劉佳麗， 趙自雨， 張永彬

(華北理工大學(xué) 礦業(yè)工程學(xué)院，河北 唐山 063009)

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穩(wěn)健估計(jì)抗差性分析與應(yīng)用

劉佳麗， 趙自雨， 張永彬

(華北理工大學(xué) 礦業(yè)工程學(xué)院，河北 唐山 063009)

最小二乘法；穩(wěn)健估計(jì)；粗差探測；變形監(jiān)測；方法比較；MATLAB

穩(wěn)健估計(jì)方法與最小二乘法在測量界的應(yīng)用頗多，二者各有優(yōu)劣。文中介紹了這2種方法在變形監(jiān)測中的應(yīng)用，并運(yùn)用 MATLAB 進(jìn)行數(shù)據(jù)的編程與處理。將2種計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，結(jié)果表明，穩(wěn)健估計(jì)方法能夠準(zhǔn)確探測粗差的位置，并且剔除粗差，得到更加精確的結(jié)果。研究得知，在測量數(shù)據(jù)中存在粗差的情況下用穩(wěn)健估計(jì)方法進(jìn)行平差計(jì)算能得到更準(zhǔn)確的結(jié)果。

由于穩(wěn)健估計(jì)具有獨(dú)特的抗粗差效果，近年來在測繪行業(yè)有著廣泛應(yīng)用，其發(fā)展也突飛猛進(jìn)。選擇幾個(gè)權(quán)威研究成果開展進(jìn)一步探索與研究，1989年周江文教授提出了測量平差中存在不等權(quán)觀測值時(shí)的等價(jià)權(quán)原理[3]。1991年楊元喜對等價(jià)權(quán)原理作了進(jìn)一步研究，提出了基于相關(guān)等價(jià)權(quán)函數(shù)的穩(wěn)健估計(jì)方法，10年后又對等價(jià)權(quán)函數(shù)進(jìn)行了擴(kuò)充，構(gòu)造出雙因子等價(jià)權(quán)模型。這些研究成果為穩(wěn)健估計(jì)在測繪中的廣泛應(yīng)用打下了基礎(chǔ)。

隨著城市建設(shè)的展開，在施工測量方面也面臨著一定的需要及時(shí)解決的難題，測量過程中出現(xiàn)的變形就是其中之一，也是整個(gè)測繪行業(yè)人員共同努力的重點(diǎn)研究對象。實(shí)際工作中，由于周圍環(huán)境及地質(zhì)條件復(fù)雜，監(jiān)測項(xiàng)目冗雜、工作量大、工期長，此外施工過程中的干擾及其它一些不可預(yù)計(jì)因素的影響，往往導(dǎo)致監(jiān)測數(shù)據(jù)中出現(xiàn)少量粗差。因此，變形監(jiān)測中數(shù)據(jù)處理[1-2]方法的準(zhǔn)確應(yīng)用顯得尤為重要。在不可避免的粗差干擾情況下，穩(wěn)健估計(jì)可降低粗差對于參數(shù)估值的影響并得出接近最優(yōu)的參數(shù)估值，相比傳統(tǒng)最小二乘估計(jì)，穩(wěn)健估計(jì)有較為明顯的優(yōu)勢。該項(xiàng)目對穩(wěn)健估計(jì)的抗差性展開進(jìn)一步研究，并與傳統(tǒng)最小二乘方法進(jìn)行對比。

1 模型研究

穩(wěn)健估計(jì)能夠限制使用觀測數(shù)據(jù)中的有效信息，排除干擾信息，即粗差。一般分為3類：M估計(jì)(極大似然估計(jì))，L估計(jì)(排序線性組合估計(jì))和R估計(jì)(秩估計(jì))。其中M估計(jì)是經(jīng)典極大似然估計(jì)的推廣，實(shí)施簡便。M估計(jì)的方法有很多[4-5]，算法類似于最小二乘平差，其中易于程序?qū)崿F(xiàn)的是選權(quán)迭代法[6]，它根據(jù)回歸殘差的大小確定各點(diǎn)的權(quán)，給殘差大的點(diǎn)賦予小權(quán)甚至零權(quán)，以削弱其對回歸的影響，以達(dá)到穩(wěn)健的目的。文中將根據(jù)等權(quán)獨(dú)立觀測和不等權(quán)獨(dú)立觀測2種情況來進(jìn)行描述。

