楊浩天， 汪立新， 王 琪， 孫田川

(火箭軍工程大學，西安 710025)

一種改進的重疊式三子樣圓錐誤差補償算法

楊浩天， 汪立新， 王 琪， 孫田川

(火箭軍工程大學，西安 710025)

針對增加子樣數(shù)會降低系統(tǒng)姿態(tài)更新頻率、引入較大的圓錐誤差，提高采樣頻率會增加導航計算機的硬件負擔的問題，提出一種改進的圓錐誤差補償算法。利用前兩個計算周期陀螺輸出的角增量信息和當前時刻陀螺采樣值通過重疊式采樣的方式進行圓錐誤差補償，詳細推導了重疊式三子樣補償算法的公式，根據(jù)算法誤差最小準則得到補償系數(shù)。該算法不僅提高了系統(tǒng)姿態(tài)更新頻率，而且減少了由等效旋轉矢量算法引入的圓錐誤差，達到了提高姿態(tài)解算精度的目的。

捷聯(lián)慣導系統(tǒng)； 圓錐誤差;重疊式采樣； 姿態(tài)算法； 誤差最小準則

0 引言

姿態(tài)更新算法是捷聯(lián)慣導系統(tǒng)算法的核心,而剛體有限轉動的不可交換性是姿態(tài)解算的一個主要誤差源，在較惡劣的動態(tài)環(huán)境中，捷聯(lián)慣導系統(tǒng)存在較大的圓錐誤差，需要對其進行圓錐補償。

國內(nèi)外學者對圓錐誤差補償算法進行了大量研究：文獻[1-2]提出了等效旋轉矢量概念，為姿態(tài)更新多子樣算法提供了理論依據(jù)；文獻[3]針對旋轉矢量法進行系統(tǒng)姿態(tài)解算時存在的圓錐誤差，提出了一種利用前M個周期輸出的N子樣通用補償算法；文獻[4]通過分析陀螺儀輸出數(shù)據(jù)的相關性，提出一種基于間隔子樣的圓錐誤差補償方法，對旋轉矢量進行了修正；文獻[5]考慮圓錐運動幅值特性，利用最小二乘方法估計圓錐補償算法的加權系數(shù)，得到一種新的捷聯(lián)慣導系統(tǒng)圓錐誤差補償算法；文獻[6]推導出基于角增量和角速率的兩種旋轉矢量算法及計算誤差，證明了圓錐補償誤差隨采樣頻率和圓錐運動的比值定量變化；文獻[7]給出了一種新的角速率輸入圓錐誤差補償結構，并且定義了姿態(tài)算法的性能評價模型；文獻[8]對圓錐誤差引起的速度誤差進行了研究，詳細推導了新的二子樣更新補償算法。

現(xiàn)有圓錐誤差補償算法已經(jīng)相當成熟，但是存在的問題有：相同采樣頻率下增加子樣數(shù)，會降低SINS姿態(tài)更新頻率；而要保持姿態(tài)更新頻率，就要提高采樣頻率，會增加導航計算機硬件負擔，因此，本文基于文獻[9-10]提出一種改進的重疊式三子樣圓錐誤差補償算法，與傳統(tǒng)算法相比,在提高姿態(tài)更新頻率的基礎上還提高了圓錐誤差的補償精度。

1 旋轉矢量與經(jīng)典圓錐誤差補償算法

在捷聯(lián)慣導系統(tǒng)中，姿態(tài)更新是將角增量信息從機體坐標系轉化為導航坐標系，兩個坐標系之間的角運動關系可以用剛體的旋轉矢量法來表示。剛體在空間做有限轉動時，角增量雖然微小，但不能視為無窮小。因此，其空間角位置與旋轉次序有關，即存在不可交換性誤差。設Φ為載體的旋轉矢量，等效旋轉矢量微分方程[1]為

(1)

(2)

基于四元數(shù)微分方程姿態(tài)的更新算法在捷聯(lián)慣導系統(tǒng)被廣泛應用，即

(3)

式中：Q表示t時刻的姿態(tài)四元數(shù)；?表示叉乘。

由空間矢量與四元數(shù)的關系可得，在tk時刻的四元數(shù)為

Q(tk)=Q(tk-1)?q(h)。

(4)

設q(h)為時間tk到tk+h的更新四元數(shù)，即

(5)

假設經(jīng)典圓錐運動描述為

(6)

式中：a為圓錐運動幅值；w為運動頻率。

從而可以得到描述圓錐運動的角速度矢量為

(7)

由文獻[5]可得更新四元數(shù)q(h)為

(8)

(9)

式中：qi中的i=1,2,3,表示四元數(shù)中向量部分的數(shù)；而φi對應的是坐標系的x,y,z軸。

φi=2qi

(10)

則由式(8)、式(10)得

(11)

假設在一個周期中采樣N次，則第i次陀螺采樣角增量為

(12)

前面第k個周期的增量

(13)

文獻[11]推導出傳統(tǒng)的圓錐誤差補償算法

(14)

文獻[12]提出利用前一周期角增量的算法，精度有所提高,其補償算法公式為

(15)

2 改進的圓錐誤差補償算法

本文利用重疊式采樣得到的前兩個周期的角增量信息，對圓錐誤差進行補償。

(16)

式中：ΔΦ為實際計算的等效旋轉矢量；θ為當前周期的角增量；θi為第i次采樣的角增量；θ′，θ″為前兩個周期的角增量；P，Q為相應的權重。

經(jīng)典采樣法的原理見圖1，在完成圓錐誤差補償周期hk后，需要等待N個采樣周期才能進行下一步的補償，本文提出一種改進的采樣方式：只需要等待一個采樣周期Δθn+1，即可與Δθ2,Δθ3,…,Δθn構成新的N子樣，完成補償周期hk+1，如圖2所示。

