何劍鋒 鄧兆祥 妥吉英

重慶大學(xué)汽車工程學(xué)院,重慶,400044

準(zhǔn)零剛度絕對(duì)位移傳感器設(shè)計(jì)及運(yùn)用

何劍鋒 鄧兆祥 妥吉英

重慶大學(xué)汽車工程學(xué)院,重慶,400044

設(shè)計(jì)了一種準(zhǔn)零剛度(QZS)絕對(duì)位移傳感器。分析了QZS傳感器的結(jié)構(gòu)參數(shù)，得到了保證QZS傳感器特性的參數(shù)要求。給定不同激勵(lì)，對(duì)QZS傳感器測(cè)量精度及響應(yīng)速度進(jìn)行了檢測(cè)，并分析總結(jié)QZS傳感器的一些不足及其使用范圍。將QZS 傳感器運(yùn)用于Stewart平臺(tái)的速度反饋，通過諧波平衡法得到平臺(tái)z軸、繞x軸、繞y軸方向的幅頻特性曲線。仿真結(jié)果表明，QZS傳感器能夠有效地測(cè)量平臺(tái)z軸、繞x軸、繞y軸方向的絕對(duì)位移。

準(zhǔn)零剛度；絕對(duì)位移；傳感器；Stewart平臺(tái)

0 引言

工程實(shí)踐中，系統(tǒng)位移量的測(cè)量對(duì)系統(tǒng)的控制及隔振起關(guān)鍵作用[1-3]。然而許多時(shí)候測(cè)量對(duì)象沒有一個(gè)絕對(duì)靜止的參考點(diǎn)，不能直接測(cè)量系統(tǒng)的絕對(duì)位移。間接測(cè)量往往帶來誤差及時(shí)間延遲[4]，一些精度要求比較高、時(shí)間響應(yīng)比較短的系統(tǒng)控制因?yàn)椴荒苤苯訙y(cè)量系統(tǒng)的絕對(duì)位移而達(dá)不到良好的控制效果，比如車載超穩(wěn)隔振平臺(tái)的主動(dòng)控制[5]、光學(xué)儀器的隔振[6]、船舶設(shè)備的保護(hù)[7]等。盡管現(xiàn)有的一些先進(jìn)測(cè)量技術(shù)能運(yùn)用于絕對(duì)位移的測(cè)量(如慣性傳感器[8]、雷達(dá)或激光技術(shù)[9]等)，但這些測(cè)量技術(shù)在精度、實(shí)時(shí)性、成本上或多或少存在問題。

本文設(shè)計(jì)的準(zhǔn)零剛度(quasi zero stiffness，QZS) 絕對(duì)位移傳感器能夠直接測(cè)量系統(tǒng)的絕對(duì)位移，從而顯著減小系統(tǒng)反饋的時(shí)間延遲，提高系統(tǒng)響應(yīng)速度。該傳感器由4個(gè)水平彈簧及1個(gè)豎直彈簧和1個(gè)質(zhì)量塊組成，由于傳感器彈簧剛度及質(zhì)量塊質(zhì)量都較小,整體又有準(zhǔn)零剛度特性，因此傳感器的靜態(tài)、動(dòng)態(tài)剛度都可以做到很小，具有較低的固有頻率。利用零剛度特性，使得傳感器質(zhì)量塊與底座的相對(duì)位移近似等于底座絕對(duì)位移，進(jìn)而得到被測(cè)平臺(tái)的絕對(duì)位移。

1 QZS傳感器的設(shè)計(jì)

如圖1所示，傳感器為單自由度系統(tǒng)，能沿著Z軸方向移動(dòng)，由4個(gè)水平彈簧(剛度為k3)、1個(gè)豎直彈簧(剛度為k2)、1個(gè)質(zhì)量塊(質(zhì)量為m2)和1個(gè)壓力傳感器組成，其中水平彈簧的原長為l0、預(yù)壓縮量為λ0，質(zhì)量塊的絕對(duì)位移為z2，底座的絕對(duì)位移為z1，壓力傳感器可以測(cè)量傳感器底座與傳感器質(zhì)量塊之間的相對(duì)位移。具體參數(shù)如表1所示。

