張銀良，李 桐

（天津大學管理與經濟學部，天津300072）

基于患者選擇行為的醫(yī)療服務市場動態(tài)決策*

張銀良，李 桐

（天津大學管理與經濟學部，天津300072）

醫(yī)療體制改革是各國政府近年來相繼提出的戰(zhàn)略任務。相比其它市場化程度很高的經濟系統(tǒng)，醫(yī)療系統(tǒng)往往因其公益性難以進行模型化研究。通過霍特林模型刻畫公立和私立醫(yī)院并存的醫(yī)療服務市場，建立以極大化病人效用和公立醫(yī)院收益總和為目標函數的動態(tài)決策模型。通過龐特里亞金極大值原理給出公立醫(yī)院決策看病數量，并分析公立醫(yī)院決策看病數量、平均等待時間和瞬時目標函數隨時間的變化趨勢。站在病人角度分析對等待時間敏感程度、對距離成本敏感程度以及對價格成本敏感程度對其就醫(yī)選擇的影響。最后，結合數值模擬驗證了模型有效性，并分別針對政府、醫(yī)院和病人提出合理化建議。

醫(yī)療服務；醫(yī)療體制改革；醫(yī)療運作管理；患者選擇行為；動態(tài)決策模型；極大值原理

隨著人們生活水平的提高，醫(yī)療改革問題受到眾多學者和醫(yī)療界的廣泛關注。特別是全球人口結構老齡化加劇，使得各國衛(wèi)生部門都把醫(yī)療改革作為重中之重。在西方全民醫(yī)療覆蓋的體系下，公立醫(yī)院等待時間過長以及醫(yī)療財政負擔加重是各個西方國家都亟待解決的問題。本文以公立醫(yī)院和私立醫(yī)院共存的醫(yī)療市場為研究對象，建立了醫(yī)院針對選擇性醫(yī)療服務的動態(tài)決策模型，并通過模型分析和求解，為公立醫(yī)院減少等待時間、提高運營效率、增加病人福利提供決策依據。

醫(yī)療領域運作管理作為一個新興研究熱點，近年來受到越來越多國內外學者的關注［1］。Khudyakov［2］等對醫(yī)療系統(tǒng)的研究作了綜述，并總結出其模擬方法。Hua［3］等研究了一個雙軌制醫(yī)療服務系統(tǒng)的協調問題，主要研究政府如何協調各方實現最大收益。Siciliani［4］等衡量了經濟合作與發(fā)展組織成員國的病人等待時間，并在各國之間作了比較。Dimakou［5］等用實證的方法探究了病人等待時間的分布及如何減少等待時間。Lautier［6］研究了醫(yī)療服務國際化的趨勢以及本地特色的影響。Chen［7］等利用加拿大關節(jié)置換手術的數據驗證了將私立醫(yī)院引入醫(yī)療市場會降低病人平均等待時間的結論。國內研究方面，吳朝暉［8］等提出了自然科學與社會科學交叉視角下的服務科學研究與發(fā)展，其中醫(yī)療運作管理是重要研究內容。陳希［9］等考慮到醫(yī)療需求隨時間動態(tài)變化而具有不確定性的特征，提出了一種醫(yī)療中心動態(tài)選址方法。朱悅［10］等從醫(yī)療運營的角度出發(fā)構建了包含手術間準備時間和醫(yī)療團隊間準備時間的排程模型。韓斌斌則對我國營利性醫(yī)院競爭效果進行了實證研究［11］。

上述文獻雖然都從不同角度研究了醫(yī)療運作方面的問題，但是鮮有文獻利用動態(tài)理論方法研究醫(yī)療方面的管理問題?；诖耍疚睦没籼亓帜Ｐ涂坍嬃艘粋€公立和私立醫(yī)院并存的醫(yī)療服務市場，并建立了公立醫(yī)院動態(tài)決策模型，通過龐特里亞金極大值原理求解出公立醫(yī)院決策看病數量，并分析平均等待時間和瞬時目標函數隨時間的變化趨勢。本文的模型雖然建立在西方醫(yī)療制度背景下，主要考慮公立醫(yī)院提供免費醫(yī)療，但是對我國醫(yī)療系統(tǒng)同樣具有借鑒意義（如我國香港特別行政區(qū)的“雙軌制”醫(yī)療制度）。

