榮亞亞 郭子健 吉 督 趙旭東

(1.華北理工大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院 河北 唐山 063210;2.華北理工大學(xué)理學(xué)院 河北 唐山 063000)(3.華北理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 河北 唐山 063210;4.華北理工大學(xué)建筑工程學(xué)院 河北 唐山 063210)

基于濾波反投影重建成像及CT系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定

榮亞亞1郭子健2吉 督3趙旭東4

(1.華北理工大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院 河北 唐山 063210;2.華北理工大學(xué)理學(xué)院 河北 唐山 063000)(3.華北理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 河北 唐山 063210;4.華北理工大學(xué)建筑工程學(xué)院 河北 唐山 063210)

CT即計(jì)算機(jī)斷層成像技術(shù)，是對(duì)物體進(jìn)行不同角度的掃描投影重建而獲得物體截面信息的成像技術(shù)。本文利用X射線、探測(cè)器與標(biāo)定模板幾何信息對(duì)一維CT系統(tǒng)進(jìn)行研究，通過濾波反投影重建算法對(duì)斷層圖像進(jìn)行處理，實(shí)現(xiàn)了濾波反投影圖像重建，給出了一種新型的標(biāo)定模板。

R－L濾波器;Radon逆變換;反投影圖像重建

針對(duì)問題一，首先，解決探測(cè)器單元的距離問題:以標(biāo)定模板的橢圓中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓圓心和小圓圓心連線所在直線為X軸建立直角坐標(biāo)系;對(duì)探測(cè)器接收信息數(shù)據(jù)矩陣進(jìn)行分析，建立了小圓實(shí)際半徑與小圓投影的探測(cè)器接收信息數(shù)據(jù)矩陣關(guān)系，求解得出探測(cè)器單元之間距離為0.2808mm，總長為143.4388mm;其次，解決X射線的180個(gè)方向問題:建立了基于橢圓方程和歐式距離公式等幾何關(guān)系的轉(zhuǎn)角計(jì)算模型，求解出轉(zhuǎn)角中X射線的初始位置約為－58.6900°;最后，解決CT系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)中心問題:當(dāng)X射線分別平行于X軸和Y軸時(shí)，對(duì)探測(cè)器中心，兩圓中心及坐標(biāo)軸進(jìn)行幾何分析，確定旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)為 (－9.5356， －6.3180)。

針對(duì)問題二，首先，對(duì)探測(cè)器的接收信息矩陣數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，選取各個(gè)方向的投影;其次，用R－L濾波器對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波處理，建立Radon逆變化模型，進(jìn)行反投影圖像重建，對(duì)重建的圖像分析，通過坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換對(duì)重建圖像進(jìn)行調(diào)整修復(fù);最后，確定出未知介質(zhì)在正方形托盤中幾何位置及幾何形狀，對(duì)重建圖像矩陣進(jìn)行像素壓縮，壓縮為256*256的圖像矩陣，建立壓縮后的矩陣與正方形托盤中實(shí)際坐標(biāo)的映射關(guān)系，得出正方形托盤上任意位置的吸收率。針對(duì)題中所給10個(gè)位置，求解出吸收率分別為0.0012，0.5103，－0.0002，0.4912，0.4936，0.4932，0.4952，0.5585， －0.0027， －0.0021。

針對(duì)問題三，對(duì)未知介質(zhì)的接收信息矩陣，建立基于問題二的濾波反投影圖像重建模型，采取相同技術(shù)處理路線，確定此未知介質(zhì)在正方形模板的幾何位置，幾何形狀和吸收率信息。計(jì)算得出10個(gè)位置的吸收率分別為 0.3976，0.4943，0.7050， －0.0424，1.2388，0.5597， －0.0738，1.0336，0.2364，0.2505。

針對(duì)問題四，首先，對(duì)原始模板的參數(shù)標(biāo)定進(jìn)行精度分析，結(jié)果表明探測(cè)器單元間距離誤差為0.0015、CT系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心在X，Y軸的坐標(biāo)誤差為0.4050，0.3077。創(chuàng)新模板采用菱形與圓形組合的模板與矩形模板，對(duì)探測(cè)器單元距離和旋轉(zhuǎn)中心參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定，提高了原始模板的參數(shù)標(biāo)定值精度;其次，分別對(duì)參數(shù)標(biāo)定的穩(wěn)定性和系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行優(yōu)化分析，對(duì)原始模板存在參數(shù)標(biāo)定時(shí)會(huì)有波動(dòng)范圍和吸收率的噪聲點(diǎn)的出現(xiàn);最后，針對(duì)噪聲點(diǎn)給出解決方案:引入反饋調(diào)節(jié)，對(duì)噪聲點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行識(shí)別處理，選取合適的模板材料。最終，模擬繪制出3種創(chuàng)新組合模板和對(duì)應(yīng)標(biāo)定模型。

