嚴必友

過程生動 思維真實 體悟真切
——兼評張亮執(zhí)教的“三次函數的圖象和性質”一課

嚴必友

在教學中如何準確地把握教學的起點、設計恰當的材料和問題，往往是能否啟動學生思維活動的關鍵所在。針對張亮老師在“三次函數的圖象與性質”的教學中創(chuàng)設問題情境、激發(fā)學生思維、自主思考探究等環(huán)節(jié)的具體實施，闡述了數學教學的幾個關鍵點和教學建議。

三次函數；數學思想；課例評析

2017年5月7日至9日，我有幸參加了第12屆江蘇省“杏壇杯”蘇派青年教師課堂教學展評活動的評審工作。這次活動的主題是“人在課中央”，這是對人與課堂、人與課程、人與教學辯證關系的形象、深刻而又精到的表達，充分體現(xiàn)了新課標所倡導的“以人為本”的教育理念。一方面，這里的“人”不僅包括學生，也包括教師本身，師生在課堂中同生共長，相互促進，相互推動，教學相長；另一方面，“課”是一個載體，一個平臺，學生不僅學習課程，也在生發(fā)課程，豐富課程；所有的教學環(huán)境、設備、內容、手段、方法等皆應服務于人，服務于人的發(fā)展，讓學習活動真正發(fā)生。

南京市第一中學張亮老師執(zhí)教的“三次函數的圖象和性質”一課，很好地體現(xiàn)、落實了“人在課中央”這一主旨精神，基于學情，從學生出發(fā)；創(chuàng)設情境，從問題出發(fā)；調動學生，讓學生真正參與；因材施教，體現(xiàn)差異和選擇；注重思想滲透、規(guī)律總結，讓學生在課堂有實實在在的“增值”。張老師在課堂上設計了6個問題，以這6個問題貫穿了整個教學內容。下面擇要進行分析。

一、研究學情，以學定教

在蘇教版教材中，三次函數是函數研究的一個重要載體。在必修1第3章中的 “冪函數與函數的應用”、理科選修2-2、文科選修1-1中“導數應用”的教學中，有很多問題都是以三次函數為載體進行研究的。所以，很有必要以三次函數為專題研究對象，對三次函數進行學習研究，讓學生比較系統(tǒng)、全面地掌握它的圖象和性質。同時，學生在學習了導數以后，也為研究三次函數提供了有效的方法和工具。

本節(jié)課學習是以導數研究函數的方法為主線，探索三次函數的圖象特征和相關性質。一方面引導學生對三次函數的圖象和性質進行探索、梳理和總結，另一方面進一步理解導數思想，掌握用導數研究函數的基本方法，其研究過程和方法具有普適性、一般性，可以遷移到其他函數的研究中，研究過程也是學生體驗數形結合、分類與討論、化歸與轉化等數學思想與方法應用的過程。

學生在先前已經學習了導數的概念、運算，對導數在研究函數（單調性、極值與最值）中的應用有了初步的認識。學生已經了解了一些具體的三次函數（比如y=x3）的圖象和性質，也具有了一定的分類討論、化歸與轉化等意識和能力。

但是學生還缺乏對一般意義上的三次函數的圖象特征和性質的整體認識，需要在思考、探究、合作、交流中逐步完成對三次函數圖象特征和相關性質的直觀認識與理性思考，形成完整的知識架構。

學生尚未完全掌握利用導數研究函數的一般方法，尤其是對不熟悉、較為復雜的函數的研究，而且研究過程中需要應用到許多與之相關聯(lián)的知識與方法。所以，應該通過具體問題的實際操作，讓學生經歷具體的思考、研究過程，提高學生分析判斷、解決問題的能力，體驗數形結合、分類與討論、化歸與轉化的思想方法。

我們看到，在上述學情的背景下，張老師達到了以下教學目標：1.從具體問題出發(fā)，讓學生經歷三次函數圖象特征和性質的研究過程，掌握利用導數研究函數的一般方法，體驗數形結合、分類與整合、化歸與轉化的思想方法；2.在理解導函數值的正負與原函數單調性關系的基礎上，掌握三次函數的圖象特征和相關性質及其應用；3.通過三次函數圖象和性質的探究，經歷從簡單到復雜、具體到抽象的過程，培養(yǎng)學生自主探究、樂于探索的良好品質，以及發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的意識與能力。

二、學為教本，依學而教

張老師設計的6個問題，針對教學的不同環(huán)節(jié)，各有側重。以前3個問題為例，第1個問題是畫出函數f（x）=x2+2x-3的大致圖象。由學生各自在練習紙上作圖，教師查看、指導，了解、記錄他們各自的思路和方法。學生已經學習過二次函數的圖象和性質，在此基礎上通過對具體二次函數大致圖象作圖方法的討論，明確作圖的常用方法。三次函數的研究需要借助于二次函數的圖象和性質，這里也為下一步研究做了知識和方法上的鋪墊。

第2個問題的教學片段如下。

師：借助二次函數，可以研究什么函數呢？

教師故作驚訝，未置可否。有的學生表示贊同，有的學生流露出疑惑的眼神。

師：d是什么？

生2：d是任意常數。

師：為什么？你是如何得到的？

生2：這個問題等于是求一個新函數，它的導數是 f（x）=x2+2x-3，那它應該是一個三次函數，我用待定系數法求出了這個函數，它的導函數就是這個二次函數，而且它具有一般性。

這里是一次非常重要而且有價值的拓展，學生實際上解決了一個求不定積分的問題，而且運用的是簡單的待定系數法。尤其對常數項不確定的討論體現(xiàn)出思維的深刻和嚴密。

