劉佳奇，元建勝，李厚樸

(1.海軍工程大學(xué) 導(dǎo)航工程系，湖北 武漢 430033；2.海軍參謀部航海保證局，北京 100841)

基于計算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)的地圖投影可視化

劉佳奇1，元建勝2，李厚樸1

(1.海軍工程大學(xué) 導(dǎo)航工程系，湖北 武漢 430033；2.海軍參謀部航海保證局，北京 100841)

現(xiàn)階段，計算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)在地圖投影中的應(yīng)用主要在于簡化數(shù)學(xué)分析和公式推導(dǎo)過程，而在地圖投影可視化領(lǐng)域的應(yīng)用較少。文中以Mathematica軟件的可視化能力為基礎(chǔ)，結(jié)合其傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)計算和符號運(yùn)算方面的優(yōu)勢，研究和討論了計算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)在地圖投影展繪、投影信息提取與分析、函數(shù)命令拓展應(yīng)用等方面的應(yīng)用。研究表明，計算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)能夠解決地圖投影可視化的基本問題，能夠為相關(guān)的研究和教學(xué)工作提供強(qiáng)有力的支撐，是地圖投影學(xué)科中極為便利的工具。

計算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)；Mathematica軟件；地圖投影；可視化

地圖投影學(xué)又稱數(shù)學(xué)制圖學(xué)，是建立地圖數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的依據(jù)，其主要任務(wù)是探討建立地圖數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的理論和方法，地圖投影學(xué)的研究重點在于地圖投影的計算和展繪、投影變形的計算與分析、地圖要素的量測、不同投影間的變換等方面[1-3]。

20世紀(jì)50年代，計算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)(Computer Algebra System, CAS)的出現(xiàn)，極大地改變了地圖投影的研究方式。計算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)以符號運(yùn)算為主要特征，以可進(jìn)行大規(guī)模代數(shù)運(yùn)算為優(yōu)勢[4]，應(yīng)用于地圖投影學(xué)科，簡化了復(fù)雜的數(shù)學(xué)分析與公式推導(dǎo)過程，提高了地圖投影方法的精度，極大地提高了地圖投影的學(xué)習(xí)和研究效率。典型的計算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)軟件有Mathematica、Maple、Matlab等。

前期，計算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)在地圖投影中主要用于解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)分析問題、代數(shù)演算問題和公式推導(dǎo)問題。Grafarend[5]利用計算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)對后方交會、GPS偽距定位、攝影測量定位等問題的非線性算法進(jìn)行了研究；邊少鋒[6]等人詳細(xì)闡述了Mathematica、Maple軟件在幾何和空間大地測量中的應(yīng)用，對橢圓函數(shù)反函數(shù)級數(shù)展開、Gauss 投影的復(fù)變函數(shù)表示等方面的問題進(jìn)行了研究；李厚樸[7-8]借助Mathematica推導(dǎo)了子午線弧長和等面積緯度函數(shù)變換的直接展開式，將式中系數(shù)統(tǒng)一表示為橢球偏心率的冪級數(shù)形式，可解決不同參考橢球下的變換問題；劉大海[9]使用Mathcad、Matlab 及Mathematica給出了高斯投影復(fù)積分計算的積分級數(shù)分析法、橢圓積分函數(shù)法、直接積分法變換方程。但計算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)在實現(xiàn)地圖投影的可視化輸出上還存在一定的難度，需要研究者提供世界地理坐標(biāo)信息和具體的投影公式才能進(jìn)行投影地圖的展繪。如今，隨著數(shù)字地圖的發(fā)展，作為典型的計算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)，Mathematica軟件配備的Wolfram數(shù)據(jù)庫中增加了地理信息庫，不僅能夠展繪投影地圖，還具有投影數(shù)據(jù)的提取與編輯功能，是地圖投影的教學(xué)與分析極為重要的輔助工具，為地圖投影可視化及其教學(xué)工作提供了有力的支持。

1 Mathematica簡介

Mathematica軟件由美國Wolfram Research公司開發(fā)，是集成了數(shù)據(jù)計算、符號運(yùn)算和可視化圖形系統(tǒng)等多種功能的集成式、交互式符號運(yùn)算系統(tǒng)，具有強(qiáng)大的可視化能力。憑借其符號運(yùn)算能力、二維和三維函數(shù)可視化能力、金融運(yùn)算中的處理能力和多門學(xué)科的數(shù)據(jù)集，該軟件已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于測繪、生物、金融等領(lǐng)域[10-11]。