(a)主視圖 (b)斜視圖圖1 QZS傳感器結(jié)構(gòu)圖Fig.1 QZS sensor structure diagram

通過拉格朗日方程分析圖1b的力學(xué)模型：

系統(tǒng)動(dòng)能為

表1 傳感器主要參數(shù)

(1)

系統(tǒng)勢(shì)能為

(2)

系統(tǒng)的拉格朗日方程為

(3)

式中，c2為傳感器結(jié)構(gòu)阻尼。

將式(1)、式(2)代入式(3)，得

(4)

設(shè)相對(duì)位移u2=z2-z1，代入式(4)得

(5)

豎直彈簧的受力

F=k2(z2-z1)

(6)

如果QZS傳感器設(shè)計(jì)恰當(dāng)，則z2≈0，所以F≈-k2z1，即F的大小反映隔振平臺(tái)位移z1的大小，即將絕對(duì)位移的測(cè)量轉(zhuǎn)化為相對(duì)位移的測(cè)量(F通過壓力傳感器得到)。

1.1 傳感器實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度應(yīng)滿足的條件

圖2a所示為各彈簧不受力時(shí)傳感器狀態(tài)，即豎直彈簧和水平彈簧保持原長，z0為質(zhì)量塊到平衡位置的距離；圖2b所示為傳感器處于準(zhǔn)零剛度時(shí)的狀態(tài)，此時(shí)水平彈簧處于水平位置。

根據(jù)虛位移原理，z0和m2應(yīng)該滿足

(7)

式中，g為重力加速度。

水平彈簧的原長l0與預(yù)壓縮量λ0的關(guān)系為

(8)

(a)彈簧初始狀態(tài)

(b)準(zhǔn)零剛度狀態(tài)圖2 準(zhǔn)零剛度示意圖Fig.2 Quasi zero stiffness diagram

由式(7)、式(8)可得到質(zhì)量塊質(zhì)量m2與預(yù)壓縮量λ0的關(guān)系：

(9)

如圖3所示，l0=0.5 m，k2=100 N/m。由圖可知，隨著傳感器質(zhì)量塊質(zhì)量m2的增大，預(yù)壓縮量λ0跟著增大；在m2為定值的情況下，水平彈簧剛度k3越大，預(yù)壓縮量λ0越大。

圖3 傳感器質(zhì)量塊質(zhì)量m2與預(yù)壓縮量λ0關(guān)系Fig.3 Relationship between sensor mass m2 and precompression λ0

1.2 QZS傳感器參數(shù)設(shè)計(jì)與仿真

因?yàn)閭鞲衅黝A(yù)壓縮量λ0對(duì)傳感器位移曲線影響最大[10]，所以討論不同λ0值對(duì)傳感器位移曲線的影響。

如圖1a所示，質(zhì)量塊豎直方向受力f2為

(10)

取k2=300 N/m,k3=100 N/m,l0=0.5 m，相對(duì)位移u2與質(zhì)量塊受力f2的關(guān)系如圖4所示。由圖4可看出，當(dāng)預(yù)壓縮量λ0=0.214 m時(shí)，u2=0附近質(zhì)量塊受力f2近似為零，即本文設(shè)計(jì)的零剛度系統(tǒng)狀態(tài)；而且可以看出預(yù)壓縮量λ0對(duì)傳感器特性曲線影響較大，是設(shè)計(jì)好傳感器的關(guān)鍵。

圖4 不同預(yù)壓縮量時(shí)u2與f2關(guān)系圖Fig.4 The relationship between the u2 and f2 when different precompression

由式(10)對(duì)u2求導(dǎo)，有

(11)

要保證傳感器正常工作即u2=0處剛度為零，需滿足K(0)=0，即

(12)