一、模型建立

1．病人效用模型

本文考慮一個選擇性醫(yī)療服務市場，其中包含一個公立醫(yī)院和一個私立醫(yī)院。選擇性醫(yī)療是指病情不具有緊急性，病人有充足的時間選擇去哪個醫(yī)院接受治療，如膝關節(jié)置換手術、白內障手術等。在西方病人可以到公立醫(yī)院接受免費治療，但需要接受較長的等待時間；而在私立醫(yī)院就診不需要等待，但需支付相應的治療費用。本文采用霍特林模型來刻畫此醫(yī)療服務市場，即病人均勻分布在0～1的線段上，公立醫(yī)院和私立醫(yī)院分別位于左右兩個端點，病人通過權衡去兩個醫(yī)院看病的效用大小來決定去哪個醫(yī)院接受治療。病人去醫(yī)院就診的效用表示為

式中：V為病人接受治療得到的效用，假設V是一個足夠大的數，以保證病人去看病的效用均大于零，即沒有病人會選擇放棄治療［12］；W為病人在公立醫(yī)院的等待時間；l、lh分別為病人和醫(yī)院所處的位置；p為私立醫(yī)院治療的價格，由于本文站在公立醫(yī)院的角度建立模型，故將p當作外生的；α、β、γ均為正的系數，分別表示單位等待成本、單位距離成本和單位價格成本。

由此，病人去公立醫(yī)院和私立醫(yī)院看病的效用可以分別表示為 U1＝V－αW－βl，U2＝V－β（1－l）－γp，聯立可得病人去兩類醫(yī)院看病效用無差異的位置點，即

假設市場上病人的總量為Λ，則去公立醫(yī)院就診的病人數量為

由上述分析可以通過積分得到選擇去公立醫(yī)院就診的病人的總效用，即

2．醫(yī)院的目標函數

公立醫(yī)院作為一個非盈利組織，不同于私立醫(yī)院以利潤最大化為主要目標，其目標是為病人提供優(yōu)質的醫(yī)療服務。但是近年來，由于醫(yī)療需求日益增加以及公立醫(yī)院運營效率低下，病人的等待時間越來越長。在加入經濟合作與發(fā)展組織的大部分國家中，選擇性醫(yī)療服務的平均等待時間為3個月，有些病的等待時間甚至超過了1年。綜合考慮，假設醫(yī)院以在公立醫(yī)院就診病人的總效用和其自身收益總和的最大化為目標，這既符合公立醫(yī)院的公益性質，又能激勵其提高運營效率，降低冗長的等待時間。醫(yī)院的收益為

式中：r為醫(yī)院每治療一個病人政府給予的補貼；c為醫(yī)院治療一個病人的成本；D（r－c）為經濟上的收益；n為公立醫(yī)院提供的服務數量；假設τn－為非經濟效用，當治療病人數量較少時醫(yī)院獲得一個正效用，當治療病人數量較多時醫(yī)院獲得一個負效用的負效用是為了激勵醫(yī)院提高運營效率，降低病人的等待時間。

3．公立醫(yī)院動態(tài)決策模型

之前大多數文章研究的都是靜態(tài)環(huán)境下醫(yī)院的最優(yōu)決策，即醫(yī)院決策在單位時間內服務的病人數量n固定不變。但現實生活中，需要治療的病人數量D，醫(yī)院提供的服務的數量n以及相應的等待時間W、等待隊長x都是隨時間t變化的。在每個時間段t內，如果新到來的病人數量超過醫(yī)院能夠服務的病人的數量，那么等待隊長x（t）隨之增加，即˙x＝D（t）－n（t）。由此本文建立的動態(tài)模型為

式中：e－δt為折現因子，其中 δ為一個正的標量；T為時間范圍，表示時間有限；W為病人的等待時間其中K是專家所估計的未來潛在的醫(yī)療服務供應數量，是一個常數［13］。

二、模型求解

本文利用龐特里亞金極大值原理求解模型［14］，哈密爾頓函數為

極大化哈密爾頓函數，令

則協態(tài)方程為

狀態(tài)方程為

聯立式（9）、（10）可得

令

矩陣A的特征值、特征向量和逆矩陣為

令

將初始狀態(tài)x（0）＝x0和λ（T）＝0代入方程組，即

求出k1和k2并代回方程組得

由此可得

三、數值算例及結果分析

首先討論決策變量 n（t）、狀態(tài)變量 x（t）、公立醫(yī)院病人需求量D（t）以及公立醫(yī)院瞬時利潤SW隨時間變化的趨勢并分析原因，然后討論政府對公立醫(yī)院的補貼r、私立醫(yī)院看病價格p以及參數α、β、γ對模型目標函數J的影響。其中α可以描述病人對看病等待時間的敏感程度，β可看作病人對距離成本的敏感程度，γ為病人在私立醫(yī)院看病的價格系數。