在Mathematica中，GeoGraphics命令是繪制地圖的基本指令，在此基礎(chǔ)上，通過GeoProjection進(jìn)行地圖投影類型的選擇。Mathematica的數(shù)據(jù)庫中，有以球面參考模型和橢球參考模型為投影基準(zhǔn)的兩大類共20余種地圖投影類型，如表1所示，都是世界目前較為常用的投影方式。

Mathematica展繪的地圖不僅僅是投影結(jié)果的圖片，還攜帶著相應(yīng)地圖投影的地理信息數(shù)據(jù)，可通過函數(shù)命令進(jìn)行提取、編輯與分析。GeoGraphics命令中包含很多選項，用于不同要求的地圖投影展繪任務(wù)，如GeoRange命令可決定投影范圍與投影內(nèi)容；投影地圖可通過GeoStyling命令繪制等高線圖、衛(wèi)星影像圖等不同專題地圖；GeoGridLines決定了經(jīng)緯網(wǎng)格的投影效果。

Mathematica的可視化功能并非獨立存在，它能夠與符號運(yùn)算功能結(jié)合使用。表2為部分地理信息編輯命令，通過對表中命令的使用，可以輸出研究人員所需地理信息，進(jìn)行投影數(shù)據(jù)的處理與變換。Mathematica兩大功能組合起來，使得地圖投影的可視化與研究工作更加直觀、便捷、易于理解。

表1 Mathematica支持的投影類型

表2 部分Mathematica地圖編輯命令

2 Mathematica在地圖投影中的應(yīng)用

2.1 常規(guī)地圖投影的繪制

在地圖投影的教學(xué)和研究中，最為基礎(chǔ)的工作就是了解各類投影的基本信息和投影地圖。Mathematica展繪的墨卡托投影世界地圖如圖1所示。

圖1 墨卡托地圖投影

2.2 特定區(qū)域地圖投影的繪制

Mathematica除了簡單地繪制不同投影類型的世界地圖外，還可以設(shè)置投影條件進(jìn)行特定區(qū)域或投影內(nèi)容的投影。根據(jù)不同的投影要求，Mathematica可實現(xiàn)以下兩類特定區(qū)域的地圖投影，一類是劃定以經(jīng)、緯線范圍的區(qū)域投影，一類是具有明確邊界的區(qū)域投影。

2.2.1 限定經(jīng)、緯度范圍的區(qū)域投影

Mathematica可以將投影區(qū)域劃定為以一定的緯度和經(jīng)度范圍。當(dāng)投影緯度范圍是{-90,90}，經(jīng)度范圍是 {-180,180}時，展繪結(jié)果為世界地圖。當(dāng)僅限定緯度變化范圍，經(jīng)度范圍不限時，可得到某緯度帶的投影圖，此法常用于極地區(qū)域投影地圖的繪制。如圖2虛線內(nèi)圖像所示，展繪區(qū)域限定為北緯60°～ 90°的全經(jīng)度范圍時，繪制結(jié)果為北極區(qū)域蘭伯特等角投影地圖。

2.2.2 具有明確邊界的區(qū)域投影

Mathematica的數(shù)據(jù)庫中包含了世界大部分國家和地區(qū)的地理數(shù)據(jù)、人文信息、經(jīng)濟(jì)實力、政治屬性等信息，通過Entity命令進(jìn)行調(diào)用。Mathematica可以展繪出不同大洲、國家、城市等具有特定邊界的區(qū)域的投影地圖。如圖3所示，展繪結(jié)果為亞洲的墨卡托投影地圖。

圖2 北極區(qū)域蘭伯特等角投影地圖

圖3 亞洲區(qū)域墨卡托投影地圖

2.3 地圖投影信息的提取與分析

Mathematica在地圖投影方面的一大亮點，就是可以結(jié)合函數(shù)命令對于可視化結(jié)果中的信息進(jìn)行提取與再處理。在地圖投影的研究工作中，展繪的投影結(jié)果能夠使研究人員更直觀地分析地圖投影特性，Mathematica將地圖投影的相關(guān)信息包含在了可視化結(jié)果中，通過友好的交互能力和函數(shù)命令進(jìn)行相應(yīng)信息的輸出與處理。

