黃 峰，王保乾

(河海大學商學院，江蘇 南京 211100)

基于福州市降水量數據研究降水期權定價

黃 峰，王保乾

(河海大學商學院，江蘇 南京 211100)

為應對干旱、洪澇等降水事件給相關經濟主體帶來的風險，基于1953年1月至2016年12月福州市月均累積降水量數據，運用威爾克斯法對降水量進行建模，利用蒙特卡羅模法對降水期權進行定價從而得到降水期權價值，并提出發(fā)展我國降水期權的政策建議。

降水期權；定價；威爾克斯法；蒙特卡羅模擬

福建省地處我國東南沿海，以山地丘陵地形為主，且水系密布，河流眾多，河網密度大，季風環(huán)流因受到全球氣候變化的影響，加劇了干旱、洪澇災害對福建省各地的破壞力，極易引發(fā)各種地質災害和水生災害[1]。

面對氣候變化下降水量變動引發(fā)的干旱、洪澇災害造成的人身與財產損失，運用單一的保險工具進行風險管理無法滿足現實的需求。降水期權作為一種典型的天氣衍生產品，相比于保險，其風險管理所適用的領域更廣。只要風險管理的標的與降水相關或掛鉤，降水期權就能夠發(fā)揮作用。通過降水期權，農民、涉農企業(yè)、用水生產企業(yè)、水力發(fā)電企業(yè)、保險公司等就能夠有效管理自身面臨的降水不確定性風險。同時，降水期權的出現也豐富了金融投資的品種，在一定程度上起到活躍金融市場、提升金融市場效率、完善金融市場結構機制的作用。

本文借助威爾克斯法，基于1953年1月至2016年12月福州市月均累積降水量數據，從福州市月降水量頻率和數量兩方面構建降水模型，并采用蒙特卡羅模擬法[2]計算降水期權價值，為降水期權的實踐提供實證經驗和政策建議。

1 降水模型的建立

以降水期權為代表的降水衍生品，不同于權益衍生品。降水衍生品的收益中沒有市場給予補償的系統(tǒng)風險。因此，降水衍生品的定價主要根據歷史數據得到期望值，并在風險中性世界中運用無風險利率對期望值進行貼現而完成定價[3]。對降水期權定價的首要工作就是基于歷史數據建模估計期望值[4-6]。

降水量的建模不同于溫度、風力等天氣變量，降水量的觀測值包含更多的不確定性。對于降水期權定價而言，運用統(tǒng)計方法建立降水量模型較適合，本文采用威爾克斯法。威爾克斯法主要有兩個步驟：①使用馬爾科夫鏈建立降水頻率模型，②采用適當的分布擬合數據建立似然條件下的降水數量模型[4,7]。

1.1 降水頻率模型的建立[8-9]

馬爾科夫鏈是一個離散隨機過程，用于描述一個狀態(tài)序列。序列中某一時刻的隨機變量狀態(tài)值取決于在該時刻之前有限個隨機變量的狀態(tài)值。變量狀態(tài)值的所有可能取值構成的集合，稱為隨機變量的狀態(tài)空間。隨機變量從某一時刻某一狀態(tài)值變?yōu)橄乱粫r刻某一狀態(tài)值這一事件發(fā)生的概率，稱為馬爾科夫鏈的轉換概率。

定義隨機變量Xt為一個二值變量，取值0或1，得到隨機變量的狀態(tài)空間Ω={0,1}。因本文采用月度數據，降水量在月度同比或月度環(huán)比下僅有增加或減少兩種可能性，故假定只存在降水增加或降水減少兩種狀態(tài)。定義：

(1)

pij=Pr{Xt+1=j|Xt=i}

(2)

式中：pij表示從t時刻的狀態(tài)i到t+1時刻的狀態(tài)j的轉換概率；Pr{Xt=j|Xt-1=i}表示已知t時刻隨機變量的狀態(tài)為i的條件下，t+1時刻隨機變量的狀態(tài)為j的概率。假設某一時刻隨機變量的狀態(tài)值取決于在該時刻之前m個隨機變量的狀態(tài)值，則稱m為馬爾科夫鏈的階數。因此，m階馬爾科夫鏈的轉換概率為

Pr{Xt+1|Xt,Xt-1,…,X1}=

Pr{Xt+1|Xt,Xt-1,…Xt+1-m}

(3)

轉換概率的計算，需要基于樣本數據進行極大似然估計，根據：

(4)

式中：i,…,jk表示從狀態(tài)i經過m次變化到狀態(tài)k的狀態(tài)變化路徑；ni,…,jk表示數據中滿足按照狀態(tài)i經過m次變化到狀態(tài)k的狀態(tài)變化路徑的數據個數；ni,…,j·表示數據中狀態(tài)i經過m次變化到狀態(tài)k的狀態(tài)變化路徑下，所有k可取狀態(tài)值的數據個數的累加和。在二值狀態(tài)空間下，有：