對(duì)式(10)進(jìn)行三階Taylor展開：

(13)

將式(12)、式(13)代入式(5)，得

(14)

圖5 傳感器幅頻特性Fig.5 Sensor amplitude-frequency characteristics

圖6 傳感器相頻特性Fig.6 Sensor phase frequency characteristics

由圖5、圖6可知：u2及平臺(tái)絕對(duì)位移的相反數(shù)-z1的幅值和相位基本上是重合的，即u2=z2-z1=-z1，證明QZS傳感器能夠通過測(cè)量相對(duì)位移u2得到振動(dòng)平臺(tái)的絕對(duì)位移的相反數(shù)-z1，而且-z1、u2的相位重合，證明該傳感器測(cè)量的實(shí)時(shí)性很高，比間接測(cè)量絕對(duì)位移的其他方法反應(yīng)迅速(低頻部分的相位延遲是由于傳感器阻尼c2引起的，阻尼越大延遲越大)。

2 不同激勵(lì)下傳感器測(cè)量效果

給定傳感器底座豎直方向激勵(lì)，測(cè)試質(zhì)量塊m2與底座之間的相對(duì)位移響應(yīng)。

2.1 單頻信號(hào)激勵(lì)

取m2=28.06 kg，l0=0.5 m，k2=300 N/m，k3=50 N/m，λ0=0.3 m(m2、λ0通過式(9)、式(12)求得)。給定傳感器底座豎直方向激勵(lì)z1(t)=z0cos(15t)，其中z0=0.004 m。結(jié)構(gòu)阻尼c2為10,30,70 N·s/m,相對(duì)位移u2與基礎(chǔ)激勵(lì)z1的仿真結(jié)果見圖7。由圖7可知:結(jié)構(gòu)阻尼c2對(duì)傳感器信號(hào)的相位有影響,c2越大，-z1和u2相位差越大，這對(duì)傳感器測(cè)量的實(shí)時(shí)性有較大影響。而且進(jìn)一步的仿真顯示，c2取值太小傳感器測(cè)量效果也不好，測(cè)得信號(hào)幅值不穩(wěn)定，c2取值過大不僅測(cè)得信號(hào)相位偏移較大，而且幅值也會(huì)變小，嚴(yán)重影響測(cè)量精度。所以c2的取值應(yīng)在保證測(cè)得信號(hào)穩(wěn)定的前提下盡量小。

圖7 不同結(jié)構(gòu)阻尼條件下傳感器響應(yīng)Fig.7 Sensor response under different structural damping conditions

其他參數(shù)取值同上，c2=10 N·s/m，水平彈簧預(yù)壓縮量λ0為0.25 m、0.30 m、0.32 m時(shí)，相對(duì)位移u2與基礎(chǔ)激勵(lì)z1的仿真結(jié)果見圖8。由圖8可知，水平彈簧預(yù)壓縮量λ0對(duì)傳感器精度有一定影響：當(dāng)λ0滿足式(12)時(shí)，傳感器測(cè)量效果最好，當(dāng)λ0小于理論值時(shí)，傳感器精度降低，但是沒有明顯誤差；當(dāng)λ0大于理論值時(shí)傳感器精度明顯降低。因此，給定合適的預(yù)壓縮量λ0是設(shè)計(jì)好傳感器的關(guān)鍵。

圖8 不同預(yù)壓縮量條件下傳感器響應(yīng)Fig.8 The sensor responds under different preload conditions

2.2 多頻率簡諧信號(hào)激勵(lì)

取m2=28.06 kg，l0=0.5 m，k2=300 N/m，k3=50 N/m，c2=10 N·s/m，λ0=0.3 m，其中m2、λ0分別由式(9)、式(12)得到。給定基礎(chǔ)激勵(lì)z1(t)如下：

