侯雨雷 趙亞杰 周治宇 曾達(dá)幸 楊彥東

燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，秦皇島，066004

3-RSR/SP并聯(lián)車(chē)載天線(xiàn)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)及力學(xué)特性分析

侯雨雷 趙亞杰 周治宇 曾達(dá)幸 楊彥東

燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，秦皇島，066004

提出了一種新型3-RSR/SP并聯(lián)式車(chē)載天線(xiàn)機(jī)構(gòu)，基于螺旋理論分析機(jī)構(gòu)自由度，發(fā)現(xiàn)在不同狀態(tài)下機(jī)構(gòu)自由度可變；建立機(jī)構(gòu)的靜力平衡方程和變形協(xié)調(diào)方程，并繪制不同工況下機(jī)構(gòu)各構(gòu)件所受力與機(jī)構(gòu)位姿之間關(guān)系曲線(xiàn)；與3-RSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行對(duì)比，所提出的機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力矩較小，驗(yàn)證了其中間支鏈具有靜力卸載作用。考慮車(chē)載天線(xiàn)的實(shí)際工況，通過(guò)拉格朗日方程法分別建立機(jī)構(gòu)在基座固定和基座運(yùn)動(dòng)兩種情況下的動(dòng)力學(xué)模型，并繪制與之相應(yīng)的機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力矩變化曲線(xiàn)，表明基座運(yùn)動(dòng)對(duì)驅(qū)動(dòng)力矩影響較大。所提出的構(gòu)型有助于拓寬并聯(lián)機(jī)構(gòu)在天線(xiàn)領(lǐng)域的應(yīng)用，特性分析對(duì)后續(xù)樣機(jī)研制具有一定參考價(jià)值。

車(chē)載天線(xiàn)；并聯(lián)機(jī)構(gòu)；靜力卸載；動(dòng)力學(xué)；基座運(yùn)動(dòng)

0 引言

天線(xiàn)是人們見(jiàn)聞世界的耳目及人類(lèi)與天空聯(lián)系的紐帶，其應(yīng)用幾乎無(wú)處不在[1]。傳統(tǒng)天線(xiàn)座，如俯仰-方位型、X-Y型等，存在各自的盲區(qū)，難以實(shí)現(xiàn)全工作范圍內(nèi)的目標(biāo)跟蹤[2]。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)為空間多分支閉鏈形式，以其結(jié)構(gòu)緊湊、承載能力強(qiáng)、運(yùn)動(dòng)慣性小等特點(diǎn)在天線(xiàn)領(lǐng)域有其獨(dú)特應(yīng)用[3]。文獻(xiàn)[4-5]探討了Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)應(yīng)用于天線(xiàn)支撐的可行性。文獻(xiàn)[6]研究了影響Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)用于天線(xiàn)座架的主要因素，并開(kāi)展了相關(guān)構(gòu)型設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[7-8]將Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)成功用于上海65米射電望遠(yuǎn)鏡天線(xiàn)副反射面調(diào)整系統(tǒng)，分析其剛度并完成標(biāo)定實(shí)驗(yàn)。

一般天線(xiàn)要求方位能夠360°連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，俯仰能在0°～90°范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，則兩自由度轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)即可滿(mǎn)足要求；而車(chē)載天線(xiàn)還應(yīng)具有收藏功能，要求天線(xiàn)能向下移動(dòng)以進(jìn)行收藏，即此時(shí)只需1個(gè)移動(dòng)自由度，兼顧考慮車(chē)載天線(xiàn)的目標(biāo)跟蹤及收藏需求，則三自由度的兩轉(zhuǎn)動(dòng)一移動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)更為適合。使用具有6自由度的機(jī)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)天線(xiàn)的功能，其成本將大幅增加，運(yùn)動(dòng)學(xué)分析以及控制系統(tǒng)也很復(fù)雜，因此，少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)成為天線(xiàn)應(yīng)用的較好選擇。陳兵奎等[9]提出采用3-RPS(R為轉(zhuǎn)動(dòng)副，P為移動(dòng)副，S為球面副)并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為移動(dòng)衛(wèi)星天線(xiàn)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。LAUREN等[10]以3-RSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為衛(wèi)星天線(xiàn)的支撐。

若天線(xiàn)口徑較大或當(dāng)天線(xiàn)處于極限位姿時(shí)，天線(xiàn)機(jī)構(gòu)受力狀態(tài)較差，給驅(qū)動(dòng)帶來(lái)較大壓力。如天線(xiàn)機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)靜力卸載，使其具備更強(qiáng)的承載能力，可更適用于各種重載工況，也更易于保證更高的運(yùn)動(dòng)精度。

