán)境和氣候環(huán)境等，所以量化電阻率時需要考慮很多變量。如圖1所示，地震波測得的大地電阻率，圖中標(biāo)明了大地每層的深度和相應(yīng)的土壤電阻率。

圖1 大地的結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of earth

圖1所示的電阻率是用水平面對大地劃分，得到每層土壤電阻率的大概范圍，它必須與具體研究地區(qū)的土壤電阻率相結(jié)合，例如華東地區(qū)必須考慮海洋這個垂直分層的電阻率、四川地區(qū)必須考慮山體這些多個垂直分層的電阻率。地表電位的計算精度隨著我們劃分空間電阻率的精細程度而提高，除了上述水平面劃分和垂直面劃分，常見的還有斜面和柱面劃分。當(dāng)然，這種用平面對大地電阻率劃分是適用于大范圍空間的，對小范圍空間而言，電流使接地極附近的土壤發(fā)生物理或化學(xué)變化，從而使電阻率發(fā)生變化，這種變化規(guī)律必須通過函數(shù)關(guān)系式或其它方法來表征［7］。

不論采用大范圍還是小范圍大地模型，分析大地的電場，常用的方法還是求解拉普拉斯方程，輔以狄里赫利邊值條件、紐曼邊值條件或者是混合邊值條件。恒定電場中電流連續(xù)性定理得到拉普拉斯方程：

式中γ為電導(dǎo)率標(biāo)量；φ為電位標(biāo)量。求解拉普拉斯方程可以用解析方法中的鏡像法，也可以用數(shù)值方法中的有限元法或邊界元法等［8-10］。河流、山川對地表電位有影響，但影響不大，而海洋對地表電位的影響較大，文獻［11］給出的這個結(jié)論。算例中解決的華東地區(qū)地表電位的分布，就是考慮海洋而得到的結(jié)果。

1.2 接地極模型

直流接地極的作用：一是作為工作接地，長時間為系統(tǒng)輸送電力，提高系統(tǒng)運行的可靠性；二是作為保護接地，鉗制換流站中性點電位［12］。直流接地極的形狀、尺寸、埋設(shè)的方式等因素同樣對地表電位的計算產(chǎn)生影響。

電極附近的電位分布必須考慮接地極的影響，但在求解遠距離的電位分布時，由于空間距離遠大于接地極的尺寸，所以可以用點電流源代替接地極，忽略接地極的影響。通過判斷所研究區(qū)域與接地極的直線距離，選擇合適接地極模型，能在滿足計算精度的同時簡化計算。

文獻［13-14］給出了接地極電抗和接地極上下表面電流密度不同不影響電位計算的證明，將接地極用線電源模擬。文獻［15］給出了用矩陣法將線電源簡化和細分為點電源的思路。由于本文的重點是大地模型，所以接地極模型這里不詳細介紹。

2 不同大地模型地表電位的求解和比較

2.1 無限大均勻大地模型

無限大均勻介質(zhì)中的點電源如圖2所示。

圖2 均勻介質(zhì)中的點電源Fig.2 Point source in homogeneousmedium

根據(jù)電流連續(xù)性定理得到介質(zhì)中電位分布φ的計算式：

式中（x0，y0，z0）是點電源的坐標(biāo)；（x，y，z）是任意點的坐標(biāo)；ρ是介質(zhì)的電阻率；i是點電源的電流。

下面將介紹用鏡像法和波的折射反射規(guī)律得到的土壤電位解析公式［16-17］。公式中 ρm（m＝0，1，2，3，4，5，6）是相應(yīng)土壤的電阻率，Γm（m＝1，2，3，4，5）和Tm（m＝1，2）分別是分界面上的反射率和折射率（已在圖中給出了大?。琎m（m＝1，2）和 Pm（m＝1，2，3）分別是垂直和水平分界面，b、c、d、B、C、D都是距離（已在圖中標(biāo)出），φV和φH是電位。