1.1 等權(quán)獨(dú)立觀測的選權(quán)迭代法

矩陣型式，得BTWV=0，其中W稱為穩(wěn)健權(quán)因子。將誤差方程帶入可得估計(jì)值：

(1)

選定權(quán)函數(shù)后，即可確定穩(wěn)健權(quán)陣W，但ωi是Vi的函數(shù)，故穩(wěn)健估計(jì)需要對權(quán)函數(shù)進(jìn)行迭代求解[9]。

1.2 不等權(quán)獨(dú)立觀測的選權(quán)迭代法

(2)

(3)

(4)

(5)

2 案例分析

福州排下站坐落在螺州路北的福峽路黃山村附近，西北至東南走向，其地貌類型主要為閩江下游沖淤積平原，北側(cè)和東北區(qū)域?qū)贈_淤積平原與丘陵坡腳交接部位；東邊北側(cè)分布地貌為剝蝕丘陵，靠近福峽路大面積丘陵已開挖，東北角經(jīng)過人工切坡主要為全至強(qiáng)風(fēng)化巖層。地勢較為平坦，地面標(biāo)高為7.5～8.3 m。車站中心里程為右SK19+936.00，主體結(jié)構(gòu)尺寸長為267.6 m，寬約為17.8 m?；悠饻y深度為19.5 m終測深度為0.5 m，每隔0.5 m布置一個(gè)監(jiān)測點(diǎn)，為期37 d 5次的監(jiān)測，每次監(jiān)測39組數(shù)據(jù)。

本次實(shí)驗(yàn)選取第5次觀測的前24組數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，如表1所示，經(jīng)過驗(yàn)證，該數(shù)據(jù)不含粗差。應(yīng)用最小二乘和穩(wěn)健估計(jì)2種方法研究位移變化量與孔深的相關(guān)性，預(yù)測后幾組的位移變化量。分別討論含粗差和不含粗差時(shí)2種方法的準(zhǔn)確度。

表1 原始觀測數(shù)據(jù)

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

為了比較最小二乘方法和穩(wěn)健估計(jì)在變形監(jiān)測工程數(shù)據(jù)處理中的不同效果，通過MATLAB[10]進(jìn)行最小二乘法和穩(wěn)健估計(jì)的程序?qū)崿F(xiàn)，并對二者精度進(jìn)行比較。對比數(shù)據(jù)中存在粗差時(shí)2種方法受到干擾的程度，進(jìn)一步說明穩(wěn)健估計(jì)的抗差效果。

3.1 不含粗差的情況

圖1所示為原始數(shù)據(jù)殘差圖。

圖1 原始數(shù)據(jù)殘差圖

通過觀察圖1可以看出，數(shù)據(jù)中的殘差皆在標(biāo)準(zhǔn)差上下浮動(dòng)，并無過分偏離，說明原始數(shù)據(jù)不存在粗差。在MATLAB中運(yùn)行最小二乘和穩(wěn)健估計(jì)回歸分析的程序編碼，可得到如下擬合結(jié)果，如圖2所示。圖中綠色虛線代表穩(wěn)健估計(jì)的擬合直線，紅色直線代表最小二乘的擬合直線?？梢钥闯龆叩臄M合結(jié)果基本相同，而且擬合方程十分貼近數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布。

圖2 擬合結(jié)果對比

程序運(yùn)行結(jié)果得出，最小二乘法得到的回歸方程為y1=4.520 9+0.297 46x；穩(wěn)健估計(jì)得到的回歸方程為y2=4.513 7+0.296 9x。通過精度分析可知，在不含粗差的情況下，最小二乘擬合效果有較小優(yōu)勢且易于實(shí)施。

3.2 存在粗差的情況

為了驗(yàn)證穩(wěn)健估計(jì)的抗粗差效果，將原始數(shù)據(jù)中第3組、第6組和第10組數(shù)據(jù)的位移變化量改為5.63、5.39和4.66，相當(dāng)于人為加入了粗差，改動(dòng)后數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 加入粗差后數(shù)據(jù)