許多學(xué)者對(duì)少自由度特別是球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靜力學(xué)進(jìn)行了研究。吳孟麗等[11]在傳統(tǒng)的虛位移原理法中引入影響系數(shù)，并與廣義坐標(biāo)相結(jié)合，分析了一種三自由度并聯(lián)機(jī)器人的靜力學(xué)問(wèn)題。曲海波等[12]提出一種4-RRS冗余球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)并進(jìn)行了靜力學(xué)分析。楊龍等[13]提出一種偏置輸出的仿生關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)。周玉林等[14]建立了三自由度球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)3-RRR的靜力學(xué)平衡方程，并完成該機(jī)構(gòu)的靜力全解。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模是其動(dòng)力學(xué)研究的基礎(chǔ)，常見(jiàn)的動(dòng)力學(xué)建模方法有牛頓-歐拉法、凱恩法、拉格朗日方程法以及基于虛功原理的動(dòng)力學(xué)建模方法等[15-16]。TSAI等[17]開(kāi)發(fā)了3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型。CHEN等[18]利用拉格朗日方程法建立了兩自由度球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型。姜峣等[19]利用牛頓-歐拉法建立了過(guò)約束并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型。落海偉等[20]運(yùn)用子結(jié)構(gòu)綜合和模態(tài)縮聚技術(shù)提出了一種全柔性三自由度并聯(lián)動(dòng)力頭(3-RPS)的彈性動(dòng)力學(xué)建模方法。牛雪梅等[21]采用拉格朗日方程法建立了基于工作空間的一種驅(qū)動(dòng)冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型。耿明超等[22]利用旋量表示的牛頓-歐拉公式建立了一種折疊式六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型。

上述對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的研究都是在基座固定情況下開(kāi)展，但車(chē)載天線(xiàn)機(jī)構(gòu)在工作過(guò)程中基座將隨著車(chē)體運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，這種隨動(dòng)對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的影響是不容忽視的。針對(duì)天線(xiàn)實(shí)際功能需求，本文提出一種新型3-RSR/SP并聯(lián)式天線(xiàn)機(jī)構(gòu)，并對(duì)其自由度、靜力特性、動(dòng)力學(xué)建模及基座運(yùn)動(dòng)對(duì)機(jī)構(gòu)產(chǎn)生的影響進(jìn)行了分析。

1 3-RSR/SP并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度分析

3-RSR/SP并聯(lián)式天線(xiàn)機(jī)構(gòu)[23]如圖1所示。由定平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)以及之間的結(jié)構(gòu)相同且對(duì)稱(chēng)分布的3條運(yùn)動(dòng)分支、一條中間支鏈組成，其中，每條運(yùn)動(dòng)分支自定平臺(tái)至動(dòng)平臺(tái)依次由第一轉(zhuǎn)動(dòng)副、下連桿、球面副、上連桿和第二轉(zhuǎn)動(dòng)副組成。每個(gè)RSR分支的上下連桿長(zhǎng)度相等，定平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)的外接圓半徑相等。

圖1 3-RSR/SP并聯(lián)式天線(xiàn)機(jī)構(gòu)Fig.1 3-RSR/SP parallel antenna mechanism

在初始位形下，3-RSR/SP并聯(lián)機(jī)構(gòu)的定平臺(tái)與動(dòng)平臺(tái)平行，4個(gè)球副處于同一平面內(nèi)，如圖2所示。不妨取第一分支為例，以其球副中心點(diǎn)為原點(diǎn)，建立分支坐標(biāo)系(圖2)，則RSR分支的運(yùn)動(dòng)螺旋為

(1)

式中，a1、b1、c1、d1為不同實(shí)數(shù)。

進(jìn)而可得其約束螺旋為

(2)

圖2 3-RSR/SP并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.2 Schematic diagram of the 3-RSR/SP parallel mechanism

類(lèi)似地，以中間支鏈球副中心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則其運(yùn)動(dòng)螺旋為

(3)

其約束螺旋為

(4)

可見(jiàn)，在初始位形下，3個(gè)RSR分支提供3個(gè)約束力，均過(guò)各自分支球副中心并與第一轉(zhuǎn)動(dòng)副平行，中間支鏈有2個(gè)約束力，過(guò)中心球面副并與移動(dòng)副垂直。以上5個(gè)約束力處于同一平面，故存在2個(gè)冗余約束，限制了包括平面內(nèi)的2個(gè)移動(dòng)和繞平面法線(xiàn)的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。由此，在初始位形下，機(jī)構(gòu)的瞬時(shí)自由度為3，允許沿法線(xiàn)移動(dòng)和繞平面內(nèi)任何軸線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)。