2.2 三層垂直分層大地模型

如圖3所示，這是一個用兩個垂直平面將大地分成三層的大地模型。電流波i在傳播的過程中遇到電阻率不同的土壤介質(zhì)分界面會發(fā)生反射，如果認(rèn)為在反射波的延長線上出現(xiàn)了一個鏡像電流源，這個鏡像電流源的大小等于反射電流波的大小，那么這個鏡像電源就等效為分界面對電流波的影響，三層垂直不均勻大地模型轉(zhuǎn)化到了單層均勻大地模型中求解。簡化后的單層均勻模型又可以做一次關(guān)于地表的鏡像，最后只需在無窮大均勻大地模型中求解。當(dāng)然，所求電位的點必須限定在Q2和Q3之間的開區(qū)間，如果要求解左右兩側(cè)土壤的電位分布，需要重新建立鏡像電流源系統(tǒng)。

圖3 三層垂直大地模型Fig.3 Three layers of vertical earth model

式（3）舉例說明只發(fā)生一次反射得到的電位計算公式，根據(jù)這個式子推出無限次反射后的電位計算解析式（4）：

這里式（3）和式（4）是討論了垂直分界面的反射情況，如果還要考慮水平地面的反射情況，只需要將計算出來的φV替換掉式（5）中的φ即可。如果有N層垂直分層則必須考慮折射波帶來的影響，折射波的影響將最后介紹。

2.3 兩層水平分層大地結(jié)構(gòu)

如圖4所示。

圖4 兩層水平大地模型Fig.4 Two layers of horizontal earth model

P1水平面是地表，P2是將大地分成兩層的水平面。用鏡像法和波的折射反射規(guī)律，得到P1和P2之間的開區(qū)間的點電位計算式（5）：

兩層水平分層與三層垂直分層的區(qū)別在于電流波在水平分層模型中傳播時遇到地表會發(fā)生全反射，反射率T3等于1，也就是沒有折射波進入大氣中。兩層水平分層大地模型與三層垂直大地模型一樣沒有折射波，如果是N層水平分層則必須考慮折射波帶來的影響。

2.4 N層大地模型

大地被平面分為N層水平或垂直層，折射波對電位的影響必須考慮。這里以三層水平分層大地模型轉(zhuǎn)化到無限大均勻大地模型為例，解釋N層模型的求解最終也是轉(zhuǎn)化到求解無限大均勻大地模型。

如圖5所示，電流波在到達P2平面時會發(fā)生折射，折射波在P3平面上發(fā)生反射后折射到第一層土壤中，折射進來的電流波在P1平面全反射后又可以開始第二個周期的傳播。這里忽略了電流波在第一層和第二層土壤中經(jīng)過m次（m＝1，2，3……）反射，再折射到第一層土壤中的情況。

圖5 三層水平大地模型Fig.5 Three layers of horizontal earth model

圖5中注明了第一次和第二次折射波的等效鏡像電流源的大小和坐標(biāo)。鏡像電流源的大小是通過反射和折射的次數(shù)決定的，如第一個鏡像電流源大小為T1Γ5T2i；坐標(biāo)是通過幾何圖形推導(dǎo)的，如第一個鏡像電流源z軸的坐標(biāo)如下：

其中：

式中 α1、α2是入射角和反射角；ε1、ε2是土壤的介電常數(shù)。不難發(fā)現(xiàn)鏡像的坐標(biāo)只與土壤的性質(zhì)、接地極的埋設(shè)深度和大地每一層的深度相關(guān)，而與電流波的大小、入射角和折射角無關(guān)。其它鏡像電流源的大小和坐標(biāo)可以按上述方法求得，這里就沒有在圖上標(biāo)識了。

P3平面的等效鏡像電流源取代了折射波對第一層土壤中電位計算的影響，三層水平分層模型轉(zhuǎn)化到兩層水平分層模型，最后轉(zhuǎn)化到無限大均勻大地模型中求解。在計算電位的過程中，三層水平分層只是比兩層水平分層多了2n（n是折射的次數(shù)）個鏡像電流源，計算方法一樣。N層大地模型可以轉(zhuǎn)化到N-1層模型，再轉(zhuǎn)化到N－2層模型，最后也是轉(zhuǎn)化到無限大均勻大地模型。