(5)

馬爾科夫鏈的建立是降水頻率模型建立的關鍵。而在馬爾科夫鏈的建立過程中，最關鍵的是馬爾科夫鏈階數的選擇。馬爾科夫鏈階數的選擇主要依靠赤池的AIC赤池信息準則和施瓦茨的BIC貝葉斯信息準則。通過選擇AIC、BIC中最小數值所對應的階數來確定馬爾科夫鏈的階數。假設狀態(tài)空間有s個狀態(tài)，這些狀態(tài)的取值是離散的自然數，s個狀態(tài)對應于自然數0，1，…，s-1。則s個狀態(tài)的馬爾科夫鏈似然函數：

(6)

假設n表示數據的個數，則s個狀態(tài)對應的m階馬爾科夫鏈的AIC、BIC函數分別是：

AIC(s,m)=-2Ls+2sm(s-1)

(7)

BIC(s,m)=-2Ls+2smln(n)

(8)

基于上述理論，使用福州市1953年1月到2016年12月的月均累積降水量數據進行研究，數據來源于中國氣象數據網和福州市氣象局網站。福州市屬于季風性氣候，降水量的變化具有明顯的季節(jié)性。如果數據按照時間順序研究，就必須考慮季節(jié)性效應問題。為避免該問題，將數據按月分組，對每個月分別建立馬爾科夫鏈。如此一來，每個月的轉換概率能夠分別通過不同的似然函數和AIC、BIC準則確定，同時消除了季節(jié)性影響，提高了轉換概率估計的精度[10]。

根據表1可知，無論是AIC準則還是BIC準則，當選擇馬爾科夫鏈的階數為1階時，所有月份的AIC、BIC的函數值是最小的。因此應采用兩狀態(tài)、1階馬爾科夫鏈對福州市每個月的降水量進行頻率建模。確定馬爾科夫鏈的階數后，開始計算馬爾科夫鏈下的轉換概率。

表1 每月不同階AIC、BIC準則的函數值

由表2可知，同一月份年與年之間降水狀態(tài)出現改變的概率要比降水狀態(tài)不出現改變的概率高，即降水量的變動是降水增加和降水減少交替出現的概率較高，而連續(xù)兩年出現降水增加或降水減少的概率較低。通過建立降水頻率模型，能夠大致了解在年份時間上每個月降水量變動的轉換過程，以統(tǒng)計角度為下一年同期月份的降水增加或減少事件發(fā)生的預測提供依據，為降水期權的定價提供間接參考。

表2 每月降水變動的轉換概率值

1.2 降水數量模型的建立

降水數量模型的建立主要依據歷史數據選擇合適的分布進行擬合。通過繪制每月降水量的頻數分布直方圖(圖1)，可以觀測數據比較接近于哪一種分布。由圖1可見，降水量分布主要呈現兩種形態(tài)：圖1(a)的“左高密右低疏”的非正態(tài)分布以及圖1(b)的近似正態(tài)分布。因此，需要對數據進行正態(tài)性檢驗。正態(tài)性檢驗主要采用JB(Jarque-Bera)統(tǒng)計量進行。

圖1 福州市降水量頻數分布直方圖

在5%的置信概率下，從表3可知，僅4—6月的數據接受了正態(tài)分布的假設，而其余月份均拒絕假設。僅用一個統(tǒng)計分布對月降水量數據進行擬合，必然會存在偏差。所以，對不同月份應采用不同的分布進行擬合。根據正態(tài)分布性檢驗，對4—6月的數據采用正態(tài)分布進行擬合。對其他月份的數據分別采用伽馬分布、指數分布和瑞利分布進行擬合，并對這3種分布擬合出的結果同原始數據進行比較，選取一個最佳的分布。表4為4個統(tǒng)計分布的匯總。表5和表6為除4—6月的其他月份降水量數據擬合結果比較。

表3 降水量正態(tài)性檢驗結果

根據數據擬合的結果，多數分布擬合出的期望值與實際值非常相近，但不同分布下擬合的標準差、偏度和峰度具有較大的差異。綜合比較表5和表6中3種分布下的標準差、偏度和峰度可以得出，相較于其他分布，伽馬分布對降水量擬合更貼近實際值。故對除4—6月的其他月份降水量采用伽馬分布進行擬合。至此，確定了福州市每月的月均累計降水量分布。通過建立降水數量模型，可以得到福州市每月降水量的期望值，為降水期權的定價提供了直接的參考依據。

表4 分布的概率密度函數及其數字特征

表5 降水量伽馬分布擬合結果比較

2 降水期權的定價

a.基于歷史數據建模估計期望值。期權主要分為香草期權和奇異期權。香草期權主要包括看漲期權和看跌期權兩類，而奇異期權主要包括障礙期權、亞式期權等。由于降水是不可交易資產，降水期權只能通過現金交割，所以需要通過設定交易乘數使降水期權可交易化。