若天線(xiàn)進(jìn)行收藏運(yùn)動(dòng)，即機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)沿法線(xiàn)位置下降，如圖3所示，由與前述類(lèi)似分析可知，3個(gè)RSR分支的約束力與中間支鏈的2個(gè)約束力異面，故沒(méi)有冗余約束，作用于動(dòng)平臺(tái)的5個(gè)約束力限制了3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)和平面內(nèi)的2個(gè)移動(dòng)。由此，在此位形下，機(jī)構(gòu)的自由度為1，僅能沿法線(xiàn)移動(dòng)。機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)沿法線(xiàn)上升過(guò)程與此類(lèi)似，不予贅述。

圖3 收藏位形下3-RSR/SP并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.3 3-RSR/SP parallel mechanism in the collection configuration

若機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)發(fā)生連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，則定平臺(tái)與動(dòng)平臺(tái)將不再平行，此為天線(xiàn)一般工作時(shí)的位形，如圖4所示。此時(shí)，3個(gè)RSR分支的球副中心可確定一個(gè)平面，定平臺(tái)與動(dòng)平臺(tái)關(guān)于此平面對(duì)稱(chēng)，設(shè)此平面為{H}。以某一RSR分支球副中心為原點(diǎn)建立分支坐標(biāo)系，可得其運(yùn)動(dòng)螺旋如下：

(5)

b3e3+c3f3+d3g3=0

進(jìn)而可得其約束螺旋如下：

(6)

式中，a3、b3、c3、d3、e3、f3、g3、h3為不同實(shí)數(shù)。

圖4 一般位形下3-RSR/SP并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.4 3-RSR/SP parallel mechanism in general configuration

從幾何關(guān)系考慮，在動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于初始位形轉(zhuǎn)動(dòng)之后，因中間支鏈球副中心位于平面{H}上，且其到定平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)的距離相等，則意味著在一般位形下，中間支鏈移動(dòng)副將失效，不可能再發(fā)生移動(dòng)。

以中間支鏈球副中心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，可得中間支鏈的運(yùn)動(dòng)螺旋如下：

(7)

可得其約束螺旋如下：

(8)

定平臺(tái)與動(dòng)平臺(tái)關(guān)于平面{H}對(duì)稱(chēng)，故RSR分支提供給動(dòng)平臺(tái)的3個(gè)約束力均在平面{H}上，中間支鏈提供給動(dòng)平臺(tái)的3個(gè)約束力可視為平面{H}上的2個(gè)力和垂直于平面的1個(gè)力，則平面{H}上的5個(gè)力限制了平面內(nèi)的2個(gè)移動(dòng)和繞平面法線(xiàn)的1個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)，垂直于平面{H}的1個(gè)力限制了平面法向的移動(dòng)。由此，在此位形下，機(jī)構(gòu)具有2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，轉(zhuǎn)軸在此平面上且通過(guò)中間支鏈的球副中心。

一般地，兩轉(zhuǎn)動(dòng)一移動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，如3-RPS機(jī)構(gòu)、3-RSR機(jī)構(gòu)等，其動(dòng)平臺(tái)在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中往往伴隨著移動(dòng)，給機(jī)構(gòu)的控制帶來(lái)不便。而3-RSR/SP并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度可變，在一般位形下，機(jī)構(gòu)移動(dòng)自由度失效，具有2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，此時(shí)剛好對(duì)應(yīng)天線(xiàn)在正常工作時(shí)俯仰和方位轉(zhuǎn)動(dòng)的需求；在收藏位形下，機(jī)構(gòu)2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度失效，僅有1個(gè)移動(dòng)自由度，對(duì)應(yīng)天線(xiàn)收藏的需要。因此，與常規(guī)兩轉(zhuǎn)動(dòng)一移動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)相比，3-RSR/SP并聯(lián)機(jī)構(gòu)的變自由度性質(zhì)能夠更好地契合天線(xiàn)正常跟蹤目標(biāo)和收藏等不同工況的需求。

2 3-RSR/SP并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜力特性分析

2.1 機(jī)構(gòu)受力分析

分析3-RSR/SP并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)受力，如圖5所示，其中，用下標(biāo)x、y、z表示沿各子坐標(biāo)系軸線(xiàn)力方向，p、q、r表示繞各子坐標(biāo)軸力矩方向。設(shè)動(dòng)平臺(tái)受到1個(gè)廣義力Fg，動(dòng)平臺(tái)與3個(gè)上連桿均為轉(zhuǎn)動(dòng)副連接，每個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副只解除一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)方向的約束，因此轉(zhuǎn)動(dòng)副Qi受到3個(gè)約束力FQi=(FQix,FQiy,FQiz)T(i=1,2,3)以及2個(gè)方向的力矩矢量MQip和MQir(i=1,2,3)作用，中間支鏈球副N受到的約束力為FN=(FNx,FNy,FNz)T。