各參數的基準值為V＝6，Λ＝1，α＝0．8，β＝5，γ＝0．5，p＝2，θ＝1，η＝2，δ＝1，K＝1，r＝3，c＝1，x0＝0，T＝30，τ＝1。以上參數的設置考慮到市場情況和管理意義，同時也滿足決策的非負性以及其他約束條件。

1．各指標隨時間的變化趨勢

基于模型最優(yōu)解及上述參數設定，繪制各指標的趨勢圖，如圖1所示。

由圖1可以看出，當t較小時（t＜5），隨著時間的增加醫(yī)院所決策的病人數量隨之增加，此過程為醫(yī)院逐漸達到自身接納率的過程。此時，公立醫(yī)院有充足的資源治療新進入的病人。然而隨著時間的推移，當t適中時（5≤t＜25），就診病人數量x（t）基本保持不變，此時醫(yī)院的資源利用率趨于飽和，接納更多的病人并不會增大醫(yī)院的目標函數值。最后，當 t較大時（25≤t＜30），公立醫(yī)院會逐漸降低治療病人的數量來保證目標函數值最大?？傊?，公立醫(yī)院可以通過調整所接納的病人數量，保持病人效用和自身利益的最大化。

圖2為公立醫(yī)院排隊長度（狀態(tài)方程）隨時間變化的情況。

圖1 公立醫(yī)院所決策的病人數量隨時間t的變化趨勢

圖2 排隊長度隨時間t的變化趨勢

由于假設病人的等待時間W（t）＝xt／K，而K為常數，故圖2的變化趨勢也可理解為病人平均等待時間的變化趨勢。從圖2可以看出，當t較小時（t＜5），由于病人數量逐漸增加，平均等待時間也隨之增加。當t適中時（5≤t＜25），病人的平均等待時間也保持不變。值得注意的是，當t較大時（25≤t＜30），盡管醫(yī)院接納的病人數量減少，但是病人的平均等待時間并沒有相應減少；相反，在臨近周期結束時病人的平均等待時間急劇上升。這是由于盡管公立醫(yī)院決策的病人數量減少了，但是依然有大量病人涌入公立醫(yī)院，導致其平均等待時間并沒有因為醫(yī)院決策的病人數量降低而減少。

圖3為公立醫(yī)院病人需求量隨時間t的變化趨勢。

由圖3可以看出，在初始狀態(tài)綜合權衡公立和私立醫(yī)院看病的效用后，接近六成的病人選擇去公立醫(yī)院接受治療。隨著公立醫(yī)院逐漸趨于飽和，在穩(wěn)定狀態(tài)下選擇公立醫(yī)院看病的病人也超過四成。這表明，隨著公立醫(yī)院平均等待時間變長，更多的人考慮去私立醫(yī)院接受便捷的收費治療。在臨近周期結束時，由于平均等待時間的急劇上升，選擇去私立醫(yī)院看病的病人逐漸超過七成。由此能夠看出隨著時間推移公立和私立醫(yī)院市場占有率的變化趨勢，可以為政策制定者和醫(yī)院管理者決策提供直接依據。

圖3 公立醫(yī)院病人需求量隨時間t的變化趨勢

圖4為公立醫(yī)院瞬時目標函數SW隨時間t的變化趨勢。

圖4 公立醫(yī)院瞬時目標函數SW隨時間t的變化趨勢

圖4中，曲線與坐標軸圍成的面積即為醫(yī)院的目標函數值。從圖中可以看出，醫(yī)院的瞬時目標函數同樣為先下降，然后趨于平穩(wěn)，在臨近周期結束時又急速下降，其原因在于受病人平均等待時間的影響病人效用降低，從而進一步降低了公立醫(yī)院總的目標函數值。綜合可以看出，醫(yī)院的總目標是隨著時間逐漸降低的，這也符合公立醫(yī)院公益性的性質，同時凸顯出病人平均等待時間過長是醫(yī)療系統(tǒng)急需解決的一個問題。