表6 降水量指數分布和瑞利分布擬合結果比較

用Cmonth和Pmonth分別表示每月降水的看漲期權和看跌期權的價值，有：

Cmonth=e-r(T-t)max(Xmonth-K,0)κ

(9)

Pmonth=e-r(T-t)max(K-Xmonth,0)κ

(10)

式中：κ為交易乘數，元/mm；Xmonth為每月降水的期望值，最小變動單位為0.1 mm，month表示對應的月份；K為執(zhí)行降水量，單位和最小變動單位與降水期望值相同；r為無風險利率；(T-t)表示期權的剩余到期時間，a。

不同月份的降水量有不同的特點，為了避免極端降水過少或過多兩種情況的發(fā)生給期權賣方帶來巨大損失，期權賣方可以選擇出售障礙期權。理論上，障礙期權取決于標的價格或指數在一段時間內是否達到某個特定的水平。障礙期權可以分為敲出期權和敲入期權，當標的資產價格或指數達到一定水平時，敲出期權失效，敲入期權生效。因為降水不同于權益證券，所以本文的障礙期權是一種“類障礙期權”：當降水達到一定水平時，敲入、敲出期權的回報保持一個固定值。假設障礙值為Hmonth，用Fmonth表示回報的固定值，敲入、敲出期權的回報分別用Imonth和Omonth表示，有：

(11)

(12)

b.在風險中性世界中運用無風險利率對期望值進行貼現。蒙特卡羅模擬以“試驗”方法進行，通過構造描述相應的概率過程，從已知的概率分布中進行抽樣，從數學模擬中得到隨機變量的期望值作為問題的近似解。設蒙特卡羅模擬的次數為N，每次蒙特卡羅模擬得到的降水量期望值為Xi，可以得到看漲期權和看跌期權在蒙特卡羅模擬下的期權價值[11-12]：

(13)

(14)

假定κ=10元/mm，期權剩余到期日為1 a，無風險利率為1.5%，蒙特卡羅模擬次數為10萬次，進行香草期權的定價，期權價值的最小變動單位為1元。表7為在福州1月月均累積降水量數據下，不同執(zhí)行降水量的降水看漲期權和降水看跌期權的價值。由表7可以看出，降水看漲、看跌期權價值與執(zhí)行降水量之間的關系與權益類看漲、看跌期權有著相同的規(guī)律。執(zhí)行降水量越高，對看漲期權而言價值越低，對看跌期權而言價值越高。

表7 福州1月降水看漲期權與看跌期權的期權價值

運用相同方法，也可以為敲入期權和敲出期權進行定價。其他參數不變，敲入期權的障礙值為 10 mm，敲出期權的障礙值根據每個月降水的特點來設定。以福州1月降水量為例，設1月的障礙值為200 mm。表8為在福州1月月均累積降水量數據下，不同執(zhí)行降水量的降水敲入期權和降水敲出期權的價值。

降水敲入期權的價值與行權降水量之間的關系同看跌期權，降水敲出期權的價值與行權降水量之間的關系同看漲期權。正因為障礙期權中障礙值的存在限制了可能存在的無限收益，因此障礙期權比普通期權便宜。通過比較表7、表8的結果，同一執(zhí)行降水量條件下，降水敲出期權的價值低于降水看漲期權，降水敲入期權的價值低于降水看跌期權。

表8 福州1月降水敲入期權與敲出期權的期權價值

3 降水期權發(fā)展的政策與建議

a.積極學習國外先進經驗成果，夯實國內發(fā)展降水期權的基礎。包括降水期權在內的天氣衍生品在國內是較為新鮮的事物，且當前國內并沒有可供交易的天氣衍生品。美國早在20世紀90年代就已推出溫度變量為代表的天氣衍生品，并相繼上市風力、降水等以天氣變量為標的的天氣衍生品。芝加哥商品交易所向美國的主要城市提供降雨期貨、降雨期貨期權、降雪期貨、降雪期貨期權等種類的降水衍生品。降水衍生品為美國涉水經濟主體、政府等利益相關者提供了有效的風險管理工具。中國發(fā)展降水期權，應當深入了解美國在天氣衍生品方面定價和應用的有關理論基礎和實際操作，同時比較中美在發(fā)展天氣衍生品市場基礎條件方面的異同點，為發(fā)展我國天氣衍生品交易奠定基礎。