圖5 3-RSR/SP并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)受力分析Fig.5 Moving platform force analysis of 3-RSR/SP parallel mechanism

圖6 3-RSR/SP并聯(lián)機(jī)構(gòu)上連桿受力分析Fig.6 Upper link force analysis of 3-RSR/SP parallel mechanism

圖7 3-RSR/SP并聯(lián)機(jī)構(gòu)下連桿受力分析Fig.7 Lower link force analysis of 3-RSR/SP parallel mechanism

分別以3-RSR/SP并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)和RSR分支上下連桿為研究對(duì)象建立力和力矩平衡方程，可以得到42個(gè)獨(dú)立的靜力平衡方程，而3-RSR/SP并聯(lián)機(jī)構(gòu)共有45個(gè)未知力，故為3次超靜定，僅靠靜力平衡條件不能求解出全部未知力，需要補(bǔ)充變形協(xié)調(diào)方程。

2.2 變形協(xié)調(diào)方程的建立

3-RSR/SP并聯(lián)機(jī)構(gòu)RSR分支下連桿上端點(diǎn)的角位移為

式中，L為RSR分支連桿桿長(zhǎng);E為材料的彈性模量;I為橫截面對(duì)中性軸的慣性矩。

線(xiàn)位移為

由于下連桿與上連桿通過(guò)球副連接，下連桿上端點(diǎn)的角位移在球副處被釋放而不能被傳遞到上連桿，故只有下連桿上端點(diǎn)的線(xiàn)位移傳遞到上連桿。

3-RSR/SP并聯(lián)機(jī)構(gòu)RSR分支上連桿上端點(diǎn)的角位移為

線(xiàn)位移為

根據(jù)小變形疊加原理，將第i個(gè)RSR分支下連桿與上連桿的變形疊加，可得第i個(gè)RSR分支上連桿上端點(diǎn)的總角位移

可得其總線(xiàn)位移

與RSR分支變形分析類(lèi)似，分別計(jì)算中間支鏈下連桿與上連桿變形，并進(jìn)行變形疊加，可分別得到中間支鏈上連桿上端點(diǎn)的總角位移θ?N和總線(xiàn)位移w?N。

由于3個(gè)RSR分支的上連桿與動(dòng)平臺(tái)通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副連接，故3個(gè)上連桿上端點(diǎn)的角位移在其對(duì)應(yīng)的方向yQi上的投影被釋放，則可得到傳遞到動(dòng)平臺(tái)的角位移為方向xQi、zQi的分量

因機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的3個(gè)鉸鏈點(diǎn)具有3個(gè)不同線(xiàn)位移，則方向yQi肯定存在角位移，設(shè)其為θyi，故可得到動(dòng)平臺(tái)3個(gè)鉸鏈點(diǎn)的角位移

視機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)為剛體，則其上每一點(diǎn)的角位移都相等，即與動(dòng)平臺(tái)相連的3個(gè)鉸鏈點(diǎn)和中間支鏈上連桿上端點(diǎn)的角位移相等，可表示為

與3個(gè)RSR分支的上連桿上端點(diǎn)的線(xiàn)位移相對(duì)應(yīng)的動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)的線(xiàn)位移相等，可表示為

式中，R為定平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)的外接圓半徑。

并且，動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)的線(xiàn)位移與中間支鏈上連桿上端點(diǎn)的線(xiàn)位移相等，可表示為

聯(lián)立靜力平衡方程和變形協(xié)調(diào)方程，可得60個(gè)獨(dú)立方程，故可求解出全部的45個(gè)未知力。

2.3 機(jī)構(gòu)靜力數(shù)值分析

依據(jù)前述所建方程，利用MATLAB軟件可求解全部未知力。初步設(shè)定3-RSR/SP并聯(lián)機(jī)構(gòu)基本參數(shù)如下：中間支鏈上下連桿長(zhǎng)度相同，均為l=96 mm，L=125 mm，R=54.85 mm，E=2.11×105MPa，I=201.06 mm4。