一、問題分析

問題一的分析:確定以及該CT系統(tǒng)使用的X射線的180個(gè)方向。首先，由于小圓在探測(cè)器上的投影是不變的，根據(jù)小圓的直徑與投影的關(guān)系計(jì)算得出探測(cè)器單元之間的距離。CT系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心在正方形托盤中的位置的確定轉(zhuǎn)化成特殊位置求解，垂直于X軸和垂直于Y軸兩個(gè)位置。再根據(jù)實(shí)際距離和探測(cè)器單元之間的距離的關(guān)系求出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)。

問題二的分析:利用問題一得到的標(biāo)定參數(shù)，解決確定未知介質(zhì)在托盤中的位置，幾何形狀，吸收率和托盤上10個(gè)位置點(diǎn)的吸收率。使用濾波反投影圖像重建的方法，采用的技術(shù)路線為:(1)取投影 (2)數(shù)據(jù)濾波處理 (3)坐標(biāo)系變換 (4)運(yùn)用Radon逆變換 (5)圖像反投影重建。使用了Matlab等相關(guān)工具包進(jìn)行編碼繪制圖像的幾何形狀，在坐標(biāo)系中的幾何位置，并計(jì)算出180次選擇，各個(gè)位置處的吸收率。

問題三的分析:基于問題二，給出未知介質(zhì)的幾何形狀，幾何位置，吸收率，對(duì)問題三的數(shù)據(jù)進(jìn)行相同技術(shù)手段的處理，對(duì)其技術(shù)路線和原理不再進(jìn)行相同闡述，文中給出了對(duì)應(yīng)信息的結(jié)果及其結(jié)果分析。

二、問題假設(shè)

1.忽略X射線的體積和形狀，以質(zhì)點(diǎn)處理。

2.忽略X射線的衍射，將其視為直線傳播。

3.假設(shè)X射線由單一能量 (波長相同)的光子組成。

4.假設(shè)忽略探測(cè)器所探測(cè)到的一次或多次散射光子。

?

其中，λ1為通過小圓測(cè)得的探測(cè)器單元之間的距離，d為小圓的直徑，n1為小圓所占探測(cè)器單元的個(gè)數(shù)。橢圓與小圓之間的距離為x=26mm，橢圓的長半軸為a=40mm，橢圓的短半軸為b=15mm。

三、模型的建立與求解

(一)問題一模型的建立與求解

CT系統(tǒng)的X射線是平行等距光線，整個(gè)發(fā)射－接受系統(tǒng)繞一固定中心逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180次，在每一個(gè)X射線方向，具有512個(gè)等距單元探測(cè)器。

運(yùn)用Excel將附件2中的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，將大于0的數(shù)據(jù)單元格與等于0的數(shù)據(jù)單元格進(jìn)行不同顏色區(qū)分標(biāo)識(shí)，找出數(shù)據(jù)中的最大值、最小值、近似值。

得出結(jié)論1:基于透射原理分析可知，即探測(cè)器的接受信息數(shù)據(jù)最大值位置是X射線穿過橢圓的長軸處。

圖像數(shù)據(jù)處理:將小圓數(shù)據(jù)和橢圓的數(shù)據(jù)非重疊區(qū)域，進(jìn)行分離。

1.探測(cè)器單元之間距離問題求解

進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理，將單元格列寬調(diào)整為與行高相同的值，得到512×180個(gè)點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)探測(cè)器逆時(shí)針共旋轉(zhuǎn)了180°，起始方向由下斜向左上方向。由于正方形托盤上放置兩個(gè)均勻固體介質(zhì)，一個(gè)為橢圓，一個(gè)為半徑為4mm的圓，由該模板的接收信息可以分析得到小圓的投影在旋轉(zhuǎn)180次均為直徑，用軟件計(jì)算出共有29個(gè)接收點(diǎn)，共有28個(gè)探測(cè)器單元

其中，n2為橢圓邊界與小圓邊界之間最短距離情況下所占的探測(cè)器單元個(gè)數(shù);n3為橢圓長軸所占的探測(cè)器單元個(gè)數(shù);n4為橢圓短軸所占的探測(cè)器單元個(gè)數(shù)。求出ni的個(gè)數(shù)，計(jì)算出λi，然后求取平均值珔λ。珔λ即為探測(cè)器單元之間的距離。

計(jì)算得出各情況下所占的探測(cè)器單元個(gè)數(shù):

n2=93;n3=288;n4=107

可以求解出各情況下的探測(cè)器單元之間的距離:

求取λi的平均值:

將各組數(shù)據(jù)代入上式得:

珔λ=0.2808mm

(二)問題二模型的建立與求解

1.模型建立

圖1 濾波反投影的具體步驟

(1)濾波反投影算法:

Step1:對(duì)某 θ角度下的投影 pθ(t)作一維傅里葉變換，記為 Sθ(w);