2．主要參數對公立醫(yī)院目標函數的影響

下文分析兩個外生參數p、r和模型系數α、β、γ對公立醫(yī)院的目標函數J的影響（見圖5）。

由圖5可以看出，私立醫(yī)院看病價格p和政府對公立醫(yī)院的補貼r對公立醫(yī)院目標函數值的影響均為先增后減，但兩者對病人行為選擇的影響截然相反。當價格較低時，相比于公立醫(yī)院較長的等待時間，病人更愿意選擇去私立醫(yī)院看病。此時，公立醫(yī)院的等待時間會大幅降低，繼而公立醫(yī)院目標函數值會隨著p的增加而增加。當價格超過一定的臨界值時，去私立醫(yī)院接受治療的價格成本比較高，更多的人會選擇排隊時間比較長的公立醫(yī)院，進而使得公立醫(yī)院整體的目標函數值隨價格p的增加而減少。對于政府對公立醫(yī)院的補貼r，只有當r大于一個臨界值時，公立醫(yī)院目標函數值才會大于零。此臨界值也可稱為政府對公立醫(yī)院的最低補貼值，是政府制定補貼政策的有力參考依據。隨著r的增加，公立醫(yī)院有能力接納更多的病人，病人也可以不必去私立醫(yī)院接受非免費治療。當r超過臨界值后，隨著政府對公立醫(yī)院補貼的增加，公立醫(yī)院目標函數值反而降低。這表明并不是政府對公立醫(yī)院補貼越多所帶來的社會效益越大，相反，當補貼過高時公立醫(yī)院目標函數值會逐漸降低。該研究對政府機構如何合理利用財政補貼提供了參考依據?？傊?，私立醫(yī)院看病價格p和公立醫(yī)院政府補貼r是兩類醫(yī)院競爭的工具，可以參照其對社會總福利的影響作出符合自身利益最大化要求的決策。

圖5 公立醫(yī)院目標函數值J隨私立醫(yī)院看病價格p和政府對公立醫(yī)院補貼r的變化趨勢

上文分析了公立醫(yī)院目標函數值隨p和r的變化并分析了其內在緣由，主要是有關醫(yī)院決策或政府決策的影響。接下來分析與病人效用有關的參數對公立醫(yī)院目標函數值的影響，即病人對等待時間的敏感系數α、對距離成本的敏感程度β和對去私立醫(yī)院看病所花費用的系數γ對目標函數J的影響（見圖6）。

從圖6中可以看出，3個參數對公立醫(yī)院目標函數值的影響均為先增后減：

第一，參數α既可以理解為病人對等待時間的敏感系數，也可看作病人的病情嚴重程度。當α比較大時，病人的病情相對緊急，在公立醫(yī)院等待時間過長會給病人帶來較大的負效用，此類病人可以選擇去私立醫(yī)院接受更便捷的醫(yī)療服務。此時，公立醫(yī)院的排隊時間也會大幅下降，故隨著α的逐漸增大，整個公立醫(yī)院的目標函數值增加。當α超過一定值時，病人因病情嚴重其效用總和下降趨勢更加明顯，導致整個醫(yī)院的目標函數值呈下降趨勢。

圖6 公立醫(yī)院目標函數值J隨α、β、γ的變化趨勢

第二，病人的距離成本較小時（3＜β＜4），病人依然可以靈活地選擇去公立醫(yī)院或者私立醫(yī)院接受治療，故隨著β增加原本擁擠在公立醫(yī)院等候看病的病人開始考慮去私立醫(yī)院接受治療。兩類醫(yī)院病人的合理分配使得公立醫(yī)院排隊時間減少，進而整個公立醫(yī)院目標函數值變大。當β較大時（β≥4），過高的距離成本使得病人只能就近選擇醫(yī)院接受治療，最終公立和私立兩類醫(yī)院接納的病人各占一半，原本可以在公立醫(yī)院接受免費治療的病人不得不支付費用在私立醫(yī)院接受治療，而病情緊急或者經濟相對寬裕希望在私立醫(yī)院接受便捷治療的病人只能在公立醫(yī)院排隊看病?？梢?，病人流動性的降低使得公立醫(yī)院目標函數值越來越低。

第三，參數γ為病人去私立醫(yī)院看病的價格系數。當γ較小時，隨著γ變大，盡管在私立醫(yī)院看病的成本增加，忍受不了公立醫(yī)院過長等待時間的病人依然可以選擇到私立醫(yī)院接受治療，從而公立醫(yī)院也會因病人數量下降使排隊時間減少，進而整個公立醫(yī)院目標函數值會上升。然而，當γ超過一定值時，去私立醫(yī)院看病對絕大多數病人來說變得越來越昂貴，最終會有更多的病人擁擠在公立醫(yī)院，使得目標函數值逐漸下降。

以上站在病人的角度分別分析了3個系數對模型目標函數的影響，可以為病人的就醫(yī)選擇提供參考。

四、結論及政策建議

本文利用霍特林模型刻畫了一個公立和私立醫(yī)院并存的醫(yī)療服務市場，其創(chuàng)新點在于建立了公立醫(yī)院的動態(tài)決策模型，通過龐特里亞金極大值原理求解出公立醫(yī)院的最優(yōu)診療數量，并先后分析了公立醫(yī)院治療病人數量、平均等待時間和瞬時目標函數隨時間的變化趨勢?；谘芯拷Y果，醫(yī)院可以實時調整自己的決策并觀察自身目標函數值的變化，而病人也可以提前觀察到公立醫(yī)院的平均等待時間從而結合自身情況作出選擇。此外，本文還分析了私立醫(yī)院的價格、政府對公立醫(yī)院的補貼以及與病人有關的參數變化對模型目標函數值的影響。據此，對政府制定政策、醫(yī)院作出決策和病人行為選擇給出四點建議：