(a)驅(qū)動(dòng)力矩MP1q (b)驅(qū)動(dòng)力矩MP2q

(c)驅(qū)動(dòng)力矩MP3q (d)力FN

(e)力FG1 (f)力FG2圖8 復(fù)合力作用下構(gòu)件所受力隨位姿變化曲線(xiàn)Fig.8 Variation curve of the link force under composite force varies with pose

2.4 機(jī)構(gòu)靜力卸載對(duì)比分析

通過(guò)增設(shè)中間支鏈，有助于將外力對(duì)機(jī)構(gòu)各分支鏈的作用力部分卸掉，即實(shí)現(xiàn)靜力卸載，可減小各支鏈桿的受力與變形，并消除或減小外力的不確定性對(duì)機(jī)構(gòu)輸出的影響，從而改善機(jī)構(gòu)的力學(xué)性能。

不妨以3-RSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)為參照，來(lái)說(shuō)明3-RSR/SP并聯(lián)機(jī)構(gòu)卸載的情況。為便于比較，除無(wú)中間支鏈外，3-RSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)與3-RSR/SP并聯(lián)機(jī)構(gòu)的其他各參數(shù)均取相同。根據(jù)前述方程利用MATLAB軟件求解3-RSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)與3-RSR/SP并聯(lián)機(jī)構(gòu)在相同復(fù)合力作用下驅(qū)動(dòng)力矩MP1q的12組解，可得兩機(jī)構(gòu)對(duì)比情況如表1所示。

表1 復(fù)合力作用下3-RSR與3-RSR/SP并聯(lián)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力矩對(duì)比

由表1可見(jiàn)，在復(fù)合力外載作用下，相較于3-RSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)，3-RSR/SP并聯(lián)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)力矩?cái)?shù)值有明顯減小，則所需電機(jī)成本、質(zhì)量可大幅降低；同時(shí)也說(shuō)明了3-RSR/SP機(jī)構(gòu)中間支鏈確實(shí)起到靜力卸載作用，則在同等尺寸參數(shù)下，該機(jī)構(gòu)承載能力更強(qiáng)，故適用于大口徑天線(xiàn)。在同樣設(shè)計(jì)工況下，3-RSR/SP機(jī)構(gòu)具有更大的剛度，有利于保證天線(xiàn)更高的運(yùn)動(dòng)精度并增大固有頻率，進(jìn)而使其具備良好的動(dòng)態(tài)特性。

3 3-RSR/SP并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模及特性分析

3.1 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解

圖9所示為在3-RSR/SP機(jī)構(gòu)中間支鏈球副中心建立定坐標(biāo)系和動(dòng)坐標(biāo)系。兩坐標(biāo)系原點(diǎn)均位于中間支鏈球副中心，定坐標(biāo)系X軸方向與GP1平行，Z軸垂直于定平臺(tái)且向上為正，動(dòng)坐標(biāo)系與動(dòng)平臺(tái)固結(jié)。在初始位形下，定坐標(biāo)系與動(dòng)坐標(biāo)系重合。

圖9 3-RSR/SP并聯(lián)機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系Fig.9 Coordinate system of 3-RSR/SP parallel mechanism

依據(jù)前述3-RSR/SP并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度分析結(jié)果，機(jī)構(gòu)在一般位形下，即具有2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度工作時(shí)，機(jī)構(gòu)的輸出為動(dòng)平臺(tái)繞定坐標(biāo)系X、Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。取廣義坐標(biāo)q=(δ，θ)T，用以描述機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)位姿，其中，δ、θ分別表示動(dòng)平臺(tái)繞定坐標(biāo)系X、Y軸的轉(zhuǎn)角。選取3個(gè)RSR分支的第一轉(zhuǎn)動(dòng)副為驅(qū)動(dòng)副，機(jī)構(gòu)的輸入即為此3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的輸入角βi(i=1,2,3)。

點(diǎn)Gi(i=1,2,3)在定坐標(biāo)系下的坐標(biāo)可表示為

式中，c代表cos,s代表sin。

通過(guò)定坐標(biāo)系與動(dòng)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣，得到點(diǎn)Qi(i=1,2,3)在定坐標(biāo)系下的坐標(biāo)如下：

Q1=(cθR+sθl,sδsθR-sδcθl,-cδsθR+cδcθl)T

由桿長(zhǎng)約束條件可得

(9)

對(duì)構(gòu)件5進(jìn)行受力分析，并將Gi、Qi(i=1,2,3)點(diǎn)坐標(biāo)代入式(9)中求解可得3-RSR/SP機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解如下：

β1=arctanX1

(10)