殘差圖中的紅色豎條為粗差，如圖3所示。

圖3 殘差圖

在MATLAB中實(shí)現(xiàn)最小二乘和穩(wěn)健估計(jì)回歸分析，得到新的擬合結(jié)果。其中，最小二乘法的擬合方程為y3=5.039 8+0.346 6x；穩(wěn)健估計(jì)的擬合方程為y4=4.839 5+0.327 0x，如圖4所示。

圖4 加入粗差后擬合結(jié)果對比

圖中虛線為穩(wěn)健估計(jì)的擬合結(jié)果，實(shí)線為最小二乘的擬合結(jié)果。修改數(shù)據(jù)前后2次擬合結(jié)果對比可知，加入粗差后最小二乘的擬合結(jié)果與不含粗差情況下得到的結(jié)果相差甚遠(yuǎn)，并且在接近粗差的位置變動(dòng)更加明顯，而加入粗差后穩(wěn)健估計(jì)的結(jié)果與原始數(shù)據(jù)得到的結(jié)果并無明顯差別。通過對擬合結(jié)果的分析，可以看出隨著基坑深度的增加，位移變化量逐漸減小，可根據(jù)工程需要將深度數(shù)據(jù)帶入擬合方程求解12 m之后的位移變化量，在一定程度上減小了勞動(dòng)強(qiáng)度與資源消耗。

4 結(jié)論

(1)通過穩(wěn)健估計(jì)與最小二乘法的對比分析可以看出，二者皆有優(yōu)勢。在數(shù)據(jù)非常準(zhǔn)確的情況下，采用最小二乘方法簡便可行。然而測量中往往存在不可避免的粗差，這時(shí)就體現(xiàn)了穩(wěn)健估計(jì)的優(yōu)越性。穩(wěn)健估計(jì)在采用的假定模型下，所得參數(shù)估計(jì)值對于經(jīng)典的假定模型而言較為合理，相較傳統(tǒng)最小二乘而言更加接近最優(yōu)；如果實(shí)際模型與假定模型存在較小的偏差，穩(wěn)健估計(jì)對應(yīng)的參數(shù)估計(jì)受到的影響較??；即使實(shí)際模型與假定模型有較大偏差，穩(wěn)健估計(jì)的參數(shù)估計(jì)性能也不會很低，不會導(dǎo)致參數(shù)估計(jì)值產(chǎn)生明顯的偏差。

(2)當(dāng)變形監(jiān)測數(shù)據(jù)含有粗差時(shí)，可以選擇穩(wěn)健估計(jì)的平差方法剔除粗差，從而得到更加準(zhǔn)確的結(jié)果，即使在數(shù)據(jù)不完整的情況下，運(yùn)用穩(wěn)健估計(jì)也可以進(jìn)行較為準(zhǔn)確的預(yù)測，保證施工質(zhì)量。

[1] 鐘紅,魏淑英. 基于丹麥法穩(wěn)健估計(jì)在地鐵變形監(jiān)測中的應(yīng)用[J].吉林地質(zhì).2014,33(03): 110-112.

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[3] 楊培紅,光輝. 抗差卡爾曼濾波在礦山建筑物變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用[J].煤炭技術(shù).2013,32(10):107-108.

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[9] 云磊.牛頓迭代法的MATLAB實(shí)現(xiàn)[J].信息通信,2011,(06):20-22.

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Robustness Analysis of Robust Estimation and Their Application

LIU Jia-li, ZHAO Zi-yu, ZHANG Yong-bin

(College of Mining Engineering, North China University of Science and Technology, Tangshan Hebei 063009, China)

least square method; robust estimation; gross error detection;deformation monitoring; method comparison; MATLAB

Least square method and robust estimation are widely used in various fields of surveying, both methods have their respective advantages. The application of these two methods in deformation monitoring was introduced, while the data was programmed and processed by use of MATLAB. The two calculation results were compared, show by that using the robust estimation, gross errors can be accurately detected and eliminated, thus more accurate result of adjustment can be obtained. Experiment prove that if there are gross errors in the measurement data, using the robust estimation method for adjustment calculation can get more accurate results.

2095-2716(2017)01-0001-05

P207+.2

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