第一，政府應適度鼓勵私立醫(yī)院發(fā)展，幫助緩解公立醫(yī)院看病難問題。從圖3可以看到，私立醫(yī)院在分擔公立醫(yī)院患者過多的壓力中起到了積極作用。另外，圖5也表明，適當增加私立醫(yī)院的價格反而會增大公立醫(yī)院目標函數值。所以，政府應適度鼓勵私立醫(yī)院發(fā)展，這對整個醫(yī)療系統(tǒng)的優(yōu)化有著積極影響。2017年5月23日，《國務院辦公廳關于支持社會力量提供多層次多樣化醫(yī)療服務的意見》發(fā)布，鼓勵和引導社會資本發(fā)展醫(yī)療衛(wèi)生事業(yè)，積極促進非公立醫(yī)療衛(wèi)生機構發(fā)展，形成投資主體多元化、投資方式多樣化的辦醫(yī)體制。這正符合本文的研究結論，希望相關政府機構能夠繼續(xù)堅持鼓勵、引導民營醫(yī)院發(fā)展［15］。

第二，合理控制政府對公立醫(yī)院的補貼。有研究表明，眾多國家的醫(yī)療財政補貼連年增加，取得的效果卻不明顯，公立醫(yī)院等待時間過長成為亟待解決的問題［16］。本研究表明，政府對公立醫(yī)院的補貼有一個最低值，只有超過這個值醫(yī)院才能正常運營下去，但這并不表示補貼越多帶來的社會效益越大。政府既要保證對公立醫(yī)院補貼充足，又要考慮合理分配補貼，降低財政負擔。

第三，醫(yī)院要結合自身情況作出最優(yōu)決策。具體來說，公立醫(yī)院要實時調整服務病人數量，既保證較多的人能夠在公立醫(yī)院接受免費治療，又要避免人滿為患，造成病情延誤。而對私立醫(yī)院來講，盡管盈利是醫(yī)院的主要目標，但也不能忘記救死扶傷的天職。私立醫(yī)院通過制定適宜的治病價格，既能引導更多病情緊急的病人接受便捷的醫(yī)療服務，又能通過量的提升增加收益。

第四，病人要結合自身情況作出最優(yōu)的選擇。正如本文在模型分析中提到的，病人病情的嚴重程度（或者稱可忍受的等待時間）、對距離成本的敏感程度以及對價格成本的敏感程度都會影響病人的選擇。

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Dynam ic decision-making ofmarket ofmedical service based on choice behavior of patients

ZHANG Yin-liang，LITong
（College of Management and Econom ics，Tianjin University，Tianjin 300072，China）

Medical system reform has been a strategic task proposed by the governments ofmany countries in recent years．Compared w ith other highly market-oriented economic systems，medical system is often difficult to study by modeling because of its characteristics of public welfare．Hotelling model is applied to describe themarket ofmedical services in which public and private hospitals coexisted，and dynamicmodel of decision-making is established w ith maximum utility effect of patient and total income of public hospital as its objective function．The decision-making of amount of medical treatment in public hospital is given through themaximum principle of Pontryagin，and the changing trends of decision-making of amount of medical treatment，average waiting time and instantaneous objective function in public hospitals over time are analyzed．From the perspective of patients，the influences on theirmedical choice are analyzed of the sensitivities on waiting time，distance cost and price cost．Finally，the effectiveness of model is validated w ith numerical simulation．Rational suggestions are proposed for the government，hospitals and patients respectively．

medical service；medical system reform；medical operation management；patient behavior of choice；dynamic decision-making model；maximum principle

F 014．36

A

1674－0823（2017）06－0535－07

10．7688／j．issn．1674－0823．2017．06．10

2017－07－31

國家自然科學基金青年項目（71301114）。

張銀良（1990－），男，河南安陽人，碩士生，主要從事醫(yī)療運作管理、醫(yī)院競爭等方面的研究。

* 本文已于2017－11－20 11∶23在中國知網優(yōu)先數字出版。網絡出版地址：http：∥www．cnki．net／kcms／detail／21．1558．C．20171120．1123．028．htm l

（責任編輯：郭曉亮）