在以上3種激勵(lì)下，相對(duì)位移u2與基礎(chǔ)激勵(lì)z1的仿真結(jié)果見圖9。由圖9可知，傳感器對(duì)簡諧激勵(lì)的測(cè)量效果比較理想。參數(shù)設(shè)計(jì)合理時(shí)，傳感器能夠精準(zhǔn)地測(cè)量不同頻率及幅值的激勵(lì)z1(t)，而且由圖8可知沒有明顯的延遲現(xiàn)象，證明QZS傳感器能有效地測(cè)量簡諧激勵(lì)。

圖9 不同簡諧激勵(lì)下傳感器響應(yīng)Fig.9 Signal response under different harmonic excitation

2.3 隨機(jī)信號(hào)激勵(lì)

給定均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為0.05 m的隨機(jī)激勵(lì)信號(hào)z1(t)，因?yàn)閭鞲衅鳒y(cè)量頻率范圍是一定的，所以將隨機(jī)信號(hào)通過巴特沃斯帶通濾波器濾波，其通帶頻率為10～60 Hz，最后得到的激勵(lì)z1(t)如圖10所示。

圖10 隨機(jī)激勵(lì)信號(hào)z1(t)Fig.10 Random excitation signal z1(t)

圖11 隨機(jī)激勵(lì)下的傳感器響應(yīng)Fig.11 Sensitive response under random excitation

傳感器參數(shù)和多頻簡諧激勵(lì)的傳感器參數(shù)一樣。傳感器測(cè)量的信號(hào)響應(yīng)如圖11所示。圖11中取了3次仿真的值，因?yàn)槭请S機(jī)信號(hào)，所以圖形一直在變化。可以看出，在隨機(jī)激勵(lì)下u2=-z1，證明QZS傳感器能夠測(cè)量隨機(jī)激勵(lì)產(chǎn)生的位移信號(hào)。

通過以上仿真可以看出，在不同激勵(lì)下QZS傳感器都能很好測(cè)量振動(dòng)平臺(tái)的絕對(duì)位移。影響傳感器測(cè)量效果的主要因素是預(yù)壓縮量λ0以及結(jié)構(gòu)阻尼c2。λ0由式(12)決定；c2影響傳感器響應(yīng)速度及測(cè)量精度，其值太小會(huì)使得測(cè)得信號(hào)不穩(wěn)定，其值太大會(huì)明顯增加延遲和降低信號(hào)幅值。

3 QZS傳感器在Stewart平臺(tái)中的運(yùn)用

如圖12所示，傳感器安裝在Stewart隔振平臺(tái)上，平臺(tái)運(yùn)行在微動(dòng)情況下，支桿結(jié)構(gòu)完全解耦。設(shè)備安放在上平臺(tái)中心，為保證設(shè)備的精度，主要隔離來自z方向、繞x方向和繞y方向的振動(dòng)。在下平臺(tái)中心建立坐標(biāo)系oxyz，QZS傳感器放置于A1(r,0,h)、A2(0,r,h)、A3(0,-r,h)三個(gè)點(diǎn)上，其中r為上平臺(tái)半徑，h為上下平臺(tái)距離。平臺(tái)每個(gè)支桿由彈簧及作動(dòng)器并聯(lián)組合。M1=diag(m，α，β)為上平臺(tái)質(zhì)量矩陣(m為上平臺(tái)質(zhì)量，α、β分別為上平臺(tái)繞x軸、y軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量)，X1=(z1，rx1，ry1)T為平臺(tái)絕對(duì)位移，X2=(z2，rx2，ry2)T為傳感器絕對(duì)位移。z、rx、ry分別為平臺(tái)的z軸方向位移、繞x軸方向的旋轉(zhuǎn)角度、繞y軸方向的旋轉(zhuǎn)角度。

圖12 QZS傳感器在Stewart平臺(tái)上的應(yīng)用Fig.12 Application of QZS Sensor in Stewart Platform

系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程如下：

(15)

(16)

表2 Stewart平臺(tái)參數(shù)

圖13 Stewart平臺(tái)z軸方向幅頻曲線Fig.13 Stewart platform z-axis direction of the amplitude curve