2.3.1 基本信息提取

投影地圖中最基本的信息即投影基本參數(shù)、投影基準(zhǔn)橢球參數(shù)、投影坐標(biāo)等，通過GeodesyData、GeoProjectionData等命令可以對上述信息進(jìn)行提取，對于地圖投影研究者進(jìn)行相關(guān)分析時查閱投影參數(shù)提供了便利。

在圖上量測方面，Mathematica可以實現(xiàn)信息投影點的坐標(biāo)信息提取，表2中的部分命令可以實現(xiàn)地圖中兩點間的距離、方位、投影坐標(biāo)等信息，對地圖投影中目標(biāo)點的量測和不同投影之間相互轉(zhuǎn)換過程的正確性提供了依據(jù)。如圖4所示，通過EntityValue命令，輸出結(jié)果為GeoPosition類型的對象，國家的地理坐標(biāo)以{緯度, 經(jīng)度}數(shù)據(jù)對的形式存儲于GeoPosition對象中。Mathematica同時具有較好的人機(jī)交互能力，若需要輸出圖4所示的信息，可以通過輸入Mathematica命令行進(jìn)行調(diào)用，還可以通過操縱鼠標(biāo)直接在工作頁面上進(jìn)行操作。

圖4 輸出結(jié)果為中國邊界點坐標(biāo)數(shù)據(jù)集

2.3.2 與符號運(yùn)算功能結(jié)合的對比分析

Mathematica固有的符號運(yùn)算能力與可視化能力結(jié)合，可以發(fā)揮更加強(qiáng)大的功能，不僅可以展繪單個地圖投影，還能同時展繪多幅地圖投影圖，便于研究人員依據(jù)不同地圖投影的繪制結(jié)果進(jìn)行對比分析。投影地圖中經(jīng)緯網(wǎng)的變化情況可以幫助理解投影的性質(zhì)與變形情況，如圖5所示，該段代碼的功能是同時繪制出墨卡托投影、橫軸墨卡托投影、蘭伯特等方位投影的地圖，可以通過對比更直觀的分析不同投影模式下的投影效果、經(jīng)緯網(wǎng)的形狀、投影變形情況等內(nèi)容，有助于加深對不同地圖投影類型的投影特點、變形情況等方面的理解和學(xué)習(xí)。

圖5 Mathematica繪制的不同類型投影地圖

結(jié)合地圖展繪命令，研究人員可以依據(jù)研究任務(wù)需求自定義地圖投影函數(shù)。本文自定義了一個簡單的投影函數(shù)，該函數(shù)可以繪制美國的任意一種投影地圖，代碼如下：

mapAmerica[proj_]:=GeoGraphics[{EdgeForm[Black],Polygon[Entity[“Country”,“America”]]},GeoProjection→proj,GeoGridLines →Quantity[10,“AugularDeg rees”]]。其中，proj為投影類型自變量，可為該區(qū)域可行的任一投影方式名稱。在調(diào)用時，只需輸入如下代碼即可調(diào)用該函數(shù)，繪制結(jié)果如圖6所示。

圖6 自定義函數(shù)繪制美國橫軸墨卡托地圖投影

不僅僅是投影類型可作為變量進(jìn)行改變，投影范圍、投影中心、投影基準(zhǔn)經(jīng)/緯線等條件均可作為自變量。該功能可以用于設(shè)置參數(shù)對照實驗，在保證其他投影參數(shù)不變的情況下，通過改變特定投影條件的不同參數(shù)，可以具體觀察某類地圖投影類型的變化情況，有助于在教學(xué)中加深對地圖投影基本原理的理解與掌握。

對于從Mathematica數(shù)據(jù)庫中調(diào)用的地圖數(shù)據(jù)或是從外部導(dǎo)入的地圖數(shù)據(jù)，研究人員可以利用Mathematica的符號運(yùn)算功能，寫出不同坐標(biāo)系統(tǒng)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式，對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。再將處理后的坐標(biāo)展繪成圖，以此觀察經(jīng)過投影變換處理后的區(qū)域投影狀況。