B1=-2Lcδsθl-2LcθR+2LR
C1=2cθcδl2-2cδsθRl-2cθR2-2sθRl+2R2+2l2

類(lèi)似地，可以求得機(jī)構(gòu)的另外兩個(gè)輸入角β2和β3，并與式(10)共同構(gòu)成3-RSR/SP機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解。將運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解對(duì)時(shí)間t進(jìn)行求導(dǎo)，可得機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣J。機(jī)構(gòu)收藏時(shí)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系非常顯見(jiàn)，而初始位形下的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系綜合此兩種工況可得，故不贅述。

3.2 基座固定情況下機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型的建立

應(yīng)用拉格朗日方程法建立3-RSR/SP并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型。選取機(jī)構(gòu)定坐標(biāo)系原點(diǎn)N為零勢(shì)能點(diǎn)，3-RSR/SP并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于其自身動(dòng)系的慣性張量為

(11)

式中，m為動(dòng)平臺(tái)質(zhì)量。

則動(dòng)平臺(tái)在定坐標(biāo)系下的慣性張量為

(12)

動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心在定坐標(biāo)系中的角速度ωN為

動(dòng)坐標(biāo)系到定坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換矩RN為

由運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解可得動(dòng)平臺(tái)幾何中心點(diǎn)D在定坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(lsθ,lsδcθ,lcδcθ)T，將位置坐標(biāo)對(duì)時(shí)間進(jìn)行求導(dǎo)，可得動(dòng)平臺(tái)中心在定坐標(biāo)系下的線(xiàn)速度vN。

機(jī)構(gòu)的動(dòng)能TN可表示為

機(jī)構(gòu)的勢(shì)能UN可表示為

UN=mgZN

式中，ZN為動(dòng)平臺(tái)中心在定坐標(biāo)系下的Z坐標(biāo)值。

主動(dòng)力為非保守廣義力時(shí)的拉格朗日方程表達(dá)式如下：

(13)

K=TN-UNq=(δ，θ)T

式中，K為基座固定情況下系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù);q為廣義坐標(biāo);τ為在基座固定情況下對(duì)應(yīng)廣義坐標(biāo)的非保守廣義力。

化簡(jiǎn)可得機(jī)構(gòu)的廣義驅(qū)動(dòng)力如下：

(14)

3.3 基座運(yùn)動(dòng)情況下機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型的建立

作為車(chē)載天線(xiàn)機(jī)構(gòu)，在車(chē)體行進(jìn)過(guò)程中，3-RSR/SP并聯(lián)機(jī)構(gòu)基座將隨著車(chē)體相對(duì)于大地運(yùn)動(dòng)，這對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)將產(chǎn)生影響。在機(jī)構(gòu)定平臺(tái)質(zhì)心建立大地坐標(biāo)系，并取其原點(diǎn)G為零勢(shì)能點(diǎn)，如圖10所示。

圖10 3-RSR/SP并聯(lián)機(jī)構(gòu)大地坐標(biāo)系Fig.10 Geodetic coordinate system of 3-RSR/SP parallel mechanism

在基座運(yùn)動(dòng)情況下，機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)可以看成是基座運(yùn)動(dòng)與機(jī)構(gòu)本身運(yùn)動(dòng)兩者的合成。由坐標(biāo)間的矢量疊加關(guān)系，在基座運(yùn)動(dòng)時(shí)，機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)幾何中心在大地坐標(biāo)系下的坐標(biāo)可表示為

DD=D1+D2

(15)

式中，D1為基座固定情況下動(dòng)平臺(tái)中心在定坐標(biāo)系下的坐標(biāo);D2為機(jī)構(gòu)鎖定、基座運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)平臺(tái)中心在定坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。下標(biāo)D表示機(jī)構(gòu)處于基座運(yùn)動(dòng)情況下，下述各個(gè)參量表述相同。

動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心位置坐標(biāo)DD對(duì)時(shí)間進(jìn)行求導(dǎo)，可得基座運(yùn)動(dòng)情況下動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心相對(duì)于大地坐標(biāo)系的線(xiàn)速度vD。

由角速度合成定理，基座運(yùn)動(dòng)情況下得到動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心在定坐標(biāo)系下的角速度

ωD=ωDN+ωD2

(16)

式中，ωDN為基座固定情況下動(dòng)平臺(tái)中心在定坐標(biāo)系下的角速度；ωD2為機(jī)構(gòu)鎖定、基座運(yùn)動(dòng)時(shí)動(dòng)平臺(tái)中心在定坐標(biāo)系下的角速度。

在基座運(yùn)動(dòng)情況下，得到機(jī)構(gòu)的動(dòng)能如下：

(17)

式中，ID為動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)系的慣性張量；Rxyz為動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)于大地坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣。

