王曉云

高中數(shù)學(xué)求離心率e值的解法初探

王曉云

高中常見的離心率問題無非三種。題型一：求離心率的值；題型二：求離心率的取值范圍；題型三：與離心率有關(guān)的其他問題。本文僅處理第一類問題，下面就通過一些具體題目總結(jié)常見的解法。

一、定義法

反思：在標(biāo)準(zhǔn)方程的背景下，橢圓的四個頂點(diǎn)及兩個焦點(diǎn)均在坐標(biāo)軸上，由此與直線的截距具有了對應(yīng)關(guān)系，解題時注意其聯(lián)系。

二、齊次式法

根據(jù)題設(shè)條件，建立基本量a、b、c之間的關(guān)系式，利用a2=b2+c2（橢圓）c2=a2+b2或（雙曲線）轉(zhuǎn)化構(gòu)造a、c的關(guān)系（特別是齊二次式），進(jìn)而得到關(guān)于e的一元方程，從而解出離心率e。

例2：設(shè)橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2過F3作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是_______。

解：在等腰直角三角形中，PF2=F1F2即

∴c2+2ac-a2=0即e2+2e-1=0

例 3：設(shè) F1，F(xiàn)2為橢圓的兩個焦點(diǎn)，P 為直線上的一點(diǎn)，若△F1PF2是底角為30°的等腰三角形，則橢圓的離心率是______。

反思：以三角形為依托求圓錐曲線的離心率的值，若在直角三角形中，常常利用兩邊一角建立三角函數(shù)關(guān)系式求解。

例4：已知 B1，B2為橢圓短軸的兩個端點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，若四邊形B1F1B2F2為正方形，則橢圓的離心率為_____。

解：如圖，在Rt△B2OF2中得解得

例 5：已知F1、F2是雙曲線=1（a＞0，b＞c）的兩個焦點(diǎn)，過F2作 x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)A、B，連接AF1和 BF1，若△ABF1為正三角形，則雙曲線的離心率為______。

解：在Rt△AF1F2中

反思：以三角形為依托求圓錐曲線的離心率的值，若三角形具有對稱性常常割其半，在直角三角形中求解。

例 6：已知F1、F2是雙曲線的兩焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率為_______。

解：如圖，設(shè)MF1的中點(diǎn)為P，連接PF2

在Rt△PF1F2中，F(xiàn)1F2=2c，∠PF1F2=60°

反思：以三角形為依托求圓錐曲線的離心率的值，若三角形是焦點(diǎn)三角形，常常利用定義建立基本量a、b、c之間的關(guān)系式。

例7：已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，恰好是橢圓=1（a＞b＞c）的右焦點(diǎn) F，且兩條曲線的交點(diǎn)連線也過焦點(diǎn) F，則橢圓的離心率為_____。

反思：兩種曲線同現(xiàn)求離心率e，要注意利用公有量建立方程組，消元得到基本量a、b、c之間的關(guān)系式。

在求解圓錐曲線離心率的值時，建立a、c之間的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵。一定要認(rèn)真分析題設(shè)條件，合理選擇解題方法，把握好圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)，記住一些常見結(jié)論，在做題時不斷總結(jié)，擇優(yōu)解題。同時要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、轉(zhuǎn)化化歸等思想在其中的應(yīng)用?！?/p>

甘肅金昌市金川集團(tuán)有限公司第二高級中學(xué)）