b.加快推進交易所商品期權的發(fā)展。當前我國的大連商品交易所、鄭州商品交易所雖然已經分別上市豆粕期權和白糖期權，但仍處于起步階段，而絕大多數其他品種的商品期權則集中于場外交易。場外期權的交易存在門檻高、合約價格高、市場流動性差等問題，導致場外商品期權的交易非常不活躍。降水等天氣方面因素對大多數商品，特別是農產品有著明顯的影響。正因為農產品與天氣變量之間的高度相關性，若沒有積極活躍的商品衍生品市場，就沒有相應的天氣衍生品市場的生存空間。一個交易活躍、流動性強的商品衍生品市場，才能為天氣衍生品市場提供良好的發(fā)展沃土；而積極的天氣衍生品市場也會促進商品衍生品市場的健康發(fā)展，從而提升整個金融市場的運行效率，使金融更好地為實體經濟服務。

c.強化金融機構之間的交流合作。2016年中央一號文件中提出，完善農業(yè)保險制度，探索開展重要農產品目標價格保險，以及收入保險、天氣指數保險試點，穩(wěn)步擴大“保險+期貨”試點[13]。相較于期貨公司，保險公司更為廣大涉水利益相關者所熟悉。期貨公司直接同涉水利益相關者進行接觸，往往存在較大的溝通障礙。保險公司向涉水利益相關者提供以保險為工具的風險管理手段時，自身也承擔了相應的風險，也同樣需要相應的風險管理工具進行風險管理。對今后可能出現的降水指數保險，期貨公司可以提供降水衍生品，從而將保險公司和期貨公司兩個本質上同為風險管理的金融機構聯(lián)系在一起，在保險公司和期貨公司之間產生良性互動，以合作帶動我國降水期權的發(fā)展。

d.加強涉水利益相關者的普及宣傳引導，提高使用衍生品進行風險管理的積極性和主動性。推出降水期權后，只有參與者積極參與，市場才能活躍存在。加大對涉農企業(yè)、用水生產企業(yè)、水力發(fā)電企業(yè)等涉水利益相關者衍生品金融知識的宣傳普及，引導涉水利益相關者從被動地看天吃飯觀念轉變?yōu)橹鲃邮褂媒邓跈嗟妊苌愤M行風險管理，消除天氣因素影響可能帶來的潛在損失，才能從市場需求基礎上保證降水期權在內的天氣衍生品的正常發(fā)展。

[1] 程學寧，盧毅敏.基于SOM和PCA的閩江流域地表水水質綜合評價[J].水資源保護，2017，33(3)：59-67.

[2] 王晶晶，樊尊榮.含水層非均質性對地下水蒙特卡羅模擬結果的影響[J].水資源保護，2017，33(1)：46-51.

[3] WOLFGANG K H，BRENDA L C.The implied market price of weather risk[J].Applied Mathematical Finance，2012，19(1):59-95.

[4] ALEXANDRIDIS A K.Weather derivatives：modeling and pricing weather-related risk[M].West-Berlin：Springer-Verlag，2013：241-243.

[5] 彭龍，孫小麗.天氣衍生品中的制冷指數看漲期權定價研究與實證[J].北京郵電大學學報(社會科學版)，2013，15(1):87-90.

[6] CABRERA B L，ODENING M，RITTER M.Pricing rainfall futures at the CME[J].Journal of Banking & Finance，2013，37(11): 4286-4298.

[7] 王晶.天氣衍生品定價模型的構建[J].統(tǒng)計與決策，2016(15)：152-155.

[8] HESS M.Modeling and pricing precipitation derivatives under weather forecasts[J].International Journal of Theoretical & Applied Finance，2016，19(7):1650051.

[9] GIOVANNI M.Rainfall derivatives pricing with an underlying semi-Markov model for precipitation occurrences[J].Stochastic Environmental Research and Risk Assessment(SERRA)，2014，28(3):717-727

[10] LEOBACHER G，NGARE P.On modelling and pricing rainfall derivatives with seasonality[J].Applied Mathematical Finance，2011，18(1):71-91.

[11] 李詩云，朱曉武.霧霾指數期權合約設計及蒙特卡羅模擬定價[J].系統(tǒng)工程理論與實踐，2016，36(10):2477-2488.

[12] 李永，夏敏，梁力銘.基于O-U模型的天氣衍生品定價研究：以氣溫期權為例[J].預測，2012，31(2):18-22.

[13] 中共中央國務院.關于落實發(fā)展新理念加快農業(yè)現代化實現全面小康目標的若干意見[EB/OL].(2015-12-31)[2006-01-27].http：//news.xinhuanet.com/2016-01/27/c_1117916568.htm.

教育部重點支持領域科研專項(20116B31914)

黃峰(1992—)，男，碩士研究生，主要從事金融工程、金融計量、公司金融等研究。E-mail：fzbee1992@hhu.edu.cn

10.3880/j.issn.1003-9511.2017.06.009

F830

A

1003-9511(2017)06-0044-06

2017-05-12 編輯：胡新宇)