在基座運(yùn)動(dòng)情況下，得到機(jī)構(gòu)的勢(shì)能如下：

UD=mgZCD

(18)

式中，ZCD為動(dòng)平臺(tái)中心在大地坐標(biāo)系下的Z坐標(biāo)值。

當(dāng)主動(dòng)力為非保守廣義力時(shí)的拉格朗日方程，其表達(dá)式如下：

(19)

式中，KD為基座運(yùn)動(dòng)情況下系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)；qD為廣義坐標(biāo)；τD為在基座運(yùn)動(dòng)情況下對(duì)應(yīng)廣義坐標(biāo)的非保守廣義力；MD為機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力矩。

經(jīng)整理可得機(jī)構(gòu)在基座運(yùn)動(dòng)情況下的驅(qū)動(dòng)力，其表達(dá)式如下：

(20)

3.4 機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力矩影響分析

如前所述，3-RSR/SP機(jī)構(gòu)在一般位形下，具有2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，而其有3個(gè)驅(qū)動(dòng)分支，屬于冗余驅(qū)動(dòng)，雅可比矩陣J非方陣，理論上應(yīng)存在無(wú)數(shù)組解。根據(jù)最小二范數(shù)法，通過(guò)求取雅可比矩陣的偽逆矩陣J+，并結(jié)合式(14)可解得其最優(yōu)解如下：

(21)

規(guī)劃動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)軌跡為繞定坐標(biāo)系X軸和Y軸的旋轉(zhuǎn)，其運(yùn)動(dòng)方程描述如下：

(22)

設(shè)P1、P2、P3處轉(zhuǎn)動(dòng)副(圖10)對(duì)應(yīng)驅(qū)動(dòng)力矩分別為MP1q、MP2q、MP3q，且定義使得輸入角βi(i=1,2,3)增大的方向力矩為正，反之為負(fù)。機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)參數(shù)如下：定平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)副外接圓半徑R=50 mm，動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)量m=1.958 kg，重力加速度g=9.806 m/s2。由式(21)計(jì)算并繪制3-RSR/SP機(jī)構(gòu)在冗余驅(qū)動(dòng)情況下一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)的驅(qū)動(dòng)力矩變化曲線(xiàn)，如圖11所示。

圖11 冗余驅(qū)動(dòng)情況下3-RSR/SP機(jī)構(gòu)分支驅(qū)動(dòng)力矩Fig.11 Branch driven torque of 3-RSR/SP parallel mechanism under redundant drive condition

本文主要研究對(duì)比正常驅(qū)動(dòng)情況下3-RSR/SP機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)力矩變化情況?？紤]機(jī)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性，不妨取MP1q、MP2q為主動(dòng)驅(qū)動(dòng)。由式(14)可計(jì)算并繪制基座固定情況下3-RSR/S機(jī)構(gòu)一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)驅(qū)動(dòng)力矩的變化曲線(xiàn)，如圖12所示。

圖12 基座固定情況下3-RSR/SP機(jī)構(gòu)分支驅(qū)動(dòng)力矩Fig.12 Branch driven torque of 3-RSR/SP parallel mechanism under base fixed condition

對(duì)比圖11和圖12可知，基座固定時(shí)，兩驅(qū)動(dòng)力矩MP1q、MP2q中最大值為1.64 N·m，而施加冗余驅(qū)動(dòng)后，最大值降為0.78 N·m，即驅(qū)動(dòng)力峰值減小約52.4%。

基座運(yùn)動(dòng)情況下，不妨規(guī)劃基座運(yùn)動(dòng)為定平臺(tái)繞大地坐標(biāo)系X軸、Y軸和Z軸的綜合轉(zhuǎn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程描述如下：

(23)

動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于定平臺(tái)運(yùn)動(dòng)軌跡不變，依據(jù)前述所得方程式(20)，繪制在基座運(yùn)動(dòng)情況下3-RSR/SP機(jī)構(gòu)一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)驅(qū)動(dòng)力矩的變化曲線(xiàn)，如圖13所示。

圖13 基座運(yùn)動(dòng)情況下3-RSR/SP機(jī)構(gòu)分支驅(qū)動(dòng)力矩Fig.13 Branch driven torque of 3-RSR/SP parallel mechanism under base moving condition

將基座運(yùn)動(dòng)情況下3-RSR/SP機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力矩與基座固定情況下驅(qū)動(dòng)力矩作比較，可得基座在運(yùn)動(dòng)與固定情況下機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力矩的差值變化曲線(xiàn)如圖14所示。