圖1 經(jīng)典采樣法原理圖Fig.1 Schematic diagram of classical sampling method

圖2 重疊式采樣法原理圖Fig.2 Schematic diagram of superimposed sampling method

由式(16)可得本文所提出改進三子樣算法的算式

ΔΦ=θ+Kn-2,n-1(θn-2×θn-1)+Kn-2,n(θn-2×θn)+

Kn-1,n(θn-1×θn)+P(θ′×θ)+Q(θ″×θ)

(17)

式中:θn-2，θn-1，θn為重疊式三子樣的采樣值;Kij為補償系數(shù)，其余參量與前述一致。

將式(12)、式(13)代入式(17)中，可得

(18)

由式中比較可知，只有x軸含有直流分量，將其定義為

φε=ΔΦ1-φ1。

(19)

基于使算法誤差的低次冪項為零，以達到使算法誤差最小的準則，推導改進算法的補償項系數(shù)及相應算法直流分量誤差

(20)

對上式三角函數(shù)進行高階泰勒展開可得

(21)

令(wh)3，(wh)5,(wh)7,(wh)9各項系數(shù)為零，可得等式

(22)

3 仿真實驗與結果分析

3.1 定性及定量分析

為了驗證本文提出的改進算法的有效性，首先比較不同算法圓錐誤差補償系數(shù)及漂移量，如表1所示。

由表1中數(shù)據(jù)分析可知：本文提出的算法在優(yōu)化系數(shù)上分母位數(shù)較高，在誤差估計精度上比傳統(tǒng)算法和文獻[9]中的算法高出4個數(shù)量級；與文獻[10]相比較，精度略高出9倍。

在不同圓錐運動頻率下，算法漂移誤差是不同的。通過定量分析比較上述算法在不同頻率下的漂移量,如表2所示。

表1 不同算法的系數(shù)和漂移誤差比較

設姿態(tài)更新周期為h=0.03 s，圓錐運動的半錐角a為1°。

表2 不同算法的漂移比較

由表2中數(shù)據(jù)可得:當頻率小于30 Hz時，隨著圓錐運動頻率的增加，單個算法的漂移量逐漸增加，本文算法的漂移均較小。當頻率大于30 Hz時，本文提出的算法與傳統(tǒng)算法的漂移量在同一個數(shù)量級。在不同的錐運動頻率下，驗證了改進算法的有效性和正確性。說明相較于文獻[9-10]的漂移量，改進的圓錐誤差補償算法效果明顯。

3.2 算法性能分析

為了更直觀地證明改進算法的優(yōu)越性，本文通過Matlab仿真，分析不同算法的航向角誤差，來評價圓錐誤差補償效果。

仿真條件：輸入為典型的圓錐運動，角速度計算公式如式(8)；半錐角a為1°，錐運動頻率為2 Hz，采樣周期為0.01 s，姿態(tài)更新周期h為0.03 s，仿真時間為90 s。結果如圖3所示。

圖3 不同算法的航向角誤差比較圖Fig.3 Heading angle error of different algorithms

由圖3可清晰地觀察到本文算法的誤差值較其他3種算法有所降低，同時也間接說明了利用前兩個周期的角增量和進行重疊式采樣的改進算法的優(yōu)越性。

4 結束語

在捷聯(lián)慣導系統(tǒng)姿態(tài)更新過程中,圓錐誤差補償精度直接影響解算精度，本文提出一種改進的捷聯(lián)慣導系統(tǒng)圓錐誤差補償算法，根據(jù)誤差最小原則得到一組優(yōu)化的補償系數(shù)，通過詳細的理論推導和仿真結果表明：本文算法比傳統(tǒng)算法精度高出4個數(shù)量級，并且比現(xiàn)有的相同子樣的補償算法的姿態(tài)更新頻率提高了4倍,對提高慣導系統(tǒng)精度有一定的借鑒意義。

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[9] 肖勝．激光慣導系統(tǒng)流水式旋轉矢量算法研究[J].光學與光電技術,2015，13(4)：51-56.

[10] 丁楊斌,滿順強,申功勛.一種新的捷聯(lián)慣導系統(tǒng)圓錐誤差補償算法[J].北京航空航天大學學報,2007,33(11):1261-1264.

AnImprovedSuperimposedThree-SampleConingErrorCompensationAlgorithm

YANG Hao-tian, WANG Li-xin, WANG Qi, SUN Tian-chuan

(Rocket Force University of Engineering,Xi’an 710025,China)

In view of the problems that increasing the sample number will reduce system attitude updating frequency and bring large coning error,while enhancing sampling frequency will increase the burden of navigation computer hardware,we proposed a modified conic error compensation algorithm.The angle increment information of the first two cycles’ gyro output and the gyro sampling values of the current moment are used for coning error compensation by means of superimposed sampling,and the compensation factors are obtained according to the principle of minimum error.The algorithm not only improves system attitude updating frequency,but also reduces the coning error caused by equivalent rotation vector method.Therefore,the precision of attitude algorithm is improved.

SINS; coning error; superimposed sample; attitude algorithm; principle of minimum error

U666

A

1671-637X(2017)03-0020-04

2016-03-22

2016-04-01

國家自然科學基金(61174030)

楊浩天(1991 —),男，陜西西安人，碩士生，研究方向為半球諧振陀螺IMU導航算法與誤差分析。