圖14 Stewart平臺(tái)繞x、y方向幅頻曲線Fig.14 Stewart platform amplitude around the x,y direction of the amplitude curve

這里采用上平臺(tái)速度反饋的方式對(duì)Stewart平臺(tái)z方向、繞x軸方向、繞y軸方向進(jìn)行主動(dòng)隔振。通過諧波平衡法，得到平臺(tái)z方向、繞x軸方向、繞y軸方向幅頻特性曲線(由于平臺(tái)關(guān)于x、y方向?qū)ΨQ，所以繞x和繞y方向得到的幅頻特性曲線圖一樣，這里合并為一個(gè)圖)如圖13、圖14所示。由圖13、圖14可知，隨著反饋系數(shù)n的增大，平臺(tái)z軸、繞x、繞y方向的幅值都減小，特別是接近平臺(tái)固有頻率范圍內(nèi)，幅值減小更明顯。而且高頻、低頻部分信號(hào)沒有被放大，證明絕對(duì)位移傳感器測(cè)量的信號(hào)是可靠的，能滿足工程實(shí)踐的要求。

4 結(jié)語

本文設(shè)計(jì)了QZS絕對(duì)位移傳感器，并運(yùn)用在Stewart平臺(tái)的微動(dòng)隔振平臺(tái)上。傳感器的結(jié)構(gòu)在各類文獻(xiàn)[11-12]中容易找到，本文選擇其中一種最簡單的結(jié)構(gòu)運(yùn)用到絕對(duì)位移傳感器上。

絕對(duì)位移傳感器最終測(cè)量的還是相對(duì)位移，只是通過QZS結(jié)構(gòu)給隔振平臺(tái)提供一個(gè)絕對(duì)靜止的參考點(diǎn)，將絕對(duì)位移的測(cè)量轉(zhuǎn)化為相對(duì)位移的測(cè)量。QZS傳感器能測(cè)量的頻率范圍廣，能夠直接測(cè)量位移，消除了其他測(cè)量方法時(shí)間延遲大的缺點(diǎn)，保證系統(tǒng)測(cè)量的實(shí)時(shí)性。

最后將QZS傳感器運(yùn)用到Stewart平臺(tái)的隔振中，利用速度反饋控制解決了高精密儀器平臺(tái)z方向、繞x方向、繞y方向的隔振問題，進(jìn)一步證明QZS傳感器的實(shí)踐價(jià)值及其滿足近似零時(shí)間延遲的優(yōu)點(diǎn)。

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DesignandApplicationsofaQZSAbsoluteDisplacementSensor

HE Jianfeng DENG Zhaoxiang TUO Jiying

College of Automotive Engineering Chongqing University,Chongqing,400044

A QZS absolute displacement sensor was designed here in. The structural parameters of the QZS systems were first analyzed to ensure that the system was staying at stable equilibriums. Given the different incentives, the precisions and response speeds of the QZS sensors were measured. Moreover, shortages of the QZS sensors were studied and potential solutions were discussed. The QZS sensor was applied to the Stewart platform for speed feedback. Applying the harmonic balance method, the frequency responses of the platform were obtained in the direction ofzaxis, around thexaxis andyaxis. The QZS sensors are shown to be a useful devices for absolute displacement measurements in the direction ofzaxis, around thexaxis andyaxis.

quasi zero stiffness(QZS); absolute displacement; sensor; Stewart platform

TP212.9

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.23.012

2016-08-16

(編輯蘇衛(wèi)國)

何劍鋒，男，1992年生。重慶大學(xué)汽車工程學(xué)院碩士研究生。研究方向?yàn)檐囕v系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與控制。E-mail:1371434658@qq.com。鄧兆祥，男，1962年生。重慶大學(xué)汽車工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師，中國汽車工程研究所股份有限公司汽車噪聲振動(dòng)與安全技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(重慶，400039)主任。妥吉英，男，1988年生。重慶大學(xué)汽車工程學(xué)院博士研究生。