3 華東地區(qū)地表電位的仿真結(jié)果

結(jié)合圖1和華東地區(qū)土壤的實際特性得到華東地區(qū)的地質(zhì)結(jié)構(gòu)。選用表1的四種仿真模型，采用MATLAB對地表電位計算得到圖6、圖7的地表電位曲線。

表1 仿真模型參數(shù)Tab.1 Parameters of simulation model

由圖6、圖7地表電位曲線可知：

圖6 復(fù)合模型和四層均勻大地模型對比圖Fig.6 Contrast diagram of compositemodel and four layers of horizontal earth model

圖7 復(fù)合模型和傳統(tǒng)大地模型對比圖Fig.7 Contrast diagram of compositemodel and traditional earth model

（1）地表電位最大值出現(xiàn)在接地極的表面，3 000 A的入地電流能達到100 V～200 V，并且電位的大小與所選模型無明顯關(guān)系，說明接地極表面的電位不受模型選擇的影響；

（2）所有模型計算的地表電位都是在0 km～20 km這一段發(fā)生銳減，說明接地極的選址最好離城市或者是110 kV以上的變壓器有20 km的距離；

（3）比較水平分層的二層、三層土壤模型發(fā)現(xiàn)三層土壤模型的地表電位一直比二層的大，而且在20 km左右達到最大差值，說明折射波對地表電位的影響還是很大；

（4）比較水平分層的三層、四層模型發(fā)現(xiàn)兩條電位曲線幾乎重合，說明第四層土壤反射到第一層土壤中的折射波對地表電位的影響可以忽略；

（5）比較四層水平分層、海洋復(fù)合模型發(fā)現(xiàn)海洋的存在將近海端（靠近海洋的那一端）的整個區(qū)域的地表電位都拉低了，而且在海岸線上的電位差值達最大值，海洋部分的地表電位幾乎為零；

（6）比較復(fù)合模型遠海端（遠離海洋的那一端）、四層水平分層模型發(fā)現(xiàn)海洋的存在同樣拉低了遠海端的電位，但是影響并不大；

（7）比較近海端、遠海端復(fù)合模型發(fā)現(xiàn)遠海端電位一直比近海端電位高，而且在海岸線附近電位差值達到最大。

比較電位曲線圖，得到華東地區(qū)的電位分布的理想計算模型是三層帶海洋的復(fù)合大地模型，這樣既保證了計算的準(zhǔn)確性，又能節(jié)省計算機的內(nèi)存。

找到理想模型后，用多項式代替復(fù)雜求和公式，能極大的簡化理想模型地表電位的計算。求多項式時，插值點的位置和數(shù)量直接影響多項式的精度和耗時。出于對耗時的考慮，本文選用十一個插值點。

圖8是多項式擬合的曲線與實際曲線的誤差對比圖，比較發(fā)現(xiàn)該多項式計算誤差很小，足以滿足要求。所以，華東地區(qū)理想模型的地表電位可以用式（11）計算，對應(yīng)的系數(shù)如表2所示。

圖8 誤差對比圖Fig.8 Error contrast diagram

表2 函數(shù)的系數(shù)Tab.2 Coefficient of function

4 結(jié)束語

文章利用復(fù)合鏡像法和電磁波的反射、折射規(guī)律推導(dǎo)出N層大地模型中地表電位的計算方法。這種方法不僅適合于分析地表電位，對任何電磁波在不均勻介質(zhì)中傳播要求分析介質(zhì)中的某些電磁量都是實用的。結(jié)合華東地區(qū)三層帶海洋的復(fù)合大地模型的仿真結(jié)果，最后提出兩點建議：

（1）位于沿海地區(qū)中性點接地的變壓器或者是金屬管道要注意HVDC系統(tǒng)大地回路運行。由于大海的低阻抗的作用，使靠近海洋的城市出現(xiàn)了低電位。大電位差使得該地區(qū)的直流變大，造成更嚴(yán)重的金屬腐蝕或者是變壓器的直流偏磁等不良影響；

（2）通過擬合函數(shù)可以找到任何兩個點的電位差，這個電位差可以判斷跨步電壓、接觸電壓是否在安全值得范圍內(nèi)，輔助HVDC接地極的選址。