Step2:對(duì)S0(w)乘以一維傅里葉權(quán)重因子ρ;

Step3:對(duì)第二步結(jié)果作一維傅里葉反變換，記作Qθ(t);

Step4:將0°～180°的所有修正過的投影函數(shù)Qθ(t)作為直接反投影計(jì)算，得到斷層圖像f(x，y)。

與濾波函數(shù)LRL(ρ)相對(duì)應(yīng)的卷積函數(shù)lRL(R)為:

R－L濾波函數(shù)形式簡單、實(shí)用，用它重建圖像清晰。

2.模型求解

CT系統(tǒng)得到某未知介質(zhì)的接收信息，由問題一的標(biāo)定參數(shù)分析，即解決CT圖像重建問題，問題分支為:

(1)物體在正方形托盤中的幾何位置

(2)物體的幾何形狀

(3)物體的吸收率

幾何位置、幾何形狀的求解?；趩栴}一的參數(shù)標(biāo)定，建立濾波反投影重建模型，解決問題二中 (1)(2)問題分支，步驟如下:

Step1:加載數(shù)據(jù)，取投影

原始附件3數(shù)據(jù)給出了探測(cè)器在180個(gè)方向上的接收信息。因?yàn)樵诿總€(gè)方向上，探測(cè)器接收的數(shù)據(jù)，即代表在這個(gè)方向上未知介質(zhì)的投影信息。

Step2:濾波

使用Matlab里的Iradon函數(shù)中‘Ram－Lak’濾波器，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波運(yùn)算處理。

Step3:坐標(biāo)系變換

原始坐標(biāo)系是以正方形托盤中心 (即問題一中的橢圓中心)為原點(diǎn)，現(xiàn)以CT系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心為原點(diǎn)，需將原始坐標(biāo)系進(jìn)行平移變換。

Step4:修正原始數(shù)據(jù)

填充探測(cè)器接收信息數(shù)據(jù)，為了更正確一條X射線在180個(gè)方向的吸收率與投影關(guān)系，將180個(gè)方向上的512組探測(cè)器單元填充至712組，填充數(shù)據(jù)用0來填充。即在上下分別增加一組100行180列的0矩陣。

Step5:Radon逆變化重建圖像

將修正后的數(shù)據(jù)，在180個(gè)方向上進(jìn)行Radon變化，同時(shí)改變坐標(biāo)系的單位，其中

分別為X，Y軸的坐標(biāo)系取值范圍，假設(shè)在180個(gè)方向上，每次改變相同角度1度，進(jìn)行反投影重建。并使用Matlab將正方形托盤模擬繪制在坐標(biāo)系中。

Step6:針對(duì)幾何位置和幾何形狀得出結(jié)果

從重建后的圖像結(jié)合相關(guān)資料分析可知，未知介質(zhì)的圖像的幾何形狀是人類頭部。即CT系統(tǒng)對(duì)人頭部的掃描結(jié)果。其幾何位置關(guān)系對(duì)應(yīng)實(shí)際坐標(biāo)系如圖13所示。

(三)問題三模型求解

針對(duì)問題三的要求，提出了基于問題二的模型建立與求解的方法。

結(jié)果分析，提取未知介質(zhì)的幾何位置，幾何形狀，吸收率等相關(guān)信息進(jìn)行定性定量分析:

A.幾何位置:由圖15可知反投影重建后的圖像，分布在正方形托盤上的不均勻位置處，定性的分析，具體位置坐標(biāo)結(jié)果結(jié)合附件problem3。

B.幾何形狀:圖形分布較為渙散，是一種分布無規(guī)則的網(wǎng)織狀圖形

［1］郭立倩.CT系統(tǒng)標(biāo)定與有限角度CT重建方法的研究 ［D］.大連理工大學(xué)，2016.

［2］吳孟達(dá).數(shù)學(xué)建模教程 ［M］.高等教育出版社，2011.

［3］駱巖紅.CT圖像重建濾波反投影算法中指數(shù)濾波器的研究［J］.計(jì)算機(jī)科學(xué)，2014，41(S1):220－223.［2017－09－17］.

［4］張俊，閆鑌，陸利忠，李磊，張峰.一種錐束CT系統(tǒng)幾何參數(shù)標(biāo)定方法［J］.核電子學(xué)與探測(cè)技術(shù)，2014，34(02):235－238+242.［2017－09－17］.

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榮亞亞 (1996.5－)，女，漢族，河北省石家莊市，華北理工大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè);郭子健 (1998.3－)，男，漢族，湖南省冷水江市，華北理工大學(xué)理學(xué)院，應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè);吉督(1997.10－)男，漢族，湖南省長沙市瀏陽，華北理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，機(jī)械設(shè)計(jì)制造及其自動(dòng)化;趙旭東 (1996.11－)，男，漢族，河北省石家莊市。華北理工大學(xué)建筑工程學(xué)院，物流工程專業(yè)。