由圖14可看出，在一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)，對(duì)應(yīng)基座在運(yùn)動(dòng)與固定情況下，3-RSR/SP并聯(lián)機(jī)構(gòu)的2個(gè)驅(qū)動(dòng)力矩MP1q、MP2q各自差值最大點(diǎn)分別出現(xiàn)在t=3.04 s和t=1 s時(shí)，其差值分別為-1.28 N·m和-1.90 N·m；對(duì)應(yīng)這兩個(gè)時(shí)刻，MP1q數(shù)值分別為-0.57 N·m和0.71 N·m，MP2q分別為-3.54 N·m和-1.64 N·m，即相比基座固定情況下，基座運(yùn)動(dòng)時(shí)驅(qū)動(dòng)力矩值(絕對(duì)值)分別增大了19.7%和115.8%。

(a)驅(qū)動(dòng)力矩MP1q

(b)驅(qū)動(dòng)力矩MP2q圖14 基座運(yùn)動(dòng)與固定情況下驅(qū)動(dòng)力矩差值變化曲線(xiàn)Fig.14 Variation curve of the driven torque difference under the base fixed and moving conditions

由分析結(jié)果可見(jiàn)，基座運(yùn)動(dòng)對(duì)3-RSR/SP并聯(lián)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力矩影響較大，實(shí)際設(shè)計(jì)時(shí)，在電機(jī)扭矩選取和控制策略制定方面須考慮基座運(yùn)動(dòng)的影響。

4 結(jié)論

(1)提出一種新型的3-RSR/SP并聯(lián)式車(chē)載天線(xiàn)機(jī)構(gòu)，豐富了天線(xiàn)構(gòu)型；運(yùn)用螺旋理論對(duì)所提出機(jī)構(gòu)進(jìn)行自由度分析，獲知機(jī)構(gòu)在不同位形下具有不同的自由度，適宜車(chē)載天線(xiàn)工作及收藏需求。

(2)建立了3-RSR/SP并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜力平衡方程和變形協(xié)調(diào)方程，實(shí)現(xiàn)了該機(jī)構(gòu)各構(gòu)件所受力的全解；與3-RSR機(jī)構(gòu)對(duì)比分析驗(yàn)證了所提出機(jī)構(gòu)中間支鏈具有靜力卸載作用，適用于大口徑、高承載車(chē)載天線(xiàn)研制。

(3)利用拉格朗日方程建立了基座在固定和運(yùn)動(dòng)情況下3-RSR/SP并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型，分析了基座運(yùn)動(dòng)對(duì)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力矩的影響，為樣機(jī)研制時(shí)電控系統(tǒng)開(kāi)發(fā)提供了依據(jù)。

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KinematicandMechanicsCharacteristicAnalysisof3-RSR/SPParallelVehicle-borneAntennaMechanisms

HOU Yulei ZHAO Yajie ZHOU Zhiyu ZENG Daxing YANG Yandong

School of Mechanical Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao, Hebei,066004

A new 3-RSR/SP parallel vehicle-borne antenna mechanism was presented. Based on the screw theory, the number of degree of freedoms (DOFs) of the mechanisms was analyzed and found alterable under different states. The static equilibrium equations and the deformation equations of compatibility of the mechanisms were set up, and the relation curves among the forces acted on the mechanism components and the poses of the mechanisms were plotted. The driven torques of the proposed mechanisms are smaller than those of 3-RSR parallel mechanisms, which indicates that the middle limbs of the proposed mechanisms have the effects static unloading functions. Considering the actual working status of the vehicle-borne antennas, the dynamics models of the mechanisms were established by using the Lagrange equation when the base was fixed and moving respectively. The changing curves of the mechanism’s driven torques corresponding to the two conditions were plotted, which indicate that the base movement has obvious influences on the driven torques. The proposed mechanisms broaden the applications of the parallel mechanism in the antenna fields, and the performance analysis will possess certain reference values for further developments of the prototypes.

vehicle-borne antenna； parallel mechanism； static unloading； dynamics； base movement

TH112

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.23.005

2017-06-09

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51205339)

(編輯胡佳慧)

侯雨雷，男，1980年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。主要研究方向?yàn)椴⒙?lián)機(jī)構(gòu)及其動(dòng)力學(xué)、機(jī)器人技術(shù)、復(fù)雜機(jī)電系統(tǒng)設(shè)計(jì)。出版專(zhuān)著1部，發(fā)表論文80余篇。E-mail：ylhou@ysu.edu.cn。趙亞杰，男，1992年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。周治宇，男，1992年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。曾達(dá)幸，男，1978年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授。楊彥東(通信作者)，男，1978年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院副教授。