2.3.3 拓展應(yīng)用

對于Mathematica地圖可視化功能，上述都是其在地圖投影學(xué)中的基本應(yīng)用，其實，將GeoGraphics中圖形編輯與量測命令組合，可以更加靈活地實現(xiàn)對投影要素的分析，如GeoPosition與GeoGridPosition組合使用，可以實現(xiàn)點在地理坐標(biāo)系與不同投影坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換；GeoDirection和GeoDistance兩個命令的應(yīng)用，能解決大地測量反演問題。

除了基礎(chǔ)用法外，部分地圖繪制命令的使用可以更直觀地讓使用者觀察到投影地圖的特點與變形情況。本文以GeoPath和GeoDisk兩個命令為例。

GeoPath作用是繪制兩點間的任意指定路徑，通過該命令可以在地圖上繪出大地線、恒向線、大橢圓線等。結(jié)合Mathematica的動態(tài)交互式繪圖功能，如圖7所示，通過上方4個工具條，可以實現(xiàn)兩端點地理坐標(biāo)的改變，繼而實現(xiàn)投影地圖上大地線、恒向線和圖上直線的動態(tài)變化。該功能可以使受眾更加直觀地理解地圖投影中大地線、恒向線的性質(zhì)與特點。

圖7 動態(tài)繪制大地線(虛)、恒向線(粗)、直線(細(xì))

GeoDisk命令的基礎(chǔ)用法是在地球表面上指定中心點與半徑繪圓。利用其繪制基準(zhǔn)為地理坐標(biāo)與地理距離的特點，展繪的圓能夠體現(xiàn)出投影地圖的長度變形和面積變形情況，實質(zhì)上等同于地圖投影變形橢圓。圖8即墨卡托投影的變形橢圓，可以繪制地圖的變形橢圓。

圖8 墨卡托投影變形橢圓

此外，Mathematica可以進(jìn)行地圖制圖，類似于ArcGIS等軟件的地圖編輯加工功能。根據(jù)需要限定投影區(qū)域與投影方法，指定專題地圖類型，進(jìn)行簡單的圖幅分幅，再加上邊框、地圖注記、指南針、圖例、比例尺等信息，輸出成圖。

3 結(jié)束語

以往Mathematica在地圖投影中的應(yīng)用主要表現(xiàn)為在一定程度上簡化了公式推導(dǎo)過程。如今，Mathematica龐大的數(shù)據(jù)庫結(jié)合其強(qiáng)大的可視化能力，讓使用者可以根據(jù)需要繪制不同區(qū)域、不同投影類型的地圖；所具備的人機(jī)交互能力讓使用者更加便捷地進(jìn)行相關(guān)地圖投影數(shù)據(jù)的提取與編輯工作；可視化功能結(jié)合符號運(yùn)算能力，將抽象的地圖投影公式形象化為具體的圖像，為研究人員更好地進(jìn)行地圖投影方面的研究與教學(xué)工作提供了強(qiáng)大的支撐。

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The visualization of map projection based on computer algebra system

LIU Jiaqi1, YUAN Jiansheng2, LI Houpu1

(1. Dept. of Navigation Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China;2. Navigation Guarantee Bureau, Navy Staff Office, Beijing 100841, China)

At present, the application of computer algebra system in map projection is mainly to simplify the process of mathematical analysis and formula derivation, but is less in the field of map projection visualization. Based on the capability of visualization of Mathematica software and the traditional advantages of data calculation and symbolic operation, this paper studies the application of computer algebra system in the plotting of map projection, the extraction and analysis of projection information, the extension application of foundation commands. The research shows that this computer algebra system has the capability to solve the basic problems in map projection and provide powerful support for related research and teaching work. It is a very convenient tool in map projection.

computer algebra system; mathematica software; map projection; visualization

10.19352/j.cnki.issn1671-4679.2017.06.001

2017-05-02

國家自然科學(xué)基金資助項目(41671459，41571441)

劉佳奇(1994-)，女，碩士研究生，研究方向：地圖投影.

P282

A

1671-4679(2017)06-0001-05

[責(zé)任編輯：劉文霞]