第3個問題是探索三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的圖象和性質。這一問題的求解對學生具有很大的挑戰(zhàn)性，通過對導函數判別式的分類討論，先研究導函數圖象與x軸的關系，從其開口方向以及與x軸的交點個數探求出原函數的大致圖象和性質，這體現(xiàn)了從具體到抽象、從特殊到一般的認知規(guī)律，有助于學生從一般意義上理解并把握問題的本質。

在學習研究了一般三次函數的圖象與性質的基礎上，學生對解決問題的一般方法已經有了大致的了解，此時，需要對學生的掌握情況進行反饋和鞏固，以發(fā)現(xiàn)問題、及時矯正。為此，張老師提供了一道例題，供學生探討。教學過程如下。

已知函數 f（x）的導數 f′（x）=3x2-3ax，f（0）=b，a，b 為實數，1＜a＜2。

（1）若 f（x）在區(qū)間［-1，1］上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值，并作出函數的圖象；（2）在（1）的條件下，求經過點 P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線 l的方程；

學生練習，教師巡查指導。

教師用投影展示學生的求解過程：

由 f′（x）=0，得 x1=0，x2=a。

∵x∈［-1，1］，1＜a＜2，

∴ 當 x∈（-1，0］時，f′（x）＞0，f（x）遞增；

當 x∈（0，1］時，f′（x）＜0，f（x）遞減。

∴f（x）在區(qū)間［-1,1］上的最大值為 f（0）=b，∴b=1。 （圖象略）

我們看到，這是一道應用鞏固題，既對三次函數的圖象與性質起到了反饋鞏固的效果，又聯(lián)系了有關導數研究函數的基本方法，使新舊知識相互關聯(lián)，融為一體，從而幫助學生深化理解，提升能力。

三、思緒萬千，余味悠遠

聽完了張亮老師的這一節(jié)課，給了我很多的啟發(fā)和思考。我想到了當前的課堂，想到了數學教學，想到了學生數學學習的困難和艱辛。

縱觀本節(jié)課的教學過程，其主要內容是以導數研究函數的方法為主線，探索三次函數的圖象特征和相關性質，并且在具體問題的應用中進行消化、鞏固。學習過程是一個不斷提出問題、解決問題的過程，學生在不斷分析問題、解決問題的過程中學會思考、探究、總結、提升，思維不斷被激發(fā)，有了真實的思維參與、感受體驗和深度學習。

首先，如何讓每一個學生的學習活動都能真正發(fā)生？要因材施教，關注每一個學生的學習背景和學習方式，充分考慮到學習內容的差異性和選擇性。教師在備課時要充分考慮到學生的客觀實際，精心設計不同的問題、材料和情境，并對學生的學習活動作出預判和準備，在教學中為他們提供適當的臺階。在這節(jié)課中，教師能充分結合學生的知識基礎和生活經驗提出問題，引發(fā)學生的認知沖突。這在日常教學中是最為寶貴的，只有準確診斷、把握學生的基礎、困難和需求，探明了學生學習的真實位置，才能科學設定學習的起點，使學習活動真正發(fā)生。而脫離了學生的學情坐標，教師的教學可能就是一種主觀臆斷和一廂情愿，必然事倍功半甚至勞而無功。其實，學生在課堂上的真實思維是最為寶貴的，我們不應過分追求思維的嚴密性、科學性和正確性，只要是真實的思維就是有價值的東西，哪怕是斷斷續(xù)續(xù)或者星光點點。

其次，教師沒有用自己的思維或者個別學生的思維替代全體學生的思維，而是始終讓學生去思考、解決問題，并關注學生的思維、探究過程，通過展示、比較、分析，尋找路徑和方法。本節(jié)課的教學充分體現(xiàn)了方法提煉的過程性特征，讓學生在解決問題的過程中逐步形成。盧梭在《愛彌兒》中寫道：“我們在路上不是像驛夫那樣追趕路程，而是像旅行家似的沿途觀賞。我們的心中不只是想到一個起點和終點，還要想到起點和終點間相隔的距離?！笔灞救A也曾說過：“記錄在紙上的思想，不過是像在沙上行走者的足跡而已。我們也許能看到他走過的路徑，如果我們想要知道他在路上看見了什么，則必須要用我們自己的眼睛?！痹谶@節(jié)課中，教師盡可能地讓學生走進問題，身臨其境，用自己的觀察和思考獲得真知。

在本節(jié)課中我們不難看出，教師選擇的問題也是淺顯而基本的，這說明一個樸實的道理：在基本的甚至簡單的問題中也可以講清深奧的道理。教學中不宜過分追求問題的難度和技巧，這樣會妨礙部分學生參與思維活動，甚至會延誤、沖淡主題。概念教學應該注意這樣幾個重要問題：要在真實的情境中引發(fā)問題，在對問題的思考中啟動思維，在分析、比較中形成概念，在鞏固應用中深化概念。

再次，教師在教學過程中十分注重方法和規(guī)律的及時總結和提煉，使學生有留得下、帶得走的東西。教學不是一種排演和過場，透過材料、問題和結論，背后有哪些有價值的東西值得體味？西方有一種教學觀點很值得我們學習和借鑒：教學中看得見、摸得著的東西往往不是最重要的。數學教學的背后有一個抽象的，能夠用數學、邏輯學、語言精確表達的東西，即規(guī)律、規(guī)則、模型，這才是需要學生體悟的。

課堂應該是思維的放飛、思想的洗禮和精神的遨游，是一次真實而生動的經歷和體驗，充滿著困難、挑戰(zhàn)和艱辛，也伴隨著突破、成功和喜悅。

G633.6

A

1005-6009（2017）59-0061-03

嚴必友，南京市教學研究室（南京，210001）主任，高級教師，江蘇省特級教師。